2022年高考数学终极押题密卷(全国乙卷文科)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(全国乙卷文科)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 297.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:15:13 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国乙卷文科)
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 宜春模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x|≤1}，则 R（A∩B）＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）
C．（﹣1，1] D．[﹣1，1）
2．（5分）（2022 河南模拟）（ ）
A．2﹣3i B．3﹣3i C．2﹣2i D．3+2i
3．（5分）（2022 山西一模）已知命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q： a∈R，在定义域内是增函数．则下列命题中的真命题是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．￢（p∨q）
4．（5分）（2018 贵州模拟）函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022 江西模拟）设实数x，y满足，则z＝|2x+y|的最小值为（ ）
A．4 B．0 C． D．2
6．（5分）（2022 龙沙区校级一模）已知，且，则cos2α＝（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2021春 宜宾期末）已知函数f（x）＝x﹣1，若在区间[0，3]内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2020 全国Ⅰ卷模拟）已知函数f（x）（x＞0），若a0，则f（x）的取值范围是（ ）
A．[1，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．[﹣2，﹣1） D．（，0）
9．（5分）（2011 湖北）若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝ex，则g（x）＝（ ）
A．ex﹣e﹣x B．（ex+e﹣x） C．（e﹣x﹣ex） D．（ex﹣e﹣x）
10．（5分）（2022 宣城模拟）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1，则异面直线AD1与BB1所成角为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2020 全国Ⅰ卷模拟）已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2021 凉山州模拟）若x0是函数f（x）＝ex的极值点，则x0满足（ ）
A．lnx0＝0 B．x0﹣lnx0＝0
C．x0+lnx0＝0 D．lnx0＝0
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 道里区校级一模）已知向量，满足（λ+1，2），（1，λ），，则实数λ的值为 ．
14．（5分）（2019 秦州区校级模拟）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0的最大距离是 ．
15．（5分）（2021 开封三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）（2013 泉州一模）图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体．如果每种组合体的个数都有7个，现从总共35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成1个图1所示的魔方，则所需组合体的序号和相应的个数是 ．（提示回答形式，如2个①和3个②，只需写出一个正确答案）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2020 九龙坡区模拟）为应对新冠疫情，重庆市于2020年1月24日启动重大突发公共卫生事件一级响应机制，要求市民少出门，少聚集，于是快递业务得到迅猛发展．为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案，
甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；
乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元．
（Ⅰ）请分别求出这两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
（Ⅱ）根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：
日均派送单数 50 54 56 58 60
频数（天） 2 3 2 2 1
回答下列问题：
①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差；
②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．（参考数据：172＝289，372＝1369）
18．（12分）（2022 成都模拟）如图，在五面体ABCDE中，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形BCDE为直角梯形，DE∥BC，∠BCD＝90°，CD＝DE＝1，．
（1）若平面ADE∩平面ABC＝l，求证：DE∥l；
（2）F为线段BE上一点，若三棱锥F﹣ACD的体积为，试确定点F的位置，并说明理由．
19．（12分）（2022 泸县校级模拟）已知数列{an}为等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且a2＝3，S5＝25，数列{bn}满足a1b1+a2b2+ +anbn＝（2n﹣3）×2n+3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn，证明：c1+c2+…+cn＜6．
20．（12分）（2022 上饶一模）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求抛物线E的方程；
（2）直线l：y＝kx+1与抛物线E交于A、B两点，若以AB为直径的圆与x＝6相切，求实数k的值．
21．（12分）（2019 青岛三模）已知函数f（x）ax（lnx﹣1）（其中e＝2.718…为自然对数的底数，a∈R）．
（1）若g（x）＝f'（x），求g（x）的极值；
（2）若a＝e，证明：函数f（x）有且只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 攀枝花模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若曲线C和直线l相交于A、B两点，A、B的中点为M，点P（1，2），求|PM| |AB|．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 3月份模拟）已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x2+a|（x∈R）．
（1）若a＝1，求证：f（x）≥4；
（2）若对于任意x∈[1，2]，都有f（x）≤4，求实数a的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国乙卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 宜春模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x|≤1}，则 R（A∩B）＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）
C．（﹣1，1] D．[﹣1，1）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】分别求解一元二次不等式化简A与B，再由补集与交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤1}，
∴ R（A∩B）＝（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，是基础题．
2．（5分）（2022 河南模拟）（ ）
A．2﹣3i B．3﹣3i C．2﹣2i D．3+2i
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：2﹣3i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3．（5分）（2022 山西一模）已知命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q： a∈R，在定义域内是增函数．则下列命题中的真命题是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．￢（p∨q）
【考点】复合命题及其真假．
【专题】综合题；数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】举例x＝45°，y＝390°，可判断命题p真假；根据对数函数性质可判断命题q真假．
【解答】解：例x＝45°，y＝390°满足sinx＞siny，但不满足x＞y，所以命题p为假命题；
因为a2+2＞1，所以在定义域内是增函数，所以命题q为真命题．
所以p∧q为假命题，（￢p）∧q为真命题，p∧（￢q）为假命题，￢（p∨q）为假命题．
故选：B．
【点评】本题考查对数函数及三角函数性质、命题真假判断，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
4．（5分）（2018 贵州模拟）函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】转化思想；三角函数的图象与性质．
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质即可求解对称中心．
【解答】解：函数2sin（2x），
令2xkπ，k∈Z，
可得x，
当k＝1时，可得x，
那么图象的一个对称中心是（，0）．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
5．（5分）（2022 江西模拟）设实数x，y满足，则z＝|2x+y|的最小值为（ ）
A．4 B．0 C． D．2
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，令t＝2x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
令t＝2x+y，化为y＝﹣2x+t，由图可知，当直线y＝﹣2x+t过A（2，0）时，
直线在y轴上的截距最小，t有最小值为4．
∴z＝|2x+y|的最小值为4．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．（5分）（2022 龙沙区校级一模）已知，且，则cos2α＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由已知结合二倍角公式及同角基本关系可求tanα，再由同角基本关系及二倍角公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为，所以tanα＞0，
因为，
所以，
解得tanα，
则cos2α．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
7．（5分）（2021春 宜宾期末）已知函数f（x）＝x﹣1，若在区间[0，3]内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】求出满足f（x0）＞0的x0的范围，然后由几何概型的概率公式求解即可．
【解答】解：由f（x0）＞0，可得x0﹣1＞0，即1＜x0≤3，
所以f（x0）＞0的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查了几何概型问题，几何概型问题一般会转化为长度、面积、体积的比值进行求解，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
8．（5分）（2020 全国Ⅰ卷模拟）已知函数f（x）（x＞0），若a0，则f（x）的取值范围是（ ）
A．[1，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．[﹣2，﹣1） D．（，0）
【考点】函数的值域．
【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】依题意，a2+x2＝1，采用三角换元设a＝cosα，x＝sinα，可得，再令，可得在上为减函数，由此求出f（x）的取值范围．
【解答】解：由得，a2+x2＝1，不妨设a＝cosα，x＝sinα，其中，
则，令，，
∴在上为增函数，
∴在上为减函数，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查函数值域的求法，考查三角换元思想，属于中档题．
9．（5分）（2011 湖北）若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝ex，则g（x）＝（ ）
A．ex﹣e﹣x B．（ex+e﹣x） C．（e﹣x﹣ex） D．（ex﹣e﹣x）
【考点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数、偶函数．
【专题】计算题．
【分析】根据已知中定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝ex，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，解方程组即可得到g（x）的解析式．
【解答】解：∵f（x）为定义在R上的偶函数
∴f（﹣x）＝f（x）
又∵g（x）为定义在R上的奇函数
g（﹣x）＝﹣g（x）
由f（x）+g（x）＝ex，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝e﹣x，
∴g（x）（ex﹣e﹣x）
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，是解答本题的关键．
10．（5分）（2022 宣城模拟）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1，则异面直线AD1与BB1所成角为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】根据条件，可得异面直线AD1与BB1所成角的平面角为∠AD1D，再求解即可．
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1∥BB1，
则异面直线AD1与BB1所成角的平面角为∠AD1D，
在Rt△AD1D中，AD＝1，DD1，
则tan∠AD1D，
即∠AD1D，
所以异面直线AD1与BB1所成角为．
故选：C．
【点评】本题考查了异面直线所成角，重点考查了异面直线所成角的平面角的求法，属基础题．
11．（5分）（2020 全国Ⅰ卷模拟）已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF2|的值．
【解答】解：由题意，F1（﹣2，0），则抛物线方程为y2＝8x．
计算可得|PF1|，|PF2|＝2a．
过Q作QM⊥直线l与M，由抛物线的定义知，|QF2|＝|QM|．
∵，∴，
解得：|MQ|＝12（3﹣2）．
∴|QF2|＝|MQ|＝12（3﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
12．（5分）（2021 凉山州模拟）若x0是函数f（x）＝ex的极值点，则x0满足（ ）
A．lnx0＝0 B．x0﹣lnx0＝0
C．x0+lnx0＝0 D．lnx0＝0
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】依题意，f′(x0)＝0，可得，两边同时取自然对数得，x0+lnx0＝﹣lnx0+ln(﹣lnx0)，设g(x0)＝x0+lnx0，利用函数g(x0)的单调性，可得x0＝﹣lnx0，由此得解．
【解答】解：依题意，，且，
∴，
两边同时取自然对数得，x0+2lnx0＝ln(﹣lnx0)，即x0+lnx0＝﹣lnx0+ln(﹣lnx0)，
设g(x0)＝x0+lnx0，则g(x0)＝g(﹣lnx0)，
又，故函数g(x0)在（0，+∞）上单调递增，
∴x0＝﹣lnx0，即x0+lnx0＝0．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查运算求解能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 道里区校级一模）已知向量，满足（λ+1，2），（1，λ），，则实数λ的值为 1或﹣2 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量（共线）．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，（λ+1，2），（1，λ），
若，则有（λ+1）λ＝2，解可得λ＝1或﹣2，
故答案为：1或﹣2．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标，属于基础题．
14．（5分）（2019 秦州区校级模拟）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0的最大距离是 8 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】综合题．
【分析】把圆的方程化为标准方程后找出圆心A的坐标，求出已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的关系求出过A与已知直线垂直的直线的斜率，写出此直线的方程与圆的方程联立求出直线与圆的交点坐标，利用点到直线的距离公式找出最大距离即可．
【解答】解：把圆的方程化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，所以圆心A坐标为（2，2），而直线x+y﹣14＝0的斜率为﹣1，
则过A与直线x+y﹣14＝0垂直的直线斜率为1，直线方程为：y﹣2＝x﹣2即y＝x，
与圆方程联立得：解得或，则（5，5）到直线的距离2，
所以（﹣1，﹣1）到直线的距离最大，最大距离d8
故答案为：8
【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握圆的一些基本性质，会求直线与圆的交点坐标．
15．（5分）（2021 开封三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积为 ．
【考点】正弦定理．
【专题】方程思想；分析法；解三角形；数学运算．
【分析】根据已知条件，以及正弦定理可得，再结合余弦定理、以及三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：由正弦定理及外接圆公式可得，
，其中R为△ABC的外接圆半径，
则a＝2R sinA＝2，
由余弦定理可得，b2+c2﹣2bccosA＝a2，
则，
∵，
∴bc＝1，
则△ABC的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理，以及三角形的面积公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
16．（5分）（2013 泉州一模）图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体．如果每种组合体的个数都有7个，现从总共35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成1个图1所示的魔方，则所需组合体的序号和相应的个数是 4个③和1个⑤ ．（提示回答形式，如2个①和3个②，只需写出一个正确答案）
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】规律型；空间位置关系与距离．
【分析】利用图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体，即可得出结论．
【解答】解：根据图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体，可得4个③和1个⑤可组成魔方．
故答案为：4个③和1个⑤
【点评】本题考查简单空间图形的三视图，比较基础．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2020 九龙坡区模拟）为应对新冠疫情，重庆市于2020年1月24日启动重大突发公共卫生事件一级响应机制，要求市民少出门，少聚集，于是快递业务得到迅猛发展．为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案，
甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；
乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元．
（Ⅰ）请分别求出这两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
（Ⅱ）根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：
日均派送单数 50 54 56 58 60
频数（天） 2 3 2 2 1
回答下列问题：
①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差；
②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．（参考数据：172＝289，372＝1369）
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题；分类讨论；概率与统计；数据分析．
【分析】（1）分别列出函数表达式，乙方案需要写成分段函数．
（2）甲方案先计算出日派送单数的平均数和方差，再根据变量之间的关系可求日薪平均数和方差．乙方案，先写出日薪频数表格，依据公式计算即可．
（3）这是开放性回答，依据平均工资可以选择日薪平均数高的公司．
【解答】解：（1）甲方案，y＝100+n；乙方案，y．
（2），①甲方案中，根据已知表格可计算出日平均派送单数为，方差为0.2×（50﹣55）2+0.3×（54﹣55）2+0.2×（56﹣55）2+0.2×（58﹣55）2+0.1×（60﹣55）2＝9.8，
所以，由（1）中变量之间的关系，可以指，甲方案的日薪X的平均数为155，方差为9.8．
乙方案中，日薪X的平均数为[5×150+160×2+180×2+200]×0.1＝163，日薪方差为0.5×（150﹣163）2+0.2×（160﹣163）2+0.2×（180﹣163）2+0.1×（200﹣163）2＝213.4．
（3）若去应聘派送员，我会选择乙方案，从平均数的角度来看，乙方案的平均薪酬更高，同时更有激励作用．
【点评】本题考查了统计知识，考察了学生数据分析的能力，属于简单题．
18．（12分）（2022 成都模拟）如图，在五面体ABCDE中，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形BCDE为直角梯形，DE∥BC，∠BCD＝90°，CD＝DE＝1，．
（1）若平面ADE∩平面ABC＝l，求证：DE∥l；
（2）F为线段BE上一点，若三棱锥F﹣ACD的体积为，试确定点F的位置，并说明理由．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．
【专题】数形结合；等体积法；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由DE∥BC，得DE∥平面ABC，再由直线与平面平行的性质可得DE∥l；
（2）取BC的中点O，连接AO，EO，由已知可得CD⊥AC，结合CD⊥BC，得到CD⊥平面ABC．再证明EO∥CD，得EO⊥平面ABC，得EO⊥AO，结合AO⊥BC，可得AO⊥平面BCDE，然后利用等体积法求出点F到直线CD的距离，即可判断F是线段BE的中点．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，且DE 平面ABC，BC 平面ABC，
∴DE∥平面ABC，
又∵平面ADE∩平面ABC＝l，DE 平面ADE，
∴DE∥l；
（2）解：F是线段BE的中点．
证明如下：取BC的中点O，连接AO，EO．
∵CD2+CA2＝AD2，∴CD⊥AC，
又∵CD⊥BC，AC∩BC＝C，∴CD⊥平面ABC．
∵CO∥DE，CO＝DE，∴四边形COED是平行四边形，
∴EO∥CD，则EO⊥平面ABC，得EO⊥AO．
又∵AO⊥BC，BC∩EO＝O，∴AO⊥平面BCDE，
∵，
∴，得．
设点F到直线CD的距离为h，
由，得h．
在直角梯形BCDE中，DE＝1，BC＝2，h，
故F是线段BE的中点．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定与性质，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．
19．（12分）（2022 泸县校级模拟）已知数列{an}为等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且a2＝3，S5＝25，数列{bn}满足a1b1+a2b2+ +anbn＝（2n﹣3）×2n+3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn，证明：c1+c2+…+cn＜6．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）利用等差数列基本量代换求出an＝2n﹣1，利用前n项和的定义求出；
（2）用错位相减法求和后即可证明．
【解答】解：（1）由S5＝5a3＝25 a3＝5，又a2＝3 d＝2，
所以an＝3+（n﹣2）×2＝2n﹣1；
因为a1＝1，，
由题设n＞1时，由，
得，
所以，
得，当n＝1时也满足，
所以；
证明：（2），
记Tn是数列{cn}的前n项和，
则，①
①式同乘以得：，②
①﹣②得：，
所以，
因为n∈N*，所以，
所以．即证．
【点评】本题考查了数列的通项公式和错位相减求和，属于中档题．
20．（12分）（2022 上饶一模）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求抛物线E的方程；
（2）直线l：y＝kx+1与抛物线E交于A、B两点，若以AB为直径的圆与x＝6相切，求实数k的值．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的性质．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）根据抛物线的性质可得p＝2，即可求得抛物线方程；
（2）将直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|，中点坐标公式求得AB的中点M，根据题意可知，即可求得k的值．
【解答】解：（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以p＝2，
所以抛物线E的方程为x2＝4y；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得x2﹣4ky﹣4＝0，
Δ＝16k2+16＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
所以，
设线段AB的中点M（2k，2k2+1），
又因为以AB为直径的圆与x＝6相切，
所以，即|3﹣k|＝k2+1，
当3﹣k≥0时，k2+k﹣2＝0，解得k＝﹣2或k＝1，
当3﹣k＜0时，k2﹣k+4＝0，无解，
所以k＝﹣2或k＝1．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2019 青岛三模）已知函数f（x）ax（lnx﹣1）（其中e＝2.718…为自然对数的底数，a∈R）．
（1）若g（x）＝f'（x），求g（x）的极值；
（2）若a＝e，证明：函数f（x）有且只有一个零点．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；分类讨论；分类法；导数的综合应用．
【分析】（1）对a分情况讨论，利用求导判断函数的单调性，从而求出极值；
（2）二次求导，判断出函数的单调性，证明二次导数的极小值恒≥0，则原函数是单调递增的，从而表示出只有一个零点．
【解答】解：（1）∵g（x）＝f′（x）＝x﹣alnx，∴g′（x）＝1；
①当a≤0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）无极值；
②当a＞0时，令g′（x）＝0 x＝a；令g′（x）＞0 x＞a；令g′（x）＜0 x＜a；
∴g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；
∴g（x）的极小值为g（a）＝a﹣alna，无极大值．
（2）当a＝e时，f′（x）＝x﹣elnx；令h（x）＝x﹣elnx，∴h′（x）＝1；
令h′（x）＝0 x＝e；令h′（x）＞0 x＞e；令h′（x）＜0 x＜e；
∴h（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增；
∴h（x）的最小值为h（e）＝e﹣e＝0，即f′（x）≥h（e）＝0；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
又∵f（e）＝0，
∴f（x）有且只有一个零点e．
【点评】本题主要考查函数的概念与性质和导数在研究函数中的应用，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 攀枝花模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若曲线C和直线l相交于A、B两点，A、B的中点为M，点P（1，2），求|PM| |AB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x﹣y+1＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，根据，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4；
（2）经过点P（1，2）的直线的参数方程为（t为参数），代入x2+（y﹣2）2＝4，
得到：；故；t1t2＝﹣3；
所以，，
所以|PM| |AB|．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 3月份模拟）已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x2+a|（x∈R）．
（1）若a＝1，求证：f（x）≥4；
（2）若对于任意x∈[1，2]，都有f（x）≤4，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，结合绝对值不等式的公式，即可求证．
（2）根据已知条件可得，﹣x2﹣2x≤a≤﹣x2+2x，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】证明：（1）f（x）＝|2x﹣4|+|x2+1|≥|x2﹣2x+5|，
∵x2﹣2x+5≥4，
∴f（x）≥4．
（2）当x∈[1，2]时，f（x）＝4﹣2x+|x2+a|，
∵f（x）≤4，
∴﹣x2﹣2x≤a≤﹣x2+2x，
设h（x）＝﹣x2﹣2x，g（x）＝﹣x2+2x，
对任意x∈[1，2]，都有f（x）≤4，
故h（x）max≤a≤g（x）min，
∵在区间[1，2]上，h（x）max＝h（1）＝﹣3，g（x）min＝g（2）＝0，
∴﹣3≤a≤0，
故实数a的取值范围为[﹣3，0]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的求解，考查恒成立问题，属于中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关 键 词 等 于 （＝） 大 于 （＞） 小 于 （＜） 是 能 都 是 没 有 至 多 有 一 个 至 少 有 一 个 至 少 有 n 个 至 多 有 n 个 任 意 的 任 两 个 P 且 Q P 或 Q
否 定 词 不 等 于 （≠） 不 大 于 （≤） 不 小 于 （≥） 不 是 不 能 不 都 是 至 少 有 一 个 至 少 有 两 个 一 个 都 没 有 至 多 有 n﹣1 个 至 少 有 n+1 个 某 个 某 两 个 P 或 Q P 且 Q
若原命题P为真，则 P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
3．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．
4．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
例1：已知曲线y＝x2+2x在点（1，f（1））处的切线为l．求l的方程．
解：∵y＝x2+2x，
∴y'＝2x+2，当x＝1时，y'＝4得切线的斜率为4，所以k＝4；
所以曲线在点（1，3）处的切线方程为：
y﹣3＝4×（x﹣1），即4x﹣y﹣1＝0．
故l的方程为：4x﹣y﹣1＝0
我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的一个点，用点斜式即可求出．（当然还有其他的，比方说截距式）
例2：若函数y＝f（x）与y＝ex+1的图象关于直线y＝x对称，则f（x）＝
解：函数y＝ex+1的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以f（x）是y＝ex+1的反函数，
x＝lny﹣1（y＞0）
即f（x）＝lnx﹣1，（x＞0）
故答案为：lnx﹣1，（x＞0）
本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于y＝x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
5．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
8．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
9．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
10．平行向量（共线）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1 y2﹣x2 y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ＝ ﹣0.5 ．
解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得k（）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
11．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的知识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
14．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
15．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
16．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
17．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．点到直线的距离公式
【知识点的知识】
从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d．
【例题解析】
例：过点P（1，1）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程．
解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，
当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k1，
故直线方程为y﹣1＝（x﹣1），即x﹣y＝0；
当直线过AB的中点（3，4）时，斜率为k，
故直线方程为y﹣1（x﹣1），即3x﹣2y﹣1＝0；
故答案为：x﹣y＝0或3x﹣2y﹣1＝0．
这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题．
【考点分析】
正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离．
19．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
20．圆锥曲线的综合
【知识点的知识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c a2+b2＝c2
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±1 ±1
21．直线与抛物线的综合
v．
22．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
23．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
24．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
25．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
26．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
27．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
28．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 宜春模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x|≤1}，则 R（A∩B）＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）
C．（﹣1，1] D．[﹣1，1）
2．（5分）（2022 河南模拟）（ ）
A．2﹣3i B．3﹣3i C．2﹣2i D．3+2i
3．（5分）（2022 山西一模）已知命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q： a∈R，在定义域内是增函数．则下列命题中的真命题是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．￢（p∨q）
4．（5分）（2018 贵州模拟）函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022 江西模拟）设实数x，y满足，则z＝|2x+y|的最小值为（ ）
A．4 B．0 C． D．2
6．（5分）（2022 龙沙区校级一模）已知，且，则cos2α＝（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2021春 宜宾期末）已知函数f（x）＝x﹣1，若在区间[0，3]内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2020 全国Ⅰ卷模拟）已知函数f（x）（x＞0），若a0，则f（x）的取值范围是（ ）
A．[1，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．[﹣2，﹣1） D．（，0）
9．（5分）（2011 湖北）若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝ex，则g（x）＝（ ）
A．ex﹣e﹣x B．（ex+e﹣x） C．（e﹣x﹣ex） D．（ex﹣e﹣x）
10．（5分）（2022 宣城模拟）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1，则异面直线AD1与BB1所成角为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2020 全国Ⅰ卷模拟）已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2021 凉山州模拟）若x0是函数f（x）＝ex的极值点，则x0满足（ ）
A．lnx0＝0 B．x0﹣lnx0＝0
C．x0+lnx0＝0 D．lnx0＝0
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 道里区校级一模）已知向量，满足（λ+1，2），（1，λ），，则实数λ的值为 ．
14．（5分）（2019 秦州区校级模拟）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0的最大距离是 ．
15．（5分）（2021 开封三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）（2013 泉州一模）图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体．如果每种组合体的个数都有7个，现从总共35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成1个图1所示的魔方，则所需组合体的序号和相应的个数是 ．（提示回答形式，如2个①和3个②，只需写出一个正确答案）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2020 九龙坡区模拟）为应对新冠疫情，重庆市于2020年1月24日启动重大突发公共卫生事件一级响应机制，要求市民少出门，少聚集，于是快递业务得到迅猛发展．为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案，
甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；
乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元．
（Ⅰ）请分别求出这两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
（Ⅱ）根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：
日均派送单数 50 54 56 58 60
频数（天） 2 3 2 2 1
回答下列问题：
①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差；
②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．（参考数据：172＝289，372＝1369）
18．（12分）（2022 成都模拟）如图，在五面体ABCDE中，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形BCDE为直角梯形，DE∥BC，∠BCD＝90°，CD＝DE＝1，．
（1）若平面ADE∩平面ABC＝l，求证：DE∥l；
（2）F为线段BE上一点，若三棱锥F﹣ACD的体积为，试确定点F的位置，并说明理由．
19．（12分）（2022 泸县校级模拟）已知数列{an}为等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且a2＝3，S5＝25，数列{bn}满足a1b1+a2b2+ +anbn＝（2n﹣3）×2n+3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn，证明：c1+c2+…+cn＜6．
20．（12分）（2022 上饶一模）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求抛物线E的方程；
（2）直线l：y＝kx+1与抛物线E交于A、B两点，若以AB为直径的圆与x＝6相切，求实数k的值．
21．（12分）（2019 青岛三模）已知函数f（x）ax（lnx﹣1）（其中e＝2.718…为自然对数的底数，a∈R）．
（1）若g（x）＝f'（x），求g（x）的极值；
（2）若a＝e，证明：函数f（x）有且只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 攀枝花模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若曲线C和直线l相交于A、B两点，A、B的中点为M，点P（1，2），求|PM| |AB|．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 3月份模拟）已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x2+a|（x∈R）．
（1）若a＝1，求证：f（x）≥4；
（2）若对于任意x∈[1，2]，都有f（x）≤4，求实数a的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国乙卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 宜春模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x|≤1}，则 R（A∩B）＝（ ）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）
C．（﹣1，1] D．[﹣1，1）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】分别求解一元二次不等式化简A与B，再由补集与交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤1}，
∴ R（A∩B）＝（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，是基础题．
2．（5分）（2022 河南模拟）（ ）
A．2﹣3i B．3﹣3i C．2﹣2i D．3+2i
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：2﹣3i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3．（5分）（2022 山西一模）已知命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q： a∈R，在定义域内是增函数．则下列命题中的真命题是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．￢（p∨q）
【考点】复合命题及其真假．
【专题】综合题；数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】举例x＝45°，y＝390°，可判断命题p真假；根据对数函数性质可判断命题q真假．
【解答】解：例x＝45°，y＝390°满足sinx＞siny，但不满足x＞y，所以命题p为假命题；
因为a2+2＞1，所以在定义域内是增函数，所以命题q为真命题．
所以p∧q为假命题，（￢p）∧q为真命题，p∧（￢q）为假命题，￢（p∨q）为假命题．
故选：B．
【点评】本题考查对数函数及三角函数性质、命题真假判断，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
4．（5分）（2018 贵州模拟）函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】转化思想；三角函数的图象与性质．
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质即可求解对称中心．
【解答】解：函数2sin（2x），
令2xkπ，k∈Z，
可得x，
当k＝1时，可得x，
那么图象的一个对称中心是（，0）．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
5．（5分）（2022 江西模拟）设实数x，y满足，则z＝|2x+y|的最小值为（ ）
A．4 B．0 C． D．2
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，令t＝2x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
令t＝2x+y，化为y＝﹣2x+t，由图可知，当直线y＝﹣2x+t过A（2，0）时，
直线在y轴上的截距最小，t有最小值为4．
∴z＝|2x+y|的最小值为4．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．（5分）（2022 龙沙区校级一模）已知，且，则cos2α＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由已知结合二倍角公式及同角基本关系可求tanα，再由同角基本关系及二倍角公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为，所以tanα＞0，
因为，
所以，
解得tanα，
则cos2α．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
7．（5分）（2021春 宜宾期末）已知函数f（x）＝x﹣1，若在区间[0，3]内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】求出满足f（x0）＞0的x0的范围，然后由几何概型的概率公式求解即可．
【解答】解：由f（x0）＞0，可得x0﹣1＞0，即1＜x0≤3，
所以f（x0）＞0的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查了几何概型问题，几何概型问题一般会转化为长度、面积、体积的比值进行求解，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
8．（5分）（2020 全国Ⅰ卷模拟）已知函数f（x）（x＞0），若a0，则f（x）的取值范围是（ ）
A．[1，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．[﹣2，﹣1） D．（，0）
【考点】函数的值域．
【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】依题意，a2+x2＝1，采用三角换元设a＝cosα，x＝sinα，可得，再令，可得在上为减函数，由此求出f（x）的取值范围．
【解答】解：由得，a2+x2＝1，不妨设a＝cosα，x＝sinα，其中，
则，令，，
∴在上为增函数，
∴在上为减函数，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查函数值域的求法，考查三角换元思想，属于中档题．
9．（5分）（2011 湖北）若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝ex，则g（x）＝（ ）
A．ex﹣e﹣x B．（ex+e﹣x） C．（e﹣x﹣ex） D．（ex﹣e﹣x）
【考点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数、偶函数．
【专题】计算题．
【分析】根据已知中定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝ex，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，解方程组即可得到g（x）的解析式．
【解答】解：∵f（x）为定义在R上的偶函数
∴f（﹣x）＝f（x）
又∵g（x）为定义在R上的奇函数
g（﹣x）＝﹣g（x）
由f（x）+g（x）＝ex，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝e﹣x，
∴g（x）（ex﹣e﹣x）
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，是解答本题的关键．
10．（5分）（2022 宣城模拟）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1，则异面直线AD1与BB1所成角为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】根据条件，可得异面直线AD1与BB1所成角的平面角为∠AD1D，再求解即可．
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1∥BB1，
则异面直线AD1与BB1所成角的平面角为∠AD1D，
在Rt△AD1D中，AD＝1，DD1，
则tan∠AD1D，
即∠AD1D，
所以异面直线AD1与BB1所成角为．
故选：C．
【点评】本题考查了异面直线所成角，重点考查了异面直线所成角的平面角的求法，属基础题．
11．（5分）（2020 全国Ⅰ卷模拟）已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF2|的值．
【解答】解：由题意，F1（﹣2，0），则抛物线方程为y2＝8x．
计算可得|PF1|，|PF2|＝2a．
过Q作QM⊥直线l与M，由抛物线的定义知，|QF2|＝|QM|．
∵，∴，
解得：|MQ|＝12（3﹣2）．
∴|QF2|＝|MQ|＝12（3﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
12．（5分）（2021 凉山州模拟）若x0是函数f（x）＝ex的极值点，则x0满足（ ）
A．lnx0＝0 B．x0﹣lnx0＝0
C．x0+lnx0＝0 D．lnx0＝0
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】依题意，f′(x0)＝0，可得，两边同时取自然对数得，x0+lnx0＝﹣lnx0+ln(﹣lnx0)，设g(x0)＝x0+lnx0，利用函数g(x0)的单调性，可得x0＝﹣lnx0，由此得解．
【解答】解：依题意，，且，
∴，
两边同时取自然对数得，x0+2lnx0＝ln(﹣lnx0)，即x0+lnx0＝﹣lnx0+ln(﹣lnx0)，
设g(x0)＝x0+lnx0，则g(x0)＝g(﹣lnx0)，
又，故函数g(x0)在（0，+∞）上单调递增，
∴x0＝﹣lnx0，即x0+lnx0＝0．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查运算求解能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 道里区校级一模）已知向量，满足（λ+1，2），（1，λ），，则实数λ的值为 1或﹣2 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量（共线）．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，（λ+1，2），（1，λ），
若，则有（λ+1）λ＝2，解可得λ＝1或﹣2，
故答案为：1或﹣2．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标，属于基础题．
14．（5分）（2019 秦州区校级模拟）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0的最大距离是 8 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】综合题．
【分析】把圆的方程化为标准方程后找出圆心A的坐标，求出已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的关系求出过A与已知直线垂直的直线的斜率，写出此直线的方程与圆的方程联立求出直线与圆的交点坐标，利用点到直线的距离公式找出最大距离即可．
【解答】解：把圆的方程化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，所以圆心A坐标为（2，2），而直线x+y﹣14＝0的斜率为﹣1，
则过A与直线x+y﹣14＝0垂直的直线斜率为1，直线方程为：y﹣2＝x﹣2即y＝x，
与圆方程联立得：解得或，则（5，5）到直线的距离2，
所以（﹣1，﹣1）到直线的距离最大，最大距离d8
故答案为：8
【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握圆的一些基本性质，会求直线与圆的交点坐标．
15．（5分）（2021 开封三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积为 ．
【考点】正弦定理．
【专题】方程思想；分析法；解三角形；数学运算．
【分析】根据已知条件，以及正弦定理可得，再结合余弦定理、以及三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：由正弦定理及外接圆公式可得，
，其中R为△ABC的外接圆半径，
则a＝2R sinA＝2，
由余弦定理可得，b2+c2﹣2bccosA＝a2，
则，
∵，
∴bc＝1，
则△ABC的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理，以及三角形的面积公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
16．（5分）（2013 泉州一模）图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体．如果每种组合体的个数都有7个，现从总共35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成1个图1所示的魔方，则所需组合体的序号和相应的个数是 4个③和1个⑤ ．（提示回答形式，如2个①和3个②，只需写出一个正确答案）
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】规律型；空间位置关系与距离．
【分析】利用图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体，即可得出结论．
【解答】解：根据图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体，可得4个③和1个⑤可组成魔方．
故答案为：4个③和1个⑤
【点评】本题考查简单空间图形的三视图，比较基础．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2020 九龙坡区模拟）为应对新冠疫情，重庆市于2020年1月24日启动重大突发公共卫生事件一级响应机制，要求市民少出门，少聚集，于是快递业务得到迅猛发展．为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案，
甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；
乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元．
（Ⅰ）请分别求出这两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
（Ⅱ）根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：
日均派送单数 50 54 56 58 60
频数（天） 2 3 2 2 1
回答下列问题：
①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差；
②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．（参考数据：172＝289，372＝1369）
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题；分类讨论；概率与统计；数据分析．
【分析】（1）分别列出函数表达式，乙方案需要写成分段函数．
（2）甲方案先计算出日派送单数的平均数和方差，再根据变量之间的关系可求日薪平均数和方差．乙方案，先写出日薪频数表格，依据公式计算即可．
（3）这是开放性回答，依据平均工资可以选择日薪平均数高的公司．
【解答】解：（1）甲方案，y＝100+n；乙方案，y．
（2），①甲方案中，根据已知表格可计算出日平均派送单数为，方差为0.2×（50﹣55）2+0.3×（54﹣55）2+0.2×（56﹣55）2+0.2×（58﹣55）2+0.1×（60﹣55）2＝9.8，
所以，由（1）中变量之间的关系，可以指，甲方案的日薪X的平均数为155，方差为9.8．
乙方案中，日薪X的平均数为[5×150+160×2+180×2+200]×0.1＝163，日薪方差为0.5×（150﹣163）2+0.2×（160﹣163）2+0.2×（180﹣163）2+0.1×（200﹣163）2＝213.4．
（3）若去应聘派送员，我会选择乙方案，从平均数的角度来看，乙方案的平均薪酬更高，同时更有激励作用．
【点评】本题考查了统计知识，考察了学生数据分析的能力，属于简单题．
18．（12分）（2022 成都模拟）如图，在五面体ABCDE中，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形BCDE为直角梯形，DE∥BC，∠BCD＝90°，CD＝DE＝1，．
（1）若平面ADE∩平面ABC＝l，求证：DE∥l；
（2）F为线段BE上一点，若三棱锥F﹣ACD的体积为，试确定点F的位置，并说明理由．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．
【专题】数形结合；等体积法；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由DE∥BC，得DE∥平面ABC，再由直线与平面平行的性质可得DE∥l；
（2）取BC的中点O，连接AO，EO，由已知可得CD⊥AC，结合CD⊥BC，得到CD⊥平面ABC．再证明EO∥CD，得EO⊥平面ABC，得EO⊥AO，结合AO⊥BC，可得AO⊥平面BCDE，然后利用等体积法求出点F到直线CD的距离，即可判断F是线段BE的中点．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，且DE 平面ABC，BC 平面ABC，
∴DE∥平面ABC，
又∵平面ADE∩平面ABC＝l，DE 平面ADE，
∴DE∥l；
（2）解：F是线段BE的中点．
证明如下：取BC的中点O，连接AO，EO．
∵CD2+CA2＝AD2，∴CD⊥AC，
又∵CD⊥BC，AC∩BC＝C，∴CD⊥平面ABC．
∵CO∥DE，CO＝DE，∴四边形COED是平行四边形，
∴EO∥CD，则EO⊥平面ABC，得EO⊥AO．
又∵AO⊥BC，BC∩EO＝O，∴AO⊥平面BCDE，
∵，
∴，得．
设点F到直线CD的距离为h，
由，得h．
在直角梯形BCDE中，DE＝1，BC＝2，h，
故F是线段BE的中点．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定与性质，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．
19．（12分）（2022 泸县校级模拟）已知数列{an}为等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且a2＝3，S5＝25，数列{bn}满足a1b1+a2b2+ +anbn＝（2n﹣3）×2n+3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn，证明：c1+c2+…+cn＜6．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）利用等差数列基本量代换求出an＝2n﹣1，利用前n项和的定义求出；
（2）用错位相减法求和后即可证明．
【解答】解：（1）由S5＝5a3＝25 a3＝5，又a2＝3 d＝2，
所以an＝3+（n﹣2）×2＝2n﹣1；
因为a1＝1，，
由题设n＞1时，由，
得，
所以，
得，当n＝1时也满足，
所以；
证明：（2），
记Tn是数列{cn}的前n项和，
则，①
①式同乘以得：，②
①﹣②得：，
所以，
因为n∈N*，所以，
所以．即证．
【点评】本题考查了数列的通项公式和错位相减求和，属于中档题．
20．（12分）（2022 上饶一模）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求抛物线E的方程；
（2）直线l：y＝kx+1与抛物线E交于A、B两点，若以AB为直径的圆与x＝6相切，求实数k的值．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的性质．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）根据抛物线的性质可得p＝2，即可求得抛物线方程；
（2）将直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|，中点坐标公式求得AB的中点M，根据题意可知，即可求得k的值．
【解答】解：（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以p＝2，
所以抛物线E的方程为x2＝4y；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得x2﹣4ky﹣4＝0，
Δ＝16k2+16＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
所以，
设线段AB的中点M（2k，2k2+1），
又因为以AB为直径的圆与x＝6相切，
所以，即|3﹣k|＝k2+1，
当3﹣k≥0时，k2+k﹣2＝0，解得k＝﹣2或k＝1，
当3﹣k＜0时，k2﹣k+4＝0，无解，
所以k＝﹣2或k＝1．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2019 青岛三模）已知函数f（x）ax（lnx﹣1）（其中e＝2.718…为自然对数的底数，a∈R）．
（1）若g（x）＝f'（x），求g（x）的极值；
（2）若a＝e，证明：函数f（x）有且只有一个零点．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；分类讨论；分类法；导数的综合应用．
【分析】（1）对a分情况讨论，利用求导判断函数的单调性，从而求出极值；
（2）二次求导，判断出函数的单调性，证明二次导数的极小值恒≥0，则原函数是单调递增的，从而表示出只有一个零点．
【解答】解：（1）∵g（x）＝f′（x）＝x﹣alnx，∴g′（x）＝1；
①当a≤0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）无极值；
②当a＞0时，令g′（x）＝0 x＝a；令g′（x）＞0 x＞a；令g′（x）＜0 x＜a；
∴g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；
∴g（x）的极小值为g（a）＝a﹣alna，无极大值．
（2）当a＝e时，f′（x）＝x﹣elnx；令h（x）＝x﹣elnx，∴h′（x）＝1；
令h′（x）＝0 x＝e；令h′（x）＞0 x＞e；令h′（x）＜0 x＜e；
∴h（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增；
∴h（x）的最小值为h（e）＝e﹣e＝0，即f′（x）≥h（e）＝0；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
又∵f（e）＝0，
∴f（x）有且只有一个零点e．
【点评】本题主要考查函数的概念与性质和导数在研究函数中的应用，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 攀枝花模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若曲线C和直线l相交于A、B两点，A、B的中点为M，点P（1，2），求|PM| |AB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x﹣y+1＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，根据，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4；
（2）经过点P（1，2）的直线的参数方程为（t为参数），代入x2+（y﹣2）2＝4，
得到：；故；t1t2＝﹣3；
所以，，
所以|PM| |AB|．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 3月份模拟）已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x2+a|（x∈R）．
（1）若a＝1，求证：f（x）≥4；
（2）若对于任意x∈[1，2]，都有f（x）≤4，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，结合绝对值不等式的公式，即可求证．
（2）根据已知条件可得，﹣x2﹣2x≤a≤﹣x2+2x，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】证明：（1）f（x）＝|2x﹣4|+|x2+1|≥|x2﹣2x+5|，
∵x2﹣2x+5≥4，
∴f（x）≥4．
（2）当x∈[1，2]时，f（x）＝4﹣2x+|x2+a|，
∵f（x）≤4，
∴﹣x2﹣2x≤a≤﹣x2+2x，
设h（x）＝﹣x2﹣2x，g（x）＝﹣x2+2x，
对任意x∈[1，2]，都有f（x）≤4，
故h（x）max≤a≤g（x）min，
∵在区间[1，2]上，h（x）max＝h（1）＝﹣3，g（x）min＝g（2）＝0，
∴﹣3≤a≤0，
故实数a的取值范围为[﹣3，0]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的求解，考查恒成立问题，属于中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关 键 词 等 于 （＝） 大 于 （＞） 小 于 （＜） 是 能 都 是 没 有 至 多 有 一 个 至 少 有 一 个 至 少 有 n 个 至 多 有 n 个 任 意 的 任 两 个 P 且 Q P 或 Q
否 定 词 不 等 于 （≠） 不 大 于 （≤） 不 小 于 （≥） 不 是 不 能 不 都 是 至 少 有 一 个 至 少 有 两 个 一 个 都 没 有 至 多 有 n﹣1 个 至 少 有 n+1 个 某 个 某 两 个 P 或 Q P 且 Q
若原命题P为真，则 P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
3．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．
4．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
例1：已知曲线y＝x2+2x在点（1，f（1））处的切线为l．求l的方程．
解：∵y＝x2+2x，
∴y'＝2x+2，当x＝1时，y'＝4得切线的斜率为4，所以k＝4；
所以曲线在点（1，3）处的切线方程为：
y﹣3＝4×（x﹣1），即4x﹣y﹣1＝0．
故l的方程为：4x﹣y﹣1＝0
我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的一个点，用点斜式即可求出．（当然还有其他的，比方说截距式）
例2：若函数y＝f（x）与y＝ex+1的图象关于直线y＝x对称，则f（x）＝
解：函数y＝ex+1的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以f（x）是y＝ex+1的反函数，
x＝lny﹣1（y＞0）
即f（x）＝lnx﹣1，（x＞0）
故答案为：lnx﹣1，（x＞0）
本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于y＝x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
5．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
8．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
9．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
10．平行向量（共线）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1 y2﹣x2 y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ＝ ﹣0.5 ．
解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得k（）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
11．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的知识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
14．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
15．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
16．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
17．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．点到直线的距离公式
【知识点的知识】
从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d．
【例题解析】
例：过点P（1，1）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程．
解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，
当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k1，
故直线方程为y﹣1＝（x﹣1），即x﹣y＝0；
当直线过AB的中点（3，4）时，斜率为k，
故直线方程为y﹣1（x﹣1），即3x﹣2y﹣1＝0；
故答案为：x﹣y＝0或3x﹣2y﹣1＝0．
这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题．
【考点分析】
正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离．
19．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
20．圆锥曲线的综合
【知识点的知识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c a2+b2＝c2
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±1 ±1
21．直线与抛物线的综合
v．
22．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
23．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
24．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
25．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
26．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
27．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
28．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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