2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷文科)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷文科)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 535.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:17:06 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国甲卷文科)
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 遂宁模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B． C．{0，1，2} D．{1，2，3}
2．（5分）（2022 赤峰模拟）成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业，称为独角兽企业．2021年中国新经济独角兽企业分布较广泛、覆盖居民生活的各个方面．如图为2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图，中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京、沪、粤三地的企业数量共同占比达到69%．下列说法不正确的是（ ）
A．随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注
B．这12个行业T0P200榜单中独角兽企业数量的中位数是17
C．中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京沪粤三地的企业超过130家
D．2021年中国新经济独角兽企业TOP200榜单中汽车交通、企业服务、文化娱乐的企业数量共同占比超过40%
3．（5分）（2022 广州二模）若复数是实数，则实数m＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（5分）（2019 西城区一模）下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x2+2x B．y＝2x+1 C．y＝x3+1 D．y＝（x﹣1）|x|
5．（5分）（2022 安徽模拟）双曲线的一条渐近线斜率为，则m＝（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（5分）（2022 香坊区校级三模）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间（单位：min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20℃的情况下，一杯开水由100℃降低到60℃需要10min，则k的值约为（ ）
（结果精确到0.001，参考数据：e2≈7.389，ln2≈0.693）
A．0.035 B．0.069 C．0.369 D．0.740
7．（5分）（2017 郊区校级三模）一个正方体截去两个角后所得的几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2022 渭南一模）在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC＝（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
9．（5分）（2022 原州区校级一模）已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ）
A．﹣85 B．255 C．85 D．﹣255
10．（5分）（2022 甘肃模拟）甘肃省目前有6处5A级景区，分别是平凉崆峒山、敦煌鸣沙山月牙泉、天水麦积山、嘉峪关长城、临夏炳灵寺和张掖七彩丹霞，为了让学生更多的了解我省深厚的历史文化，兰州市的3所中学计划在2022年暑期组织学生到以上6个景区中的任一景区去游学，那么他们所选景区各不相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 河南模拟）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线2x+y＝0上，则cos2α+sin2α＝（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．（5分）（2018 邕宁区校级模拟）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的实数x都有f（1﹣x）＝f（x+1），且f（﹣1）＝2，f（2）＝﹣1．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（ ）
A．2017 B．1010 C．1008 D．2
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021 新乡三模）已知向量（1，x），（x，4），则当||＝2时，||＝ ．
14．（5分）（2022 二模拟）已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ．
15．（5分）（2021 广西模拟）已知函数f（x）＝22sin（ωx+φ﹣ ）（0＜φ＜π，ω＞0）为奇函数，且曲线y＝f（x）相邻两对称轴之间的距离为 ，则f（ ）＝ ．
16．（5分）（2021 上海模拟）设椭圆1的左焦点为F，过（0，1）的直线l与椭圆交于点A，B．当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 呼和浩特模拟）科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化，主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”．为了解市民对“碳达峰”和“碳中和”的知晓程度，某机构随机选取了100名市民进行问卷调查，他们年龄的分布频数及对“碳达峰”和“碳中和”的知晓人数如下表：
年龄（单位：岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）
频数 10 20 30 20 10 10
知晓人数 10 20 25 19 4 2
（Ⅰ）若以“年龄45岁”为分界点，根据以上数据完成下面2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关．
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
知晓
不知晓
合计
（Ⅱ）若从年龄在[25，35）和[55，65）的知晓人中按照分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中任意选取2人担任“碳达峰’和“碳中和”讲解员，求2人年龄都在[25，35）的概率．
参考公式：K2，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．（12分）（2021秋 工业园区校级月考）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝4an+2（n∈N*）．
（1）设bn＝an+1﹣2an，求证：{bn}是等比数列；
（2）设，求证：{cn}是等差数列．
19．（12分）（2022 全国卷模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为棱AD，CC1，B1C1的中点．
（1）求证：EC∥平面DFG；
（2）求点E到平面DFG的距离．
20．（12分）（2021 昆明一模）已知函数f（x）＝ex+x2﹣x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）≥1．
21．（12分）（2020 3月份模拟）已知椭圆C：1（a＞1）的左顶点为A，右焦点为F，斜率为1的直线与椭圆C交于A、B两点，且OB⊥AB，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆C交于M、N两点，若点P满足，且NP与椭圆C的另一个交点为Q，求的值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2pcosθ﹣m＝0．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点．若点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，求正数m的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（2022 山西二模）已知函数．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤6；
（2）若f（x）≥5恒成立，求实数a的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国甲卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 遂宁模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B． C．{0，1，2} D．{1，2，3}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣5≤0}＝{x∈N|﹣1≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，
B＝{﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{0，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 赤峰模拟）成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业，称为独角兽企业．2021年中国新经济独角兽企业分布较广泛、覆盖居民生活的各个方面．如图为2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图，中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京、沪、粤三地的企业数量共同占比达到69%．下列说法不正确的是（ ）
A．随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注
B．这12个行业T0P200榜单中独角兽企业数量的中位数是17
C．中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京沪粤三地的企业超过130家
D．2021年中国新经济独角兽企业TOP200榜单中汽车交通、企业服务、文化娱乐的企业数量共同占比超过40%
【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【专题】应用题；数形结合；综合法；概率与统计；逻辑推理．
【分析】由2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图对四个选项依次判断即可．
【解答】解：由2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图知，
汽车交通行业有29家企业，可知汽车交通行业备受投资者关注；
这12个行业T0P200榜单中独角兽企业数量的中位数是17；
∵200×69%＝138，∴京沪粤三地的企业超过130家；
2021年中国新经济独角兽企业TOP200榜单中汽车交通、企业服务、文化娱乐的企业数量共同占比为36.5%，
不超过40%；
故选：D．
【点评】本题考查了数据分析能力，属于基础题．
3．（5分）（2022 广州二模）若复数是实数，则实数m＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合实数的定义，以及复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：∵为实数，
∴0，解得m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查实数的定义，以及复数的运算法则，属于基础题．
4．（5分）（2019 西城区一模）下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x2+2x B．y＝2x+1 C．y＝x3+1 D．y＝（x﹣1）|x|
【考点】函数的单调性及单调区间．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意；
对于B，y＝2x+1，其值域为（0，+∞），不符合题意；
对于C，y＝x3+1，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于D，y＝（x﹣1）|x|，在区间（0，）上为减函数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．
5．（5分）（2022 安徽模拟）双曲线的一条渐近线斜率为，则m＝（ ）
A．2 B． C．3 D．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】根据双曲线的渐近线方程可解得答案．
【解答】解：由题意可知m＞0，所以双曲线的渐近线方程为，
∵双曲线的一条渐近线斜率为，
∴，解得m＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线，属于基础题．
6．（5分）（2022 香坊区校级三模）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间（单位：min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20℃的情况下，一杯开水由100℃降低到60℃需要10min，则k的值约为（ ）
（结果精确到0.001，参考数据：e2≈7.389，ln2≈0.693）
A．0.035 B．0.069 C．0.369 D．0.740
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意及所给数据，代入公式计算，即可得解．
【解答】解：由题意可知θ0＝20℃，θ1＝100℃，θ＝60℃，t＝10min，
则有60﹣20＝（100﹣20）e﹣10k，
所以e﹣10k，
所以k0.069．
故选：B．
【点评】本题考查了指数、对数的基本运算，属于易做题．
7．（5分）（2017 郊区校级三模）一个正方体截去两个角后所得的几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】作图题；综合法；立体几何；直观想象；数学运算．
【分析】由题意结合三视图画出几何体的直观图，然后判断几何体的侧视图即可．
【解答】解：因为一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，所以几何体的直观图为：
所以侧视图为：；
故选：C．
【点评】本题考查空间想象能力，三视图与几何体的直观图的对应关系．
8．（5分）（2022 渭南一模）在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC＝（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】在△ABC中，由余弦定理有AB2＝AC2+BC2﹣2AC×BC×cos∠ACB，求解即可．
【解答】解：在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，
由余弦定理有AB2＝AC2+BC2﹣2AC×BC×cos∠ACB，
∴49＝25+BC2﹣2×5×BC×（），
∴BC2+5BC﹣24＝0，解得BC＝3或BC＝﹣8（舍去），
故选：B．
【点评】本题考查余弦定理，属基础题．
9．（5分）（2022 原州区校级一模）已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ）
A．﹣85 B．255 C．85 D．﹣255
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由已知结合等差数列的通项公式可求q．a1，然后结合等比数列的求和公式可求．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a5＝16，a3a4＝﹣32，即，，
∴q＝﹣2，a1＝1，
则．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，属于基础题．
10．（5分）（2022 甘肃模拟）甘肃省目前有6处5A级景区，分别是平凉崆峒山、敦煌鸣沙山月牙泉、天水麦积山、嘉峪关长城、临夏炳灵寺和张掖七彩丹霞，为了让学生更多的了解我省深厚的历史文化，兰州市的3所中学计划在2022年暑期组织学生到以上6个景区中的任一景区去游学，那么他们所选景区各不相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】求出基本事件总数为和事件A包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解．
【解答】解：设他们所选景区各不相同为事件A，
∵基本事件总数为63＝216，
事件A包含的基本事件数为120，
∴P（A），
故选：D．
【点评】本题主要考查古典概型的概率计算公式即可，属于基础题．
11．（5分）（2022 河南模拟）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线2x+y＝0上，则cos2α+sin2α＝（ ）
A．0 B．1 C． D．
【考点】二倍角的三角函数；任意角的三角函数的定义．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由已知可得tanα，再由同角三角函数基本关系式及倍角公式求解cos2α+sin2α．
【解答】解：由题意，tanα＝﹣2，
则cos2α+sin2α．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．
12．（5分）（2018 邕宁区校级模拟）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的实数x都有f（1﹣x）＝f（x+1），且f（﹣1）＝2，f（2）＝﹣1．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（ ）
A．2017 B．1010 C．1008 D．2
【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质与判断．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】由已知可得f（x）是周期为2的周期函数，得f（﹣1）＝f（1）＝f（2n+1）＝2，又f（2）＝f（2n）＝﹣1，于是f（2n+1）+f（2n）＝1，由此可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值．
【解答】解：由题意可得，f（﹣x）＝f（x），又f（1﹣x）＝f（x+1），可得f（﹣x）＝f（x+2），
得f（x+2）＝f（x），因此f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（﹣1）＝f（1）＝f（2n+1）＝2，
又f（2）＝f（2n）＝﹣1，于是f（2n+1）+f（2n）＝1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）＝f（1）+1008＝2+1008＝1010．
故选：B．
【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，是中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021 新乡三模）已知向量（1，x），（x，4），则当||＝2时，||＝ ．
【考点】向量的概念与向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由已知结合向量模长的坐标公式即可直接求解．
【解答】解：由题意得，1+x2＝4，
即x2＝3，
所以||．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量模长的坐标表示，属于基础题
14．（5分）（2022 二模拟）已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 1 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；弧长公式．
【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】根据圆锥侧面展开灵兔绒性质，结合弧长公式进行求解即可．
【解答】解：∵圆锥的母线长为3，∴侧面展开图扇形的半径为3，
设该圆锥的底面半径为r，
则2πr，解得r＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查圆锥底面半径的求法，考查圆锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）（2021 广西模拟）已知函数f（x）＝22sin（ωx+φ﹣ ）（0＜φ＜π，ω＞0）为奇函数，且曲线y＝f（x）相邻两对称轴之间的距离为 ，则f（ ）＝ 11 ．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由函数f（x）为奇函数求出φ的值，再根据y＝f（x）相邻两对称轴之间的距离求出T和ω的值，写出f（x）的解析式，即可计算f（ ）的值．
【解答】由函数f（x）＝22sin（ωx+φ﹣ ）为奇函数，所以f（0）＝22sin（φ）＝0，
即sin（φ）＝0，所以φkπ，k∈Z，
解得φ＝kπ，k∈Z，
又0＜φ＜π，所以φ，
又曲线y＝f（x）相邻两对称轴之间的距离为 ，所以，
解得T＝π，所以ω2，
所以f（x）＝22sin2x，
所以f（ ）＝22sin（2）＝22sin11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
16．（5分）（2021 上海模拟）设椭圆1的左焦点为F，过（0，1）的直线l与椭圆交于点A，B．当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】设出椭圆的右焦点，求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求出三角形FAB的周长的最大时的情况，由此求出直线l的方程，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及点到直线的距离公式即可求出三角形AFB的面积．
【解答】解：设M为椭圆的右焦点，由椭圆的方程可得c＝1，所以F（﹣1，0），M（1，0），
则FA+FB+AB＝2a﹣AM+2a﹣BM+AB＝4a﹣（AM+BM﹣AB）≤4a，
当且仅当直线l经过点M时取等号，此时直线l过点M（1，0），（0，1），
所以直线l的斜率为﹣1，则直线l的方程为y＝﹣x+1，
联立方程，消去y整理可得7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x，x，所以|AB|，
点F到直线l的距离为d，
所以三角形FAB的面积为S，
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质与定义，考查了学生的逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 呼和浩特模拟）科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化，主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”．为了解市民对“碳达峰”和“碳中和”的知晓程度，某机构随机选取了100名市民进行问卷调查，他们年龄的分布频数及对“碳达峰”和“碳中和”的知晓人数如下表：
年龄（单位：岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）
频数 10 20 30 20 10 10
知晓人数 10 20 25 19 4 2
（Ⅰ）若以“年龄45岁”为分界点，根据以上数据完成下面2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关．
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
知晓
不知晓
合计
（Ⅱ）若从年龄在[25，35）和[55，65）的知晓人中按照分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中任意选取2人担任“碳达峰’和“碳中和”讲解员，求2人年龄都在[25，35）的概率．
参考公式：K2，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】解：（Ⅰ）根据题意统计个数填入2×2列联表，根据表格数值计算K2，与P（K2≥k0）＝0.001的k0＝10.828比较大小即可；
（Ⅱ）分层抽样计算在[25，35）和[55，65）中抽取的人数，并利用超几何分布的概率计算结果即可．
【解答】（Ⅰ）根据统计数据统计，年龄不低于45岁的人数的人数共有40人，其中知晓“碳达峰”和“碳中和”的有25人，不知晓“碳达峰”和“碳中和”的有15人，
年龄低于45岁的人数的人数共有60人，其中知晓“碳达峰”和“碳中和”的有55人，不知晓“碳达峰”和“碳中和”的有5人，
故2×2列联表如下：
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
知晓 25 55 80
不知晓 15 5 20
合计 40 60 100
，
因为P（K2≥10.828）＝0.001，且12.76＞10.828，
所以能够在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关；
（Ⅱ）年龄在[25，35）中的知晓人有20人，在的[55，65）中知晓人有4人，
所以分层抽到的年龄在[25，35）中的知晓人有（人），
分层抽到的年龄在[55，65）中的知晓人有（人），
并从这6人中任意选取2人担任“碳达峰”和“碳中和”讲解员，2人年龄都在[25，35）的概率为．
【点评】本题考查了独立性检验的应用，属于中档题．
18．（12分）（2021秋 工业园区校级月考）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝4an+2（n∈N*）．
（1）设bn＝an+1﹣2an，求证：{bn}是等比数列；
（2）设，求证：{cn}是等差数列．
【考点】等差数列的性质．
【专题】方程思想；转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）根据题意可得an+2＝Sn+2﹣Sn﹣1＝4an+1﹣4an，然后求出，进一步证明{bn}是等比数列；
（2）由（1）可知bn＝3 2n﹣1＝an+1﹣2an，则3，即cn+1﹣cn＝3，从而证明{cn}是等差数列．
【解答】证明：（1）根据题意，an+2＝Sn+2﹣Sn﹣1＝4an+1+2﹣（4an+2）＝4an+1﹣4an，
所以2，
又S2＝a1+a2＝4a1+2，解得a2＝5，
所以b1＝a2﹣2a1＝3，
所以{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可知bn＝3 2n﹣1＝an+1﹣2an，则3，
所以cn+1﹣cn＝3，且c12，
所以数列{cn}是以2为首项，3为公差的等差数列．
【点评】本题考查数列的递推公式，等差数列，等比数列的证明，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
19．（12分）（2022 全国卷模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为棱AD，CC1，B1C1的中点．
（1）求证：EC∥平面DFG；
（2）求点E到平面DFG的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行．
【专题】计算题；对应思想；分析法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】（1）补全平面DFG后结合线面平行的判定定理来证得EC∥平面DFG．
（2）结合等体积法来求得E到平面DFG的距离．
【解答】证明：（1）设H是BC的中点，连接DA1，GD1，GA1，CB1，AH如下图所示，
根据正方体的性质可知GF∥CB1∥DA1，EC∥AH∥GA1，
即A1，G，F，D四点共面，
由于EC 平面DFG，GA1∥平面DFG，
所以EC∥平面DFG．
解：（2）由（1）得EC∥平面DFG，所以E到平面DFG的距离，即C到平面DFG的距离，设为h．
，
，
为锐角，则，
所以．
则．
所以E到平面DFG的距离为．
【点评】本题考查空间点线面的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（12分）（2021 昆明一模）已知函数f（x）＝ex+x2﹣x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）≥1．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；函数思想；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）根据函数导数的几何意义，即可求得函数在点（0，f（0））处的切线方程；（2）法一：根据题意，只需证明函数f（x）在R上的最小值为1，即可．法二：只需证明ex﹣x﹣1≥0即可．
【解答】（1）解：根据题意可得，f'（x）＝ex+2x﹣1，
根据函数导数的几何意义即得，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程即为y﹣f（0）＝f'（0）（x﹣0）
∵f（0）＝1，f'（0）＝0，
∴函数y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程即为：y﹣1＝0 y＝1．
（2）证明：法一：由（1）得，f'（x）＝ex+2x﹣1，
∴f“（x）＝ex+2＞0，即得f'（x）在R上单调递增，
又因为f'（0）＝0，
所以当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递增；当x＜0时，f'（x）＜f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递减；
综上可得，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增．
即得f（x）min＝f（0）＝1，
所以对任意的x∈R，都有f（x）≥1．
法二：令g（x）＝ex﹣x﹣1，g′（x）＝ex﹣1，易知
g（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，g（x）≥g（0）＝0，又x2≥0，
所以ex﹣x﹣1+x2≥0．
【点评】本题考查函数导数几何意义的使用，以及导数法求解函数单调性，属于基础题．
21．（12分）（2020 3月份模拟）已知椭圆C：1（a＞1）的左顶点为A，右焦点为F，斜率为1的直线与椭圆C交于A、B两点，且OB⊥AB，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆C交于M、N两点，若点P满足，且NP与椭圆C的另一个交点为Q，求的值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出点B的坐标，再根据OB⊥AB，建立关于a的方程，解出即可；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），，由已知，将点Q的坐标用点M，N表示，再由点Q在椭圆上，得到关于m的方程，解出即可．
【解答】解：（1）由题意得，设直线AB的方程：x＝y﹣a，与椭圆联立整理得：（1+a2）y2﹣2ay＝0，
∴yB，
∴xB，
因为OB⊥AB，
∴1，a＞1，解得：a2＝3，
所以椭圆C的标准方程：1；
（2）由（1）得，F（，0）所以由题意得直线MN的方程为：，
设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），
将代入1，得，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
设，则，即，
∴，
∵点Q（x3，y3）在椭圆C上，
∴，
整理得，
由上知，，且，
∴1，即7m2﹣18m﹣25＝0，解得或m＝﹣1（舍），
故．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，考查逻辑推理能力，特别是考查了化简运算求解能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2pcosθ﹣m＝0．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点．若点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，求正数m的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为x﹣y+3＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣m＝0，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2+2x﹣m＝0；
（2）将直线l的方程转换为参数方程为（n为参数），代入x2+y2+2x﹣m＝0；
得到；
所以；n1n2＝3﹣m；
由于点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，
不妨设n1＝﹣2n2，
整理得；
故，解得m＝19．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 山西二模）已知函数．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤6；
（2）若f（x）≥5恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值，解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式得到2a≥5，直接解不等式，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣2|．
当x≥2时，f（x）＝2x≤6，解得2≤x≤3；
当﹣2＜x＜2时，f（x）＝4≤6恒成立；
当x≤﹣2时，f（x）＝﹣2x≤6，解得﹣3≤x≤﹣2．
综上，当a＝1时，不等式f（x）≤6的解集为[﹣3，3]．
（2）因为，当且仅当（x）（x﹣2a）≤0时等号成立，
所以2a≥5，即2a2﹣5a+2≥0，
解得或a≥2．
故实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数的单调性及单调区间
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
① f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）f（x﹣2） T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
9．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
10．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
11．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
12．虚数单位i、复数
【虚数单位i的概念】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算，则符合条件的复数z为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．
【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
13．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
14．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
15．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
16．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
17．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
18．弧长公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slrr2α．
【命题方向】
已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2 B． C．2sin1 D．sin2
【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交 于D，
∠AOD＝∠BOD＝1，ACAB＝1，
Rt△AOC中，AO，
从而弧长为α r，
故选B．
【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②SlR；③SαR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
19．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【命题方向】
已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r5．
∴cosα，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
20．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
21．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的知识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
22．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
23．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
24．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
25．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
26．直线与椭圆的综合
v．
27．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
28．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
29．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
30．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
31．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
32．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
33．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 遂宁模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B． C．{0，1，2} D．{1，2，3}
2．（5分）（2022 赤峰模拟）成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业，称为独角兽企业．2021年中国新经济独角兽企业分布较广泛、覆盖居民生活的各个方面．如图为2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图，中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京、沪、粤三地的企业数量共同占比达到69%．下列说法不正确的是（ ）
A．随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注
B．这12个行业T0P200榜单中独角兽企业数量的中位数是17
C．中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京沪粤三地的企业超过130家
D．2021年中国新经济独角兽企业TOP200榜单中汽车交通、企业服务、文化娱乐的企业数量共同占比超过40%
3．（5分）（2022 广州二模）若复数是实数，则实数m＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（5分）（2019 西城区一模）下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x2+2x B．y＝2x+1 C．y＝x3+1 D．y＝（x﹣1）|x|
5．（5分）（2022 安徽模拟）双曲线的一条渐近线斜率为，则m＝（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（5分）（2022 香坊区校级三模）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间（单位：min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20℃的情况下，一杯开水由100℃降低到60℃需要10min，则k的值约为（ ）
（结果精确到0.001，参考数据：e2≈7.389，ln2≈0.693）
A．0.035 B．0.069 C．0.369 D．0.740
7．（5分）（2017 郊区校级三模）一个正方体截去两个角后所得的几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2022 渭南一模）在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC＝（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
9．（5分）（2022 原州区校级一模）已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ）
A．﹣85 B．255 C．85 D．﹣255
10．（5分）（2022 甘肃模拟）甘肃省目前有6处5A级景区，分别是平凉崆峒山、敦煌鸣沙山月牙泉、天水麦积山、嘉峪关长城、临夏炳灵寺和张掖七彩丹霞，为了让学生更多的了解我省深厚的历史文化，兰州市的3所中学计划在2022年暑期组织学生到以上6个景区中的任一景区去游学，那么他们所选景区各不相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 河南模拟）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线2x+y＝0上，则cos2α+sin2α＝（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．（5分）（2018 邕宁区校级模拟）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的实数x都有f（1﹣x）＝f（x+1），且f（﹣1）＝2，f（2）＝﹣1．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（ ）
A．2017 B．1010 C．1008 D．2
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021 新乡三模）已知向量（1，x），（x，4），则当||＝2时，||＝ ．
14．（5分）（2022 二模拟）已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ．
15．（5分）（2021 广西模拟）已知函数f（x）＝22sin（ωx+φ﹣ ）（0＜φ＜π，ω＞0）为奇函数，且曲线y＝f（x）相邻两对称轴之间的距离为 ，则f（ ）＝ ．
16．（5分）（2021 上海模拟）设椭圆1的左焦点为F，过（0，1）的直线l与椭圆交于点A，B．当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 呼和浩特模拟）科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化，主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”．为了解市民对“碳达峰”和“碳中和”的知晓程度，某机构随机选取了100名市民进行问卷调查，他们年龄的分布频数及对“碳达峰”和“碳中和”的知晓人数如下表：
年龄（单位：岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）
频数 10 20 30 20 10 10
知晓人数 10 20 25 19 4 2
（Ⅰ）若以“年龄45岁”为分界点，根据以上数据完成下面2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关．
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
知晓
不知晓
合计
（Ⅱ）若从年龄在[25，35）和[55，65）的知晓人中按照分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中任意选取2人担任“碳达峰’和“碳中和”讲解员，求2人年龄都在[25，35）的概率．
参考公式：K2，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．（12分）（2021秋 工业园区校级月考）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝4an+2（n∈N*）．
（1）设bn＝an+1﹣2an，求证：{bn}是等比数列；
（2）设，求证：{cn}是等差数列．
19．（12分）（2022 全国卷模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为棱AD，CC1，B1C1的中点．
（1）求证：EC∥平面DFG；
（2）求点E到平面DFG的距离．
20．（12分）（2021 昆明一模）已知函数f（x）＝ex+x2﹣x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）≥1．
21．（12分）（2020 3月份模拟）已知椭圆C：1（a＞1）的左顶点为A，右焦点为F，斜率为1的直线与椭圆C交于A、B两点，且OB⊥AB，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆C交于M、N两点，若点P满足，且NP与椭圆C的另一个交点为Q，求的值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2pcosθ﹣m＝0．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点．若点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，求正数m的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（2022 山西二模）已知函数．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤6；
（2）若f（x）≥5恒成立，求实数a的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国甲卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 遂宁模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B． C．{0，1，2} D．{1，2，3}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣5≤0}＝{x∈N|﹣1≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，
B＝{﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{0，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 赤峰模拟）成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业，称为独角兽企业．2021年中国新经济独角兽企业分布较广泛、覆盖居民生活的各个方面．如图为2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图，中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京、沪、粤三地的企业数量共同占比达到69%．下列说法不正确的是（ ）
A．随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注
B．这12个行业T0P200榜单中独角兽企业数量的中位数是17
C．中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京沪粤三地的企业超过130家
D．2021年中国新经济独角兽企业TOP200榜单中汽车交通、企业服务、文化娱乐的企业数量共同占比超过40%
【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【专题】应用题；数形结合；综合法；概率与统计；逻辑推理．
【分析】由2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图对四个选项依次判断即可．
【解答】解：由2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图知，
汽车交通行业有29家企业，可知汽车交通行业备受投资者关注；
这12个行业T0P200榜单中独角兽企业数量的中位数是17；
∵200×69%＝138，∴京沪粤三地的企业超过130家；
2021年中国新经济独角兽企业TOP200榜单中汽车交通、企业服务、文化娱乐的企业数量共同占比为36.5%，
不超过40%；
故选：D．
【点评】本题考查了数据分析能力，属于基础题．
3．（5分）（2022 广州二模）若复数是实数，则实数m＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合实数的定义，以及复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：∵为实数，
∴0，解得m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查实数的定义，以及复数的运算法则，属于基础题．
4．（5分）（2019 西城区一模）下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x2+2x B．y＝2x+1 C．y＝x3+1 D．y＝（x﹣1）|x|
【考点】函数的单调性及单调区间．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意；
对于B，y＝2x+1，其值域为（0，+∞），不符合题意；
对于C，y＝x3+1，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于D，y＝（x﹣1）|x|，在区间（0，）上为减函数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．
5．（5分）（2022 安徽模拟）双曲线的一条渐近线斜率为，则m＝（ ）
A．2 B． C．3 D．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】根据双曲线的渐近线方程可解得答案．
【解答】解：由题意可知m＞0，所以双曲线的渐近线方程为，
∵双曲线的一条渐近线斜率为，
∴，解得m＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线，属于基础题．
6．（5分）（2022 香坊区校级三模）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间（单位：min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20℃的情况下，一杯开水由100℃降低到60℃需要10min，则k的值约为（ ）
（结果精确到0.001，参考数据：e2≈7.389，ln2≈0.693）
A．0.035 B．0.069 C．0.369 D．0.740
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意及所给数据，代入公式计算，即可得解．
【解答】解：由题意可知θ0＝20℃，θ1＝100℃，θ＝60℃，t＝10min，
则有60﹣20＝（100﹣20）e﹣10k，
所以e﹣10k，
所以k0.069．
故选：B．
【点评】本题考查了指数、对数的基本运算，属于易做题．
7．（5分）（2017 郊区校级三模）一个正方体截去两个角后所得的几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】作图题；综合法；立体几何；直观想象；数学运算．
【分析】由题意结合三视图画出几何体的直观图，然后判断几何体的侧视图即可．
【解答】解：因为一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，所以几何体的直观图为：
所以侧视图为：；
故选：C．
【点评】本题考查空间想象能力，三视图与几何体的直观图的对应关系．
8．（5分）（2022 渭南一模）在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC＝（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】在△ABC中，由余弦定理有AB2＝AC2+BC2﹣2AC×BC×cos∠ACB，求解即可．
【解答】解：在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，
由余弦定理有AB2＝AC2+BC2﹣2AC×BC×cos∠ACB，
∴49＝25+BC2﹣2×5×BC×（），
∴BC2+5BC﹣24＝0，解得BC＝3或BC＝﹣8（舍去），
故选：B．
【点评】本题考查余弦定理，属基础题．
9．（5分）（2022 原州区校级一模）已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ）
A．﹣85 B．255 C．85 D．﹣255
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由已知结合等差数列的通项公式可求q．a1，然后结合等比数列的求和公式可求．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a5＝16，a3a4＝﹣32，即，，
∴q＝﹣2，a1＝1，
则．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，属于基础题．
10．（5分）（2022 甘肃模拟）甘肃省目前有6处5A级景区，分别是平凉崆峒山、敦煌鸣沙山月牙泉、天水麦积山、嘉峪关长城、临夏炳灵寺和张掖七彩丹霞，为了让学生更多的了解我省深厚的历史文化，兰州市的3所中学计划在2022年暑期组织学生到以上6个景区中的任一景区去游学，那么他们所选景区各不相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】求出基本事件总数为和事件A包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解．
【解答】解：设他们所选景区各不相同为事件A，
∵基本事件总数为63＝216，
事件A包含的基本事件数为120，
∴P（A），
故选：D．
【点评】本题主要考查古典概型的概率计算公式即可，属于基础题．
11．（5分）（2022 河南模拟）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线2x+y＝0上，则cos2α+sin2α＝（ ）
A．0 B．1 C． D．
【考点】二倍角的三角函数；任意角的三角函数的定义．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由已知可得tanα，再由同角三角函数基本关系式及倍角公式求解cos2α+sin2α．
【解答】解：由题意，tanα＝﹣2，
则cos2α+sin2α．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．
12．（5分）（2018 邕宁区校级模拟）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的实数x都有f（1﹣x）＝f（x+1），且f（﹣1）＝2，f（2）＝﹣1．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（ ）
A．2017 B．1010 C．1008 D．2
【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质与判断．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】由已知可得f（x）是周期为2的周期函数，得f（﹣1）＝f（1）＝f（2n+1）＝2，又f（2）＝f（2n）＝﹣1，于是f（2n+1）+f（2n）＝1，由此可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值．
【解答】解：由题意可得，f（﹣x）＝f（x），又f（1﹣x）＝f（x+1），可得f（﹣x）＝f（x+2），
得f（x+2）＝f（x），因此f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（﹣1）＝f（1）＝f（2n+1）＝2，
又f（2）＝f（2n）＝﹣1，于是f（2n+1）+f（2n）＝1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）＝f（1）+1008＝2+1008＝1010．
故选：B．
【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，是中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021 新乡三模）已知向量（1，x），（x，4），则当||＝2时，||＝ ．
【考点】向量的概念与向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由已知结合向量模长的坐标公式即可直接求解．
【解答】解：由题意得，1+x2＝4，
即x2＝3，
所以||．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量模长的坐标表示，属于基础题
14．（5分）（2022 二模拟）已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 1 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；弧长公式．
【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】根据圆锥侧面展开灵兔绒性质，结合弧长公式进行求解即可．
【解答】解：∵圆锥的母线长为3，∴侧面展开图扇形的半径为3，
设该圆锥的底面半径为r，
则2πr，解得r＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查圆锥底面半径的求法，考查圆锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）（2021 广西模拟）已知函数f（x）＝22sin（ωx+φ﹣ ）（0＜φ＜π，ω＞0）为奇函数，且曲线y＝f（x）相邻两对称轴之间的距离为 ，则f（ ）＝ 11 ．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由函数f（x）为奇函数求出φ的值，再根据y＝f（x）相邻两对称轴之间的距离求出T和ω的值，写出f（x）的解析式，即可计算f（ ）的值．
【解答】由函数f（x）＝22sin（ωx+φ﹣ ）为奇函数，所以f（0）＝22sin（φ）＝0，
即sin（φ）＝0，所以φkπ，k∈Z，
解得φ＝kπ，k∈Z，
又0＜φ＜π，所以φ，
又曲线y＝f（x）相邻两对称轴之间的距离为 ，所以，
解得T＝π，所以ω2，
所以f（x）＝22sin2x，
所以f（ ）＝22sin（2）＝22sin11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
16．（5分）（2021 上海模拟）设椭圆1的左焦点为F，过（0，1）的直线l与椭圆交于点A，B．当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】设出椭圆的右焦点，求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求出三角形FAB的周长的最大时的情况，由此求出直线l的方程，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及点到直线的距离公式即可求出三角形AFB的面积．
【解答】解：设M为椭圆的右焦点，由椭圆的方程可得c＝1，所以F（﹣1，0），M（1，0），
则FA+FB+AB＝2a﹣AM+2a﹣BM+AB＝4a﹣（AM+BM﹣AB）≤4a，
当且仅当直线l经过点M时取等号，此时直线l过点M（1，0），（0，1），
所以直线l的斜率为﹣1，则直线l的方程为y＝﹣x+1，
联立方程，消去y整理可得7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x，x，所以|AB|，
点F到直线l的距离为d，
所以三角形FAB的面积为S，
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质与定义，考查了学生的逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 呼和浩特模拟）科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化，主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”．为了解市民对“碳达峰”和“碳中和”的知晓程度，某机构随机选取了100名市民进行问卷调查，他们年龄的分布频数及对“碳达峰”和“碳中和”的知晓人数如下表：
年龄（单位：岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）
频数 10 20 30 20 10 10
知晓人数 10 20 25 19 4 2
（Ⅰ）若以“年龄45岁”为分界点，根据以上数据完成下面2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关．
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
知晓
不知晓
合计
（Ⅱ）若从年龄在[25，35）和[55，65）的知晓人中按照分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中任意选取2人担任“碳达峰’和“碳中和”讲解员，求2人年龄都在[25，35）的概率．
参考公式：K2，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】解：（Ⅰ）根据题意统计个数填入2×2列联表，根据表格数值计算K2，与P（K2≥k0）＝0.001的k0＝10.828比较大小即可；
（Ⅱ）分层抽样计算在[25，35）和[55，65）中抽取的人数，并利用超几何分布的概率计算结果即可．
【解答】（Ⅰ）根据统计数据统计，年龄不低于45岁的人数的人数共有40人，其中知晓“碳达峰”和“碳中和”的有25人，不知晓“碳达峰”和“碳中和”的有15人，
年龄低于45岁的人数的人数共有60人，其中知晓“碳达峰”和“碳中和”的有55人，不知晓“碳达峰”和“碳中和”的有5人，
故2×2列联表如下：
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
知晓 25 55 80
不知晓 15 5 20
合计 40 60 100
，
因为P（K2≥10.828）＝0.001，且12.76＞10.828，
所以能够在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关；
（Ⅱ）年龄在[25，35）中的知晓人有20人，在的[55，65）中知晓人有4人，
所以分层抽到的年龄在[25，35）中的知晓人有（人），
分层抽到的年龄在[55，65）中的知晓人有（人），
并从这6人中任意选取2人担任“碳达峰”和“碳中和”讲解员，2人年龄都在[25，35）的概率为．
【点评】本题考查了独立性检验的应用，属于中档题．
18．（12分）（2021秋 工业园区校级月考）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝4an+2（n∈N*）．
（1）设bn＝an+1﹣2an，求证：{bn}是等比数列；
（2）设，求证：{cn}是等差数列．
【考点】等差数列的性质．
【专题】方程思想；转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）根据题意可得an+2＝Sn+2﹣Sn﹣1＝4an+1﹣4an，然后求出，进一步证明{bn}是等比数列；
（2）由（1）可知bn＝3 2n﹣1＝an+1﹣2an，则3，即cn+1﹣cn＝3，从而证明{cn}是等差数列．
【解答】证明：（1）根据题意，an+2＝Sn+2﹣Sn﹣1＝4an+1+2﹣（4an+2）＝4an+1﹣4an，
所以2，
又S2＝a1+a2＝4a1+2，解得a2＝5，
所以b1＝a2﹣2a1＝3，
所以{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可知bn＝3 2n﹣1＝an+1﹣2an，则3，
所以cn+1﹣cn＝3，且c12，
所以数列{cn}是以2为首项，3为公差的等差数列．
【点评】本题考查数列的递推公式，等差数列，等比数列的证明，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
19．（12分）（2022 全国卷模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为棱AD，CC1，B1C1的中点．
（1）求证：EC∥平面DFG；
（2）求点E到平面DFG的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行．
【专题】计算题；对应思想；分析法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】（1）补全平面DFG后结合线面平行的判定定理来证得EC∥平面DFG．
（2）结合等体积法来求得E到平面DFG的距离．
【解答】证明：（1）设H是BC的中点，连接DA1，GD1，GA1，CB1，AH如下图所示，
根据正方体的性质可知GF∥CB1∥DA1，EC∥AH∥GA1，
即A1，G，F，D四点共面，
由于EC 平面DFG，GA1∥平面DFG，
所以EC∥平面DFG．
解：（2）由（1）得EC∥平面DFG，所以E到平面DFG的距离，即C到平面DFG的距离，设为h．
，
，
为锐角，则，
所以．
则．
所以E到平面DFG的距离为．
【点评】本题考查空间点线面的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（12分）（2021 昆明一模）已知函数f（x）＝ex+x2﹣x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）≥1．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；函数思想；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）根据函数导数的几何意义，即可求得函数在点（0，f（0））处的切线方程；（2）法一：根据题意，只需证明函数f（x）在R上的最小值为1，即可．法二：只需证明ex﹣x﹣1≥0即可．
【解答】（1）解：根据题意可得，f'（x）＝ex+2x﹣1，
根据函数导数的几何意义即得，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程即为y﹣f（0）＝f'（0）（x﹣0）
∵f（0）＝1，f'（0）＝0，
∴函数y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程即为：y﹣1＝0 y＝1．
（2）证明：法一：由（1）得，f'（x）＝ex+2x﹣1，
∴f“（x）＝ex+2＞0，即得f'（x）在R上单调递增，
又因为f'（0）＝0，
所以当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递增；当x＜0时，f'（x）＜f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递减；
综上可得，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增．
即得f（x）min＝f（0）＝1，
所以对任意的x∈R，都有f（x）≥1．
法二：令g（x）＝ex﹣x﹣1，g′（x）＝ex﹣1，易知
g（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，g（x）≥g（0）＝0，又x2≥0，
所以ex﹣x﹣1+x2≥0．
【点评】本题考查函数导数几何意义的使用，以及导数法求解函数单调性，属于基础题．
21．（12分）（2020 3月份模拟）已知椭圆C：1（a＞1）的左顶点为A，右焦点为F，斜率为1的直线与椭圆C交于A、B两点，且OB⊥AB，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆C交于M、N两点，若点P满足，且NP与椭圆C的另一个交点为Q，求的值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出点B的坐标，再根据OB⊥AB，建立关于a的方程，解出即可；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），，由已知，将点Q的坐标用点M，N表示，再由点Q在椭圆上，得到关于m的方程，解出即可．
【解答】解：（1）由题意得，设直线AB的方程：x＝y﹣a，与椭圆联立整理得：（1+a2）y2﹣2ay＝0，
∴yB，
∴xB，
因为OB⊥AB，
∴1，a＞1，解得：a2＝3，
所以椭圆C的标准方程：1；
（2）由（1）得，F（，0）所以由题意得直线MN的方程为：，
设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），
将代入1，得，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
设，则，即，
∴，
∵点Q（x3，y3）在椭圆C上，
∴，
整理得，
由上知，，且，
∴1，即7m2﹣18m﹣25＝0，解得或m＝﹣1（舍），
故．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，考查逻辑推理能力，特别是考查了化简运算求解能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2pcosθ﹣m＝0．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点．若点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，求正数m的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为x﹣y+3＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣m＝0，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2+2x﹣m＝0；
（2）将直线l的方程转换为参数方程为（n为参数），代入x2+y2+2x﹣m＝0；
得到；
所以；n1n2＝3﹣m；
由于点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，
不妨设n1＝﹣2n2，
整理得；
故，解得m＝19．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 山西二模）已知函数．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤6；
（2）若f（x）≥5恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值，解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式得到2a≥5，直接解不等式，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣2|．
当x≥2时，f（x）＝2x≤6，解得2≤x≤3；
当﹣2＜x＜2时，f（x）＝4≤6恒成立；
当x≤﹣2时，f（x）＝﹣2x≤6，解得﹣3≤x≤﹣2．
综上，当a＝1时，不等式f（x）≤6的解集为[﹣3，3]．
（2）因为，当且仅当（x）（x﹣2a）≤0时等号成立，
所以2a≥5，即2a2﹣5a+2≥0，
解得或a≥2．
故实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数的单调性及单调区间
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
① f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）f（x﹣2） T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
9．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
10．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
11．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
12．虚数单位i、复数
【虚数单位i的概念】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算，则符合条件的复数z为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．
【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
13．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
14．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
15．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
16．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
17．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
18．弧长公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slrr2α．
【命题方向】
已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2 B． C．2sin1 D．sin2
【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交 于D，
∠AOD＝∠BOD＝1，ACAB＝1，
Rt△AOC中，AO，
从而弧长为α r，
故选B．
【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②SlR；③SαR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
19．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【命题方向】
已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r5．
∴cosα，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
20．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
21．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的知识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
22．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
23．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
24．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
25．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
26．直线与椭圆的综合
v．
27．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
28．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
29．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
30．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
31．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
32．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
33．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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