2022年高考数学终极押题密卷(全国乙卷理科)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(全国乙卷理科)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 427.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:14:18 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国乙卷理科)
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 安徽模拟）复数z满足z＝23i﹣3，则|z|＝（ ）
A．5 B． C．10 D．
2．（5分）（2022 丹东模拟）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x∈N|﹣1≤x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．[﹣1，2） D．（﹣2，3）
3．（5分）（2022 贵州模拟）已知命题p：函数的最小值为2，命题q： x∈R，ln（|x|+1）≥0，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．￢（p∨q）
4．（5分）（2013秋 历下区校级期中）函数的图象关于（ ）对称．
A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x
5．（5分）（2022 兴庆区校级一模）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为正方形，SD 平面ABCD，△SAD为等腰三角形，若E，F分别为AB，SC的中点，则异面直线EC与BF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022 汝州市模拟）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（ ）
A．24种 B．48种 C．96种 D．120种
7．（5分）（2022 上饶模拟）为得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
8．（5分）（2022 新乡二模）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB为锐角三角形”发生的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）（2020 石家庄一模）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度（如图），铁塔AB垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B在同一水平面上选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°并测得∠BCD＝120°，C，D两地相距600m，则铁塔AB的高度是（ ）
A．300 m B．600 m C．300m D．600
10．（5分）（2022 河南模拟）已知函数f（x）＝ex（x+aex）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B． C． D．
11．（5分）（2022 广西模拟）过原点的直线l与双曲线1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，F是双曲线的左焦点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点，若在线段MN上存在点P，使得 6a2，则双曲线离心率的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
12．（5分）（2022 山西二模）已知x2+lnx＝4y4+2lny，则一定成立的是（ ）
A．x＜y2 B．x＜2y2 C．x＞2y2 D．x＞2y
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 黄山模拟）圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点．光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线C：的图象以直线y＝x为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与C的交点到中心的距离为 ．
14．（5分）（2022 安庆模拟）已知向量满足，则 ．
15．（5分）（2021 河南模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2，a2＝2b2+c2，则△ABC的面积的最大值为 ．
16．（5分）（2016秋 铜陵校级月考）已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：
其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2021春 全国期末）在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下（单位：cm）：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 168 167 165 186 a b c d 178 158
序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高 166 178 175 169 172 177 182 169 168 176
由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在（160，182）之间（单位：cm），且这20组身高数据的平均数为，标准差为s＝7．
（1）为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间（2s，2s）以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差保留两位小数）？
（2）使用统计学的观点说明，（2s，2s）以内的数据与原数据对比有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？
（参考公式：s2（xi）2（xi2﹣n2））
18．（12分）（2022 东城区二模）如图，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC＝8，PA＝PC＝5．
（Ⅰ）设平面PBC∩平面BOD＝l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）求直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
19．（12分）（2018 黑龙江模拟）数列{an}满足an＝6（n∈N*，n≥2）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若a1＝6，求数列{lgan}的前999项的和．
20．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）当a＜﹣1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，x f（x）＞g（x）．
21．（12分）（2022 广州二模）已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点P（﹣3，0）作两条相互垂直的直线l1和l2，直线l1与C相交于两个不同点A，B，在线段AB上取点Q，满足，直线l2交y轴于点R，求△PQR面积的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 上饶模拟）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为：ρ＝2．在平面直角坐标系中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．
（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线C1、C2分别交于A、B两点，求|AB|．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 长安区二模）已知函数f（x）＝|x﹣4|+|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，求证：．
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国乙卷理科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 安徽模拟）复数z满足z＝23i﹣3，则|z|＝（ ）
A．5 B． C．10 D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：设z＝a+bi，
则，
∵z＝23i﹣3，
∴a+bi＝2（a﹣bi）+3i﹣3，即，解得，
∴
故选：D．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
2．（5分）（2022 丹东模拟）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x∈N|﹣1≤x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．[﹣1，2） D．（﹣2，3）
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】根据定义直接写出交集即可．
【解答】解：A∩B＝{x∈N|﹣1≤x＜2}＝{0，1}，
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（5分）（2022 贵州模拟）已知命题p：函数的最小值为2，命题q： x∈R，ln（|x|+1）≥0，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．￢（p∨q）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】根据题意，分析命题p、q的真假，由复合命题真假的判断方法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，对于p，当x＜0时，f（x）＜0，则p是假命题，
对于q， x∈R，|x|+1≥1，则ln（|x|+1）≥0，则q是真命题，
故（￢p）∧q是真命题，p∧q、p∧（￢q）和￢（p∨q）是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及基本不等式和对数的性质，属于基础题．
4．（5分）（2013秋 历下区校级期中）函数的图象关于（ ）对称．
A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x
【考点】奇函数、偶函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数奇偶性的性质判断函数的奇偶性即可判断函数图象的特点．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即（x﹣2）（x+2）＜0，
解得﹣2＜x＜2，则定义域关于原点对称．
又f（﹣x）＝lnln，
∴函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的判断，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．
5．（5分）（2022 兴庆区校级一模）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为正方形，SD 平面ABCD，△SAD为等腰三角形，若E，F分别为AB，SC的中点，则异面直线EC与BF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角；数学运算．
【分析】根据题意画出图形，建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AB＝a，然后写出E，C，B，F的坐标，利用向量的夹角公式即可求解．
【解答】解：由题意可知，SD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
设AB＝a，则AD＝SD＝a，
A（a，0，0），B（a，a，0），S（0，0，a），C（0，a，0），
因为E，F分别为AB，SC的中点，所以，
，
，
所以异面直线EC与BF所成角的余弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查了异面直线所成的角，属于基础题．
6．（5分）（2022 汝州市模拟）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（ ）
A．24种 B．48种 C．96种 D．120种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【分析】分两种情况讨论：①当学生在2名男老师中间时；②当学生不在2名男老师中间时，然后求解即可．
【解答】解：分两种情况讨论：
①当学生在2名男老师中间时，则有种排法，再将2名女老师插空，则符合条件的不同安排方案有224种；
②当学生不在2名男老师中间时，则2名男老师中间必有1名女老师，再将另外1名女老师插空，则符合条件的不同安排方案有224种；
即符合条件的不同安排方案共有24+24＝48种，
故选：B．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了不相邻问题，属基础题．
7．（5分）（2022 上饶模拟）为得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由题意，利用诱导公式、函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：为得到函数的图像，
只需把函数cos（2x）的图像向右平移个单位即可，
故选：D．
【点评】本题主要考查诱导公式、函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8．（5分）（2022 新乡二模）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB为锐角三角形”发生的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】先得到试验的全部结果构成的长度为线段CD的长度，构成事件M的长度为线段CD的，再利用几何概型公式解答即可．
【解答】解：设使△APB为锐角三角形为事件M，
试验的全部结果构成的长度为线段CD的长度，构成事件M的长度为线段CD的，
如图，设AB＝3x，AD＝y，由对称性知，当PDCD时，AP2+PB2＝AB2，
由勾股定理得x2+y2+（2x）2+y2＝（3x）2，∴yx，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型概率的求法，属于中档题．
9．（5分）（2020 石家庄一模）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度（如图），铁塔AB垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B在同一水平面上选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°并测得∠BCD＝120°，C，D两地相距600m，则铁塔AB的高度是（ ）
A．300 m B．600 m C．300m D．600
【考点】解三角形．
【专题】方程思想；三角函数的求值；解三角形；数学运算．
【分析】设AB＝x，由图利用直角三角形的性质可得：BC＝AB＝x，BDx，在△BCD中，由余弦定理即可得出．
【解答】解：设AB＝x，由图利用直角三角形的性质可得：BC＝AB＝x，BDx，
在△BCD中，由余弦定理可得：3x2＝x2+6002﹣2×600xcos120°，化为：x2﹣300x﹣180000＝0，
解得x＝600．
故选：B．
【点评】本题考查了解三角形、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5分）（2022 河南模拟）已知函数f（x）＝ex（x+aex）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】根据题意，对函数f（x）求导数，得出导数f′（x）＝0有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝ex（x+aex），
∴f′（x）＝（x+1+2aex）ex，
由于函数f（x）的两个极值点为x1，x2，
即x1，x2是方程f′（x）＝0的两不等实根，
即方程x+1+2aex＝0，且a≠0，
∴，
设，
因为恒过定点（﹣1，0），设函数上点P（x0，y0）的切线恰过点（﹣1，0），因为，则，即，解得x0＝0，即P（0，1），切线的斜率k＝1，
在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示：
要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，
解得，
所以a的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题考查了根据极值点求参数的问题，属于中档题．
11．（5分）（2022 广西模拟）过原点的直线l与双曲线1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，F是双曲线的左焦点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点，若在线段MN上存在点P，使得 6a2，则双曲线离心率的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】作出图象，利用 （） （）进行转化，根据图象求出 的最大值，结合题设列出关于a，b的不等式，求出的最小值，从而根据e，求出离心率的最小值．
【解答】解：如图所示， （） （）） ）＝||2﹣||2，
由图可知，|PO|max＝|MO|＝|NO|，|OA|min＝a，
∴||2﹣||2≤|MO|2﹣a2＝b2，
若在线段MN上存在点P，使得 6a2，
则6a2≤b2，∴6a4≤b4+a2b2，∴6a4﹣b4﹣a2b2≤0，
∴（3a2+b2）（2a2﹣b2）≤0，∴2，
∴e，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，以及直线与双曲线位置关系的应用，属中档题．
12．（5分）（2022 山西二模）已知x2+lnx＝4y4+2lny，则一定成立的是（ ）
A．x＜y2 B．x＜2y2 C．x＞2y2 D．x＞2y
【考点】利用导数研究函数的单调性；对数的运算性质．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】令g（t）＝t2+lnt（t＞0），求导分析知g（t）在（0，+∞）上单调递增，问题转化为g（x）与g（2y2），g（x）与g（y2），g（x）与g（2y）的大小关系，分析可得答案．
【解答】解：令g（t）＝t2+lnt（t＞0），
则g′（t）＝2t0，
∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，
∵x2+lnx＝4y4+2lny＜4y4+2lny+ln2＝（2y2）2+ln2y2，
∴g（x）＜g（2y2），
∴x＜2y2①，故B正确，C错误；
又x2+lnx＝4y4+2lny＞y4+2lny＝（y2）2+lny2，即g（x）＞g（y2），
∴x＞y2②，故A错误，
由①②得y2＜x＜2y2，
若0＜2y＜y2，即y＞2时，x＞2y；
若2y2＜2y，即0＜y＜1时，x＜2y；故D错误，
综上所述，只有B正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 黄山模拟）圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点．光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线C：的图象以直线y＝x为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与C的交点到中心的距离为 2 ．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】根据直角三角形的性质，可知|PO||F1F2|＝c，根据对称轴与双曲线的交点可得实半轴的长a，利用等轴双曲线可求出c，即可得解．
【解答】解：F1，F2是双曲线的焦点，PF1，PF2分别为入射光线，反射光线，且PF1⊥PF2，如图：
由，解得A（1，1），故a＝|OA|，又双曲线为等轴双曲线，
所以b＝a，所以c2，即|OF1|＝2，
所以|PO||F1F2|＝c＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查双曲线得性质，考查运算求解能力，属于中档题．
14．（5分）（2022 安庆模拟）已知向量满足，则 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的概念与向量的模．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值．
【解答】解：由 得， （）0，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．
15．（5分）（2021 河南模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2，a2＝2b2+c2，则△ABC的面积的最大值为 ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；不等式；数学运算．
【分析】由a2＝2b2+c2，及余弦定理可得cosA，由同角三角函数的基本关系可求得sinA，利用面积公式及基本不等式即可求得△ABC的面积的最大值．
【解答】解：因为a2＝2b2+c2，
由余弦定理可得b +c ﹣2bccosA＝2b2+c2，
化简得cosA，
则sinA，
则△ABC的面积SbcsinA
，
当且仅当3b时等号成立，
故△ABC的面积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查解三角形中的正、余弦定理，面积公式以及基本不等式的应用，属于中档题．
16．（5分）（2016秋 铜陵校级月考）已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：
其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是 4 ．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】由三视图的定义，结合正视图与侧视图的图形相同，对题目中的图形进行分析，即可得出结论．
【解答】解：对于④中的图形，中间是正三角形，它在正视图与侧视图中矩形宽度不一致，
所以④不能作为该几何体的俯视图图形；
对于其他图形，中间图形的正视图与侧视图的矩形宽度一致，可以作为该几何体的俯视图图形．
所以，满足条件的图形个数有①②③⑤共4个．
故答案为4．
【点评】本题考查了空间中三视图的应用问题，是基础题目．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2021春 全国期末）在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下（单位：cm）：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 168 167 165 186 a b c d 178 158
序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高 166 178 175 169 172 177 182 169 168 176
由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在（160，182）之间（单位：cm），且这20组身高数据的平均数为，标准差为s＝7．
（1）为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间（2s，2s）以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差保留两位小数）？
（2）使用统计学的观点说明，（2s，2s）以内的数据与原数据对比有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？
（参考公式：s2（xi）2（xi2﹣n2））
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【专题】应用题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算；数据分析．
【分析】（1）根据题意求出区间（2s，2s），找出不在该区间内的数据，剔除后计算剩余数据的平均数和方差；
（2）利用平均数和方差的大小，对（2s，2s）以内的数据与原数据对比即可．
【解答】解：（1）由平均数为，标准差为s＝7，所以区间（2s，2s）＝（158，186），
不在该区间内的数据有158和186，剔除后，剩余18个数据，
其平均数为，
方差为：，
（2）（2s，2s）以内的数据与原数据对比，有以下特点：
①（2s，2s）以内的数据占总数据个数的90%，
说明该校90%左右的男生身高都在区间（158，186）以内；
②（2s，2s）以内的数据与原数据对比，平均数没变，即平均身高没有变化；
③原数据的方差为49，而（2s，2s）以内的数据的方差约为32.67，方差变小了，
说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性．
【点评】本题考查了数据的平均数和方差的计算问题，也考查了数据分析与数学运算问题，是中档题．
18．（12分）（2022 东城区二模）如图，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC＝8，PA＝PC＝5．
（Ⅰ）设平面PBC∩平面BOD＝l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）求直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判断定理和性质定理能判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）PC∥l．证明如下：
∵D，O分别为PA，AC的中点，∴在△APC中，DO∥PC，
∵DO 平面BOD，PC 平面BOD，∴PC∥平面BOD，
∵PC 平面PBC，平面PBC∩平面BOD＝l，
∴由线面平行的性质定理得PC∥l．
（Ⅱ）∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
BO 平面ABC，∴BO⊥平面APC，
同理，∵AP＝PC，∴PO⊥AC，PO⊥平面ABC，
∴OB，OC，OP三线两两垂直，
∴以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由题可知AC＝8，AB＝BC＝4，OA＝OC＝OB＝4，OP＝3，
则A（0，﹣4，0），B（4，0，0），P（0，0，3），D（0，﹣2，），
则（﹣4，0，3），（4，0，0），（0，﹣2，），
设平面BOD的法向量为（x，y，z），
则，取z＝4，则（0，3，4），
设直线PB与平面BOD所成角为θ，
则直线PB与平面BOD所成角的正弦值：
sinθ＝cos，
∴直线PB与平面BOD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查两直线的位置关系的判断与证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）（2018 黑龙江模拟）数列{an}满足an＝6（n∈N*，n≥2）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若a1＝6，求数列{lgan}的前999项的和．
【考点】等差数列的性质；数列的求和．
【专题】方程思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
【分析】（1）数列{an}满足，an＝6（n∈N*，n≥2）．作差，代入化简即可证明．
（2）a1＝6，可得．由（1）利用等差数列的通项公式即可得出an，取对数可得lgan＝lg3+lg（n+1）﹣lgn．利用累加求和即可得出．
【解答】（1）证明：数列{an}满足，an＝6（n∈N*，n≥2）．
∴，
∴数列是等差数列，
（2）解：∵a1＝6，∴．
由（1）知：，
∴an，
∴lgan＝lg3+lg（n+1）﹣lgn．
∴数列{lgan}的前999项和S＝999lg3+（lg2﹣lg1+lg3﹣lg2+…+lg1000﹣lg999）＝999lg3+lg1000＝999lg3+3．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数运算性质、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）当a＜﹣1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，x f（x）＞g（x）．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）代入a的值，问题转化为证明，设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞），
，
当a＜﹣1时，分下面三种情况讨论：
①当a＝﹣2时，恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，
②当a＜﹣2时，﹣（a+1）＞1，令f'（x）＞0，得0＜x＜1，或x＞﹣（a+1），
所以f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）单调递增，在（1，﹣a﹣1）单调递减，
③当﹣2＜a＜﹣1时，﹣（a+1）＜1，令f'（x）＞0，得0＜x＜﹣（a+1），或x＞1，
所以f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）单调递增，在（﹣a﹣1，1）单调递减，
综上，当a＜﹣2时，f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）为增函数，在（1，﹣a﹣1）为减函数，
a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）为增函数，
当﹣2＜a＜﹣1时，f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）为增函数，在（﹣a﹣1，1）为减函数．
（2）证明：当a＝1时，要证明，
即证，
设，则，
又函数y＝F'（x）在（0，+∞）为增函数，
而，
所以存在x0∈（1，e），使得F'（x0）＝0，且有，
所以F（x）在（0，x0）为减函数，在（x0，+∞）为增函数，
所以，
令，显然在（1，e）为减函数，所以H（x0）＞H（e），
即，而，所以F（x0）＞0，
即F（x）min＝F（x0）＞0，
故当x＞0时，x f（x）＞g（x）恒成立．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．
21．（12分）（2022 广州二模）已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点P（﹣3，0）作两条相互垂直的直线l1和l2，直线l1与C相交于两个不同点A，B，在线段AB上取点Q，满足，直线l2交y轴于点R，求△PQR面积的最小值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由题可得，即得；
（2）由题可设l1的方程为x＝ty﹣3，利用韦达定理法可得，进而可得，然后利用面积公式及基本不等式即求．
【解答】解：（1）由题可得，
∴，
∴椭圆C的方程为；
（2）由题可知直线l1的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为x＝ty﹣3，
A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），
由可得（t2+2）y2﹣6ty+1＝0，
由Δ＝36t2﹣4（t2+2）＝32t2﹣8＞0，可得，或，
∴，
由及P，A，Q，B四点共线，知，
∴，
则，
∵l1和l2相互垂直，则l2的方程为，令x＝0，得y＝﹣3t，
∴R（0，﹣3t），，
∴△PQR面积为，
当且仅当，即等号成立，
所以△PQR面积的最小值为1．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 上饶模拟）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为：ρ＝2．在平面直角坐标系中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．
（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线C1、C2分别交于A、B两点，求|AB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）将，代入C2的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ＝5中求出ρ，再求出|AB|即可．
【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为：ρ＝2，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2＝4；
曲线C2的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程分别为（x﹣2）2+y2＝9；
（2）曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝5，
令，又ρ＜0，所以，
∴．
【点评】本题考查的知识要点，参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，方程的解法，三极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 长安区二模）已知函数f（x）＝|x﹣4|+|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，求证：．
【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；数学运算．
【分析】（I）f（x），再分类讨论，即可求解．
（II）先求出最小值m，再结合基本不等式的公式，即可求证．
【解答】解：（I）f（x），
当x≤2时，由f（x）≤4得6﹣2x≤4，解得x≥1，
所以1≤x≤2，
当2＜x＜4时，由f（x）≤4得2≤4，
所以2＜x＜4，
当x≥4时，由f（x）≤4得2x﹣6≤4，解得x≤5，
所以4≤x≤5，
综上所述，不等式f（x）≤4的解集为[1，5]．
（II）证明：f（x）＝|x﹣4|+|x﹣2|≥|x﹣4﹣（x﹣2）|＝2，当且仅当（x﹣4）（x﹣2）≤0，即2≤x≤4时，等号成立，
故m的值为2，
∴a+b＝2，即a+2+b＝4，
∴，
当且仅当，即a＝0，b＝2时，等号成立，
∵a，b均为正实数，
∴，即得证．
【点评】本题主要考查不等式的证明，掌握基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
4．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； logalogaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； logalogaM．
5．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
9．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
10．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
11．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵， （3，﹣4）5，∴A不成立；
对于B：∵， （﹣4，3），∴B不成立；
对于C：∵， （4，3），∴C成立；
对于D：∵， （4，﹣3），∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
12．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
13．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
14．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
15．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
16．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
17．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的知识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
18．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
19．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
20．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
21．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
22．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
23．直线与椭圆的综合
v．
24．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
25．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
26．空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数 图示
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 无
异面直线 不同时在任何一个平面内 无
27．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
28．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
29．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
30．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
31．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b a﹣b＞0；a＜b a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，1 a＞b；b＜0，1 a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 安徽模拟）复数z满足z＝23i﹣3，则|z|＝（ ）
A．5 B． C．10 D．
2．（5分）（2022 丹东模拟）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x∈N|﹣1≤x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．[﹣1，2） D．（﹣2，3）
3．（5分）（2022 贵州模拟）已知命题p：函数的最小值为2，命题q： x∈R，ln（|x|+1）≥0，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．￢（p∨q）
4．（5分）（2013秋 历下区校级期中）函数的图象关于（ ）对称．
A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x
5．（5分）（2022 兴庆区校级一模）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为正方形，SD 平面ABCD，△SAD为等腰三角形，若E，F分别为AB，SC的中点，则异面直线EC与BF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022 汝州市模拟）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（ ）
A．24种 B．48种 C．96种 D．120种
7．（5分）（2022 上饶模拟）为得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
8．（5分）（2022 新乡二模）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB为锐角三角形”发生的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）（2020 石家庄一模）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度（如图），铁塔AB垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B在同一水平面上选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°并测得∠BCD＝120°，C，D两地相距600m，则铁塔AB的高度是（ ）
A．300 m B．600 m C．300m D．600
10．（5分）（2022 河南模拟）已知函数f（x）＝ex（x+aex）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B． C． D．
11．（5分）（2022 广西模拟）过原点的直线l与双曲线1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，F是双曲线的左焦点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点，若在线段MN上存在点P，使得 6a2，则双曲线离心率的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
12．（5分）（2022 山西二模）已知x2+lnx＝4y4+2lny，则一定成立的是（ ）
A．x＜y2 B．x＜2y2 C．x＞2y2 D．x＞2y
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 黄山模拟）圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点．光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线C：的图象以直线y＝x为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与C的交点到中心的距离为 ．
14．（5分）（2022 安庆模拟）已知向量满足，则 ．
15．（5分）（2021 河南模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2，a2＝2b2+c2，则△ABC的面积的最大值为 ．
16．（5分）（2016秋 铜陵校级月考）已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：
其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2021春 全国期末）在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下（单位：cm）：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 168 167 165 186 a b c d 178 158
序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高 166 178 175 169 172 177 182 169 168 176
由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在（160，182）之间（单位：cm），且这20组身高数据的平均数为，标准差为s＝7．
（1）为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间（2s，2s）以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差保留两位小数）？
（2）使用统计学的观点说明，（2s，2s）以内的数据与原数据对比有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？
（参考公式：s2（xi）2（xi2﹣n2））
18．（12分）（2022 东城区二模）如图，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC＝8，PA＝PC＝5．
（Ⅰ）设平面PBC∩平面BOD＝l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）求直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
19．（12分）（2018 黑龙江模拟）数列{an}满足an＝6（n∈N*，n≥2）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若a1＝6，求数列{lgan}的前999项的和．
20．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）当a＜﹣1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，x f（x）＞g（x）．
21．（12分）（2022 广州二模）已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点P（﹣3，0）作两条相互垂直的直线l1和l2，直线l1与C相交于两个不同点A，B，在线段AB上取点Q，满足，直线l2交y轴于点R，求△PQR面积的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 上饶模拟）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为：ρ＝2．在平面直角坐标系中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．
（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线C1、C2分别交于A、B两点，求|AB|．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 长安区二模）已知函数f（x）＝|x﹣4|+|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，求证：．
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国乙卷理科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 安徽模拟）复数z满足z＝23i﹣3，则|z|＝（ ）
A．5 B． C．10 D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：设z＝a+bi，
则，
∵z＝23i﹣3，
∴a+bi＝2（a﹣bi）+3i﹣3，即，解得，
∴
故选：D．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
2．（5分）（2022 丹东模拟）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x∈N|﹣1≤x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．[﹣1，2） D．（﹣2，3）
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】根据定义直接写出交集即可．
【解答】解：A∩B＝{x∈N|﹣1≤x＜2}＝{0，1}，
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（5分）（2022 贵州模拟）已知命题p：函数的最小值为2，命题q： x∈R，ln（|x|+1）≥0，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．￢（p∨q）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】根据题意，分析命题p、q的真假，由复合命题真假的判断方法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，对于p，当x＜0时，f（x）＜0，则p是假命题，
对于q， x∈R，|x|+1≥1，则ln（|x|+1）≥0，则q是真命题，
故（￢p）∧q是真命题，p∧q、p∧（￢q）和￢（p∨q）是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及基本不等式和对数的性质，属于基础题．
4．（5分）（2013秋 历下区校级期中）函数的图象关于（ ）对称．
A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x
【考点】奇函数、偶函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数奇偶性的性质判断函数的奇偶性即可判断函数图象的特点．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即（x﹣2）（x+2）＜0，
解得﹣2＜x＜2，则定义域关于原点对称．
又f（﹣x）＝lnln，
∴函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的判断，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．
5．（5分）（2022 兴庆区校级一模）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为正方形，SD 平面ABCD，△SAD为等腰三角形，若E，F分别为AB，SC的中点，则异面直线EC与BF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角；数学运算．
【分析】根据题意画出图形，建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AB＝a，然后写出E，C，B，F的坐标，利用向量的夹角公式即可求解．
【解答】解：由题意可知，SD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
设AB＝a，则AD＝SD＝a，
A（a，0，0），B（a，a，0），S（0，0，a），C（0，a，0），
因为E，F分别为AB，SC的中点，所以，
，
，
所以异面直线EC与BF所成角的余弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查了异面直线所成的角，属于基础题．
6．（5分）（2022 汝州市模拟）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（ ）
A．24种 B．48种 C．96种 D．120种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【分析】分两种情况讨论：①当学生在2名男老师中间时；②当学生不在2名男老师中间时，然后求解即可．
【解答】解：分两种情况讨论：
①当学生在2名男老师中间时，则有种排法，再将2名女老师插空，则符合条件的不同安排方案有224种；
②当学生不在2名男老师中间时，则2名男老师中间必有1名女老师，再将另外1名女老师插空，则符合条件的不同安排方案有224种；
即符合条件的不同安排方案共有24+24＝48种，
故选：B．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了不相邻问题，属基础题．
7．（5分）（2022 上饶模拟）为得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由题意，利用诱导公式、函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：为得到函数的图像，
只需把函数cos（2x）的图像向右平移个单位即可，
故选：D．
【点评】本题主要考查诱导公式、函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8．（5分）（2022 新乡二模）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB为锐角三角形”发生的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】先得到试验的全部结果构成的长度为线段CD的长度，构成事件M的长度为线段CD的，再利用几何概型公式解答即可．
【解答】解：设使△APB为锐角三角形为事件M，
试验的全部结果构成的长度为线段CD的长度，构成事件M的长度为线段CD的，
如图，设AB＝3x，AD＝y，由对称性知，当PDCD时，AP2+PB2＝AB2，
由勾股定理得x2+y2+（2x）2+y2＝（3x）2，∴yx，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型概率的求法，属于中档题．
9．（5分）（2020 石家庄一模）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度（如图），铁塔AB垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B在同一水平面上选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°并测得∠BCD＝120°，C，D两地相距600m，则铁塔AB的高度是（ ）
A．300 m B．600 m C．300m D．600
【考点】解三角形．
【专题】方程思想；三角函数的求值；解三角形；数学运算．
【分析】设AB＝x，由图利用直角三角形的性质可得：BC＝AB＝x，BDx，在△BCD中，由余弦定理即可得出．
【解答】解：设AB＝x，由图利用直角三角形的性质可得：BC＝AB＝x，BDx，
在△BCD中，由余弦定理可得：3x2＝x2+6002﹣2×600xcos120°，化为：x2﹣300x﹣180000＝0，
解得x＝600．
故选：B．
【点评】本题考查了解三角形、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5分）（2022 河南模拟）已知函数f（x）＝ex（x+aex）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】根据题意，对函数f（x）求导数，得出导数f′（x）＝0有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝ex（x+aex），
∴f′（x）＝（x+1+2aex）ex，
由于函数f（x）的两个极值点为x1，x2，
即x1，x2是方程f′（x）＝0的两不等实根，
即方程x+1+2aex＝0，且a≠0，
∴，
设，
因为恒过定点（﹣1，0），设函数上点P（x0，y0）的切线恰过点（﹣1，0），因为，则，即，解得x0＝0，即P（0，1），切线的斜率k＝1，
在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示：
要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，
解得，
所以a的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题考查了根据极值点求参数的问题，属于中档题．
11．（5分）（2022 广西模拟）过原点的直线l与双曲线1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，F是双曲线的左焦点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点，若在线段MN上存在点P，使得 6a2，则双曲线离心率的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】作出图象，利用 （） （）进行转化，根据图象求出 的最大值，结合题设列出关于a，b的不等式，求出的最小值，从而根据e，求出离心率的最小值．
【解答】解：如图所示， （） （）） ）＝||2﹣||2，
由图可知，|PO|max＝|MO|＝|NO|，|OA|min＝a，
∴||2﹣||2≤|MO|2﹣a2＝b2，
若在线段MN上存在点P，使得 6a2，
则6a2≤b2，∴6a4≤b4+a2b2，∴6a4﹣b4﹣a2b2≤0，
∴（3a2+b2）（2a2﹣b2）≤0，∴2，
∴e，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，以及直线与双曲线位置关系的应用，属中档题．
12．（5分）（2022 山西二模）已知x2+lnx＝4y4+2lny，则一定成立的是（ ）
A．x＜y2 B．x＜2y2 C．x＞2y2 D．x＞2y
【考点】利用导数研究函数的单调性；对数的运算性质．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】令g（t）＝t2+lnt（t＞0），求导分析知g（t）在（0，+∞）上单调递增，问题转化为g（x）与g（2y2），g（x）与g（y2），g（x）与g（2y）的大小关系，分析可得答案．
【解答】解：令g（t）＝t2+lnt（t＞0），
则g′（t）＝2t0，
∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，
∵x2+lnx＝4y4+2lny＜4y4+2lny+ln2＝（2y2）2+ln2y2，
∴g（x）＜g（2y2），
∴x＜2y2①，故B正确，C错误；
又x2+lnx＝4y4+2lny＞y4+2lny＝（y2）2+lny2，即g（x）＞g（y2），
∴x＞y2②，故A错误，
由①②得y2＜x＜2y2，
若0＜2y＜y2，即y＞2时，x＞2y；
若2y2＜2y，即0＜y＜1时，x＜2y；故D错误，
综上所述，只有B正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 黄山模拟）圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点．光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线C：的图象以直线y＝x为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与C的交点到中心的距离为 2 ．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】根据直角三角形的性质，可知|PO||F1F2|＝c，根据对称轴与双曲线的交点可得实半轴的长a，利用等轴双曲线可求出c，即可得解．
【解答】解：F1，F2是双曲线的焦点，PF1，PF2分别为入射光线，反射光线，且PF1⊥PF2，如图：
由，解得A（1，1），故a＝|OA|，又双曲线为等轴双曲线，
所以b＝a，所以c2，即|OF1|＝2，
所以|PO||F1F2|＝c＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查双曲线得性质，考查运算求解能力，属于中档题．
14．（5分）（2022 安庆模拟）已知向量满足，则 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的概念与向量的模．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值．
【解答】解：由 得， （）0，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．
15．（5分）（2021 河南模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2，a2＝2b2+c2，则△ABC的面积的最大值为 ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；不等式；数学运算．
【分析】由a2＝2b2+c2，及余弦定理可得cosA，由同角三角函数的基本关系可求得sinA，利用面积公式及基本不等式即可求得△ABC的面积的最大值．
【解答】解：因为a2＝2b2+c2，
由余弦定理可得b +c ﹣2bccosA＝2b2+c2，
化简得cosA，
则sinA，
则△ABC的面积SbcsinA
，
当且仅当3b时等号成立，
故△ABC的面积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查解三角形中的正、余弦定理，面积公式以及基本不等式的应用，属于中档题．
16．（5分）（2016秋 铜陵校级月考）已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：
其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是 4 ．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】由三视图的定义，结合正视图与侧视图的图形相同，对题目中的图形进行分析，即可得出结论．
【解答】解：对于④中的图形，中间是正三角形，它在正视图与侧视图中矩形宽度不一致，
所以④不能作为该几何体的俯视图图形；
对于其他图形，中间图形的正视图与侧视图的矩形宽度一致，可以作为该几何体的俯视图图形．
所以，满足条件的图形个数有①②③⑤共4个．
故答案为4．
【点评】本题考查了空间中三视图的应用问题，是基础题目．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2021春 全国期末）在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下（单位：cm）：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 168 167 165 186 a b c d 178 158
序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高 166 178 175 169 172 177 182 169 168 176
由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在（160，182）之间（单位：cm），且这20组身高数据的平均数为，标准差为s＝7．
（1）为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间（2s，2s）以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差保留两位小数）？
（2）使用统计学的观点说明，（2s，2s）以内的数据与原数据对比有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？
（参考公式：s2（xi）2（xi2﹣n2））
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【专题】应用题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算；数据分析．
【分析】（1）根据题意求出区间（2s，2s），找出不在该区间内的数据，剔除后计算剩余数据的平均数和方差；
（2）利用平均数和方差的大小，对（2s，2s）以内的数据与原数据对比即可．
【解答】解：（1）由平均数为，标准差为s＝7，所以区间（2s，2s）＝（158，186），
不在该区间内的数据有158和186，剔除后，剩余18个数据，
其平均数为，
方差为：，
（2）（2s，2s）以内的数据与原数据对比，有以下特点：
①（2s，2s）以内的数据占总数据个数的90%，
说明该校90%左右的男生身高都在区间（158，186）以内；
②（2s，2s）以内的数据与原数据对比，平均数没变，即平均身高没有变化；
③原数据的方差为49，而（2s，2s）以内的数据的方差约为32.67，方差变小了，
说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性．
【点评】本题考查了数据的平均数和方差的计算问题，也考查了数据分析与数学运算问题，是中档题．
18．（12分）（2022 东城区二模）如图，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC＝8，PA＝PC＝5．
（Ⅰ）设平面PBC∩平面BOD＝l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）求直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判断定理和性质定理能判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）PC∥l．证明如下：
∵D，O分别为PA，AC的中点，∴在△APC中，DO∥PC，
∵DO 平面BOD，PC 平面BOD，∴PC∥平面BOD，
∵PC 平面PBC，平面PBC∩平面BOD＝l，
∴由线面平行的性质定理得PC∥l．
（Ⅱ）∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
BO 平面ABC，∴BO⊥平面APC，
同理，∵AP＝PC，∴PO⊥AC，PO⊥平面ABC，
∴OB，OC，OP三线两两垂直，
∴以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由题可知AC＝8，AB＝BC＝4，OA＝OC＝OB＝4，OP＝3，
则A（0，﹣4，0），B（4，0，0），P（0，0，3），D（0，﹣2，），
则（﹣4，0，3），（4，0，0），（0，﹣2，），
设平面BOD的法向量为（x，y，z），
则，取z＝4，则（0，3，4），
设直线PB与平面BOD所成角为θ，
则直线PB与平面BOD所成角的正弦值：
sinθ＝cos，
∴直线PB与平面BOD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查两直线的位置关系的判断与证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）（2018 黑龙江模拟）数列{an}满足an＝6（n∈N*，n≥2）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若a1＝6，求数列{lgan}的前999项的和．
【考点】等差数列的性质；数列的求和．
【专题】方程思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
【分析】（1）数列{an}满足，an＝6（n∈N*，n≥2）．作差，代入化简即可证明．
（2）a1＝6，可得．由（1）利用等差数列的通项公式即可得出an，取对数可得lgan＝lg3+lg（n+1）﹣lgn．利用累加求和即可得出．
【解答】（1）证明：数列{an}满足，an＝6（n∈N*，n≥2）．
∴，
∴数列是等差数列，
（2）解：∵a1＝6，∴．
由（1）知：，
∴an，
∴lgan＝lg3+lg（n+1）﹣lgn．
∴数列{lgan}的前999项和S＝999lg3+（lg2﹣lg1+lg3﹣lg2+…+lg1000﹣lg999）＝999lg3+lg1000＝999lg3+3．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数运算性质、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）当a＜﹣1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，x f（x）＞g（x）．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）代入a的值，问题转化为证明，设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞），
，
当a＜﹣1时，分下面三种情况讨论：
①当a＝﹣2时，恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，
②当a＜﹣2时，﹣（a+1）＞1，令f'（x）＞0，得0＜x＜1，或x＞﹣（a+1），
所以f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）单调递增，在（1，﹣a﹣1）单调递减，
③当﹣2＜a＜﹣1时，﹣（a+1）＜1，令f'（x）＞0，得0＜x＜﹣（a+1），或x＞1，
所以f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）单调递增，在（﹣a﹣1，1）单调递减，
综上，当a＜﹣2时，f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）为增函数，在（1，﹣a﹣1）为减函数，
a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）为增函数，
当﹣2＜a＜﹣1时，f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）为增函数，在（﹣a﹣1，1）为减函数．
（2）证明：当a＝1时，要证明，
即证，
设，则，
又函数y＝F'（x）在（0，+∞）为增函数，
而，
所以存在x0∈（1，e），使得F'（x0）＝0，且有，
所以F（x）在（0，x0）为减函数，在（x0，+∞）为增函数，
所以，
令，显然在（1，e）为减函数，所以H（x0）＞H（e），
即，而，所以F（x0）＞0，
即F（x）min＝F（x0）＞0，
故当x＞0时，x f（x）＞g（x）恒成立．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．
21．（12分）（2022 广州二模）已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点P（﹣3，0）作两条相互垂直的直线l1和l2，直线l1与C相交于两个不同点A，B，在线段AB上取点Q，满足，直线l2交y轴于点R，求△PQR面积的最小值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由题可得，即得；
（2）由题可设l1的方程为x＝ty﹣3，利用韦达定理法可得，进而可得，然后利用面积公式及基本不等式即求．
【解答】解：（1）由题可得，
∴，
∴椭圆C的方程为；
（2）由题可知直线l1的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为x＝ty﹣3，
A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），
由可得（t2+2）y2﹣6ty+1＝0，
由Δ＝36t2﹣4（t2+2）＝32t2﹣8＞0，可得，或，
∴，
由及P，A，Q，B四点共线，知，
∴，
则，
∵l1和l2相互垂直，则l2的方程为，令x＝0，得y＝﹣3t，
∴R（0，﹣3t），，
∴△PQR面积为，
当且仅当，即等号成立，
所以△PQR面积的最小值为1．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 上饶模拟）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为：ρ＝2．在平面直角坐标系中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．
（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线C1、C2分别交于A、B两点，求|AB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）将，代入C2的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ＝5中求出ρ，再求出|AB|即可．
【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为：ρ＝2，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2＝4；
曲线C2的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程分别为（x﹣2）2+y2＝9；
（2）曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝5，
令，又ρ＜0，所以，
∴．
【点评】本题考查的知识要点，参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，方程的解法，三极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 长安区二模）已知函数f（x）＝|x﹣4|+|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，求证：．
【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；数学运算．
【分析】（I）f（x），再分类讨论，即可求解．
（II）先求出最小值m，再结合基本不等式的公式，即可求证．
【解答】解：（I）f（x），
当x≤2时，由f（x）≤4得6﹣2x≤4，解得x≥1，
所以1≤x≤2，
当2＜x＜4时，由f（x）≤4得2≤4，
所以2＜x＜4，
当x≥4时，由f（x）≤4得2x﹣6≤4，解得x≤5，
所以4≤x≤5，
综上所述，不等式f（x）≤4的解集为[1，5]．
（II）证明：f（x）＝|x﹣4|+|x﹣2|≥|x﹣4﹣（x﹣2）|＝2，当且仅当（x﹣4）（x﹣2）≤0，即2≤x≤4时，等号成立，
故m的值为2，
∴a+b＝2，即a+2+b＝4，
∴，
当且仅当，即a＝0，b＝2时，等号成立，
∵a，b均为正实数，
∴，即得证．
【点评】本题主要考查不等式的证明，掌握基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
4．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； logalogaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； logalogaM．
5．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
9．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
10．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
11．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵， （3，﹣4）5，∴A不成立；
对于B：∵， （﹣4，3），∴B不成立；
对于C：∵， （4，3），∴C成立；
对于D：∵， （4，﹣3），∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
12．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
13．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
14．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
15．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
16．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
17．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的知识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
18．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
19．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
20．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
21．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
22．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
23．直线与椭圆的综合
v．
24．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
25．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
26．空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数 图示
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 无
异面直线 不同时在任何一个平面内 无
27．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
28．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
29．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
30．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
31．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b a﹣b＞0；a＜b a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，1 a＞b；b＜0，1 a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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