2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷理科)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷理科)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 522.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:16:23 | ||
图片预览
文档简介
2022年高考数学终极押题密卷1 (全国甲卷理科)
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 台州模拟）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|﹣3≤x≤3}，则A∩B＝（ ）
A．[1，3] B．[﹣3，3] C．（1，3] D．[﹣3，1]
2．（5分）（2022 齐齐哈尔二模）2022年1月26日，中国人民银行，中国银行保险监督管理委员会、中国证券监督管理委员会三部门联合印发《金融机构客户尽职调查和客户身份资料及交易记录保存管理办法》（以下简称《办法》），规范金融机构的客户尽职调查、客户身份资料及交易记录保存行为，《办法》自2022年3月1日起施行．《办法》第十条提到，商业银行、农村合作银行、农村信用合作社、村镇银行等金融机构为自然人客户办理人民币单笔5万元以上或者外币等值1万美元以上现金存取业务的，应当识别并核实客户身份，了解并登记资金的来源或者用途．某民调机构调研相关政策实施前民众对该政策的了解程度，随机抽调20人，并通过问卷形式（满分为100分）按照每个人的得分情况得到如下频数分布表：
得分情况 [40，55] （55，70] （70，85] （85，100]
频数 3 3 6 8
则下列说法错误的是（ ）
A．问卷得分低于55分的人数约占总人数的15%
B．问卷得分为80分的共有6人
C．从得分在（70，85]和（85，100]这两个区间中按照分层抽样方法抽取7人，则恰有4人来自得分在（85，100]这个区间段
D．此20人得分平均数的估计值为76.75分
3．（5分）（2022 泸州模拟）（ ）
A．1+i B．1﹣i C． D．
4．（5分）（2022 香坊区校级三模）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间（单位：min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20℃的情况下，一杯开水由100℃降低到60℃需要10min，则k的值约为（ ）
（结果精确到0.001，参考数据：e2≈7.389，ln2≈0.693）
A．0.035 B．0.069 C．0.369 D．0.740
5．（5分）（2022 西城区二模）已知双曲线的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，双曲线上一点P满足||PF1|﹣|PF2||＝2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．（5分）（2022 柳州三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD的侧视图为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）（2022 惠州一模）设等差数列{an}的公差为d，若，则“d＜0”是“bn+1＜bn（n∈N*）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）（2021 道里区校级模拟）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面ABO的下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝30°，A地测得最高点H的仰角为∠OAH＝45°，则该仪器的垂直弹射度CH为（ ）
A．210米 B．210米
C．（210）米 D．420米
9．（5分）（2022 辽宁模拟）已知，则tanθ＝（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C． D．
10．（5分）（2022 榆林三模）在2，3，5，7这四个数中任取三个数，将组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 云南模拟）三棱锥P﹣ABC的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，PA⊥BC．若球M的表面积为100π，PA＝8，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（ ）
A．24 B． C．27 D．
12．（5分）（2021秋 郊区校级期末）定义在实数集R上的奇函数f（x）恒满足f（1﹣x）＝f（x+1），且x∈（0，1）时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 青铜峡市校级期末）已知f（x）＝ex﹣1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是 ．
14．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），则m＝ ．
15．（5分）（2022 上饶模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为 ．
16．（5分）（2022 江西模拟）已知f（x）＝sin（ωx+φ），其中0＜ω＜5，|φ|，为f（x）的一个零点，且f（x）≤f（）恒成立，则满足条件的整数ω取值集合为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 安徽模拟）某加工厂加工某种零件，由新旧两台机床加工，为考核两台机床同时加工质量，各抽取100个样本，测偏差率，得数据如下表：
偏差率 [0，0.02） [0.02，0.04） [0.04，0.06） [0.06，0.08） [0.08，0.10]
新机床 20 25 35 11 9
旧机床 10 20 30 25 15
其中偏差率小于0.06的为合格产品．
（1）若两台机床生产零件总数量相同，以样本频率为概率，求任取一件产品为合格品的概率；
（2）填下表：
合格品 不合格品 合计
新机床
旧机床
合计
计算有无99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关．
参考数据：
P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2．
18．（12分）（2022 攀枝花模拟）在①S3＝2a3﹣2，②a3+2是a2，a4的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且满足_______（只需填序号）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和Tn．
19．（12分）（2020秋 山东月考）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥SC，E为垂足，M为AB的中点．
（1）当点F在线段BC上移动时，判断△DEF是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若SD＝4，求二面角D﹣EM﹣C的正弦值．
20．（12分）（2022 宁波二模）已知点A（1，1）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，点P（m，0）（其中m＞1）．如图过点P且斜率为2的直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的上方），直线AP与抛物线交于另一点D．
（Ⅰ）记|PA| |PD|＝λ|PB| |PC|，当m＝3时，求λ的值；
（Ⅱ）若△ACD面积大于27，求m的取值范围．
21．（12分）（2022 东城区二模）已知函数f（x）＝xalnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，曲线y＝f（x）在x轴的上方，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 云南模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数）射线l1：x＝0（y≥0）与曲线C1交于点A，射线l2：与曲线C2交于点B．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；
（1）直接写出曲线C1、射线l1的极坐标方程．
（2）求△AOB的面积．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 卡若区校级一模）已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+2|．
（1）解关于x的不等式f（x）＞10；
（2）求满足f（x）＝|x﹣2|+4的实数x的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷1 (全国甲卷理科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 台州模拟）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|﹣3≤x≤3}，则A∩B＝（ ）
A．[1，3] B．[﹣3，3] C．（1，3] D．[﹣3，1]
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；对应思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】根据交集的定义求出交集，再改写成区间的形式即可．
【解答】解：∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|﹣3≤x≤3}，
∴A∩B＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]，
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属基础题．
2．（5分）（2022 齐齐哈尔二模）2022年1月26日，中国人民银行，中国银行保险监督管理委员会、中国证券监督管理委员会三部门联合印发《金融机构客户尽职调查和客户身份资料及交易记录保存管理办法》（以下简称《办法》），规范金融机构的客户尽职调查、客户身份资料及交易记录保存行为，《办法》自2022年3月1日起施行．《办法》第十条提到，商业银行、农村合作银行、农村信用合作社、村镇银行等金融机构为自然人客户办理人民币单笔5万元以上或者外币等值1万美元以上现金存取业务的，应当识别并核实客户身份，了解并登记资金的来源或者用途．某民调机构调研相关政策实施前民众对该政策的了解程度，随机抽调20人，并通过问卷形式（满分为100分）按照每个人的得分情况得到如下频数分布表：
得分情况 [40，55] （55，70] （70，85] （85，100]
频数 3 3 6 8
则下列说法错误的是（ ）
A．问卷得分低于55分的人数约占总人数的15%
B．问卷得分为80分的共有6人
C．从得分在（70，85]和（85，100]这两个区间中按照分层抽样方法抽取7人，则恰有4人来自得分在（85，100]这个区间段
D．此20人得分平均数的估计值为76.75分
【考点】分层抽样方法；分布和频率分布表；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】由频率分布表直接判断A，B，按照分层抽样判断C，按照平均数计算判断D．
【解答】解：对于A：问卷得分低于55分的有3人，占比为15%，故A正确，
对于B：问卷得分在（70，85]区间的人数为6人，不一定是得分为80分的有6人，故B错误，
对于C：由6：8＝3：4，可得在（85，100]这个区间中抽取4人，故C正确，
对于D：47.576.75，故D正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了频率分布表的实际应用，考查了分层抽样的定义，属于基础题．
3．（5分）（2022 泸州模拟）（ ）
A．1+i B．1﹣i C． D．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4．（5分）（2022 香坊区校级三模）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间（单位：min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20℃的情况下，一杯开水由100℃降低到60℃需要10min，则k的值约为（ ）
（结果精确到0.001，参考数据：e2≈7.389，ln2≈0.693）
A．0.035 B．0.069 C．0.369 D．0.740
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意及所给数据，代入公式计算，即可得解．
【解答】解：由题意可知θ0＝20℃，θ1＝100℃，θ＝60℃，t＝10min，
则有60﹣20＝（100﹣20）e﹣10k，
所以e﹣10k，
所以k0.069．
故选：B．
【点评】本题考查了指数、对数的基本运算，属于易做题．
5．（5分）（2022 西城区二模）已知双曲线的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，双曲线上一点P满足||PF1|﹣|PF2||＝2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用已知条件求解a，c，然后求解离心率即可．
【解答】解：双曲线的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，所以c＝2，
双曲线上一点P满足||PF1|﹣|PF2||＝2，所以a＝1，
所以双曲线的离心率e2．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，离心率的求法，是基础题．
6．（5分）（2022 柳州三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD的侧视图为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象．
【分析】根据正视图和俯视图得到该几何体的直观图，然后确定侧视图即可．
【解答】解：由正视图和俯视图得到该几何体的直观图如图：
∴该几何体的侧视图是等腰三角形，故选项D符合．
故选：D．
【点评】本题考查三棱锥的侧视图的判断，考查几何体的直观图、三视图等基础知识，考查空间思维能力，属于基础题．
7．（5分）（2022 惠州一模）设等差数列{an}的公差为d，若，则“d＜0”是“bn+1＜bn（n∈N*）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可．
【解答】解：充分性：若d＜0，则an+1﹣an＝d＜0，即an+1＜an，∴，即bn+1＜bn，所以充分性成立；
必要性：若bn+1＜bn，即，∴an+1＜an，则an+1﹣an＝d＜0，必要性成立．
因此，“d＜0”是“bn+1＜bn（n∈N*）”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的通项公式和性质是解决本题的关键．
8．（5分）（2021 道里区校级模拟）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面ABO的下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝30°，A地测得最高点H的仰角为∠OAH＝45°，则该仪器的垂直弹射度CH为（ ）
A．210米 B．210米
C．（210）米 D．420米
【考点】解三角形．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】在△ABC，△OAC，△OAH，△ABC中，由余弦定理可求出|OH|，|OC|可得|CH|的值．
【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得|CB|2＝|AC|2+|AB|2﹣2|AC||AB|cos∠BAC，
由题意|BA|＝100，|CB|＝|AC|﹣40，∠BAC＝60°，
整理可得：20|AC|＝1002﹣402
解得：|AC|＝420，
在Rt△OAC中，∠OAC＝30°，
所以|OA|＝|AC| cos∠OAC＝420210，|OC|＝|AC| sin∠OAC＝420210，
在Rt△ABC中，∠OAH＝45°，所以可得：|OH|＝|OA|＝210，
所以|CH|＝|OH|+|OC|＝210+210，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的余弦定理的应用，属于基础题．
9．（5分）（2022 辽宁模拟）已知，则tanθ＝（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C． D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【解答】解：因为tanθ，
所以tanθ＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10．（5分）（2022 榆林三模）在2，3，5，7这四个数中任取三个数，将组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】应用列举法写出所有无重复字的三位数，再由古典概型概率计算公式即可求出所求概率．
【解答】解：由题意，这个数可能为235，237，257，273，275，325，327，352，357，372，
375，523，527，532，537，572，573，723，725，732，735，752，753，共24种情况，
其中奇数共有18个，故所求概率为P．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型概率计算公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
11．（5分）（2022 云南模拟）三棱锥P﹣ABC的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，PA⊥BC．若球M的表面积为100π，PA＝8，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（ ）
A．24 B． C．27 D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】先证明PA⊥面ABC，BC⊥AB，进而得到三棱锥P﹣ABC的体积是，由BC2+AB2＝AC2＝36，利用基本不等式能求出AB×BC的最大值，由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积的最大值．
【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的顶点都在以PC为直径的球M的表面上，
∴PA⊥AC，PB⊥BC，又PA⊥BC，AC∩BC＝C，
∴PA⊥面ABC，
又PA∩PB＝P，∴BC⊥面PAB，
又AB 面PAB，∴BC⊥AB，
球M的表面积为100π，
设球的半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5，则PC＝10，
∴AC6，BC2+AB2＝AC2＝36，
三棱锥的体积为V，
要使体积最大，即AB×AC最大，
∵AB×BC18，当且仅当AB＝BC时取等号，
∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为V24．
故选：A．
【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面垂直的判定、球的表面积公式、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12．（5分）（2021秋 郊区校级期末）定义在实数集R上的奇函数f（x）恒满足f（1﹣x）＝f（x+1），且x∈（0，1）时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据函数的奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．
【解答】解：∵奇函数f（x）恒满足f（1﹣x）＝f（x+1），
∴f（x+1）＝﹣f（x﹣1），即f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，
f（4）＝f（）＝﹣f（）＝﹣f（1）＝﹣f（1）＝﹣f（）＝﹣（）＝﹣（2），
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性等量关系推出函数是周期函数是解决本题的关键，是中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 青铜峡市校级期末）已知f（x）＝ex﹣1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是 ex﹣y﹣1＝0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】求出函数的导数，通过导函数值，求解切线的斜率，然后求解切点坐标，即可得到切线方程．
【解答】解：由f（x）＝ex﹣1，可得f′（x）＝ex，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）＝e，而f（1）＝e﹣1，
所以切线方程为y﹣e+1＝e（x﹣1），即ex﹣y﹣1＝0．
故答案为：ex﹣y﹣1＝0．
【点评】本题考查切线方程的求法，函数的导数的求解，导数的几何意义的理解，是基础题．
14．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），则m＝ ﹣7 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，建立方程，求出m的值．
【解答】解：∵向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），
∴（2） 2（﹣4﹣2m）﹣2×5＝0，则m＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
15．（5分）（2022 上饶模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】由余弦定理，结合椭圆的定义，可求得|PF2|，|PF1|，|F1F2|，再用余弦定理和面积公式求解即可．
【解答】解：由题意可得a＝3，，．
因为O，M分别是F1F2和F1P的中点，所以，|PF2|＝2|OM|＝2|OF|2＝2c＝4，
根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a﹣2c＝2，又因为F1F2＝2c＝4，
所以，
所以，
故△PF1F2的面积是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的定义及其应用，椭圆中焦点三角形面积的计算等知识，属于中等题．
16．（5分）（2022 江西模拟）已知f（x）＝sin（ωx+φ），其中0＜ω＜5，|φ|，为f（x）的一个零点，且f（x）≤f（）恒成立，则满足条件的整数ω取值集合为 {1，3} ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】结合f（x）的零点，最值列出不等式，再分类讨论，即可求解．
【解答】解：∵为f（x）的一个零点，且f（x）≤f（）恒成立，
∴，，k1∈Z，
，，k2∈Z，
①+②可得，，
∵|φ|，2|φ|≤π，
∴2φ或，解得φ或，
当φ时，，ω＝1﹣4k1，
∵0＜ω＜5，
∴0＜1﹣4k1＜5，解得，k1＝0，
∴ω＝1，
当时，，ω＝﹣1﹣4k1，
∵0＜ω＜5，
∴0＜﹣1﹣4k1＜5，解得，k1＝﹣1，
∴ω＝3，
故满足条件的整数ω取值集合为{1，3}．
故答案为：{1，3}．
【点评】本题主要考查正弦图象的性质，考查分类讨论的思想，属于难题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 安徽模拟）某加工厂加工某种零件，由新旧两台机床加工，为考核两台机床同时加工质量，各抽取100个样本，测偏差率，得数据如下表：
偏差率 [0，0.02） [0.02，0.04） [0.04，0.06） [0.06，0.08） [0.08，0.10]
新机床 20 25 35 11 9
旧机床 10 20 30 25 15
其中偏差率小于0.06的为合格产品．
（1）若两台机床生产零件总数量相同，以样本频率为概率，求任取一件产品为合格品的概率；
（2）填下表：
合格品 不合格品 合计
新机床
旧机床
合计
计算有无99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关．
参考数据：
P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2．
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）计算出200个样本中合格品的个数，进而求出任取一件产品为合格品的概率．
（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解答】解：（1）200个样本中，合格品有140个，故任取一件产品为合格品的概率P0.7．
（2）表填充如下：
合格品 不合格品 合计
新机床 80 20 100
旧机床 60 40 100
合计 140 60 200
∴9.524＜10.828，
∴没有99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
18．（12分）（2022 攀枝花模拟）在①S3＝2a3﹣2，②a3+2是a2，a4的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且满足_______（只需填序号）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）由①②利用等比数列的基本量的运算可得q＝2，即得；由③利用an与Sn的关系即求；
（2）由题可得，利用分组求和法即得．
【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q，q＞0，
选①，由S3＝2a3﹣2，得a1+a2+a3＝2a3﹣2，
∴a3﹣a2﹣a1＝2，又a1＝2，
∴2q2﹣2q﹣4＝0，
解得q＝2或q＝﹣1（舍去），
∴；
选②，a3+2是a2，a4的等差中项，
∴a2+a4＝2（a3+2），又a1＝2，
∴2q+2q3＝2（2q2+2），即（1+q2）q＝2（q2+1），
∴q＝2，
∴；
选③，，
当n＝1时，，
∴t＝2或t＝﹣2（舍去），
∴，
当n≥2时，，
故数列{an}的通项公式为；
（2）∵，
∴，
∴，
∴
．
【点评】本题考查了数列的递推式和分组求和，属于中档题．
19．（12分）（2020秋 山东月考）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥SC，E为垂足，M为AB的中点．
（1）当点F在线段BC上移动时，判断△DEF是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若SD＝4，求二面角D﹣EM﹣C的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】转化思想；向量法；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由SD⊥BC，BC⊥CD，知BC⊥平面SCD，从而有BC⊥DE，而DE⊥SC，得DE⊥平面SBC，故DE⊥EF，
得解；
（2）以D为原点建立空间直角坐标系，求得平面DEM和平面CEM的法向量与，由cos，，可得解．
【解答】解：（1）△DEF为直角三角形，证明过程如下：
∵SD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴SD⊥BC，
∵正方形ABCD，∴BC⊥CD，
又SD∩CD＝D，SD、CD 平面SCD，
∴BC⊥平面SCD，
∵DE 平面SCD，∴BC⊥DE，
∵DE⊥SC，BC∩SC＝C，BC、SC 平面SBC，
∴DE⊥平面SBC，
∵EF 平面SBC，∴DE⊥EF，
故△DEF为直角三角形．
（2）以D为原点，DA，DC，DS所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），C（0，2，0），M（2，1，0），
∵S△SCDSD CDDE SC，
∴DE，
∴在Rt△SDE中，cos∠SDE，
∴yE＝DE sin∠SDE，zE＝DE cos∠SDE，
即E（0，，），
∴（0，，），（2，1，0），（0，，），（2，﹣1，0），
设平面DEM的法向量为（x，y，z），则，即，
令x＝1，则y＝﹣2，z＝4，∴（1，﹣2，4），
同理可得，平面CEM的法向量为（1，2，1），
∴cos，，
设二面角D﹣EM﹣C的平面角为θ，则sinθ，
故二面角D﹣EM﹣C的正弦值为．
【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）（2022 宁波二模）已知点A（1，1）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，点P（m，0）（其中m＞1）．如图过点P且斜率为2的直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的上方），直线AP与抛物线交于另一点D．
（Ⅰ）记|PA| |PD|＝λ|PB| |PC|，当m＝3时，求λ的值；
（Ⅱ）若△ACD面积大于27，求m的取值范围．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】（Ⅰ）首先求出抛物线方程，即可求出直线BC，AD的方程，再联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，再根据两点的距离公式求出|PB|，|PC|，|PA|，|PD|，即可得解；
（Ⅱ）设，即可得到BC的方程，从而得到D点坐标，即可得到直线AD的方程，联立直线AD与抛物线方程，利用弦长公式求出|AD|，再由点到直线的距离公式求出C到直线AD的距离d，即可得到，再利用导数说明函数的单调性，即可求出y0的取值范围，从而得到m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知：1＝2p，所以，所以抛物线方程为y2＝x，
当m＝3时，
所以，
联立，消去x得2y2﹣y﹣6＝0，
解得y1＝2或，
所以，
所以，
，
∴，
又，消去x整理得y2+2y﹣3＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣3，所以D（9，﹣3），
所以，
，
∴|PA| |PD|＝15，
所以；
（Ⅱ）设，则，
令y＝0，则，即，
所以AD：x＝（1﹣m）y+m，
联立，消元整理得y2﹣（1﹣m）y﹣m＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣m，
∴，
而，
∴
，
因为且y0＜0，所以，
所以，
令，
则，
∴f（y0）在（﹣∞，0）上单调递减，
又当y0＝﹣2时，S△ACD＝27，
所以当S△ACD＞27时，y0＜﹣2，
∴，
所以m的取值范围是（5，+∞）．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于难题．
21．（12分）（2022 东城区二模）已知函数f（x）＝xalnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，曲线y＝f（x）在x轴的上方，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义即得；
（Ⅱ）由题可知f（x）min＞0，当a≥0时适合题意，当a＜0时，分类讨论，利用导数求函数的最值即得．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝xlnx，x＞0，
所以f′（x）＝1，
所以f（1）＝3，f′（1）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝3；
（Ⅱ）因为函数f（x）＝xalnx（a∈R），
当a≥0时，由x∈[e，+∞）有f（x）＞0，故曲线y＝f（x）在x轴的上方，
当a＜0时，f′（x）＝1，
由f′（x）＝0可得x＝﹣2a或x＝a （舍去），
所以当x∈（0，﹣2a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当﹣2a≤e，即a＜0时，所以f（x）在[e，+∞）上单调递增，
则f（x）≥f（e）＝ea（a）2e＞0，即曲线y＝f（x）在x轴的上方，
当﹣2a＞e，即a时，f（x）在[e，﹣2a）上单调递减，在（﹣2a，+∞）上单调递增，
则f（x）≥f（﹣2a）＝﹣3a+aln（﹣2a），
由x∈[e，+∞）时，曲线y＝f（x）在x轴的上方，
所以﹣3a+aln（﹣2a）＞0，解得a，
所以a；
综上，实数a的取值范围为（，+∞）．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 云南模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数）射线l1：x＝0（y≥0）与曲线C1交于点A，射线l2：与曲线C2交于点B．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；
（1）直接写出曲线C1、射线l1的极坐标方程．
（2）求△AOB的面积．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用极径的应用和三角形面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1，所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝1，
射线l1的极坐标方程为；
（2）C2的极坐标方程为，
射线l2的极坐标方程．
由得点A的一个极坐标为．
由，得点B的一个极坐标为．
∴．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 卡若区校级一模）已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+2|．
（1）解关于x的不等式f（x）＞10；
（2）求满足f（x）＝|x﹣2|+4的实数x的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）由f（x）＞10可得，|2x﹣4|+|x+2|＞10，再结合零点分类讨论法，即可求解．
（2）根据已知条件，结合绝对值三角不等式公式，即可求解．
【解答】解：（1）由f（x）＞10可得，|2x﹣4|+|x+2|＞10，
①当x＜﹣2时，不等式为﹣（2x﹣4）﹣（x+2）＞10，解得x，
故x，
②当﹣2≤x≤2时，不等式为﹣（2x﹣4）+（x+2）＞10，解得x＜﹣4，故x∈ ，
③当x＞2时，不等式为（2x﹣4）+（x+2）＞10，解得x＞4，故x＞4，
综上所述，不等式的解集为．
（2）由f（x）＝|x﹣2|+4可得，|x﹣2|+|x+2|＝4，
又|x﹣2|+|x+2|≥|（x﹣2）﹣（x+2）|＝4，当且仅当（x﹣2）（x+3）≤0，即﹣2≤x≤2时，等号成立，
故满足f（x）＝|x﹣2|+4的实数x的取值范围为[﹣2，2]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查转化能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）1
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
7．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
8．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
9．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵， （3，﹣4）5，∴A不成立；
对于B：∵， （﹣4，3），∴B不成立；
对于C：∵， （4，3），∴C成立；
对于D：∵， （4，﹣3），∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
10．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
11．分层抽样方法
【知识点的认识】
1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”．
2．三种抽样方法比较
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少
系统抽样 将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多
分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
【解题方法点拨】
分层抽样方法操作步骤：
（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；
（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；
（3）确定各层应抽取的样本容量；
（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．
【命题方向】
（1）区分分层抽样方法
例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法
分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．
故选D
点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．
（2）求抽取样本数
例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ）
A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4
分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数．
解答：每个个体被抽到的概率等于，549，427．
故从一班抽出9人，从二班抽出7人，
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．
例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A.35 B.25 C.15 D.7
分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．
解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，
所以样本容量为15．
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值．
12．分布和频率分布表
【知识点的认识】
1．频数与频率
①频数：指一组数据中，某范围内的数据出现的次数．
②频率：把频数除以数据的总个数，就得到频率．
2、频率分布表
当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布．我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．
【解题方法点拨】
绘制频率分布表的步骤：
1．求全距：决定组数和组距，组距；（全距指整个取值区间的长度，组距指分成的区间的长度）
2．分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
3．登记频数，计算频率，频率，列出频率分布表．
【命题方向】
能根据频率分布表读取信息，进行简单计算，多以选择、填空题形式出现，作为大题时，比较常见和概率统计问题结合进行考查，但难度不大．在计算频率的时候，熟悉使用公式频率求出频率是解题关键．
例：容量为20的样本数据，分组后的频数如下表
分组 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70）
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据落在区间[10，40]的频率为（ ）
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
分析：先求出样本数据落在区间[10，40]频数，然后利用频率等于频数除以样本容量求出频率即可．
解答：由频率分布表知
样本在[10，40]上的频数为2+3+4＝9
故样本在[10，40]上的频率为9÷20＝0.45
故选B．
点评：本题主要考查了频率分布表，解题的关键是频率的计算公式是频率，属于基础题．
13．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
14．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
15．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
16．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
17．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
18．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最 值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
19．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
20．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
21．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
22．直线与抛物线的综合
v．
23．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
24．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
25．空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数 图示
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 无
异面直线 不同时在任何一个平面内 无
26．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
27．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
28．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
29．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
第25页（共55页）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 台州模拟）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|﹣3≤x≤3}，则A∩B＝（ ）
A．[1，3] B．[﹣3，3] C．（1，3] D．[﹣3，1]
2．（5分）（2022 齐齐哈尔二模）2022年1月26日，中国人民银行，中国银行保险监督管理委员会、中国证券监督管理委员会三部门联合印发《金融机构客户尽职调查和客户身份资料及交易记录保存管理办法》（以下简称《办法》），规范金融机构的客户尽职调查、客户身份资料及交易记录保存行为，《办法》自2022年3月1日起施行．《办法》第十条提到，商业银行、农村合作银行、农村信用合作社、村镇银行等金融机构为自然人客户办理人民币单笔5万元以上或者外币等值1万美元以上现金存取业务的，应当识别并核实客户身份，了解并登记资金的来源或者用途．某民调机构调研相关政策实施前民众对该政策的了解程度，随机抽调20人，并通过问卷形式（满分为100分）按照每个人的得分情况得到如下频数分布表：
得分情况 [40，55] （55，70] （70，85] （85，100]
频数 3 3 6 8
则下列说法错误的是（ ）
A．问卷得分低于55分的人数约占总人数的15%
B．问卷得分为80分的共有6人
C．从得分在（70，85]和（85，100]这两个区间中按照分层抽样方法抽取7人，则恰有4人来自得分在（85，100]这个区间段
D．此20人得分平均数的估计值为76.75分
3．（5分）（2022 泸州模拟）（ ）
A．1+i B．1﹣i C． D．
4．（5分）（2022 香坊区校级三模）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间（单位：min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20℃的情况下，一杯开水由100℃降低到60℃需要10min，则k的值约为（ ）
（结果精确到0.001，参考数据：e2≈7.389，ln2≈0.693）
A．0.035 B．0.069 C．0.369 D．0.740
5．（5分）（2022 西城区二模）已知双曲线的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，双曲线上一点P满足||PF1|﹣|PF2||＝2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．（5分）（2022 柳州三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD的侧视图为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）（2022 惠州一模）设等差数列{an}的公差为d，若，则“d＜0”是“bn+1＜bn（n∈N*）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）（2021 道里区校级模拟）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面ABO的下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝30°，A地测得最高点H的仰角为∠OAH＝45°，则该仪器的垂直弹射度CH为（ ）
A．210米 B．210米
C．（210）米 D．420米
9．（5分）（2022 辽宁模拟）已知，则tanθ＝（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C． D．
10．（5分）（2022 榆林三模）在2，3，5，7这四个数中任取三个数，将组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 云南模拟）三棱锥P﹣ABC的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，PA⊥BC．若球M的表面积为100π，PA＝8，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（ ）
A．24 B． C．27 D．
12．（5分）（2021秋 郊区校级期末）定义在实数集R上的奇函数f（x）恒满足f（1﹣x）＝f（x+1），且x∈（0，1）时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 青铜峡市校级期末）已知f（x）＝ex﹣1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是 ．
14．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），则m＝ ．
15．（5分）（2022 上饶模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为 ．
16．（5分）（2022 江西模拟）已知f（x）＝sin（ωx+φ），其中0＜ω＜5，|φ|，为f（x）的一个零点，且f（x）≤f（）恒成立，则满足条件的整数ω取值集合为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 安徽模拟）某加工厂加工某种零件，由新旧两台机床加工，为考核两台机床同时加工质量，各抽取100个样本，测偏差率，得数据如下表：
偏差率 [0，0.02） [0.02，0.04） [0.04，0.06） [0.06，0.08） [0.08，0.10]
新机床 20 25 35 11 9
旧机床 10 20 30 25 15
其中偏差率小于0.06的为合格产品．
（1）若两台机床生产零件总数量相同，以样本频率为概率，求任取一件产品为合格品的概率；
（2）填下表：
合格品 不合格品 合计
新机床
旧机床
合计
计算有无99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关．
参考数据：
P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2．
18．（12分）（2022 攀枝花模拟）在①S3＝2a3﹣2，②a3+2是a2，a4的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且满足_______（只需填序号）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和Tn．
19．（12分）（2020秋 山东月考）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥SC，E为垂足，M为AB的中点．
（1）当点F在线段BC上移动时，判断△DEF是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若SD＝4，求二面角D﹣EM﹣C的正弦值．
20．（12分）（2022 宁波二模）已知点A（1，1）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，点P（m，0）（其中m＞1）．如图过点P且斜率为2的直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的上方），直线AP与抛物线交于另一点D．
（Ⅰ）记|PA| |PD|＝λ|PB| |PC|，当m＝3时，求λ的值；
（Ⅱ）若△ACD面积大于27，求m的取值范围．
21．（12分）（2022 东城区二模）已知函数f（x）＝xalnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，曲线y＝f（x）在x轴的上方，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 云南模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数）射线l1：x＝0（y≥0）与曲线C1交于点A，射线l2：与曲线C2交于点B．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；
（1）直接写出曲线C1、射线l1的极坐标方程．
（2）求△AOB的面积．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 卡若区校级一模）已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+2|．
（1）解关于x的不等式f（x）＞10；
（2）求满足f（x）＝|x﹣2|+4的实数x的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷1 (全国甲卷理科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 台州模拟）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|﹣3≤x≤3}，则A∩B＝（ ）
A．[1，3] B．[﹣3，3] C．（1，3] D．[﹣3，1]
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；对应思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】根据交集的定义求出交集，再改写成区间的形式即可．
【解答】解：∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|﹣3≤x≤3}，
∴A∩B＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]，
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属基础题．
2．（5分）（2022 齐齐哈尔二模）2022年1月26日，中国人民银行，中国银行保险监督管理委员会、中国证券监督管理委员会三部门联合印发《金融机构客户尽职调查和客户身份资料及交易记录保存管理办法》（以下简称《办法》），规范金融机构的客户尽职调查、客户身份资料及交易记录保存行为，《办法》自2022年3月1日起施行．《办法》第十条提到，商业银行、农村合作银行、农村信用合作社、村镇银行等金融机构为自然人客户办理人民币单笔5万元以上或者外币等值1万美元以上现金存取业务的，应当识别并核实客户身份，了解并登记资金的来源或者用途．某民调机构调研相关政策实施前民众对该政策的了解程度，随机抽调20人，并通过问卷形式（满分为100分）按照每个人的得分情况得到如下频数分布表：
得分情况 [40，55] （55，70] （70，85] （85，100]
频数 3 3 6 8
则下列说法错误的是（ ）
A．问卷得分低于55分的人数约占总人数的15%
B．问卷得分为80分的共有6人
C．从得分在（70，85]和（85，100]这两个区间中按照分层抽样方法抽取7人，则恰有4人来自得分在（85，100]这个区间段
D．此20人得分平均数的估计值为76.75分
【考点】分层抽样方法；分布和频率分布表；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】由频率分布表直接判断A，B，按照分层抽样判断C，按照平均数计算判断D．
【解答】解：对于A：问卷得分低于55分的有3人，占比为15%，故A正确，
对于B：问卷得分在（70，85]区间的人数为6人，不一定是得分为80分的有6人，故B错误，
对于C：由6：8＝3：4，可得在（85，100]这个区间中抽取4人，故C正确，
对于D：47.576.75，故D正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了频率分布表的实际应用，考查了分层抽样的定义，属于基础题．
3．（5分）（2022 泸州模拟）（ ）
A．1+i B．1﹣i C． D．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4．（5分）（2022 香坊区校级三模）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间（单位：min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20℃的情况下，一杯开水由100℃降低到60℃需要10min，则k的值约为（ ）
（结果精确到0.001，参考数据：e2≈7.389，ln2≈0.693）
A．0.035 B．0.069 C．0.369 D．0.740
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意及所给数据，代入公式计算，即可得解．
【解答】解：由题意可知θ0＝20℃，θ1＝100℃，θ＝60℃，t＝10min，
则有60﹣20＝（100﹣20）e﹣10k，
所以e﹣10k，
所以k0.069．
故选：B．
【点评】本题考查了指数、对数的基本运算，属于易做题．
5．（5分）（2022 西城区二模）已知双曲线的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，双曲线上一点P满足||PF1|﹣|PF2||＝2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用已知条件求解a，c，然后求解离心率即可．
【解答】解：双曲线的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，所以c＝2，
双曲线上一点P满足||PF1|﹣|PF2||＝2，所以a＝1，
所以双曲线的离心率e2．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，离心率的求法，是基础题．
6．（5分）（2022 柳州三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD的侧视图为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象．
【分析】根据正视图和俯视图得到该几何体的直观图，然后确定侧视图即可．
【解答】解：由正视图和俯视图得到该几何体的直观图如图：
∴该几何体的侧视图是等腰三角形，故选项D符合．
故选：D．
【点评】本题考查三棱锥的侧视图的判断，考查几何体的直观图、三视图等基础知识，考查空间思维能力，属于基础题．
7．（5分）（2022 惠州一模）设等差数列{an}的公差为d，若，则“d＜0”是“bn+1＜bn（n∈N*）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可．
【解答】解：充分性：若d＜0，则an+1﹣an＝d＜0，即an+1＜an，∴，即bn+1＜bn，所以充分性成立；
必要性：若bn+1＜bn，即，∴an+1＜an，则an+1﹣an＝d＜0，必要性成立．
因此，“d＜0”是“bn+1＜bn（n∈N*）”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的通项公式和性质是解决本题的关键．
8．（5分）（2021 道里区校级模拟）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面ABO的下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝30°，A地测得最高点H的仰角为∠OAH＝45°，则该仪器的垂直弹射度CH为（ ）
A．210米 B．210米
C．（210）米 D．420米
【考点】解三角形．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】在△ABC，△OAC，△OAH，△ABC中，由余弦定理可求出|OH|，|OC|可得|CH|的值．
【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得|CB|2＝|AC|2+|AB|2﹣2|AC||AB|cos∠BAC，
由题意|BA|＝100，|CB|＝|AC|﹣40，∠BAC＝60°，
整理可得：20|AC|＝1002﹣402
解得：|AC|＝420，
在Rt△OAC中，∠OAC＝30°，
所以|OA|＝|AC| cos∠OAC＝420210，|OC|＝|AC| sin∠OAC＝420210，
在Rt△ABC中，∠OAH＝45°，所以可得：|OH|＝|OA|＝210，
所以|CH|＝|OH|+|OC|＝210+210，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的余弦定理的应用，属于基础题．
9．（5分）（2022 辽宁模拟）已知，则tanθ＝（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C． D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【解答】解：因为tanθ，
所以tanθ＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10．（5分）（2022 榆林三模）在2，3，5，7这四个数中任取三个数，将组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】应用列举法写出所有无重复字的三位数，再由古典概型概率计算公式即可求出所求概率．
【解答】解：由题意，这个数可能为235，237，257，273，275，325，327，352，357，372，
375，523，527，532，537，572，573，723，725，732，735，752，753，共24种情况，
其中奇数共有18个，故所求概率为P．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型概率计算公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
11．（5分）（2022 云南模拟）三棱锥P﹣ABC的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，PA⊥BC．若球M的表面积为100π，PA＝8，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（ ）
A．24 B． C．27 D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】先证明PA⊥面ABC，BC⊥AB，进而得到三棱锥P﹣ABC的体积是，由BC2+AB2＝AC2＝36，利用基本不等式能求出AB×BC的最大值，由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积的最大值．
【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的顶点都在以PC为直径的球M的表面上，
∴PA⊥AC，PB⊥BC，又PA⊥BC，AC∩BC＝C，
∴PA⊥面ABC，
又PA∩PB＝P，∴BC⊥面PAB，
又AB 面PAB，∴BC⊥AB，
球M的表面积为100π，
设球的半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5，则PC＝10，
∴AC6，BC2+AB2＝AC2＝36，
三棱锥的体积为V，
要使体积最大，即AB×AC最大，
∵AB×BC18，当且仅当AB＝BC时取等号，
∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为V24．
故选：A．
【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面垂直的判定、球的表面积公式、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12．（5分）（2021秋 郊区校级期末）定义在实数集R上的奇函数f（x）恒满足f（1﹣x）＝f（x+1），且x∈（0，1）时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据函数的奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．
【解答】解：∵奇函数f（x）恒满足f（1﹣x）＝f（x+1），
∴f（x+1）＝﹣f（x﹣1），即f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，
f（4）＝f（）＝﹣f（）＝﹣f（1）＝﹣f（1）＝﹣f（）＝﹣（）＝﹣（2），
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性等量关系推出函数是周期函数是解决本题的关键，是中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 青铜峡市校级期末）已知f（x）＝ex﹣1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是 ex﹣y﹣1＝0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】求出函数的导数，通过导函数值，求解切线的斜率，然后求解切点坐标，即可得到切线方程．
【解答】解：由f（x）＝ex﹣1，可得f′（x）＝ex，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）＝e，而f（1）＝e﹣1，
所以切线方程为y﹣e+1＝e（x﹣1），即ex﹣y﹣1＝0．
故答案为：ex﹣y﹣1＝0．
【点评】本题考查切线方程的求法，函数的导数的求解，导数的几何意义的理解，是基础题．
14．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），则m＝ ﹣7 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，建立方程，求出m的值．
【解答】解：∵向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），
∴（2） 2（﹣4﹣2m）﹣2×5＝0，则m＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
15．（5分）（2022 上饶模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】由余弦定理，结合椭圆的定义，可求得|PF2|，|PF1|，|F1F2|，再用余弦定理和面积公式求解即可．
【解答】解：由题意可得a＝3，，．
因为O，M分别是F1F2和F1P的中点，所以，|PF2|＝2|OM|＝2|OF|2＝2c＝4，
根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a﹣2c＝2，又因为F1F2＝2c＝4，
所以，
所以，
故△PF1F2的面积是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的定义及其应用，椭圆中焦点三角形面积的计算等知识，属于中等题．
16．（5分）（2022 江西模拟）已知f（x）＝sin（ωx+φ），其中0＜ω＜5，|φ|，为f（x）的一个零点，且f（x）≤f（）恒成立，则满足条件的整数ω取值集合为 {1，3} ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】结合f（x）的零点，最值列出不等式，再分类讨论，即可求解．
【解答】解：∵为f（x）的一个零点，且f（x）≤f（）恒成立，
∴，，k1∈Z，
，，k2∈Z，
①+②可得，，
∵|φ|，2|φ|≤π，
∴2φ或，解得φ或，
当φ时，，ω＝1﹣4k1，
∵0＜ω＜5，
∴0＜1﹣4k1＜5，解得，k1＝0，
∴ω＝1，
当时，，ω＝﹣1﹣4k1，
∵0＜ω＜5，
∴0＜﹣1﹣4k1＜5，解得，k1＝﹣1，
∴ω＝3，
故满足条件的整数ω取值集合为{1，3}．
故答案为：{1，3}．
【点评】本题主要考查正弦图象的性质，考查分类讨论的思想，属于难题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 安徽模拟）某加工厂加工某种零件，由新旧两台机床加工，为考核两台机床同时加工质量，各抽取100个样本，测偏差率，得数据如下表：
偏差率 [0，0.02） [0.02，0.04） [0.04，0.06） [0.06，0.08） [0.08，0.10]
新机床 20 25 35 11 9
旧机床 10 20 30 25 15
其中偏差率小于0.06的为合格产品．
（1）若两台机床生产零件总数量相同，以样本频率为概率，求任取一件产品为合格品的概率；
（2）填下表：
合格品 不合格品 合计
新机床
旧机床
合计
计算有无99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关．
参考数据：
P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2．
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）计算出200个样本中合格品的个数，进而求出任取一件产品为合格品的概率．
（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解答】解：（1）200个样本中，合格品有140个，故任取一件产品为合格品的概率P0.7．
（2）表填充如下：
合格品 不合格品 合计
新机床 80 20 100
旧机床 60 40 100
合计 140 60 200
∴9.524＜10.828，
∴没有99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
18．（12分）（2022 攀枝花模拟）在①S3＝2a3﹣2，②a3+2是a2，a4的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且满足_______（只需填序号）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）由①②利用等比数列的基本量的运算可得q＝2，即得；由③利用an与Sn的关系即求；
（2）由题可得，利用分组求和法即得．
【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q，q＞0，
选①，由S3＝2a3﹣2，得a1+a2+a3＝2a3﹣2，
∴a3﹣a2﹣a1＝2，又a1＝2，
∴2q2﹣2q﹣4＝0，
解得q＝2或q＝﹣1（舍去），
∴；
选②，a3+2是a2，a4的等差中项，
∴a2+a4＝2（a3+2），又a1＝2，
∴2q+2q3＝2（2q2+2），即（1+q2）q＝2（q2+1），
∴q＝2，
∴；
选③，，
当n＝1时，，
∴t＝2或t＝﹣2（舍去），
∴，
当n≥2时，，
故数列{an}的通项公式为；
（2）∵，
∴，
∴，
∴
．
【点评】本题考查了数列的递推式和分组求和，属于中档题．
19．（12分）（2020秋 山东月考）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥SC，E为垂足，M为AB的中点．
（1）当点F在线段BC上移动时，判断△DEF是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若SD＝4，求二面角D﹣EM﹣C的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】转化思想；向量法；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由SD⊥BC，BC⊥CD，知BC⊥平面SCD，从而有BC⊥DE，而DE⊥SC，得DE⊥平面SBC，故DE⊥EF，
得解；
（2）以D为原点建立空间直角坐标系，求得平面DEM和平面CEM的法向量与，由cos，，可得解．
【解答】解：（1）△DEF为直角三角形，证明过程如下：
∵SD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴SD⊥BC，
∵正方形ABCD，∴BC⊥CD，
又SD∩CD＝D，SD、CD 平面SCD，
∴BC⊥平面SCD，
∵DE 平面SCD，∴BC⊥DE，
∵DE⊥SC，BC∩SC＝C，BC、SC 平面SBC，
∴DE⊥平面SBC，
∵EF 平面SBC，∴DE⊥EF，
故△DEF为直角三角形．
（2）以D为原点，DA，DC，DS所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），C（0，2，0），M（2，1，0），
∵S△SCDSD CDDE SC，
∴DE，
∴在Rt△SDE中，cos∠SDE，
∴yE＝DE sin∠SDE，zE＝DE cos∠SDE，
即E（0，，），
∴（0，，），（2，1，0），（0，，），（2，﹣1，0），
设平面DEM的法向量为（x，y，z），则，即，
令x＝1，则y＝﹣2，z＝4，∴（1，﹣2，4），
同理可得，平面CEM的法向量为（1，2，1），
∴cos，，
设二面角D﹣EM﹣C的平面角为θ，则sinθ，
故二面角D﹣EM﹣C的正弦值为．
【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）（2022 宁波二模）已知点A（1，1）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，点P（m，0）（其中m＞1）．如图过点P且斜率为2的直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的上方），直线AP与抛物线交于另一点D．
（Ⅰ）记|PA| |PD|＝λ|PB| |PC|，当m＝3时，求λ的值；
（Ⅱ）若△ACD面积大于27，求m的取值范围．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】（Ⅰ）首先求出抛物线方程，即可求出直线BC，AD的方程，再联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，再根据两点的距离公式求出|PB|，|PC|，|PA|，|PD|，即可得解；
（Ⅱ）设，即可得到BC的方程，从而得到D点坐标，即可得到直线AD的方程，联立直线AD与抛物线方程，利用弦长公式求出|AD|，再由点到直线的距离公式求出C到直线AD的距离d，即可得到，再利用导数说明函数的单调性，即可求出y0的取值范围，从而得到m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知：1＝2p，所以，所以抛物线方程为y2＝x，
当m＝3时，
所以，
联立，消去x得2y2﹣y﹣6＝0，
解得y1＝2或，
所以，
所以，
，
∴，
又，消去x整理得y2+2y﹣3＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣3，所以D（9，﹣3），
所以，
，
∴|PA| |PD|＝15，
所以；
（Ⅱ）设，则，
令y＝0，则，即，
所以AD：x＝（1﹣m）y+m，
联立，消元整理得y2﹣（1﹣m）y﹣m＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣m，
∴，
而，
∴
，
因为且y0＜0，所以，
所以，
令，
则，
∴f（y0）在（﹣∞，0）上单调递减，
又当y0＝﹣2时，S△ACD＝27，
所以当S△ACD＞27时，y0＜﹣2，
∴，
所以m的取值范围是（5，+∞）．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于难题．
21．（12分）（2022 东城区二模）已知函数f（x）＝xalnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，曲线y＝f（x）在x轴的上方，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义即得；
（Ⅱ）由题可知f（x）min＞0，当a≥0时适合题意，当a＜0时，分类讨论，利用导数求函数的最值即得．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝xlnx，x＞0，
所以f′（x）＝1，
所以f（1）＝3，f′（1）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝3；
（Ⅱ）因为函数f（x）＝xalnx（a∈R），
当a≥0时，由x∈[e，+∞）有f（x）＞0，故曲线y＝f（x）在x轴的上方，
当a＜0时，f′（x）＝1，
由f′（x）＝0可得x＝﹣2a或x＝a （舍去），
所以当x∈（0，﹣2a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当﹣2a≤e，即a＜0时，所以f（x）在[e，+∞）上单调递增，
则f（x）≥f（e）＝ea（a）2e＞0，即曲线y＝f（x）在x轴的上方，
当﹣2a＞e，即a时，f（x）在[e，﹣2a）上单调递减，在（﹣2a，+∞）上单调递增，
则f（x）≥f（﹣2a）＝﹣3a+aln（﹣2a），
由x∈[e，+∞）时，曲线y＝f（x）在x轴的上方，
所以﹣3a+aln（﹣2a）＞0，解得a，
所以a；
综上，实数a的取值范围为（，+∞）．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 云南模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数）射线l1：x＝0（y≥0）与曲线C1交于点A，射线l2：与曲线C2交于点B．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；
（1）直接写出曲线C1、射线l1的极坐标方程．
（2）求△AOB的面积．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用极径的应用和三角形面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1，所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝1，
射线l1的极坐标方程为；
（2）C2的极坐标方程为，
射线l2的极坐标方程．
由得点A的一个极坐标为．
由，得点B的一个极坐标为．
∴．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 卡若区校级一模）已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+2|．
（1）解关于x的不等式f（x）＞10；
（2）求满足f（x）＝|x﹣2|+4的实数x的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）由f（x）＞10可得，|2x﹣4|+|x+2|＞10，再结合零点分类讨论法，即可求解．
（2）根据已知条件，结合绝对值三角不等式公式，即可求解．
【解答】解：（1）由f（x）＞10可得，|2x﹣4|+|x+2|＞10，
①当x＜﹣2时，不等式为﹣（2x﹣4）﹣（x+2）＞10，解得x，
故x，
②当﹣2≤x≤2时，不等式为﹣（2x﹣4）+（x+2）＞10，解得x＜﹣4，故x∈ ，
③当x＞2时，不等式为（2x﹣4）+（x+2）＞10，解得x＞4，故x＞4，
综上所述，不等式的解集为．
（2）由f（x）＝|x﹣2|+4可得，|x﹣2|+|x+2|＝4，
又|x﹣2|+|x+2|≥|（x﹣2）﹣（x+2）|＝4，当且仅当（x﹣2）（x+3）≤0，即﹣2≤x≤2时，等号成立，
故满足f（x）＝|x﹣2|+4的实数x的取值范围为[﹣2，2]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查转化能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）1
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
7．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
8．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
9．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵， （3，﹣4）5，∴A不成立；
对于B：∵， （﹣4，3），∴B不成立；
对于C：∵， （4，3），∴C成立；
对于D：∵， （4，﹣3），∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
10．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
11．分层抽样方法
【知识点的认识】
1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”．
2．三种抽样方法比较
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少
系统抽样 将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多
分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
【解题方法点拨】
分层抽样方法操作步骤：
（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；
（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；
（3）确定各层应抽取的样本容量；
（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．
【命题方向】
（1）区分分层抽样方法
例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法
分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．
故选D
点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．
（2）求抽取样本数
例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ）
A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4
分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数．
解答：每个个体被抽到的概率等于，549，427．
故从一班抽出9人，从二班抽出7人，
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．
例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A.35 B.25 C.15 D.7
分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．
解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，
所以样本容量为15．
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值．
12．分布和频率分布表
【知识点的认识】
1．频数与频率
①频数：指一组数据中，某范围内的数据出现的次数．
②频率：把频数除以数据的总个数，就得到频率．
2、频率分布表
当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布．我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．
【解题方法点拨】
绘制频率分布表的步骤：
1．求全距：决定组数和组距，组距；（全距指整个取值区间的长度，组距指分成的区间的长度）
2．分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
3．登记频数，计算频率，频率，列出频率分布表．
【命题方向】
能根据频率分布表读取信息，进行简单计算，多以选择、填空题形式出现，作为大题时，比较常见和概率统计问题结合进行考查，但难度不大．在计算频率的时候，熟悉使用公式频率求出频率是解题关键．
例：容量为20的样本数据，分组后的频数如下表
分组 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70）
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据落在区间[10，40]的频率为（ ）
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
分析：先求出样本数据落在区间[10，40]频数，然后利用频率等于频数除以样本容量求出频率即可．
解答：由频率分布表知
样本在[10，40]上的频数为2+3+4＝9
故样本在[10，40]上的频率为9÷20＝0.45
故选B．
点评：本题主要考查了频率分布表，解题的关键是频率的计算公式是频率，属于基础题．
13．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
14．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
15．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
16．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
17．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
18．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最 值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
19．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
20．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
21．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
22．直线与抛物线的综合
v．
23．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
24．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
25．空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数 图示
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 无
异面直线 不同时在任何一个平面内 无
26．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
27．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
28．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
29．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
第25页（共55页）
同课章节目录