2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷理科)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷理科)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 435.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:17:42 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国甲卷理科)
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 绵阳模拟）已知集合A{x|x2＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（0，2） D．（1，2）
2．（5分）（2022 遂宁模拟）游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”．某市青少年健康管理委员会对该市下学年度青少年上网打《王者荣耀》的情况进行统计，作出如下人数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数呈周期性变化
B．这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数不断减弱
C．从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，10月份的方差小于11月份的方差
D．从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，12月份的平均值大于1月份的平均值
3．（5分）（2022 新乡三模）已知复数z满足（1+i）2z＝2﹣4i，则|z|＝（ ）
A．1 B． C． D．
4．（5分）（2022 重庆模拟）《巴黎协定》是2016年4月22日签署的气候变化协定，该协定为2020年后全球应对气候变化的行动作出了统一安排，中国政府一直致力于积极推动《巴黎协定》的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的数量不得超过1%．已知该工厂产生的废气在过滤过程中污染物的数量P（单位：毫克）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系式为P＝P0ekt（k，P0均为正常数，e为自然对数的底数）．如果在前3小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（ ）
A．小时 B．3小时 C．5小时 D．6小时
5．（5分）（2022 湖北二模）已知F1、F2是双曲线的左，右焦点，过F1的直线l与双曲线C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
6．（5分）（2021 贵州模拟）如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022 安庆模拟）在数列{an}中，“an+12＝anan+2”是“{an}为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）（2021 新课改卷模拟）图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6m．若PO＝2m，PB＝3m，△ABC的面积为10m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为（0.5OD＝1.5OE）（ ）
A．m B．m C．8m D．9m
9．（5分）（2022 银川一模）已知α是第三象限角，且，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）（2022 全国卷模拟）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 湘潭三模）A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，已知AB＝5，BC＝3，cos∠BAC，当AD取得最大值时，四面体ABCD的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2021秋 信阳校级月考）已知y＝f（x+2）为奇函数，且f（3+x）＝f（3﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+log4（x+1）﹣1，则f（2021）＝（ ）
A． B．2 C．3+log43 D．9
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2020 金凤区校级模拟）曲线y＝（2x+1）lnx在点（1，0）处的切线方程为 ．
14．（5分）（2022 海安市模拟）已知0＜θ＜π，向量（sinθ，2cos2），（1，sinθ），且∥，则θ＝ ．
15．（5分）（2022 郑州二模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为 ．
16．（5分）（2022 兴化市模拟）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f（x1）+f（x2）＝2A，则实数ω的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 云南模拟）某地举行以“决胜全面建成小康社会，决战脱贫攻坚”为主题的演讲比赛，有60名选手参加了比赛，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果、综合印象四个分项为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占40%，演讲能力占40%，演讲效果占15%、综合印象占5%，计算选手的比赛总成绩（百分制）．
甲、乙两名选手的单项成绩如表：
单项成绩 （单位：分） 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 综合印象
甲 85 90 85 90
乙 87 88 90 87
（1）分别计算甲，乙两名选手的比赛总成绩；
（2）比赛结束后，对参赛的60名选手的性别和获奖情况进行统计，情况如表：
是否获奖 性别 获奖 未获奖
男 10 15
女 15 20
能否有90%的把握认为这次演讲比赛，选手获奖与选手性别有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.010 0.001
k0 2.072 2.706 6.635 10.828
18．（12分）（2022 锦州模拟）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a2＝2，a1+a3＝5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在①b1＝1，Sn＝nbn，②2Sn＝3bn﹣1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的最小值；若k不存在，说明理由．
问题：设数列{bn}的前n项和为Sn，_____，数列{an﹣bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数k，使得Tk＞100？
19．（12分）（2022 苏州模拟）正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1，AB的中点．
（ I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1＝4B1M，求证：EM∥面A1FC；
（ II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．
20．（12分）（2021 湖北模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l．设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P．
（1）求证：点P是线段MN的中点．
（2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60°的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
21．（12分）（2022 苍南县校级模拟）已知f（x）2x有两个零点x1，x2（x1＜x2），其极值点为x0．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当a时，有2x2＞x0．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 绵阳模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的方程为x2+y2＝|x|+|y|．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E的极坐标方程为θ＝α，．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；
（2）若E与l交于点A，E与C交于点B，求的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 萍乡二模）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x|．
（1）解不等式f（x）1；
（2）若不等式f（x）≤a|x﹣1|恒成立，求实数a的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国甲卷理科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 绵阳模拟）已知集合A{x|x2＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（0，2） D．（1，2）
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求解不等式化简A，再由交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}＝（0，1）．
故选：B．
【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
2．（5分）（2022 遂宁模拟）游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”．某市青少年健康管理委员会对该市下学年度青少年上网打《王者荣耀》的情况进行统计，作出如下人数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数呈周期性变化
B．这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数不断减弱
C．从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，10月份的方差小于11月份的方差
D．从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，12月份的平均值大于1月份的平均值
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合走势图，即可依次求解．
【解答】解：对于A，由走势图可得，青少年上网打《王者荣耀》的人数没有周期性变换，故A错误，
对于B，从2月开始，青少年上网打《王者荣耀》的人数上升，故B错误，
对于C，去年10月份波动较大，方差大，去年11月波动较小，
故去年10月份的方差大于11月份的方差，故C错误，
对于D，由走势图可得，12月份的平均值大于1月份的平均值，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查走势图的应用，属于基础题．
3．（5分）（2022 新乡三模）已知复数z满足（1+i）2z＝2﹣4i，则|z|＝（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵（1+i）2z＝2﹣4i，
∴2iz＝2﹣4i，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4．（5分）（2022 重庆模拟）《巴黎协定》是2016年4月22日签署的气候变化协定，该协定为2020年后全球应对气候变化的行动作出了统一安排，中国政府一直致力于积极推动《巴黎协定》的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的数量不得超过1%．已知该工厂产生的废气在过滤过程中污染物的数量P（单位：毫克）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系式为P＝P0ekt（k，P0均为正常数，e为自然对数的底数）．如果在前3小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（ ）
A．小时 B．3小时 C．5小时 D．6小时
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【分析】根据已知条件，先求出kln0.1，再令1% P0＝P0ekt，求得t的值，即可求解．
【解答】解：由题意，前3个小时废气中的污染被过滤掉了90%，因为P＝P0ekt，
所以（1﹣90%） P0＝P0e3k，
所以0.1＝e3k，即kln0.1，
因为按规定排放废气，所以1% P0＝P0ekt，
即0.01，
两边取以e为底的对数得ln0.01t ln0.1，解得t＝6，
所以还需要过滤6﹣3＝3小时．
故选：B．
【点评】本题考查了指数、对数的基本运算，属于基础题．
5．（5分）（2022 湖北二模）已知F1、F2是双曲线的左，右焦点，过F1的直线l与双曲线C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得△MNF2为等边三角形，从而得∠F1MF2＝120°，然后在△F1MF2中，利用余弦定理化简可得到，从而可求出离心率的值．
【解答】解：设，则，设|F2M|＝|F2N|＝n，
则由双曲线的定义得，解得，
所以，，|F2M|＝|F2N|＝4a，|MN|＝4a，
所以△MNF2为等边三角形，
所以∠NMF2＝60°，则∠F1MF2＝120°，
在△F1MF2中，由余弦定理得，，
即，化简得c2＝7a2，，
所以双曲线的离心率为，
故选：C．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
6．（5分）（2021 贵州模拟）如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何；直观想象．
【分析】直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为棱柱体．
对于选项AC，三视图为三棱柱，
对于选项BD，三视图为四棱柱体．
当选C时，正视图的中间的竖线应该为实线．
选项ABD正确．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的转换能力的应用，属于基础题．
7．（5分）（2022 安庆模拟）在数列{an}中，“an+12＝anan+2”是“{an}为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；数学抽象．
【分析】根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由{an}为等比数列，则；
当an＝0时，满足an+12＝anan+2，但{an}为等比数列不成立．
故，“an+12＝anan+2”是“{an}为等比数列”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质是解决本题的关键，是基础题．
8．（5分）（2021 新课改卷模拟）图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6m．若PO＝2m，PB＝3m，△ABC的面积为10m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为（0.5OD＝1.5OE）（ ）
A．m B．m C．8m D．9m
【考点】解三角形．
【专题】计算题；数形结合；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】通过题意可求得OE、OB、BC、AE、AO的长，最后在直角△AOP中求得AP的长．
【解答】解：∵0.5OD＝1.5OE且OD＝6m，∴OE＝2m．
在直角△POB中：OB（m），
∴在△OEB中：BE1（m），∴BC＝2（m）．
∵△ABC的面积为10m2，∴ BC AE＝10，∴AE＝10（m），∴AO＝AE﹣OE＝8（m），
∴在直角△AOP中：AP2（m）．
故选：A．
【点评】本题考查解三角形、数形结合思想，考查数学运算能力，属于中档题．
9．（5分）（2022 银川一模）已知α是第三象限角，且，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由题意利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，
所以解得tan2α，
又α是第三象限角，
所以可得tanα．
故选：C．
【点评】本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10．（5分）（2022 全国卷模拟）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】不超过12的素数为2，3，5，7，11，再利用古典概率模型求概率即可．
【解答】解：不超过12的素数为2，3，5，7，11；
随机选取两个不同的数，共有C10种方法，
其和为奇数的共有4种方法，
故其和为奇数的概率为，
故选：B．
【点评】本颞主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
11．（5分）（2022 湘潭三模）A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，已知AB＝5，BC＝3，cos∠BAC，当AD取得最大值时，四面体ABCD的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】由已知求解三角形可得AC⊥BC，求出球心到平面ABC的距离，可得当AD为球的直径时，AD取得最大值，得到D到平面ABC的距离，再由棱锥体积公式求解．
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2+AB2﹣2AC AB cos∠BAC，
又AB＝5，BC＝3，cos∠BAC，
∴9＝AC2+25﹣10AC，解得AC＝4，
∴AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，
设球心到平面ABC的距离为d，则d，
当AD为球的直径时，AD取得最大值，此时D到平面ABC的距离为2d，
四面体ABCD的体积为V．
故选：D．
【点评】本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
12．（5分）（2021秋 信阳校级月考）已知y＝f（x+2）为奇函数，且f（3+x）＝f（3﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+log4（x+1）﹣1，则f（2021）＝（ ）
A． B．2 C．3+log43 D．9
【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】由已知结合函数的对称性与周期性关系可求出函数的周期T，然后把所求函数值转化到已知区间上，代入已知函数解析式即可求解．
【解答】解：因为y＝f（x+2）为奇函数，
所以y＝f（x）的图像关于（2，0）对称，即f（2+x）＝﹣f（2﹣x），
因为f（3+x）＝f（3﹣x），
所以函数的图像关于x＝3对称，f（x+4）＝f（﹣x+2），
f（2+x）＝﹣f（x），即f（4+x）＝f（x），
故函数的周期T＝4，
因为当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+log4（x+1）﹣1，
则f（2021）＝f（1）＝2+log42﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2020 金凤区校级模拟）曲线y＝（2x+1）lnx在点（1，0）处的切线方程为 3x﹣y﹣3＝0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由y＝（2x+1）lnx，得：
y′＝2lnx，
∴f′（1）＝3，
即曲线y＝（2x+1）lnx在点（1，0）处的切线的斜率为3，
则曲线y＝（2x+1）lnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝3×（x﹣1），
整理得：3x﹣y﹣3＝0．
故答案为：3x﹣y﹣3＝0．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．
14．（5分）（2022 海安市模拟）已知0＜θ＜π，向量（sinθ，2cos2），（1，sinθ），且∥，则θ＝ ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平行向量（共线）；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得2cos2sin2θ，变形可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，向量（sinθ，2cos2），（1，sinθ），且∥，
则有2cos2sin2θ，则有2cos21＝sin2θ﹣1，
变形可得：cosθ＝﹣cos2θ，解可得cosθ＝0或﹣1，
又由0＜θ＜π，则有cosθ＝0，必有θ；
故答案为：．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．
15．（5分）（2022 郑州二模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为 7 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由椭圆的方程求出a，b，c的值，再根据|OP|＝3推出△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形，结合椭圆的定义以及勾股定理即可求出结果．
【解答】解：由椭圆可得c2＝a2﹣b2＝16﹣7＝9，
∴c＝3，∴|F1F2|＝2c＝6，
又∵O为F1F2的中点，|OP|＝3，
∴△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形，即PF1⊥PF2，
∴36，
又∵|PF1|+|PF2|＝2a＝8，
∴（|PF1|+|PF2|）264，
∴|PF1||PF2|＝14，
∴△F1PF2的面积为|PF1||PF2|＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，考查了焦点三角形的面积，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）（2022 兴化市模拟）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f（x1）+f（x2）＝2A，则实数ω的取值范围是 [，]∪[，+∞） ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数据分析．
【分析】由题意，利用正弦函数的最大值以及周期性，可得[π，2π]至少包含一个周期，即2π﹣π，由此求得实数ω的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，
使得f（x1）+f（x2）＝2A，
即至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f（x1）＝f（x2）＝A．
∵ωx∈[ωπ，2ωπ]，∴2kπ∈[ωπ，2ωπ]，2kπ+2π∈[ωπ，2ωπ]，
即 ①．
当k＝0时，由不等式组①可得，ω无解；
当k＝1时，由不等式组①可得，ω；
当k＝2时，由不等式组①可得，ω；
当k＝3时，由不等式组①可得，ω；
由于当k≥3时，k2（k﹣1）成立，即（k成立），
故k＝2和k＝3的解集有交集，k＝3和k＝4的解集有交集，k＝4和k＝5的解集有交集， ，
故ω的范围为[，]∪[，+∞）．
故答案为：[，]∪[，+∞）．
【点评】本题主要考查正弦函数的最大值以及周期性，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 云南模拟）某地举行以“决胜全面建成小康社会，决战脱贫攻坚”为主题的演讲比赛，有60名选手参加了比赛，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果、综合印象四个分项为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占40%，演讲能力占40%，演讲效果占15%、综合印象占5%，计算选手的比赛总成绩（百分制）．
甲、乙两名选手的单项成绩如表：
单项成绩 （单位：分） 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 综合印象
甲 85 90 85 90
乙 87 88 90 87
（1）分别计算甲，乙两名选手的比赛总成绩；
（2）比赛结束后，对参赛的60名选手的性别和获奖情况进行统计，情况如表：
是否获奖 性别 获奖 未获奖
男 10 15
女 15 20
能否有90%的把握认为这次演讲比赛，选手获奖与选手性别有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.010 0.001
k0 2.072 2.706 6.635 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据题意计算即可．
（2）计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解答】解：（1）甲选手的比赛总成绩：85×40%+90×40%+85×15%+90×5%＝87.25（分），
∴甲选手的比赛总成绩为87.25分，
乙选手的比赛总成绩：87×40%+88×40%+90×15%+87×5%＝87.85（分），
∴乙选手的比赛总成绩为87.85分．
（2）∵，
∴没有90%的把握认为选手获奖与选手性别有关．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
18．（12分）（2022 锦州模拟）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a2＝2，a1+a3＝5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在①b1＝1，Sn＝nbn，②2Sn＝3bn﹣1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的最小值；若k不存在，说明理由．
问题：设数列{bn}的前n项和为Sn，_____，数列{an﹣bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数k，使得Tk＞100？
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）在等比数列{an}中，q＞1且a2＝2，a1+a3＝5，利用通项公式，列出方程组即可得出an．
（2）选择条件①，b1＝1，Sn＝nbn，当n≥2时，Sn﹣1＝（n﹣1）bn﹣1，相减即可得出bn，进而得出Tn，再利用函数的单调性即可得出结论．
选择条件②，2Sn＝3bn﹣1，当n＝1时，2S1＝2b1＝3b1﹣1，得b1＝1，当n≥2时，2Sn﹣1＝3bn﹣1﹣1，相减化简整理，利用等比数列的通项公式即可得出bn，进而得出Tn，再利用数列的单调性即可得出结论．
【解答】解：（1）在等比数列{an}中，q＞1且a2＝2，a1+a3＝5，
则，
解得或（舍）．
∴．
（2）选择条件①，b1＝1，Sn＝nbn，
当n≥2时，Sn﹣1＝（n﹣1）bn﹣1，
可得bn＝Sn﹣Sn﹣1＝nbn﹣（n﹣1）bn﹣1，整理得bn＝bn﹣1，
∴数列{bn}为常数列，又b1＝1，所以bn＝1，
，
，
令g（x）＝2x﹣1﹣x，则g'（x）＝2xln2﹣1＞0在[1，+∞）上恒成立，
则g（x）在[1，+∞）上单调递增，即在[1，+∞）上单调递增，
又T6＝57＜100，T7＝120＞100，
∴存在k，使得Tk＞100，k的最小值为7；
选择条件②，2Sn＝3bn﹣1，当n＝1时，2S1＝2b1＝3b1﹣1，得b1＝1，
当n≥2时，2Sn﹣1＝3bn﹣1﹣1，
可得2（Sn﹣Sn﹣1）＝3（bn﹣3bn﹣1），即2bn＝3bn﹣3bn﹣1，得bn＝3bn﹣1，
∴数列{bn}是首项为1，公比为3的等比数列，则，，
因为n≥1时，2n﹣1＜3n﹣1，所以an﹣bn＜0，
故不存在正整数k，使得Tk＞100．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、函数与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2022 苏州模拟）正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1，AB的中点．
（ I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1＝4B1M，求证：EM∥面A1FC；
（ II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．
【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离．
【分析】（I）取B1A1中点为N，连结BN，推导出BN∥A1F，从而EM∥BN，进而EM∥A1F，由此能证明EM∥面A1FC．
（II）以F为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1＝a，利用向量法能求出结果．
【解答】证明：（I）取B1A1中点为N，连结BN，
则BN∥A1F，又B1A1＝4B1M，
则EM∥BN，所以EM∥A1F，
因为EM 面A1FC，A1F 面A1FC，
故EM∥面A1FC．
解：（II）如图，以F为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1＝a．
则，
，
设平面A1CF法向量为，
设平面A1CE法向量为．
则，取z＝1，得，
，取x＝a，得；
设二面角E﹣A1C﹣F的平面角为θ，
∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，
∴，
整理，得a2，∴a，
故当二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为时，AA1的值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．（12分）（2021 湖北模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l．设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P．
（1）求证：点P是线段MN的中点．
（2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60°的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）设直线m的方程为y＝kx+1（k≠0），代入x2＝4y，并整理得x2﹣4kx﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理，求出中点坐标M（2k，2k2+1）．求出N，推出MN中点的坐标为（2k，k2）．代入x2＝4y，说明点P是MN的中点．
（2）利用函数的导数求解抛物线C在点P（2k，k2）的切线PQ的斜率为k，通过四边形MPQF为平行四边形．转化求解直线方程，说明结果．
【解答】（1）证明：由题意知直线m的斜率存在且不为0，故设直线m的方程为y＝kx+1（k≠0），
代入x2＝4y，并整理得x2﹣4kx﹣4＝0．
所以Δ＝16k2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．
设M（x0，y0），则，，即M（2k，2k2+1）．
由MN⊥l，得N（2k，﹣1），
所以MN中点的坐标为（2k，k2）．
将x＝2k代入x2＝4y，解得y＝k2，则P（2k，k2），所以点P是MN的中点．
（2）解：由x2＝4y，得，则．
所以抛物线C在点P（2k，k2）的切线PQ的斜率为k，
又由直线m的斜率为k，可得m∥PQ；
又MN∥y轴，所以四边形MPQF为平行四边形．
而，|MP|＝|（2k2+1）﹣k2|＝k2+1，
由|MF|＝|MP|，得，解得，即当时，四边形MPQF为菱形，
且此时，所以∠PMF＝60°，
直线m的方程为，即，或，
所以存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60°的菱形．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
21．（12分）（2022 苍南县校级模拟）已知f（x）2x有两个零点x1，x2（x1＜x2），其极值点为x0．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当a时，有2x2＞x0．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；函数思想；分析法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（I）对f（x）求导，结合题设可得a＞0，进而可得x0＝ln2a并判断f（x）单调性，再由零点个数确定极值的符号，即可求a的范围；
（II）由f（x）的单调性及区间符号可知x2＞x0＞x1＞0，而，构造利用导数研究在（e2，+∞）的单调性可得y＜1，即可证结论．
【解答】解：（I）由：当a＜0，则f′（x）＜0，故f（x）单调递减，不可能有两个零点．
所以a＞0，又，故，即x0＝ln2a，
当x∈（﹣∞，ln2a）时f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（ln2a，+∞）时f′（x）＞0，f（x）递增；
所以极小值为f（ln2a）＝2﹣2ln2a，而f（x）有两个零点，故2﹣2ln2a＜0，
所以．
所以a∈（，+∞）；
证明：（II）当，在x∈（﹣∞，0）上f（x）递减，故（﹣∞，0）不存在零点、极值点，
所以x2＞x0＞x1＞0，而x0＝ln2a，则且2a＞e2，
令且x＞e2，则，
若且x＞e2，则，即t递减，故，
所以v＜0，在（e2，+∞）上v递减，故，即，
所以，得证．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力及分析能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 绵阳模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的方程为x2+y2＝|x|+|y|．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E的极坐标方程为θ＝α，．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；
（2）若E与l交于点A，E与C交于点B，求的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y；
曲线C的方程为x2+y2＝|x|+|y|，根据，转换为极坐标方程为ρ＝|cosθ|+|sinθ|；
（2）直线的方程转化内极坐标方程为，整理得；
故，故；
同理，整理得ρB＝cosα+sinα；
所以；
由于，
所以的取值范围为[]．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 萍乡二模）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x|．
（1）解不等式f（x）1；
（2）若不等式f（x）≤a|x﹣1|恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；不等式恒成立的问题．
【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值，解不等式即可；
（2）法一：令g（x）＝a|x﹣1|，分a≤0和a＞0两种情况讨论，利用数形结合法即可求解；
法二：当x＝1时，不等式显然成立；当x≠1时，参变量分离可得，令，求出g（x）的最大值即可求解a的取值范围．
【解答】解：（1），
∴当x＜﹣1时，，则x＜﹣1，
当﹣1≤x≤0时，，则，
当x＞0时，，则，
综上，．
（2）法一：令g（x）＝a|x﹣1|．
当a≤0时，f（0）＝1，g（0）＝a，∴f（0）＞g（0），故a≤0不合题意；
当a＞0时，如图所示，为f（x），g（x）的图象，g（x）恒过定点（1，0），
故f（x）≤g（x）恒成立 |a|≥1，又a＞0，则a∈[1，+∞）．
法二：当x＝1时，f（x）≤a|x﹣1|为0≤0，显然成立，a∈R；
当x≠1时，f（x）≤a|x﹣1|化为，
令，则，
当且仅当x≥0且x≠1时等号成立．∴g（x）max＝1，∴a≥1．
综上知：a∈[1，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）1
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．不等式恒成立的问题
v．
9．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．平行向量（共线）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1 y2﹣x2 y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ＝ ﹣0.5 ．
解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得k（）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
12．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的知识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
15．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
16．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
17．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
18．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
19．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
20．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最 值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
21．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
22．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
23．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
24．直线与抛物线的综合
v．
25．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
26．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
27．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
28．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
29．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
30．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
31．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 绵阳模拟）已知集合A{x|x2＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（0，2） D．（1，2）
2．（5分）（2022 遂宁模拟）游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”．某市青少年健康管理委员会对该市下学年度青少年上网打《王者荣耀》的情况进行统计，作出如下人数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数呈周期性变化
B．这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数不断减弱
C．从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，10月份的方差小于11月份的方差
D．从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，12月份的平均值大于1月份的平均值
3．（5分）（2022 新乡三模）已知复数z满足（1+i）2z＝2﹣4i，则|z|＝（ ）
A．1 B． C． D．
4．（5分）（2022 重庆模拟）《巴黎协定》是2016年4月22日签署的气候变化协定，该协定为2020年后全球应对气候变化的行动作出了统一安排，中国政府一直致力于积极推动《巴黎协定》的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的数量不得超过1%．已知该工厂产生的废气在过滤过程中污染物的数量P（单位：毫克）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系式为P＝P0ekt（k，P0均为正常数，e为自然对数的底数）．如果在前3小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（ ）
A．小时 B．3小时 C．5小时 D．6小时
5．（5分）（2022 湖北二模）已知F1、F2是双曲线的左，右焦点，过F1的直线l与双曲线C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
6．（5分）（2021 贵州模拟）如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022 安庆模拟）在数列{an}中，“an+12＝anan+2”是“{an}为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）（2021 新课改卷模拟）图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6m．若PO＝2m，PB＝3m，△ABC的面积为10m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为（0.5OD＝1.5OE）（ ）
A．m B．m C．8m D．9m
9．（5分）（2022 银川一模）已知α是第三象限角，且，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）（2022 全国卷模拟）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 湘潭三模）A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，已知AB＝5，BC＝3，cos∠BAC，当AD取得最大值时，四面体ABCD的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2021秋 信阳校级月考）已知y＝f（x+2）为奇函数，且f（3+x）＝f（3﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+log4（x+1）﹣1，则f（2021）＝（ ）
A． B．2 C．3+log43 D．9
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2020 金凤区校级模拟）曲线y＝（2x+1）lnx在点（1，0）处的切线方程为 ．
14．（5分）（2022 海安市模拟）已知0＜θ＜π，向量（sinθ，2cos2），（1，sinθ），且∥，则θ＝ ．
15．（5分）（2022 郑州二模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为 ．
16．（5分）（2022 兴化市模拟）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f（x1）+f（x2）＝2A，则实数ω的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 云南模拟）某地举行以“决胜全面建成小康社会，决战脱贫攻坚”为主题的演讲比赛，有60名选手参加了比赛，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果、综合印象四个分项为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占40%，演讲能力占40%，演讲效果占15%、综合印象占5%，计算选手的比赛总成绩（百分制）．
甲、乙两名选手的单项成绩如表：
单项成绩 （单位：分） 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 综合印象
甲 85 90 85 90
乙 87 88 90 87
（1）分别计算甲，乙两名选手的比赛总成绩；
（2）比赛结束后，对参赛的60名选手的性别和获奖情况进行统计，情况如表：
是否获奖 性别 获奖 未获奖
男 10 15
女 15 20
能否有90%的把握认为这次演讲比赛，选手获奖与选手性别有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.010 0.001
k0 2.072 2.706 6.635 10.828
18．（12分）（2022 锦州模拟）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a2＝2，a1+a3＝5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在①b1＝1，Sn＝nbn，②2Sn＝3bn﹣1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的最小值；若k不存在，说明理由．
问题：设数列{bn}的前n项和为Sn，_____，数列{an﹣bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数k，使得Tk＞100？
19．（12分）（2022 苏州模拟）正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1，AB的中点．
（ I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1＝4B1M，求证：EM∥面A1FC；
（ II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．
20．（12分）（2021 湖北模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l．设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P．
（1）求证：点P是线段MN的中点．
（2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60°的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
21．（12分）（2022 苍南县校级模拟）已知f（x）2x有两个零点x1，x2（x1＜x2），其极值点为x0．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当a时，有2x2＞x0．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 绵阳模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的方程为x2+y2＝|x|+|y|．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E的极坐标方程为θ＝α，．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；
（2）若E与l交于点A，E与C交于点B，求的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 萍乡二模）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x|．
（1）解不等式f（x）1；
（2）若不等式f（x）≤a|x﹣1|恒成立，求实数a的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国甲卷理科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 绵阳模拟）已知集合A{x|x2＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（0，2） D．（1，2）
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求解不等式化简A，再由交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}＝（0，1）．
故选：B．
【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
2．（5分）（2022 遂宁模拟）游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”．某市青少年健康管理委员会对该市下学年度青少年上网打《王者荣耀》的情况进行统计，作出如下人数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数呈周期性变化
B．这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数不断减弱
C．从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，10月份的方差小于11月份的方差
D．从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，12月份的平均值大于1月份的平均值
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合走势图，即可依次求解．
【解答】解：对于A，由走势图可得，青少年上网打《王者荣耀》的人数没有周期性变换，故A错误，
对于B，从2月开始，青少年上网打《王者荣耀》的人数上升，故B错误，
对于C，去年10月份波动较大，方差大，去年11月波动较小，
故去年10月份的方差大于11月份的方差，故C错误，
对于D，由走势图可得，12月份的平均值大于1月份的平均值，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查走势图的应用，属于基础题．
3．（5分）（2022 新乡三模）已知复数z满足（1+i）2z＝2﹣4i，则|z|＝（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵（1+i）2z＝2﹣4i，
∴2iz＝2﹣4i，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4．（5分）（2022 重庆模拟）《巴黎协定》是2016年4月22日签署的气候变化协定，该协定为2020年后全球应对气候变化的行动作出了统一安排，中国政府一直致力于积极推动《巴黎协定》的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的数量不得超过1%．已知该工厂产生的废气在过滤过程中污染物的数量P（单位：毫克）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系式为P＝P0ekt（k，P0均为正常数，e为自然对数的底数）．如果在前3小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（ ）
A．小时 B．3小时 C．5小时 D．6小时
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【分析】根据已知条件，先求出kln0.1，再令1% P0＝P0ekt，求得t的值，即可求解．
【解答】解：由题意，前3个小时废气中的污染被过滤掉了90%，因为P＝P0ekt，
所以（1﹣90%） P0＝P0e3k，
所以0.1＝e3k，即kln0.1，
因为按规定排放废气，所以1% P0＝P0ekt，
即0.01，
两边取以e为底的对数得ln0.01t ln0.1，解得t＝6，
所以还需要过滤6﹣3＝3小时．
故选：B．
【点评】本题考查了指数、对数的基本运算，属于基础题．
5．（5分）（2022 湖北二模）已知F1、F2是双曲线的左，右焦点，过F1的直线l与双曲线C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得△MNF2为等边三角形，从而得∠F1MF2＝120°，然后在△F1MF2中，利用余弦定理化简可得到，从而可求出离心率的值．
【解答】解：设，则，设|F2M|＝|F2N|＝n，
则由双曲线的定义得，解得，
所以，，|F2M|＝|F2N|＝4a，|MN|＝4a，
所以△MNF2为等边三角形，
所以∠NMF2＝60°，则∠F1MF2＝120°，
在△F1MF2中，由余弦定理得，，
即，化简得c2＝7a2，，
所以双曲线的离心率为，
故选：C．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
6．（5分）（2021 贵州模拟）如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何；直观想象．
【分析】直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为棱柱体．
对于选项AC，三视图为三棱柱，
对于选项BD，三视图为四棱柱体．
当选C时，正视图的中间的竖线应该为实线．
选项ABD正确．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的转换能力的应用，属于基础题．
7．（5分）（2022 安庆模拟）在数列{an}中，“an+12＝anan+2”是“{an}为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；数学抽象．
【分析】根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由{an}为等比数列，则；
当an＝0时，满足an+12＝anan+2，但{an}为等比数列不成立．
故，“an+12＝anan+2”是“{an}为等比数列”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质是解决本题的关键，是基础题．
8．（5分）（2021 新课改卷模拟）图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6m．若PO＝2m，PB＝3m，△ABC的面积为10m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为（0.5OD＝1.5OE）（ ）
A．m B．m C．8m D．9m
【考点】解三角形．
【专题】计算题；数形结合；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】通过题意可求得OE、OB、BC、AE、AO的长，最后在直角△AOP中求得AP的长．
【解答】解：∵0.5OD＝1.5OE且OD＝6m，∴OE＝2m．
在直角△POB中：OB（m），
∴在△OEB中：BE1（m），∴BC＝2（m）．
∵△ABC的面积为10m2，∴ BC AE＝10，∴AE＝10（m），∴AO＝AE﹣OE＝8（m），
∴在直角△AOP中：AP2（m）．
故选：A．
【点评】本题考查解三角形、数形结合思想，考查数学运算能力，属于中档题．
9．（5分）（2022 银川一模）已知α是第三象限角，且，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由题意利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，
所以解得tan2α，
又α是第三象限角，
所以可得tanα．
故选：C．
【点评】本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10．（5分）（2022 全国卷模拟）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】不超过12的素数为2，3，5，7，11，再利用古典概率模型求概率即可．
【解答】解：不超过12的素数为2，3，5，7，11；
随机选取两个不同的数，共有C10种方法，
其和为奇数的共有4种方法，
故其和为奇数的概率为，
故选：B．
【点评】本颞主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
11．（5分）（2022 湘潭三模）A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，已知AB＝5，BC＝3，cos∠BAC，当AD取得最大值时，四面体ABCD的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】由已知求解三角形可得AC⊥BC，求出球心到平面ABC的距离，可得当AD为球的直径时，AD取得最大值，得到D到平面ABC的距离，再由棱锥体积公式求解．
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2+AB2﹣2AC AB cos∠BAC，
又AB＝5，BC＝3，cos∠BAC，
∴9＝AC2+25﹣10AC，解得AC＝4，
∴AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，
设球心到平面ABC的距离为d，则d，
当AD为球的直径时，AD取得最大值，此时D到平面ABC的距离为2d，
四面体ABCD的体积为V．
故选：D．
【点评】本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
12．（5分）（2021秋 信阳校级月考）已知y＝f（x+2）为奇函数，且f（3+x）＝f（3﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+log4（x+1）﹣1，则f（2021）＝（ ）
A． B．2 C．3+log43 D．9
【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】由已知结合函数的对称性与周期性关系可求出函数的周期T，然后把所求函数值转化到已知区间上，代入已知函数解析式即可求解．
【解答】解：因为y＝f（x+2）为奇函数，
所以y＝f（x）的图像关于（2，0）对称，即f（2+x）＝﹣f（2﹣x），
因为f（3+x）＝f（3﹣x），
所以函数的图像关于x＝3对称，f（x+4）＝f（﹣x+2），
f（2+x）＝﹣f（x），即f（4+x）＝f（x），
故函数的周期T＝4，
因为当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+log4（x+1）﹣1，
则f（2021）＝f（1）＝2+log42﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2020 金凤区校级模拟）曲线y＝（2x+1）lnx在点（1，0）处的切线方程为 3x﹣y﹣3＝0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由y＝（2x+1）lnx，得：
y′＝2lnx，
∴f′（1）＝3，
即曲线y＝（2x+1）lnx在点（1，0）处的切线的斜率为3，
则曲线y＝（2x+1）lnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝3×（x﹣1），
整理得：3x﹣y﹣3＝0．
故答案为：3x﹣y﹣3＝0．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．
14．（5分）（2022 海安市模拟）已知0＜θ＜π，向量（sinθ，2cos2），（1，sinθ），且∥，则θ＝ ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平行向量（共线）；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得2cos2sin2θ，变形可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，向量（sinθ，2cos2），（1，sinθ），且∥，
则有2cos2sin2θ，则有2cos21＝sin2θ﹣1，
变形可得：cosθ＝﹣cos2θ，解可得cosθ＝0或﹣1，
又由0＜θ＜π，则有cosθ＝0，必有θ；
故答案为：．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．
15．（5分）（2022 郑州二模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为 7 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由椭圆的方程求出a，b，c的值，再根据|OP|＝3推出△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形，结合椭圆的定义以及勾股定理即可求出结果．
【解答】解：由椭圆可得c2＝a2﹣b2＝16﹣7＝9，
∴c＝3，∴|F1F2|＝2c＝6，
又∵O为F1F2的中点，|OP|＝3，
∴△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形，即PF1⊥PF2，
∴36，
又∵|PF1|+|PF2|＝2a＝8，
∴（|PF1|+|PF2|）264，
∴|PF1||PF2|＝14，
∴△F1PF2的面积为|PF1||PF2|＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，考查了焦点三角形的面积，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）（2022 兴化市模拟）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f（x1）+f（x2）＝2A，则实数ω的取值范围是 [，]∪[，+∞） ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数据分析．
【分析】由题意，利用正弦函数的最大值以及周期性，可得[π，2π]至少包含一个周期，即2π﹣π，由此求得实数ω的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，
使得f（x1）+f（x2）＝2A，
即至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f（x1）＝f（x2）＝A．
∵ωx∈[ωπ，2ωπ]，∴2kπ∈[ωπ，2ωπ]，2kπ+2π∈[ωπ，2ωπ]，
即 ①．
当k＝0时，由不等式组①可得，ω无解；
当k＝1时，由不等式组①可得，ω；
当k＝2时，由不等式组①可得，ω；
当k＝3时，由不等式组①可得，ω；
由于当k≥3时，k2（k﹣1）成立，即（k成立），
故k＝2和k＝3的解集有交集，k＝3和k＝4的解集有交集，k＝4和k＝5的解集有交集， ，
故ω的范围为[，]∪[，+∞）．
故答案为：[，]∪[，+∞）．
【点评】本题主要考查正弦函数的最大值以及周期性，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 云南模拟）某地举行以“决胜全面建成小康社会，决战脱贫攻坚”为主题的演讲比赛，有60名选手参加了比赛，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果、综合印象四个分项为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占40%，演讲能力占40%，演讲效果占15%、综合印象占5%，计算选手的比赛总成绩（百分制）．
甲、乙两名选手的单项成绩如表：
单项成绩 （单位：分） 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 综合印象
甲 85 90 85 90
乙 87 88 90 87
（1）分别计算甲，乙两名选手的比赛总成绩；
（2）比赛结束后，对参赛的60名选手的性别和获奖情况进行统计，情况如表：
是否获奖 性别 获奖 未获奖
男 10 15
女 15 20
能否有90%的把握认为这次演讲比赛，选手获奖与选手性别有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.010 0.001
k0 2.072 2.706 6.635 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据题意计算即可．
（2）计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解答】解：（1）甲选手的比赛总成绩：85×40%+90×40%+85×15%+90×5%＝87.25（分），
∴甲选手的比赛总成绩为87.25分，
乙选手的比赛总成绩：87×40%+88×40%+90×15%+87×5%＝87.85（分），
∴乙选手的比赛总成绩为87.85分．
（2）∵，
∴没有90%的把握认为选手获奖与选手性别有关．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
18．（12分）（2022 锦州模拟）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a2＝2，a1+a3＝5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在①b1＝1，Sn＝nbn，②2Sn＝3bn﹣1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的最小值；若k不存在，说明理由．
问题：设数列{bn}的前n项和为Sn，_____，数列{an﹣bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数k，使得Tk＞100？
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）在等比数列{an}中，q＞1且a2＝2，a1+a3＝5，利用通项公式，列出方程组即可得出an．
（2）选择条件①，b1＝1，Sn＝nbn，当n≥2时，Sn﹣1＝（n﹣1）bn﹣1，相减即可得出bn，进而得出Tn，再利用函数的单调性即可得出结论．
选择条件②，2Sn＝3bn﹣1，当n＝1时，2S1＝2b1＝3b1﹣1，得b1＝1，当n≥2时，2Sn﹣1＝3bn﹣1﹣1，相减化简整理，利用等比数列的通项公式即可得出bn，进而得出Tn，再利用数列的单调性即可得出结论．
【解答】解：（1）在等比数列{an}中，q＞1且a2＝2，a1+a3＝5，
则，
解得或（舍）．
∴．
（2）选择条件①，b1＝1，Sn＝nbn，
当n≥2时，Sn﹣1＝（n﹣1）bn﹣1，
可得bn＝Sn﹣Sn﹣1＝nbn﹣（n﹣1）bn﹣1，整理得bn＝bn﹣1，
∴数列{bn}为常数列，又b1＝1，所以bn＝1，
，
，
令g（x）＝2x﹣1﹣x，则g'（x）＝2xln2﹣1＞0在[1，+∞）上恒成立，
则g（x）在[1，+∞）上单调递增，即在[1，+∞）上单调递增，
又T6＝57＜100，T7＝120＞100，
∴存在k，使得Tk＞100，k的最小值为7；
选择条件②，2Sn＝3bn﹣1，当n＝1时，2S1＝2b1＝3b1﹣1，得b1＝1，
当n≥2时，2Sn﹣1＝3bn﹣1﹣1，
可得2（Sn﹣Sn﹣1）＝3（bn﹣3bn﹣1），即2bn＝3bn﹣3bn﹣1，得bn＝3bn﹣1，
∴数列{bn}是首项为1，公比为3的等比数列，则，，
因为n≥1时，2n﹣1＜3n﹣1，所以an﹣bn＜0，
故不存在正整数k，使得Tk＞100．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、函数与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2022 苏州模拟）正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1，AB的中点．
（ I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1＝4B1M，求证：EM∥面A1FC；
（ II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．
【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离．
【分析】（I）取B1A1中点为N，连结BN，推导出BN∥A1F，从而EM∥BN，进而EM∥A1F，由此能证明EM∥面A1FC．
（II）以F为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1＝a，利用向量法能求出结果．
【解答】证明：（I）取B1A1中点为N，连结BN，
则BN∥A1F，又B1A1＝4B1M，
则EM∥BN，所以EM∥A1F，
因为EM 面A1FC，A1F 面A1FC，
故EM∥面A1FC．
解：（II）如图，以F为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1＝a．
则，
，
设平面A1CF法向量为，
设平面A1CE法向量为．
则，取z＝1，得，
，取x＝a，得；
设二面角E﹣A1C﹣F的平面角为θ，
∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，
∴，
整理，得a2，∴a，
故当二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为时，AA1的值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．（12分）（2021 湖北模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l．设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P．
（1）求证：点P是线段MN的中点．
（2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60°的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）设直线m的方程为y＝kx+1（k≠0），代入x2＝4y，并整理得x2﹣4kx﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理，求出中点坐标M（2k，2k2+1）．求出N，推出MN中点的坐标为（2k，k2）．代入x2＝4y，说明点P是MN的中点．
（2）利用函数的导数求解抛物线C在点P（2k，k2）的切线PQ的斜率为k，通过四边形MPQF为平行四边形．转化求解直线方程，说明结果．
【解答】（1）证明：由题意知直线m的斜率存在且不为0，故设直线m的方程为y＝kx+1（k≠0），
代入x2＝4y，并整理得x2﹣4kx﹣4＝0．
所以Δ＝16k2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．
设M（x0，y0），则，，即M（2k，2k2+1）．
由MN⊥l，得N（2k，﹣1），
所以MN中点的坐标为（2k，k2）．
将x＝2k代入x2＝4y，解得y＝k2，则P（2k，k2），所以点P是MN的中点．
（2）解：由x2＝4y，得，则．
所以抛物线C在点P（2k，k2）的切线PQ的斜率为k，
又由直线m的斜率为k，可得m∥PQ；
又MN∥y轴，所以四边形MPQF为平行四边形．
而，|MP|＝|（2k2+1）﹣k2|＝k2+1，
由|MF|＝|MP|，得，解得，即当时，四边形MPQF为菱形，
且此时，所以∠PMF＝60°，
直线m的方程为，即，或，
所以存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60°的菱形．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
21．（12分）（2022 苍南县校级模拟）已知f（x）2x有两个零点x1，x2（x1＜x2），其极值点为x0．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当a时，有2x2＞x0．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；函数思想；分析法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（I）对f（x）求导，结合题设可得a＞0，进而可得x0＝ln2a并判断f（x）单调性，再由零点个数确定极值的符号，即可求a的范围；
（II）由f（x）的单调性及区间符号可知x2＞x0＞x1＞0，而，构造利用导数研究在（e2，+∞）的单调性可得y＜1，即可证结论．
【解答】解：（I）由：当a＜0，则f′（x）＜0，故f（x）单调递减，不可能有两个零点．
所以a＞0，又，故，即x0＝ln2a，
当x∈（﹣∞，ln2a）时f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（ln2a，+∞）时f′（x）＞0，f（x）递增；
所以极小值为f（ln2a）＝2﹣2ln2a，而f（x）有两个零点，故2﹣2ln2a＜0，
所以．
所以a∈（，+∞）；
证明：（II）当，在x∈（﹣∞，0）上f（x）递减，故（﹣∞，0）不存在零点、极值点，
所以x2＞x0＞x1＞0，而x0＝ln2a，则且2a＞e2，
令且x＞e2，则，
若且x＞e2，则，即t递减，故，
所以v＜0，在（e2，+∞）上v递减，故，即，
所以，得证．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力及分析能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 绵阳模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的方程为x2+y2＝|x|+|y|．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E的极坐标方程为θ＝α，．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；
（2）若E与l交于点A，E与C交于点B，求的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y；
曲线C的方程为x2+y2＝|x|+|y|，根据，转换为极坐标方程为ρ＝|cosθ|+|sinθ|；
（2）直线的方程转化内极坐标方程为，整理得；
故，故；
同理，整理得ρB＝cosα+sinα；
所以；
由于，
所以的取值范围为[]．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 萍乡二模）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x|．
（1）解不等式f（x）1；
（2）若不等式f（x）≤a|x﹣1|恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；不等式恒成立的问题．
【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值，解不等式即可；
（2）法一：令g（x）＝a|x﹣1|，分a≤0和a＞0两种情况讨论，利用数形结合法即可求解；
法二：当x＝1时，不等式显然成立；当x≠1时，参变量分离可得，令，求出g（x）的最大值即可求解a的取值范围．
【解答】解：（1），
∴当x＜﹣1时，，则x＜﹣1，
当﹣1≤x≤0时，，则，
当x＞0时，，则，
综上，．
（2）法一：令g（x）＝a|x﹣1|．
当a≤0时，f（0）＝1，g（0）＝a，∴f（0）＞g（0），故a≤0不合题意；
当a＞0时，如图所示，为f（x），g（x）的图象，g（x）恒过定点（1，0），
故f（x）≤g（x）恒成立 |a|≥1，又a＞0，则a∈[1，+∞）．
法二：当x＝1时，f（x）≤a|x﹣1|为0≤0，显然成立，a∈R；
当x≠1时，f（x）≤a|x﹣1|化为，
令，则，
当且仅当x≥0且x≠1时等号成立．∴g（x）max＝1，∴a≥1．
综上知：a∈[1，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）1
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．不等式恒成立的问题
v．
9．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．平行向量（共线）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1 y2﹣x2 y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ＝ ﹣0.5 ．
解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得k（）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
12．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的知识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
15．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
16．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
17．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
18．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
19．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
20．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最 值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
21．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
22．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
23．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
24．直线与抛物线的综合
v．
25．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
26．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
27．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
28．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
29．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
30．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
31．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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