2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅱ)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅱ)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 426.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:15:46 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷2 (新高考Ⅱ)
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 嘉兴二模）已知z（1﹣i）＝3﹣i（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）（2022 湖北二模）设A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣x＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
3．（5分）（2022 河南模拟）已知点A为抛物线y2＝4x上的动点，以点A为圆心的圆M与y轴相切，抛物线的焦点为F，线段AF与圆M相交于点P，则|PF|＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
4．（5分）（2022 黄山模拟）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝3AF，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14，则棱台的高度为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
6．（5分）（2021 福建模拟）现用甲、乙两台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这两台3D打印设备在正常工作状态下打印出的零件内径尺寸Z（单位：μm）服从正态分布N（100，32）．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，两台设备各试打了5个零件，零件内径尺寸（单位：μm）如茎叶图所示，根据以上信息，可以判断（ ）
A．甲、乙两台设备都需要进一步调试
B．甲、乙两台设备都不需要进一步调试
C．甲需要进一步调试，乙不需要进一步调试
D．乙需要进一步调试，甲不需要进一步调试
7．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知实数a＝log23，，c＝log32，则这三个数的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
8．（5分）（2022 贵州模拟）若f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，则f（2022）＝（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 苏州模拟）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的方差 D．x1，x2，…，xn的中位数
（多选）10．（5分）（2022 新高考卷模拟）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（ ）
A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD
（多选）11．（5分）（2022 新高考卷模拟）已知两平行直线l1：x﹣2y﹣2＝0与l2：2x﹣ay+5＝0，直线l1与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）相切，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为4
B．两平行直线间的距离为
C．r的值为
D．直线l2截圆所得的弦长为
（多选）12．（5分）（2021 武进区校级模拟）素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛．1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名．
4 7 10 13 16 19 …
7 12 17 22 27 32 …
10 17 24 31 38 45 …
13 22 31 40 49 58 …
16 27 38 49 60 71 …
19 32 45 58 71 84 …
… … … … … … …
该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在数阵中，则2n+1一定是合数，反之如果正整数n不在数阵中，则2n+1一定是素数，下面结论中正确的是（ ）
A．第4行第10列的数为94
B．第7行的数公差为15
C．592不会出现在此数阵中
D．第10列中前10行的数之和为1255
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 安徽模拟）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ．
14．（5分）（2022 渭南二模）写出一个同时满足以下三个条件的函数f（x）＝ ．
①f（x）是偶函数；
②f（x）的值域为R；
③f（x）在（0，+∞）上递增．
15．（5分）（2022 宁波模拟）在△ABC中，点O、点H分别为△ABC的外心和垂心，|AB|＝5，|AC|＝3，则 ．
16．（5分）（2022 自贡模拟）已知函数，在曲线y＝f（x）上总存在两点P（x1，y1），Q（x2，y2），使得曲线在P，Q两点处的切线平行，则x1+x2的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 全国二模）已知等差数列{an}公差不为零，a1+a2+a3＝a5，a2a3＝a8，数列{bn}各项均为正数，b1＝1，bn2﹣3bn+12＝2bnbn+1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若6≥an恒成立，求实数λ的最小值．
18．（12分）（2022 柳州三模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
19．（12分）（2022 萍乡二模）如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，△BCD为正三角形，且AC＝BC＝2ED＝2．
（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；
（2）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
20．（12分）（2022 江苏模拟）已知椭圆的右顶点为A（2，0），右焦点F到右准线l的距离为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N．证明：直线MN经过定点．
21．（12分）（2022 湖北模拟）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余．江河不可障，飒沓入敌虚．”将矩形棋盘视作坐标系xOy，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从（x，y）移动到（x±1，y±2）或（x±2，y±1）．
（1）若棋盘的右上角为（4，4），马从（0，0）处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率．
（2）若棋盘的右上角为（16，15），马从（1，0）处出发，每一步仅向+x，+y方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段y＝x﹣1（2≤x≤16）上次数X的数学期望．
22．（12分）（2022 攀枝花模拟）已知函数f（x）＝（x2﹣m）ex（m∈R）在（0，f（0））处的切线斜率为﹣3（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）设f'（x）为f（x）的导函数，函数仅有一个零点，求实数a的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷2 (新高考Ⅱ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 嘉兴二模）已知z（1﹣i）＝3﹣i（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
【解答】解：∵z（1﹣i）＝3﹣i，
∴2+i，
∴，
∴复数在复平面内对应的点（2，﹣1）位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
2．（5分）（2022 湖北二模）设A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣x＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】解不等式求出B，求出A的补集，求出（ RA）∩B即可．
【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴（ RA）∩B＝{x|x≤1}∩{x|﹣1＜x＜3}＝{x|﹣1＜x≤1}，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，是基础题．
3．（5分）（2022 河南模拟）已知点A为抛物线y2＝4x上的动点，以点A为圆心的圆M与y轴相切，抛物线的焦点为F，线段AF与圆M相交于点P，则|PF|＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【考点】抛物线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．
【解答】解：点A为抛物线y2＝4x上的动点，以点A为圆心的圆M与y轴相切，抛物线的焦点为F，线段AF与圆M相交于点P，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，圆与抛物线的位置关系的应用，是基础题．
4．（5分）（2022 黄山模拟）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝3AF，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形中的几何计算；类比推理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】根据几何概型的概率公式，求出△DEF和△AFC的面积，计算所求的概率值．
【解答】解：由题意，∠DFE，∴∠AFC＝π，
DF＝3AF，∴CF＝4AF，由余弦定理可得AC2＝AF2+CF2﹣2AF CFcos，
∴AC2＝21AF2，
∴，
∴1，∴图中阴影部分与空白部分面积之比为．
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型的概率，以及余弦定理，三角形的面积，考查计算能力，属于基础题．
5．（5分）若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14，则棱台的高度为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱台的结构特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】由题意，利用正四棱台的体积公式求得斜高与上、下底面边长，进而可以求得结论．
【解答】解：由题意，设正四棱台的斜高与上、下底面边长分别为5x，2x，8x，高为h，则
（4x2+64x2）h＝14，解得x，
∴斜高与上、下底面边长分别为5，2，8，
∴有h2（5）2，
即h2，h3＝8，
∴h＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了学生的空间想象力及对正四棱台的结构特征的认识，属于中档题．
6．（5分）（2021 福建模拟）现用甲、乙两台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这两台3D打印设备在正常工作状态下打印出的零件内径尺寸Z（单位：μm）服从正态分布N（100，32）．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，两台设备各试打了5个零件，零件内径尺寸（单位：μm）如茎叶图所示，根据以上信息，可以判断（ ）
A．甲、乙两台设备都需要进一步调试
B．甲、乙两台设备都不需要进一步调试
C．甲需要进一步调试，乙不需要进一步调试
D．乙需要进一步调试，甲不需要进一步调试
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；茎叶图．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据茎叶图分布计算甲，乙的平均值以及标准差，再根据已知以及正态分布曲线的性质判断即可．
【解答】解：由题意可得正常状态下服从正态分布N（100，32），
则平均值μ＝100，标准差σ＝3，
根据茎叶图可得μ甲，
，
根据3σ的原则，Z服从正态分布N（100，22），P（μ﹣36＜Z＜μ+36）＝0.9974，
即内径在（94，106）之外的概率为0.0026，即甲不需要调试，
，
，
根据3σ原则，Z服从正态分布N（98.4，24.642），
P（μ﹣6＜Z＜μ+6）＝0.6826，内径在（73.76，123.04）外概率为0.3174，即乙需要调试，
故选：D．
【点评】本题考查了正态分布的分布曲线的性质，考查了茎叶图的应用以及学生的运算能力，属于基础题．
7．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知实数a＝log23，，c＝log32，则这三个数的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵，∴a，
∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴0＜c＜1，
又∵b，∴1＜b，
∴a＞b＞c，
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
8．（5分）（2022 贵州模拟）若f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，则f（2022）＝（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得f（2022）＝f（﹣2），结合函数的对称性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若f（x+2）为奇函数，则f（x）关于点（2，0）对称，即f（﹣x）＝﹣f（4+x）且f（2）＝0，
又由f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
则有f（x+4）＝﹣f（x），变形可得f（x+8）＝f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，
f（2022）＝f（﹣2+253×8）＝f（﹣2）＝f（2）＝0，
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 苏州模拟）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的方差 D．x1，x2，…，xn的中位数
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】利用平均数、标准差、方差、中位数的定义和意义直接求解．
【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，
故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在C中，方差能反映一个数据集的离散程度，故C可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，
故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．
故选：BC．
【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、方差、中位数的定义和意义的合理运用．
（多选）10．（5分）（2022 新高考卷模拟）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（ ）
A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD
【考点】直线与平面垂直．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．
【分析】由线面垂直的判定和性质，结合直角三角形的性质可判断A、B；由直角三角形的性质可判断C、D．
【解答】解：设AB＝BC＝1，则AC，CD，AD，
若CD⊥AB，又AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD，则AB⊥BD，符合AB＜AD，故A可能成立；
若BC⊥AD，又AD⊥CD，可得AD⊥平面BCD，则AD⊥BD，
AB为直角三角形ABD的斜边，而AB＜AD，故B不可能成立；
若BD⊥AB，则AB＜AD，故C可能成立；
若BC⊥CD，则BD为直角三角形BCD的斜边，由于BD的长不确定，故D可能成立．
故选：ACD．
【点评】本题考查线面垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）（2022 新高考卷模拟）已知两平行直线l1：x﹣2y﹣2＝0与l2：2x﹣ay+5＝0，直线l1与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）相切，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为4
B．两平行直线间的距离为
C．r的值为
D．直线l2截圆所得的弦长为
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】由两直线平行，列方程可求出a，可判断A；利用两平行线间的距离公式，求出两平行线间的距离，可判断B；利用直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于r，求出r，可判断C，利用弦长公式可求直线l2截圆所得的弦长，可判断D．
【解答】解：由两直线l1：x﹣2y﹣2＝0与l2：2x﹣ay+5＝0平行，得，解得a＝4，故A正确；
直线l2：2x﹣ay+5＝0的方程为x﹣2y0，∴两平行直线间的距离为d，故B不正确；
直线l1与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）相切，∴r，故C正确；
圆心到直线l2的距离为d，故弦长为2，故D错误；
故选：AC．
【点评】本题考查两直线平行，直线与圆的位置关系，属中档题．
（多选）12．（5分）（2021 武进区校级模拟）素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛．1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名．
4 7 10 13 16 19 …
7 12 17 22 27 32 …
10 17 24 31 38 45 …
13 22 31 40 49 58 …
16 27 38 49 60 71 …
19 32 45 58 71 84 …
… … … … … … …
该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在数阵中，则2n+1一定是合数，反之如果正整数n不在数阵中，则2n+1一定是素数，下面结论中正确的是（ ）
A．第4行第10列的数为94
B．第7行的数公差为15
C．592不会出现在此数阵中
D．第10列中前10行的数之和为1255
【考点】数列的应用；进行简单的合情推理．
【专题】计算题；对应思想；等差数列与等比数列；推理和证明；数学运算．
【分析】根据题意，利用图中数阵给出的信息，可得第n行的等差数列的公差为2n+1，第m列的等差数列的公差为2m+1，用a（i，j）（i．j∈N*）表示第i行第j列的数，由此判定各选项即可．
【解答】解：根据题意，第n行的等差数列的公差为2n+1，第m列的等差数列的公差为2m+1，
用a（i，j）（i．j∈N*）表示第i行第j列的数，
对于A，因为第4行的数构成了以13为首项，9为公差的等差数列，
所以a（4，10）＝13+9×9＝94，A正确；
对于B，因为第7行的第1个数为22，第2个数为37，所以公差为15，B正确；
对于C，如果592不会出现在此数阵中，则2×592+1＝1185是素数，
而1185＝5×237是合数，不是素数，所以592会出现在此矩阵中，C错误；
对于D，第10列中前10行的数构成以a（1，10）＝4+3×9＝31为首项，公差为21的等差数列，
其和S＝10×3121＝1255，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查合情推理用，涉及了等差数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 安徽模拟）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用，求得，即可得到渐近线方程．
【解答】解：由，得，
∴，又渐近线方程为，
∴双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线渐近线方程的求解等知识，属于基础题．
14．（5分）（2022 渭南二模）写出一个同时满足以下三个条件的函数f（x）＝ lg|x|（答案不唯一） ．
①f（x）是偶函数；
②f（x）的值域为R；
③f（x）在（0，+∞）上递增．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质与判断．
【专题】开放型；函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【分析】根据函数奇偶性、单调性和值域选取函数即可．
【解答】解：若f（x）＝lg|x|，则其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∵f（﹣x）＝lg|﹣x|＝lg|x|＝f（x），
∴f（x）为偶函数，满足条件①；
又当x＞0时，f（x）＝lgx，可知满足条件②③；
∴f（x）＝lg|x|．
故答案为：lg|x|（答案不唯一）．
【点评】本题属于开放型题型，考查了函数的奇偶性、单调性及值域，属于基础题．
15．（5分）（2022 宁波模拟）在△ABC中，点O、点H分别为△ABC的外心和垂心，|AB|＝5，|AC|＝3，则 8 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据H为垂心，得到，设∠AOB＝A，∠AOB＝B，外接圆的半径为r，再分别利用余弦定理得到|AB|2，|AC|2，然后由求解．
【解答】解：，
，
因为H为垂心，
所以，
设∠AOB＝A，∠AOB＝B，外接圆的半径为r，
由余弦定理得|AB|2＝|AO|2+|OB|2﹣2|AO| |OB| cosA＝r2+r2﹣2r2 cosA＝2r2﹣2r2 cosA，
同理|AC|2＝|AO|2+|OC|2﹣2|AO| |OC| cosB＝r2+r2﹣2r2 cosB＝2r2﹣2r2 cosB，
所以r2 cosA﹣r2 cosB．
所以，
故答案为：8．
【点评】本题考查了平面向量的数量积的性质及运算，余弦定理的应用，属于中档题．
16．（5分）（2022 自贡模拟）已知函数，在曲线y＝f（x）上总存在两点P（x1，y1），Q（x2，y2），使得曲线在P，Q两点处的切线平行，则x1+x2的取值范围是 （8，+∞） ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件和基本不等式、对勾函数的单调性可得最值，进而得到所求取值范围．
【解答】解：函数（x＞0）的导数为f′（x）＝（t2） 1，
因为曲线在P，Q两点处的切线互相平行，
可得f′（x1）＝f′（x2），
即（t2） 1（t2） 1（x1≠x2），
可得（t2）（），
化为t2，
由x1x2（x1+x2）2，且x1＞0，x2＞0，x1≠x2，
可得，
即有x1+x2恒成立，
由t2（t2+2）2≥22，当且仅当t＝0时取得等号，
所以x1+x2＞8，
即x1+x2＞的取值范围是（8，+∞）．
故答案为：（8，+∞）．
【点评】本题考查导数的几何意义，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 全国二模）已知等差数列{an}公差不为零，a1+a2+a3＝a5，a2a3＝a8，数列{bn}各项均为正数，b1＝1，bn2﹣3bn+12＝2bnbn+1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若6≥an恒成立，求实数λ的最小值．
【考点】数列递推式；不等式恒成立的问题．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）结合等差中项的性质与等差数列的通项公式，求得首项a1和公差d，即可得an；将bn2﹣3bn+12＝2bnbn+1因式分解，推出数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，得解；
（2）原问题等价于λ恒成立，设cn，则λ≥（cn）max，再通过作差法，推出数列的单调性后，可得（cn）max＝c5＝c4，得解．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，则d≠0，
因为a1+a2+a3＝a5，所以3a2＝a5，即3（a1+d）＝a1+4d，化简得，d＝2a1①，
又a2a3＝a8，所以（a1+d）（a1+2d）＝a1+7d②，
由①②解得，a1＝1，d＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2+（n﹣1）×2＝2n﹣1，
因为bn2﹣3bn+12＝2bnbn+1，即（bn﹣3bn+1）（bn+bn+1）＝0，
因为bn＞0，所以bn＝3bn+1，即bn+1bn，
所以数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
故bn＝1 ，
综上所述，an＝2n﹣1，bn．
（2）因为6≥an恒成立，即λ 3n+6≥2n﹣1，所以λ恒成立，
设cn，原问题转化为λ≥（cn）max，
所以cn+1﹣cn，
当n≤3时，cn+1﹣cn＞0，即cn+1＞cn，有c4＞c3，
当n＝4时，cn+1﹣cn＝0，即c5＝c4，
当n≥5时，cn+1﹣cn＜0，即c6＜c5，
所以当n＝4或5时，cn取得最大值c5＝c4，
所以λ，
故实数λ的最小值为．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，数列的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）（2022 柳州三模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）由题意利用等比数列的性质可求a2＝bc，利用余弦定理，平方差公式可求b＝c，结合，即可判断三角形的形状．
【解答】解：（1）因为，由诱导公式得，
由正弦定理得，
∵sinB≠0，
∴cosA＝sinA，
∴，
∵A∈（0，π），
∴．
（2）∵b，a，c成等比数列，
∴a2＝bc，
又因为，
∴b2+c2﹣bc＝bc，
∴（b﹣c）2＝0，
∴b＝c，
又∵，△ABC为等边三角形．
【点评】本题主要考查了诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，等比数列的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（12分）（2022 萍乡二模）如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，△BCD为正三角形，且AC＝BC＝2ED＝2．
（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；
（2）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．
【专题】转化思想；向量法；综合法；空间角；空间向量及应用；数学运算．
【分析】（1）将面面垂直证明转化成线面垂直证明；
（2）将二面角转化成两半平面法向量的夹角，再用向量夹角公式求解．
【解答】解：（1）取BC中点M，AB中点N，
连接DM，MN，EN，
∴MN∥AC且，又，DE∥AC，
∴MN∥DE，且MN＝DE，
所以四边形MNED是平行四边形，
∴EN∥DM，且EN＝DM，
又AC⊥平面BCD，AC 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BCD，
又DC＝DB，∴DM⊥BC，
又平面ABC∩平面BCD＝BC，DM 平面BCD，∴DM⊥平面ABC，又EN∥DM，
∴EN⊥平面ABC，又EN 平面ABE，
∴所以平面ABE⊥平面ABC；
（2）由（1）知，AC⊥BC，EN∥DM且EN＝DM，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC，
以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，2，0），
N（1，1，0），，，
则，，
设平面BDE法向量为，则，取，
又AC＝BC，则CN⊥AB，又平面ABC∩平面ABE＝AB，CN 平面ABC，
所以CN⊥平面ABE，即为平面ABE的一个法向量，
∴，
显然二面角A﹣BE﹣D为钝角，故其余弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，二面角的求解，属中档题．
20．（12分）（2022 江苏模拟）已知椭圆的右顶点为A（2，0），右焦点F到右准线l的距离为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N．证明：直线MN经过定点．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）根据题意，列出含a，b，c的方程，，求解即可．
（2）根据题意，联立方程，利用韦达定理得到相应等式，然后，列出PQ为直径的圆的方程，然后代入计算即可求解．
【解答】（1）解：由题意知，a＝2，设椭圆的焦距为2c，则，解得c＝1，
所以，，所以，椭圆C的标准方程
（2）证明：设直线MN的方程为：x＝my+n．
由，得（3m2+4）y2+6mny+3n2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，．
所以，，，
因为直线MA的方程为：，
令x＝4，得，所以，，同理可得，
以PQ为直径的圆的方程为：，
即，
因为圆过点（7，0），所以，，得，
代入得，
化简得，
解得n＝1或n＝2（舍去），
所以直线MN经过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
21．（12分）（2022 湖北模拟）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余．江河不可障，飒沓入敌虚．”将矩形棋盘视作坐标系xOy，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从（x，y）移动到（x±1，y±2）或（x±2，y±1）．
（1）若棋盘的右上角为（4，4），马从（0，0）处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率．
（2）若棋盘的右上角为（16，15），马从（1，0）处出发，每一步仅向+x，+y方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段y＝x﹣1（2≤x≤16）上次数X的数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）先求出从（0，0）出发4步以内到达（4，4）且不出棋盘的走法共有8种，利用分步乘法原理，即可求解．
（2）先求出马共走的步数，再结合期望的公式，即可求解．
【解答】解：（1）从（0，0）出发4步以内到达（4，4）且不出棋盘的走法共有8种，其中4种为：
另外4种与以上4种关于直线y＝x对称，
对于以上4种，记第i种路线的概率为Pi，
则：，，，，
因此总概率为．
（2）解：设马有m步从（x，y）走到（x+1，y+2），n步走到（x+2，y+1），
则，解得，
即马共走了10步，总路径数为，
路径上经过的点可能在线段上的有（4，3），（7，6），（10，9），（13，12），（16，15），共5个，
因此X＝1，2，3，4，5，
因此，，，，，
所以马停留在线段y＝x﹣1（2≤x≤16）上次数X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
因此X的数学期望．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
22．（12分）（2022 攀枝花模拟）已知函数f（x）＝（x2﹣m）ex（m∈R）在（0，f（0））处的切线斜率为﹣3（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）设f'（x）为f（x）的导函数，函数仅有一个零点，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）由题可得m＝3，然后利用导数可得；
（2）当a≤0时，可得适合题意，当a＞0时，利用导数可求函数h（x）min＝h（x0）＝（x0﹣1）ealnx0，构造函数φ（x）＝（x﹣1）ex﹣x2exlnx（x＞0），进而可得φ（x）≤φ（1）﹣0，可得结论．
【解答】解：∵f（x）＝（x2﹣m）ex（m∈R），∴f′（x）＝（x2+2x﹣m）ex，
由f′（0）＝（﹣m）e0＝﹣3，得m＝3，∴f（x）＝（x2﹣3）ex，f′（x）＝（x2+2x﹣3）ex，
由f′（x）＞0，可得x＜﹣3或x＞1，由f′（x）＜0，可得﹣3＜x＜1，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣3）单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
当x＜﹣3时，f（x）＞0，又f（1）＝﹣2e＜0，当x＞1时，f（x）＞0，且f（x）→+∞，
∴f（x）min＝f（1）＝﹣2e，无最大值；
（2）由上可知h（x）＝（x﹣1）ex﹣alnx，又h（1）＝0，∴h′（x）＝xex，
当a≤0时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，h（1）＝0，所以满足题意，
当a＞0时，令g（x）＝x2ex﹣a（x＞0），函数在（0，+∞）单调递增，又g（0）＝﹣a＜0，
所以存在x0∈（0，+∞），使得x02ea，
此时当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞））时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∴h（x）min＝h（x0）＝（x0﹣1）ealnx0，当x→0时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，
所以需要h（x0）＝（x0﹣1）ealnx0≥0，
将a＝x02e代入，h（x0）＝（x0﹣1）ex02elnx0（x0≥0），
构造函数φ（x）＝（x﹣1）ex﹣x2exlnx（x＞0），
∴φ′（x）＝﹣（x2+2x）exlnx，
则φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则φ（x）≤φ（1）＝0，
所以x0＝1，得到a＝e，
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪{e}．
【点评】本题考查导数的综合应用，以及构造函数解决问题，考查运算求解能力，属难题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
3．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）f（﹣x） a＝1
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
4．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1） f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
5．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
6．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．不等式恒成立的问题
v．
9．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
10．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R b＝0（a，b∈R）；②z∈R z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z0且z≠0．
13．茎叶图
【知识点的认识】
1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．
例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
得分表示成茎叶图如下：
2．茎叶图的优缺点：
优点：
（1）所有信息都可以从茎叶图上得到
（2）茎叶图便于记录和表示
缺点：
分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．
【解题方法点拨】
茎叶图的制作步骤：
（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分
（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列
（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧
第1步中，
①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．
②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．
对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．
14．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
15．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
16．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
17．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的知识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【典型例题分析】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x），则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．
典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（ ）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.50.682 6＝0.1587．故选B．
题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．
典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．
题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝ ．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．
题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有 辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．
典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
18．类比推理
【知识点的认识】
1．类比推理：根据两个（或两类）对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理形式．
2．类比推理的形式：
3．特点：类比推理是一种主观的不充分的似真推理，要确认猜想的正确性，需经过严格的逻辑论证．一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，则类比得出的命题就越可靠．
【解题技巧点拨】
类比推理的步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
例：请用类比推理完成下表：
解：本题由已知前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；
②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；
③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；
④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；
⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．
由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．
【命题方向】
一般以选择题、填空题的形式出现，是高考的重要内容．常见题型有：
（1）升级类比：平面到空间的类比；
（2）同级类比：圆锥曲线之间的类比；
（3）运算类比：等差与等比的类比．
19．进行简单的合情推理
【知识点的知识】
1．推理
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合情推理与演绎推理两类．
2．合情推理
归纳推理 类比推理
定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理
一般步骤 （1）通过观察个别情况发现某些相同性质； （2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想） （1）找出两类事物之间相似性或一致性； （2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
3．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
（3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结构 ①大前提﹣﹣已知的一般原理； ②小前提﹣﹣所研究的特殊情况； ③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”的表示 ①大前提﹣﹣M是P． ②小前提﹣﹣S是M． ③结论﹣﹣S是P．
20．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
22．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
23．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
24．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
25．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
26．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
27．直线与椭圆的综合
v．
28．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
29．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
30．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
31．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
32．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
第1页（共1页）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 嘉兴二模）已知z（1﹣i）＝3﹣i（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）（2022 湖北二模）设A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣x＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
3．（5分）（2022 河南模拟）已知点A为抛物线y2＝4x上的动点，以点A为圆心的圆M与y轴相切，抛物线的焦点为F，线段AF与圆M相交于点P，则|PF|＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
4．（5分）（2022 黄山模拟）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝3AF，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14，则棱台的高度为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
6．（5分）（2021 福建模拟）现用甲、乙两台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这两台3D打印设备在正常工作状态下打印出的零件内径尺寸Z（单位：μm）服从正态分布N（100，32）．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，两台设备各试打了5个零件，零件内径尺寸（单位：μm）如茎叶图所示，根据以上信息，可以判断（ ）
A．甲、乙两台设备都需要进一步调试
B．甲、乙两台设备都不需要进一步调试
C．甲需要进一步调试，乙不需要进一步调试
D．乙需要进一步调试，甲不需要进一步调试
7．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知实数a＝log23，，c＝log32，则这三个数的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
8．（5分）（2022 贵州模拟）若f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，则f（2022）＝（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 苏州模拟）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的方差 D．x1，x2，…，xn的中位数
（多选）10．（5分）（2022 新高考卷模拟）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（ ）
A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD
（多选）11．（5分）（2022 新高考卷模拟）已知两平行直线l1：x﹣2y﹣2＝0与l2：2x﹣ay+5＝0，直线l1与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）相切，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为4
B．两平行直线间的距离为
C．r的值为
D．直线l2截圆所得的弦长为
（多选）12．（5分）（2021 武进区校级模拟）素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛．1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名．
4 7 10 13 16 19 …
7 12 17 22 27 32 …
10 17 24 31 38 45 …
13 22 31 40 49 58 …
16 27 38 49 60 71 …
19 32 45 58 71 84 …
… … … … … … …
该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在数阵中，则2n+1一定是合数，反之如果正整数n不在数阵中，则2n+1一定是素数，下面结论中正确的是（ ）
A．第4行第10列的数为94
B．第7行的数公差为15
C．592不会出现在此数阵中
D．第10列中前10行的数之和为1255
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 安徽模拟）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ．
14．（5分）（2022 渭南二模）写出一个同时满足以下三个条件的函数f（x）＝ ．
①f（x）是偶函数；
②f（x）的值域为R；
③f（x）在（0，+∞）上递增．
15．（5分）（2022 宁波模拟）在△ABC中，点O、点H分别为△ABC的外心和垂心，|AB|＝5，|AC|＝3，则 ．
16．（5分）（2022 自贡模拟）已知函数，在曲线y＝f（x）上总存在两点P（x1，y1），Q（x2，y2），使得曲线在P，Q两点处的切线平行，则x1+x2的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 全国二模）已知等差数列{an}公差不为零，a1+a2+a3＝a5，a2a3＝a8，数列{bn}各项均为正数，b1＝1，bn2﹣3bn+12＝2bnbn+1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若6≥an恒成立，求实数λ的最小值．
18．（12分）（2022 柳州三模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
19．（12分）（2022 萍乡二模）如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，△BCD为正三角形，且AC＝BC＝2ED＝2．
（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；
（2）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
20．（12分）（2022 江苏模拟）已知椭圆的右顶点为A（2，0），右焦点F到右准线l的距离为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N．证明：直线MN经过定点．
21．（12分）（2022 湖北模拟）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余．江河不可障，飒沓入敌虚．”将矩形棋盘视作坐标系xOy，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从（x，y）移动到（x±1，y±2）或（x±2，y±1）．
（1）若棋盘的右上角为（4，4），马从（0，0）处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率．
（2）若棋盘的右上角为（16，15），马从（1，0）处出发，每一步仅向+x，+y方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段y＝x﹣1（2≤x≤16）上次数X的数学期望．
22．（12分）（2022 攀枝花模拟）已知函数f（x）＝（x2﹣m）ex（m∈R）在（0，f（0））处的切线斜率为﹣3（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）设f'（x）为f（x）的导函数，函数仅有一个零点，求实数a的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷2 (新高考Ⅱ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 嘉兴二模）已知z（1﹣i）＝3﹣i（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
【解答】解：∵z（1﹣i）＝3﹣i，
∴2+i，
∴，
∴复数在复平面内对应的点（2，﹣1）位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
2．（5分）（2022 湖北二模）设A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣x＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】解不等式求出B，求出A的补集，求出（ RA）∩B即可．
【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴（ RA）∩B＝{x|x≤1}∩{x|﹣1＜x＜3}＝{x|﹣1＜x≤1}，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，是基础题．
3．（5分）（2022 河南模拟）已知点A为抛物线y2＝4x上的动点，以点A为圆心的圆M与y轴相切，抛物线的焦点为F，线段AF与圆M相交于点P，则|PF|＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【考点】抛物线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．
【解答】解：点A为抛物线y2＝4x上的动点，以点A为圆心的圆M与y轴相切，抛物线的焦点为F，线段AF与圆M相交于点P，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，圆与抛物线的位置关系的应用，是基础题．
4．（5分）（2022 黄山模拟）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝3AF，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形中的几何计算；类比推理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】根据几何概型的概率公式，求出△DEF和△AFC的面积，计算所求的概率值．
【解答】解：由题意，∠DFE，∴∠AFC＝π，
DF＝3AF，∴CF＝4AF，由余弦定理可得AC2＝AF2+CF2﹣2AF CFcos，
∴AC2＝21AF2，
∴，
∴1，∴图中阴影部分与空白部分面积之比为．
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型的概率，以及余弦定理，三角形的面积，考查计算能力，属于基础题．
5．（5分）若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14，则棱台的高度为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱台的结构特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】由题意，利用正四棱台的体积公式求得斜高与上、下底面边长，进而可以求得结论．
【解答】解：由题意，设正四棱台的斜高与上、下底面边长分别为5x，2x，8x，高为h，则
（4x2+64x2）h＝14，解得x，
∴斜高与上、下底面边长分别为5，2，8，
∴有h2（5）2，
即h2，h3＝8，
∴h＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了学生的空间想象力及对正四棱台的结构特征的认识，属于中档题．
6．（5分）（2021 福建模拟）现用甲、乙两台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这两台3D打印设备在正常工作状态下打印出的零件内径尺寸Z（单位：μm）服从正态分布N（100，32）．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，两台设备各试打了5个零件，零件内径尺寸（单位：μm）如茎叶图所示，根据以上信息，可以判断（ ）
A．甲、乙两台设备都需要进一步调试
B．甲、乙两台设备都不需要进一步调试
C．甲需要进一步调试，乙不需要进一步调试
D．乙需要进一步调试，甲不需要进一步调试
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；茎叶图．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据茎叶图分布计算甲，乙的平均值以及标准差，再根据已知以及正态分布曲线的性质判断即可．
【解答】解：由题意可得正常状态下服从正态分布N（100，32），
则平均值μ＝100，标准差σ＝3，
根据茎叶图可得μ甲，
，
根据3σ的原则，Z服从正态分布N（100，22），P（μ﹣36＜Z＜μ+36）＝0.9974，
即内径在（94，106）之外的概率为0.0026，即甲不需要调试，
，
，
根据3σ原则，Z服从正态分布N（98.4，24.642），
P（μ﹣6＜Z＜μ+6）＝0.6826，内径在（73.76，123.04）外概率为0.3174，即乙需要调试，
故选：D．
【点评】本题考查了正态分布的分布曲线的性质，考查了茎叶图的应用以及学生的运算能力，属于基础题．
7．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知实数a＝log23，，c＝log32，则这三个数的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵，∴a，
∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴0＜c＜1，
又∵b，∴1＜b，
∴a＞b＞c，
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
8．（5分）（2022 贵州模拟）若f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，则f（2022）＝（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得f（2022）＝f（﹣2），结合函数的对称性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若f（x+2）为奇函数，则f（x）关于点（2，0）对称，即f（﹣x）＝﹣f（4+x）且f（2）＝0，
又由f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
则有f（x+4）＝﹣f（x），变形可得f（x+8）＝f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，
f（2022）＝f（﹣2+253×8）＝f（﹣2）＝f（2）＝0，
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 苏州模拟）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的方差 D．x1，x2，…，xn的中位数
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】利用平均数、标准差、方差、中位数的定义和意义直接求解．
【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，
故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在C中，方差能反映一个数据集的离散程度，故C可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，
故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．
故选：BC．
【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、方差、中位数的定义和意义的合理运用．
（多选）10．（5分）（2022 新高考卷模拟）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（ ）
A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD
【考点】直线与平面垂直．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．
【分析】由线面垂直的判定和性质，结合直角三角形的性质可判断A、B；由直角三角形的性质可判断C、D．
【解答】解：设AB＝BC＝1，则AC，CD，AD，
若CD⊥AB，又AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD，则AB⊥BD，符合AB＜AD，故A可能成立；
若BC⊥AD，又AD⊥CD，可得AD⊥平面BCD，则AD⊥BD，
AB为直角三角形ABD的斜边，而AB＜AD，故B不可能成立；
若BD⊥AB，则AB＜AD，故C可能成立；
若BC⊥CD，则BD为直角三角形BCD的斜边，由于BD的长不确定，故D可能成立．
故选：ACD．
【点评】本题考查线面垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）（2022 新高考卷模拟）已知两平行直线l1：x﹣2y﹣2＝0与l2：2x﹣ay+5＝0，直线l1与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）相切，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为4
B．两平行直线间的距离为
C．r的值为
D．直线l2截圆所得的弦长为
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】由两直线平行，列方程可求出a，可判断A；利用两平行线间的距离公式，求出两平行线间的距离，可判断B；利用直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于r，求出r，可判断C，利用弦长公式可求直线l2截圆所得的弦长，可判断D．
【解答】解：由两直线l1：x﹣2y﹣2＝0与l2：2x﹣ay+5＝0平行，得，解得a＝4，故A正确；
直线l2：2x﹣ay+5＝0的方程为x﹣2y0，∴两平行直线间的距离为d，故B不正确；
直线l1与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）相切，∴r，故C正确；
圆心到直线l2的距离为d，故弦长为2，故D错误；
故选：AC．
【点评】本题考查两直线平行，直线与圆的位置关系，属中档题．
（多选）12．（5分）（2021 武进区校级模拟）素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛．1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名．
4 7 10 13 16 19 …
7 12 17 22 27 32 …
10 17 24 31 38 45 …
13 22 31 40 49 58 …
16 27 38 49 60 71 …
19 32 45 58 71 84 …
… … … … … … …
该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在数阵中，则2n+1一定是合数，反之如果正整数n不在数阵中，则2n+1一定是素数，下面结论中正确的是（ ）
A．第4行第10列的数为94
B．第7行的数公差为15
C．592不会出现在此数阵中
D．第10列中前10行的数之和为1255
【考点】数列的应用；进行简单的合情推理．
【专题】计算题；对应思想；等差数列与等比数列；推理和证明；数学运算．
【分析】根据题意，利用图中数阵给出的信息，可得第n行的等差数列的公差为2n+1，第m列的等差数列的公差为2m+1，用a（i，j）（i．j∈N*）表示第i行第j列的数，由此判定各选项即可．
【解答】解：根据题意，第n行的等差数列的公差为2n+1，第m列的等差数列的公差为2m+1，
用a（i，j）（i．j∈N*）表示第i行第j列的数，
对于A，因为第4行的数构成了以13为首项，9为公差的等差数列，
所以a（4，10）＝13+9×9＝94，A正确；
对于B，因为第7行的第1个数为22，第2个数为37，所以公差为15，B正确；
对于C，如果592不会出现在此数阵中，则2×592+1＝1185是素数，
而1185＝5×237是合数，不是素数，所以592会出现在此矩阵中，C错误；
对于D，第10列中前10行的数构成以a（1，10）＝4+3×9＝31为首项，公差为21的等差数列，
其和S＝10×3121＝1255，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查合情推理用，涉及了等差数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 安徽模拟）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用，求得，即可得到渐近线方程．
【解答】解：由，得，
∴，又渐近线方程为，
∴双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线渐近线方程的求解等知识，属于基础题．
14．（5分）（2022 渭南二模）写出一个同时满足以下三个条件的函数f（x）＝ lg|x|（答案不唯一） ．
①f（x）是偶函数；
②f（x）的值域为R；
③f（x）在（0，+∞）上递增．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质与判断．
【专题】开放型；函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【分析】根据函数奇偶性、单调性和值域选取函数即可．
【解答】解：若f（x）＝lg|x|，则其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∵f（﹣x）＝lg|﹣x|＝lg|x|＝f（x），
∴f（x）为偶函数，满足条件①；
又当x＞0时，f（x）＝lgx，可知满足条件②③；
∴f（x）＝lg|x|．
故答案为：lg|x|（答案不唯一）．
【点评】本题属于开放型题型，考查了函数的奇偶性、单调性及值域，属于基础题．
15．（5分）（2022 宁波模拟）在△ABC中，点O、点H分别为△ABC的外心和垂心，|AB|＝5，|AC|＝3，则 8 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据H为垂心，得到，设∠AOB＝A，∠AOB＝B，外接圆的半径为r，再分别利用余弦定理得到|AB|2，|AC|2，然后由求解．
【解答】解：，
，
因为H为垂心，
所以，
设∠AOB＝A，∠AOB＝B，外接圆的半径为r，
由余弦定理得|AB|2＝|AO|2+|OB|2﹣2|AO| |OB| cosA＝r2+r2﹣2r2 cosA＝2r2﹣2r2 cosA，
同理|AC|2＝|AO|2+|OC|2﹣2|AO| |OC| cosB＝r2+r2﹣2r2 cosB＝2r2﹣2r2 cosB，
所以r2 cosA﹣r2 cosB．
所以，
故答案为：8．
【点评】本题考查了平面向量的数量积的性质及运算，余弦定理的应用，属于中档题．
16．（5分）（2022 自贡模拟）已知函数，在曲线y＝f（x）上总存在两点P（x1，y1），Q（x2，y2），使得曲线在P，Q两点处的切线平行，则x1+x2的取值范围是 （8，+∞） ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件和基本不等式、对勾函数的单调性可得最值，进而得到所求取值范围．
【解答】解：函数（x＞0）的导数为f′（x）＝（t2） 1，
因为曲线在P，Q两点处的切线互相平行，
可得f′（x1）＝f′（x2），
即（t2） 1（t2） 1（x1≠x2），
可得（t2）（），
化为t2，
由x1x2（x1+x2）2，且x1＞0，x2＞0，x1≠x2，
可得，
即有x1+x2恒成立，
由t2（t2+2）2≥22，当且仅当t＝0时取得等号，
所以x1+x2＞8，
即x1+x2＞的取值范围是（8，+∞）．
故答案为：（8，+∞）．
【点评】本题考查导数的几何意义，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 全国二模）已知等差数列{an}公差不为零，a1+a2+a3＝a5，a2a3＝a8，数列{bn}各项均为正数，b1＝1，bn2﹣3bn+12＝2bnbn+1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若6≥an恒成立，求实数λ的最小值．
【考点】数列递推式；不等式恒成立的问题．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）结合等差中项的性质与等差数列的通项公式，求得首项a1和公差d，即可得an；将bn2﹣3bn+12＝2bnbn+1因式分解，推出数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，得解；
（2）原问题等价于λ恒成立，设cn，则λ≥（cn）max，再通过作差法，推出数列的单调性后，可得（cn）max＝c5＝c4，得解．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，则d≠0，
因为a1+a2+a3＝a5，所以3a2＝a5，即3（a1+d）＝a1+4d，化简得，d＝2a1①，
又a2a3＝a8，所以（a1+d）（a1+2d）＝a1+7d②，
由①②解得，a1＝1，d＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2+（n﹣1）×2＝2n﹣1，
因为bn2﹣3bn+12＝2bnbn+1，即（bn﹣3bn+1）（bn+bn+1）＝0，
因为bn＞0，所以bn＝3bn+1，即bn+1bn，
所以数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
故bn＝1 ，
综上所述，an＝2n﹣1，bn．
（2）因为6≥an恒成立，即λ 3n+6≥2n﹣1，所以λ恒成立，
设cn，原问题转化为λ≥（cn）max，
所以cn+1﹣cn，
当n≤3时，cn+1﹣cn＞0，即cn+1＞cn，有c4＞c3，
当n＝4时，cn+1﹣cn＝0，即c5＝c4，
当n≥5时，cn+1﹣cn＜0，即c6＜c5，
所以当n＝4或5时，cn取得最大值c5＝c4，
所以λ，
故实数λ的最小值为．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，数列的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）（2022 柳州三模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）由题意利用等比数列的性质可求a2＝bc，利用余弦定理，平方差公式可求b＝c，结合，即可判断三角形的形状．
【解答】解：（1）因为，由诱导公式得，
由正弦定理得，
∵sinB≠0，
∴cosA＝sinA，
∴，
∵A∈（0，π），
∴．
（2）∵b，a，c成等比数列，
∴a2＝bc，
又因为，
∴b2+c2﹣bc＝bc，
∴（b﹣c）2＝0，
∴b＝c，
又∵，△ABC为等边三角形．
【点评】本题主要考查了诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，等比数列的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（12分）（2022 萍乡二模）如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，△BCD为正三角形，且AC＝BC＝2ED＝2．
（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；
（2）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．
【专题】转化思想；向量法；综合法；空间角；空间向量及应用；数学运算．
【分析】（1）将面面垂直证明转化成线面垂直证明；
（2）将二面角转化成两半平面法向量的夹角，再用向量夹角公式求解．
【解答】解：（1）取BC中点M，AB中点N，
连接DM，MN，EN，
∴MN∥AC且，又，DE∥AC，
∴MN∥DE，且MN＝DE，
所以四边形MNED是平行四边形，
∴EN∥DM，且EN＝DM，
又AC⊥平面BCD，AC 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BCD，
又DC＝DB，∴DM⊥BC，
又平面ABC∩平面BCD＝BC，DM 平面BCD，∴DM⊥平面ABC，又EN∥DM，
∴EN⊥平面ABC，又EN 平面ABE，
∴所以平面ABE⊥平面ABC；
（2）由（1）知，AC⊥BC，EN∥DM且EN＝DM，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC，
以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，2，0），
N（1，1，0），，，
则，，
设平面BDE法向量为，则，取，
又AC＝BC，则CN⊥AB，又平面ABC∩平面ABE＝AB，CN 平面ABC，
所以CN⊥平面ABE，即为平面ABE的一个法向量，
∴，
显然二面角A﹣BE﹣D为钝角，故其余弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，二面角的求解，属中档题．
20．（12分）（2022 江苏模拟）已知椭圆的右顶点为A（2，0），右焦点F到右准线l的距离为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N．证明：直线MN经过定点．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）根据题意，列出含a，b，c的方程，，求解即可．
（2）根据题意，联立方程，利用韦达定理得到相应等式，然后，列出PQ为直径的圆的方程，然后代入计算即可求解．
【解答】（1）解：由题意知，a＝2，设椭圆的焦距为2c，则，解得c＝1，
所以，，所以，椭圆C的标准方程
（2）证明：设直线MN的方程为：x＝my+n．
由，得（3m2+4）y2+6mny+3n2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，．
所以，，，
因为直线MA的方程为：，
令x＝4，得，所以，，同理可得，
以PQ为直径的圆的方程为：，
即，
因为圆过点（7，0），所以，，得，
代入得，
化简得，
解得n＝1或n＝2（舍去），
所以直线MN经过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
21．（12分）（2022 湖北模拟）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余．江河不可障，飒沓入敌虚．”将矩形棋盘视作坐标系xOy，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从（x，y）移动到（x±1，y±2）或（x±2，y±1）．
（1）若棋盘的右上角为（4，4），马从（0，0）处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率．
（2）若棋盘的右上角为（16，15），马从（1，0）处出发，每一步仅向+x，+y方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段y＝x﹣1（2≤x≤16）上次数X的数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）先求出从（0，0）出发4步以内到达（4，4）且不出棋盘的走法共有8种，利用分步乘法原理，即可求解．
（2）先求出马共走的步数，再结合期望的公式，即可求解．
【解答】解：（1）从（0，0）出发4步以内到达（4，4）且不出棋盘的走法共有8种，其中4种为：
另外4种与以上4种关于直线y＝x对称，
对于以上4种，记第i种路线的概率为Pi，
则：，，，，
因此总概率为．
（2）解：设马有m步从（x，y）走到（x+1，y+2），n步走到（x+2，y+1），
则，解得，
即马共走了10步，总路径数为，
路径上经过的点可能在线段上的有（4，3），（7，6），（10，9），（13，12），（16，15），共5个，
因此X＝1，2，3，4，5，
因此，，，，，
所以马停留在线段y＝x﹣1（2≤x≤16）上次数X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
因此X的数学期望．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
22．（12分）（2022 攀枝花模拟）已知函数f（x）＝（x2﹣m）ex（m∈R）在（0，f（0））处的切线斜率为﹣3（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）设f'（x）为f（x）的导函数，函数仅有一个零点，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）由题可得m＝3，然后利用导数可得；
（2）当a≤0时，可得适合题意，当a＞0时，利用导数可求函数h（x）min＝h（x0）＝（x0﹣1）ealnx0，构造函数φ（x）＝（x﹣1）ex﹣x2exlnx（x＞0），进而可得φ（x）≤φ（1）﹣0，可得结论．
【解答】解：∵f（x）＝（x2﹣m）ex（m∈R），∴f′（x）＝（x2+2x﹣m）ex，
由f′（0）＝（﹣m）e0＝﹣3，得m＝3，∴f（x）＝（x2﹣3）ex，f′（x）＝（x2+2x﹣3）ex，
由f′（x）＞0，可得x＜﹣3或x＞1，由f′（x）＜0，可得﹣3＜x＜1，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣3）单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
当x＜﹣3时，f（x）＞0，又f（1）＝﹣2e＜0，当x＞1时，f（x）＞0，且f（x）→+∞，
∴f（x）min＝f（1）＝﹣2e，无最大值；
（2）由上可知h（x）＝（x﹣1）ex﹣alnx，又h（1）＝0，∴h′（x）＝xex，
当a≤0时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，h（1）＝0，所以满足题意，
当a＞0时，令g（x）＝x2ex﹣a（x＞0），函数在（0，+∞）单调递增，又g（0）＝﹣a＜0，
所以存在x0∈（0，+∞），使得x02ea，
此时当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞））时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∴h（x）min＝h（x0）＝（x0﹣1）ealnx0，当x→0时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，
所以需要h（x0）＝（x0﹣1）ealnx0≥0，
将a＝x02e代入，h（x0）＝（x0﹣1）ex02elnx0（x0≥0），
构造函数φ（x）＝（x﹣1）ex﹣x2exlnx（x＞0），
∴φ′（x）＝﹣（x2+2x）exlnx，
则φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则φ（x）≤φ（1）＝0，
所以x0＝1，得到a＝e，
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪{e}．
【点评】本题考查导数的综合应用，以及构造函数解决问题，考查运算求解能力，属难题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
3．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）f（﹣x） a＝1
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
4．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1） f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
5．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
6．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．不等式恒成立的问题
v．
9．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
10．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R b＝0（a，b∈R）；②z∈R z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z0且z≠0．
13．茎叶图
【知识点的认识】
1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．
例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
得分表示成茎叶图如下：
2．茎叶图的优缺点：
优点：
（1）所有信息都可以从茎叶图上得到
（2）茎叶图便于记录和表示
缺点：
分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．
【解题方法点拨】
茎叶图的制作步骤：
（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分
（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列
（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧
第1步中，
①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．
②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．
对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．
14．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
15．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
16．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
17．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的知识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【典型例题分析】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x），则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．
典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（ ）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.50.682 6＝0.1587．故选B．
题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．
典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．
题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝ ．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．
题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有 辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．
典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
18．类比推理
【知识点的认识】
1．类比推理：根据两个（或两类）对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理形式．
2．类比推理的形式：
3．特点：类比推理是一种主观的不充分的似真推理，要确认猜想的正确性，需经过严格的逻辑论证．一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，则类比得出的命题就越可靠．
【解题技巧点拨】
类比推理的步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
例：请用类比推理完成下表：
解：本题由已知前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；
②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；
③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；
④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；
⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．
由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．
【命题方向】
一般以选择题、填空题的形式出现，是高考的重要内容．常见题型有：
（1）升级类比：平面到空间的类比；
（2）同级类比：圆锥曲线之间的类比；
（3）运算类比：等差与等比的类比．
19．进行简单的合情推理
【知识点的知识】
1．推理
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合情推理与演绎推理两类．
2．合情推理
归纳推理 类比推理
定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理
一般步骤 （1）通过观察个别情况发现某些相同性质； （2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想） （1）找出两类事物之间相似性或一致性； （2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
3．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
（3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结构 ①大前提﹣﹣已知的一般原理； ②小前提﹣﹣所研究的特殊情况； ③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”的表示 ①大前提﹣﹣M是P． ②小前提﹣﹣S是M． ③结论﹣﹣S是P．
20．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
22．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
23．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
24．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
25．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
26．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
27．直线与椭圆的综合
v．
28．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
29．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
30．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
31．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
32．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
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