2022高考数学终极押题密卷（上海卷）（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022高考数学终极押题密卷（上海卷）（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 370.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:18:21 | ||
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文档简介
2022高考数学终极押题密卷2（上海卷）
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 嘉定区三模）若复数z＝（1+i） i（其中i为虚数单位），则共轭复数 ．
2．（4分）（2022 浦东新区校级二模）集合，B＝{y|y＝﹣x2+4x}，则A∩B＝ ．
3．（4分）（2019 宝山区二模）圆x2+y2﹣2x+6y＝6的半径r＝ ．
4．（4分）（2020 怀柔区一模）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点，则 ．
5．（4分）（2021 黄浦区校级三模）函数的反函数为y＝f﹣1（x），f﹣1（3）＝ ．
6．（4分）（2020 潍坊模拟）已知二项式的展开式中含x3项的系数是160，则实数a的值是 ．
7．（5分）（2021 上海模拟）设x，y满足约束条件，则z＝x2+y2的最小值与最大值之和为 ．
8．（5分）（2020 上海模拟）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足1，则（a1+a3+…+a2n﹣1）＝ ．
9．（5分）（2014 松江区三模）已知圆柱M的底面直径与高均等于球O的直径，则圆柱M与球O的体积之比V圆柱：V球＝ ．
10．（5分）（2022 上海模拟）在北京冬奥会火炬传递的某次活动中，有编号为1、2、3、4、5的5名火炬手．若从中随机选择2人，则选出的火炬手编号相邻的概率为 ．
11．（5分）（2019 潮州二模）从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|＝5，则△MPF的面积为 ．
12．（5分）（2021 虹口区二模）在数列{an}中，对任意n∈N*，an＝k，当且仅当2k≤n＜2k+1，k∈N，若满足am+a2m+a4m+a8m+a16m≥52，则m的最小值为 ．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2006 江苏）已知a∈R，函数f（x）＝sinx﹣|a|，x∈R为奇函数，则a＝（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
14．（5分）（2018 上海二模）参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（ ）
A．直线 B．圆弧
C．线段 D．双曲线的一支
15．（5分）（2020 成都模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx）﹣1（A＞0，0＜ω＜1），f（）＝f（），且f（x）在区间（0，）上的最大值为．若对任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，则实数t的最大值是（ ）
A． B． C． D．
16．（5分）（2021 安徽模拟）已知关于x的不等式k（x+1）（k＞0）的解集为[a，b]，若|b﹣a|≤2，则k的取值范围为（ ）
A．（，] B．（，） C．（0，] D．（0，2）
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 徐汇区二模）如图，已知AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，OA＝2，∠BOP＝60°，圆柱OO1的表面积为24π．
（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）求直线AP与平面A1PB所成的角的大小．
18．（14分）（2021 上海模拟）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，且有1．
（1）求∠B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝2，求△ABC面积的取值范围．
19．（14分）（2021 黄浦区校级三模）“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的实数，当f∈（1，2）时，该地区收入均衡性最为稳定．
（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？
（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）．
20．（16分）（2022 徐汇区校级模拟）如图，A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上与A、B均不重合的相异两点，设直线AM、BN、AN的斜率分别是k1、k2、k3．
（1）若直线MN过点（1，0），求证：k1 k3为定值；
（2）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
21．（18分）（2020 浦东新区校级模拟）设对集合D上的任意两相异实数x1，x2，若|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，则称f（x）在D上优于g（x）；若|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，则称f（x）在D上严格优于g（x）．
（1）设f（x）在R上优于g（x），且y＝f（x）是偶函数，判断并证明y＝g（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在R上严格优于g（x），h（x）＝f（x）+g（x），若y＝f（x）是R上的增函数，求证：h（x）＝f（x）+g（x）在R上也是增函数；
（3）设函数f（x）＝loga8x，g（x）＝loga（a+x）﹣loga（a﹣x），若0＜a＜1，是否存在实数t∈（0，a）使得f（x）在D＝（0，t]上优于g（x），若存在，求实数t的最大值；若不存在，请说明理由．
2022高考数学终极押题密卷2（上海卷）
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 嘉定区三模）若复数z＝（1+i） i（其中i为虚数单位），则共轭复数 ﹣1﹣i ．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：由已知得，z＝（1+i） i＝﹣1+i，
则1﹣i，
故答案为：﹣1﹣i
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（4分）（2022 浦东新区校级二模）集合，B＝{y|y＝﹣x2+4x}，则A∩B＝ [2，4] ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝﹣（x﹣2）2+4}＝{y|y≤4}，
∴A∩B＝[2，4]．
故答案为：[2，4]．
【点评】本题考查了描述法的定义，配方求二次函数的值域的方法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
3．（4分）（2019 宝山区二模）圆x2+y2﹣2x+6y＝6的半径r＝ 4 ．
【考点】圆的一般方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的半径．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+6y＝6，即圆（x﹣1）2+（y+3）2＝16，故圆的半径为4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题．
4．（4分）（2020 怀柔区一模）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点，则 ﹣1 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】先在△ABC中，利用余弦定理，算出，确定△ABC是以A为直角的直角三角形，然后，结合平面向量数量积的运算法则求解即可．
【解答】解：由于∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，
根据余弦定理可知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB BC cos∠ABC，
∴，△ABC为直角三角形，且A为直角，
∴．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练运用平面向量的加减法和数量积运算是解题的关键，考查学生的分析能力和计算能力，属于基础题．
5．（4分）（2021 黄浦区校级三模）函数的反函数为y＝f﹣1（x），f﹣1（3）＝ ．
【考点】反函数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先求出已知函数的反函数，然后把x＝3代入即可求解．
【解答】解：因为y，
所以x，即y＝f﹣1（x），
所以f﹣1（3）2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了反函数的求解，属于基础题．
6．（4分）（2020 潍坊模拟）已知二项式的展开式中含x3项的系数是160，则实数a的值是 2 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得含x3的项，再根据含x3项的系数等于160求得实数a的值．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1 ar x12﹣3r，
令12﹣3r＝3，求得r＝3，可得展开式中含x3项的系数是 a3＝160，
解得实数a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
7．（5分）（2021 上海模拟）设x，y满足约束条件，则z＝x2+y2的最小值与最大值之和为 36 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝x2+y2的几何意义，即可行域内的动点到原点距离的平方求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，A（5，﹣2），联立，解得B（5，3），
z＝x2+y2的几何意义为可行域内的动点到原点距离的平方，
∵O到直线x﹣y﹣2＝0的距离为，|OA|，
|OB|，
∴z＝x2+y2的最小值为2，最大值为34，最小值与最大值的和为2+34＝36．
故答案为：36．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
8．（5分）（2020 上海模拟）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足1，则（a1+a3+…+a2n﹣1）＝ ．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】根据等比数列{an}的前n项和1推知a1和q，然后根据求和公式进行计算并求极限．
【解答】解：∵a11，a2＝S2﹣a11﹣（），
∴q，
∴a1+a2+a3+…+a2n﹣1[1﹣（）n]，
∴（a1+a3+…+a2n﹣1）．
故答案是：．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和．根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键．
9．（5分）（2014 松江区三模）已知圆柱M的底面直径与高均等于球O的直径，则圆柱M与球O的体积之比V圆柱：V球＝ 3：2 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】球．
【分析】设圆柱的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R，分别求出圆柱和球的体积，代入可得答案．
【解答】解：设圆柱的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R．
由题意，r＝R，h＝2R，
∴V圆柱＝hπR2＝2πR3，V球．
则V圆柱：V球．
故答案为：3：2．
【点评】本题考查的知识点旋转体的（圆柱、球）的体积，熟练掌握圆柱、球的体积公式是解答的关键．
10．（5分）（2022 上海模拟）在北京冬奥会火炬传递的某次活动中，有编号为1、2、3、4、5的5名火炬手．若从中随机选择2人，则选出的火炬手编号相邻的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】从中任选2人，利用列举法能求出选出火炬手编号相邻的概率．
【解答】解：在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，从中任选2人，
基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个，
火炬手编号相连包含的基本事件有：
（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4个，
则选出火炬手编号相连的概率为 P
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（5分）（2019 潮州二模）从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|＝5，则△MPF的面积为 10 ．
【考点】抛物线的性质．
【专题】计算题．
【分析】设出P的坐标，利用抛物线的定义可知|PF|＝|PM|进而可求得y0，最后利用三角性的面积公式求得答案．
【解答】解：由题意，设P（，y0），则|PF|＝|PM|1＝5，所以y0＝±4，
∴S△MPF|PM||y0|＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单应用．涉及抛物线的焦点问题时一般要考虑到抛物线的定义，考查计算能力．
12．（5分）（2021 虹口区二模）在数列{an}中，对任意n∈N*，an＝k，当且仅当2k≤n＜2k+1，k∈N，若满足am+a2m+a4m+a8m+a16m≥52，则m的最小值为 512 ．
【考点】数列的函数特性．
【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】不妨设2k≤m＜2k+1，则2k+1≤2m＜2k+2，从而得到a2m，同理求出a4m，a8m，a16m，利用已知的不等式求解，求出k的最小值，从而得到m的最小值．
【解答】解：不妨设2k≤m＜2k+1，k∈N*，m∈N*，
由题意可得，am＝k，
因为2k+1≤2m＜2k+2，
所以a2m＝k+1，
同理可得，a4m＝k+2，a8m＝k+3，a16m＝k+4，…
所以am+a2m+a4m+a8m+a16m＝k+（k+1）+（k+2）+（k+3）+（k+4）＝5k+10，
因为am+a2m+a4m+a8m+a16m≥52，
所以5k+10≥52，
解得，又k∈N*，
所以k的最小值整数解为9，
故m的最小值为29＝512．
故答案为：512．
【点评】本题考查了数列的应用，解题的关键是构造2k≤m＜2k+1，求出a2m，a4m，a8m，a16m，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2006 江苏）已知a∈R，函数f（x）＝sinx﹣|a|，x∈R为奇函数，则a＝（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【考点】奇函数、偶函数．
【分析】利用奇函数定义中的特殊值f（0）＝0易于解决．
【解答】解：因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）＝﹣|a|＝0，
解得a＝0，
故选：A．
【点评】本题考查奇函数定义．
14．（5分）（2018 上海二模）参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（ ）
A．直线 B．圆弧
C．线段 D．双曲线的一支
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．
【分析】根据题意，由参数方程中t的范围分析可得x、y的范围，结合参数方程消去参数可得x﹣3y＝10，结合x、y的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，参数方程，若0≤t≤3，
则有：4≤x≤31，﹣2≤y≤7，
又由参数方程，则y+2（x﹣4），即x﹣3y＝10，
又由4≤x≤31，﹣2≤y≤7，
则参数方程表示的是线段；
故选：C．
【点评】本题考查参数方程与普通方程的转化，注意t的取值范围．
15．（5分）（2020 成都模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx）﹣1（A＞0，0＜ω＜1），f（）＝f（），且f（x）在区间（0，）上的最大值为．若对任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，则实数t的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；对应思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】根据ω∈（0，1），所以T＞2π；根据f（）＝f（），对称轴为，代入由ω ，k∈z，得ω．根据f（x）在区间（0，）上的最大值为，解得．求得函数解析式．根据任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，转化为x∈[0，t]，2f（x）min≥f（x）max，根据三角函数的单调性及最值，即可求得t的最值．
【解答】解：根据题意，ω∈（0，1），所以T＞2π；
∵f（）＝f（），∴对称轴为，
由ω ，k∈z，
得ω，k∈z．
∵0＜ω＜1，∴ω．此时f（x）＝Asin（）﹣1．
当x∈（0，），∈，
时，f（x）max＝A﹣1，
∴．
∴f（x）＝（）sin（）﹣1．
当x∈[0，t]，∈[，]，
∵对任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，
即x∈[0，t]，2f（x）min≥f（x）max，
①当，2f（x）min＝2[（）sin1]，
f（x）max＝（）sin1．∴2f（x）min≥f（x）max成立．
又∵与对称，所以时，2f（x）min≥f（x）max恒成立；
②当时，f（x）max＝（）sin1．
2f（x）min，即2f（x）min≥f（x）max不成立．
综上所述，对任意的x1，x2∈[0，t]，2f（x1）≥f（x2）成立，
，即t．
故选：A．
【点评】本题考查了本题考查求三角函数解析式的方法，三角函数单调性及最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（5分）（2021 安徽模拟）已知关于x的不等式k（x+1）（k＞0）的解集为[a，b]，若|b﹣a|≤2，则k的取值范围为（ ）
A．（，] B．（，） C．（0，] D．（0，2）
【考点】其他不等式的解法．
【专题】综合题；数形结合；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直观想象；数学运算．
【分析】本题由函数y的图象和y＝k（x+1）（k＞0）的图象交点情况分析即可解决此题．
【解答】解：∵关于x的不等式k（x+1）（k＞0）的解集为[a，b]，
∴由函数y的图象和y＝k（x+1）（k＞0）的图象交点可知0≤a＜4．
把a＝4，2代入k（a+1），得a∈（，]．
答案故选：A．
【点评】本题考查，特殊不等式解法及应用、数形结合思想、函数思想，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 徐汇区二模）如图，已知AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，OA＝2，∠BOP＝60°，圆柱OO1的表面积为24π．
（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）求直线AP与平面A1PB所成的角的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；整体思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；数学运算．
【分析】（1）根据表面积为24π，求得AA1＝4，结合题意和锥体的体积公式，即可求解；
（2）根据题意证得BP⊥平面AA1P，得到平面A1PB⊥平面AA1P，过点A作AM⊥A1P，证得AM⊥平面A1PB，得到∠APM为直线AP与平面A1PB所成的角，再直角△AA1P中，求得，即，即可求解．
【解答】（1）解：由题意，AB是圆柱OO1的底面圆O的一条直径，且OA＝2，其表面积为24π，
可得2π 22+2π×2×AA1＝24π，解得AA1＝4，
在△AOP中，由∠BOP＝60°且OA＝OP＝2，可得∠AOP＝120°，所以，
在△BOP中，OB＝OP＝2且∠BOP＝60°，可得BP＝2，
所以三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）解：由AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，可得BP⊥AP，
又由AA1⊥平面ABP，BP 平面ABP，所以BP⊥AA1，
因为AP∩AA1＝A且AP，AA1 平面AA1P，所以BP⊥平面AA1P，
又因为BP 平面A1PB，所以平面A1PB⊥平面AA1P，
过点A作AM⊥A1P，垂足为M，如图所示，
因为平面A1PB⊥平面AA1P，平面A1PB∩平面AA1P＝A1P，且AM 平面AAlP，
所以AM⊥平面A1PB，所以∠APM为直线AP与平面A1PB所成的角，
又由OA＝2，∠BOP＝60°，可得PB＝2，
在直角△ABP中，可得，
在直角△AA1P中，可得，
所以，
即，
所以直线AP与平面A1PB所成的角的大小．
【点评】本题考查了三棱锥体积的计算，直线与平面所成的角，属于中档题．
18．（14分）（2021 上海模拟）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，且有1．
（1）求∠B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝2，求△ABC面积的取值范围．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得cosB，结合B∈（0，π），可得B的值．
（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可得S△ABCcotA，由已知可求范围，利用三角函数的性质即可求解其取值范围．
【解答】解：（1）由已知利用正弦定理可得1，
又因为11，
由上述两式子可得cosB，
因为B∈（0，π），
所以B．
（2）由于B，sinB，A+C，
所以S△ABCacsinB2×2 sinBcotA，
而由△ABC是锐角三角形，且∠B，可得，
故cotA∈（0，），
故S△ABC的取值范围为（，）．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式以及三角函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（14分）（2021 黄浦区校级三模）“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的实数，当f∈（1，2）时，该地区收入均衡性最为稳定．
（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？
（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）由对数有意义的条件可得函数的定义域；结合分离常数法、复合函数单调性的判断原则“同增异减”，可知函数g（x）的单调性；将f＝0.89，x＝3.15，a＝2.17代入，解之即可得最低保障收入系数；
（2）结合对数的运算法则解不等式1＜loga2，即可．
【解答】解：（1）由题意知，0，
所以x＞b或x＜﹣b，
故定义域为（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞）；
函数y1，
因为a、b、x都是大于1的实数，
所以函数y＝logax在定义域内单调递增，函数y在定义域内单调递减，
由复合函数的单调性知，g（x）在（﹣∞，﹣b）和（b，+∞）上单调递减，
函数g（x）的单调性的实际意义为该地区的收入均值系数大于该地区的最低保障收入系数时，收入均值系数越大，弗格指数越小．
将f＝0.89，x＝3.15，a＝2.17代入，有0.89＝log2.17，
所以2.170.89≈1.993，
解得b≈1.04，
故该地区的最低保障收入系数为1.04．
（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，则f∈（1，2），
所以1＜loga2，即logaa＜loga，
因为a＞1，所以aa2，即a＜1a2，
解得x，
故该地区收入均值系数的取值范围为．
【点评】本题考查函数的实际应用，对数函数和复合函数的单调性，解对数不等式等，熟练掌握对数函数和复合函数的单调性，以及对数的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（16分）（2022 徐汇区校级模拟）如图，A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上与A、B均不重合的相异两点，设直线AM、BN、AN的斜率分别是k1、k2、k3．
（1）若直线MN过点（1，0），求证：k1 k3为定值；
（2）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）设直线MN为：x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立MN方程和椭圆方程，根据韦达定理和斜率计算公式计算k1 k3即可；
（2）设MN：x＝my+t，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立MN方程和椭圆方程，求得根与系数关系．联立AM与BN方程，消去y，求解x，将根与系数关系代入化简即可求解．
【解答】（1）证明：设直线MN为：x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
由得，（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
∴，，
∴
，
∴k1 k3为定值；
（2）解：设MN：x＝my+t，M（x1，y1），N（x2，y2），
，
∴，，∴，
则，，
AM和BN方程联立得，，
即
，
即，
即直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上．
【点评】本题主要考查圆锥曲线中的定值问题，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
21．（18分）（2020 浦东新区校级模拟）设对集合D上的任意两相异实数x1，x2，若|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，则称f（x）在D上优于g（x）；若|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，则称f（x）在D上严格优于g（x）．
（1）设f（x）在R上优于g（x），且y＝f（x）是偶函数，判断并证明y＝g（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在R上严格优于g（x），h（x）＝f（x）+g（x），若y＝f（x）是R上的增函数，求证：h（x）＝f（x）+g（x）在R上也是增函数；
（3）设函数f（x）＝loga8x，g（x）＝loga（a+x）﹣loga（a﹣x），若0＜a＜1，是否存在实数t∈（0，a）使得f（x）在D＝（0，t]上优于g（x），若存在，求实数t的最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数思想；转化思想；定义法；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）令 x1＝x，x2＝﹣x代入已知不等式中，再结合y＝f（x）是偶函数，即可证明y＝g（x）是偶函数；
（2）根据新定义先列出不等式，再把y＝f（x）是R上的增函数转化为若 x1＜x2，则 f（x1）＜f（x2），代入不等式即可证明h（x）＝f（x）+g（x）在R上也是增函数；
（3）先根据新定义列出不等式，再将不等式化简得到恒成立，再结合又因为即可得到a2≥3t2，从而求得t的最大值．
【解答】解：（1）因为 f（x）在R上优于g（x），
所以在R上任意两相异实数x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，
令 x1＝x，x2＝﹣x，得：
|f（x）﹣f（﹣x）|≥|g（x）﹣g（﹣x）|，
因为 f（x） 是偶函数，所以 f（x）＝f（﹣x），
于是|g（x）﹣g（﹣x）|≤0，即g（x）﹣g（﹣x）＝0，
故函数y＝g（x）为偶函数．
（2）设 x1＜x2，因为 y＝f（x） 是 R 上的增函数，所以 f（x1）＜f（x2），
|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x2）﹣f（x1），
因为f（x）在R上严格优于g（x），所以
|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|，
所以﹣f（x2）+f（x1）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），
于是f（x2）+g（x2）＞f（x1）+g（x1），
即 h（x2）＞h（x1），
故函数h（x）＝f（x）+g（x）在R上也是增函数．
（3）f（x）＝loga8x，则函数f（x）的定义域为（0，+∞），
g（x）＝loga（a+x）﹣loga（a﹣x），
因为0＜a＜1，则函数g（x）的定义域为（﹣a，a），
函数f（x）在D＝（0，t]上优于g（x），t∈（0，a），
等价于对集合D＝（0，t]上的任意两相异实数x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，
即（*）恒成立，
不妨设x1＜x2≤t，
所以不等式（*）等价于：恒成立，
等价于：恒成立，
根据对数函数单调性可得恒成立，
化简得恒成立，
又因为，
于是a2≥3t2，即，
又因为t∈（0，a），所以t的取值范围为（0，]，
即实数t的最大值为．
【点评】本题考查函数的性质（单调性，奇偶性），考查不等式恒成立的转化，新定义问题，着重考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
3．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a恒成立
即a≤x2
a≤22
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
4．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
7．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
8．数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
【典型例题分析】
典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）
解：an＝n2+kn+2，
∵不等式an≥a4恒成立，
∴，
解得﹣9≤k≤﹣7，
故选：B．
典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（ ）
A．310 B．212 C．180 D．121
解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d，
其前n项和为Sn，
∴，
1，，，
∵数列{}也为等差数列，
∴，
∴1，
解得d＝2．
∴Sn+10＝（n+10）2，
（2n﹣1）2，
∴，
由于为单调递减数列，
∴112＝121，
故选：D．
9．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
10．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
11．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
12．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
13．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
14．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
15．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ cos（2x） ．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x2 （cos2x﹣sin2x）
cos（2x）．
故答案为：cos（2x）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t
∴当t时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
16．圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（，），半径r．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
17．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
18．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则
当，
解得
此时对 k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
19．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
20．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
21．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
22．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
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一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 嘉定区三模）若复数z＝（1+i） i（其中i为虚数单位），则共轭复数 ．
2．（4分）（2022 浦东新区校级二模）集合，B＝{y|y＝﹣x2+4x}，则A∩B＝ ．
3．（4分）（2019 宝山区二模）圆x2+y2﹣2x+6y＝6的半径r＝ ．
4．（4分）（2020 怀柔区一模）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点，则 ．
5．（4分）（2021 黄浦区校级三模）函数的反函数为y＝f﹣1（x），f﹣1（3）＝ ．
6．（4分）（2020 潍坊模拟）已知二项式的展开式中含x3项的系数是160，则实数a的值是 ．
7．（5分）（2021 上海模拟）设x，y满足约束条件，则z＝x2+y2的最小值与最大值之和为 ．
8．（5分）（2020 上海模拟）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足1，则（a1+a3+…+a2n﹣1）＝ ．
9．（5分）（2014 松江区三模）已知圆柱M的底面直径与高均等于球O的直径，则圆柱M与球O的体积之比V圆柱：V球＝ ．
10．（5分）（2022 上海模拟）在北京冬奥会火炬传递的某次活动中，有编号为1、2、3、4、5的5名火炬手．若从中随机选择2人，则选出的火炬手编号相邻的概率为 ．
11．（5分）（2019 潮州二模）从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|＝5，则△MPF的面积为 ．
12．（5分）（2021 虹口区二模）在数列{an}中，对任意n∈N*，an＝k，当且仅当2k≤n＜2k+1，k∈N，若满足am+a2m+a4m+a8m+a16m≥52，则m的最小值为 ．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2006 江苏）已知a∈R，函数f（x）＝sinx﹣|a|，x∈R为奇函数，则a＝（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
14．（5分）（2018 上海二模）参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（ ）
A．直线 B．圆弧
C．线段 D．双曲线的一支
15．（5分）（2020 成都模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx）﹣1（A＞0，0＜ω＜1），f（）＝f（），且f（x）在区间（0，）上的最大值为．若对任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，则实数t的最大值是（ ）
A． B． C． D．
16．（5分）（2021 安徽模拟）已知关于x的不等式k（x+1）（k＞0）的解集为[a，b]，若|b﹣a|≤2，则k的取值范围为（ ）
A．（，] B．（，） C．（0，] D．（0，2）
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 徐汇区二模）如图，已知AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，OA＝2，∠BOP＝60°，圆柱OO1的表面积为24π．
（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）求直线AP与平面A1PB所成的角的大小．
18．（14分）（2021 上海模拟）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，且有1．
（1）求∠B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝2，求△ABC面积的取值范围．
19．（14分）（2021 黄浦区校级三模）“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的实数，当f∈（1，2）时，该地区收入均衡性最为稳定．
（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？
（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）．
20．（16分）（2022 徐汇区校级模拟）如图，A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上与A、B均不重合的相异两点，设直线AM、BN、AN的斜率分别是k1、k2、k3．
（1）若直线MN过点（1，0），求证：k1 k3为定值；
（2）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
21．（18分）（2020 浦东新区校级模拟）设对集合D上的任意两相异实数x1，x2，若|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，则称f（x）在D上优于g（x）；若|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，则称f（x）在D上严格优于g（x）．
（1）设f（x）在R上优于g（x），且y＝f（x）是偶函数，判断并证明y＝g（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在R上严格优于g（x），h（x）＝f（x）+g（x），若y＝f（x）是R上的增函数，求证：h（x）＝f（x）+g（x）在R上也是增函数；
（3）设函数f（x）＝loga8x，g（x）＝loga（a+x）﹣loga（a﹣x），若0＜a＜1，是否存在实数t∈（0，a）使得f（x）在D＝（0，t]上优于g（x），若存在，求实数t的最大值；若不存在，请说明理由．
2022高考数学终极押题密卷2（上海卷）
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 嘉定区三模）若复数z＝（1+i） i（其中i为虚数单位），则共轭复数 ﹣1﹣i ．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：由已知得，z＝（1+i） i＝﹣1+i，
则1﹣i，
故答案为：﹣1﹣i
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（4分）（2022 浦东新区校级二模）集合，B＝{y|y＝﹣x2+4x}，则A∩B＝ [2，4] ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝﹣（x﹣2）2+4}＝{y|y≤4}，
∴A∩B＝[2，4]．
故答案为：[2，4]．
【点评】本题考查了描述法的定义，配方求二次函数的值域的方法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
3．（4分）（2019 宝山区二模）圆x2+y2﹣2x+6y＝6的半径r＝ 4 ．
【考点】圆的一般方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的半径．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+6y＝6，即圆（x﹣1）2+（y+3）2＝16，故圆的半径为4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题．
4．（4分）（2020 怀柔区一模）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点，则 ﹣1 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】先在△ABC中，利用余弦定理，算出，确定△ABC是以A为直角的直角三角形，然后，结合平面向量数量积的运算法则求解即可．
【解答】解：由于∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，
根据余弦定理可知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB BC cos∠ABC，
∴，△ABC为直角三角形，且A为直角，
∴．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练运用平面向量的加减法和数量积运算是解题的关键，考查学生的分析能力和计算能力，属于基础题．
5．（4分）（2021 黄浦区校级三模）函数的反函数为y＝f﹣1（x），f﹣1（3）＝ ．
【考点】反函数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先求出已知函数的反函数，然后把x＝3代入即可求解．
【解答】解：因为y，
所以x，即y＝f﹣1（x），
所以f﹣1（3）2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了反函数的求解，属于基础题．
6．（4分）（2020 潍坊模拟）已知二项式的展开式中含x3项的系数是160，则实数a的值是 2 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得含x3的项，再根据含x3项的系数等于160求得实数a的值．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1 ar x12﹣3r，
令12﹣3r＝3，求得r＝3，可得展开式中含x3项的系数是 a3＝160，
解得实数a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
7．（5分）（2021 上海模拟）设x，y满足约束条件，则z＝x2+y2的最小值与最大值之和为 36 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝x2+y2的几何意义，即可行域内的动点到原点距离的平方求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，A（5，﹣2），联立，解得B（5，3），
z＝x2+y2的几何意义为可行域内的动点到原点距离的平方，
∵O到直线x﹣y﹣2＝0的距离为，|OA|，
|OB|，
∴z＝x2+y2的最小值为2，最大值为34，最小值与最大值的和为2+34＝36．
故答案为：36．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
8．（5分）（2020 上海模拟）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足1，则（a1+a3+…+a2n﹣1）＝ ．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】根据等比数列{an}的前n项和1推知a1和q，然后根据求和公式进行计算并求极限．
【解答】解：∵a11，a2＝S2﹣a11﹣（），
∴q，
∴a1+a2+a3+…+a2n﹣1[1﹣（）n]，
∴（a1+a3+…+a2n﹣1）．
故答案是：．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和．根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键．
9．（5分）（2014 松江区三模）已知圆柱M的底面直径与高均等于球O的直径，则圆柱M与球O的体积之比V圆柱：V球＝ 3：2 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】球．
【分析】设圆柱的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R，分别求出圆柱和球的体积，代入可得答案．
【解答】解：设圆柱的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R．
由题意，r＝R，h＝2R，
∴V圆柱＝hπR2＝2πR3，V球．
则V圆柱：V球．
故答案为：3：2．
【点评】本题考查的知识点旋转体的（圆柱、球）的体积，熟练掌握圆柱、球的体积公式是解答的关键．
10．（5分）（2022 上海模拟）在北京冬奥会火炬传递的某次活动中，有编号为1、2、3、4、5的5名火炬手．若从中随机选择2人，则选出的火炬手编号相邻的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】从中任选2人，利用列举法能求出选出火炬手编号相邻的概率．
【解答】解：在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，从中任选2人，
基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个，
火炬手编号相连包含的基本事件有：
（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4个，
则选出火炬手编号相连的概率为 P
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（5分）（2019 潮州二模）从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|＝5，则△MPF的面积为 10 ．
【考点】抛物线的性质．
【专题】计算题．
【分析】设出P的坐标，利用抛物线的定义可知|PF|＝|PM|进而可求得y0，最后利用三角性的面积公式求得答案．
【解答】解：由题意，设P（，y0），则|PF|＝|PM|1＝5，所以y0＝±4，
∴S△MPF|PM||y0|＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单应用．涉及抛物线的焦点问题时一般要考虑到抛物线的定义，考查计算能力．
12．（5分）（2021 虹口区二模）在数列{an}中，对任意n∈N*，an＝k，当且仅当2k≤n＜2k+1，k∈N，若满足am+a2m+a4m+a8m+a16m≥52，则m的最小值为 512 ．
【考点】数列的函数特性．
【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】不妨设2k≤m＜2k+1，则2k+1≤2m＜2k+2，从而得到a2m，同理求出a4m，a8m，a16m，利用已知的不等式求解，求出k的最小值，从而得到m的最小值．
【解答】解：不妨设2k≤m＜2k+1，k∈N*，m∈N*，
由题意可得，am＝k，
因为2k+1≤2m＜2k+2，
所以a2m＝k+1，
同理可得，a4m＝k+2，a8m＝k+3，a16m＝k+4，…
所以am+a2m+a4m+a8m+a16m＝k+（k+1）+（k+2）+（k+3）+（k+4）＝5k+10，
因为am+a2m+a4m+a8m+a16m≥52，
所以5k+10≥52，
解得，又k∈N*，
所以k的最小值整数解为9，
故m的最小值为29＝512．
故答案为：512．
【点评】本题考查了数列的应用，解题的关键是构造2k≤m＜2k+1，求出a2m，a4m，a8m，a16m，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2006 江苏）已知a∈R，函数f（x）＝sinx﹣|a|，x∈R为奇函数，则a＝（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【考点】奇函数、偶函数．
【分析】利用奇函数定义中的特殊值f（0）＝0易于解决．
【解答】解：因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）＝﹣|a|＝0，
解得a＝0，
故选：A．
【点评】本题考查奇函数定义．
14．（5分）（2018 上海二模）参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（ ）
A．直线 B．圆弧
C．线段 D．双曲线的一支
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．
【分析】根据题意，由参数方程中t的范围分析可得x、y的范围，结合参数方程消去参数可得x﹣3y＝10，结合x、y的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，参数方程，若0≤t≤3，
则有：4≤x≤31，﹣2≤y≤7，
又由参数方程，则y+2（x﹣4），即x﹣3y＝10，
又由4≤x≤31，﹣2≤y≤7，
则参数方程表示的是线段；
故选：C．
【点评】本题考查参数方程与普通方程的转化，注意t的取值范围．
15．（5分）（2020 成都模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx）﹣1（A＞0，0＜ω＜1），f（）＝f（），且f（x）在区间（0，）上的最大值为．若对任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，则实数t的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；对应思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】根据ω∈（0，1），所以T＞2π；根据f（）＝f（），对称轴为，代入由ω ，k∈z，得ω．根据f（x）在区间（0，）上的最大值为，解得．求得函数解析式．根据任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，转化为x∈[0，t]，2f（x）min≥f（x）max，根据三角函数的单调性及最值，即可求得t的最值．
【解答】解：根据题意，ω∈（0，1），所以T＞2π；
∵f（）＝f（），∴对称轴为，
由ω ，k∈z，
得ω，k∈z．
∵0＜ω＜1，∴ω．此时f（x）＝Asin（）﹣1．
当x∈（0，），∈，
时，f（x）max＝A﹣1，
∴．
∴f（x）＝（）sin（）﹣1．
当x∈[0，t]，∈[，]，
∵对任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，
即x∈[0，t]，2f（x）min≥f（x）max，
①当，2f（x）min＝2[（）sin1]，
f（x）max＝（）sin1．∴2f（x）min≥f（x）max成立．
又∵与对称，所以时，2f（x）min≥f（x）max恒成立；
②当时，f（x）max＝（）sin1．
2f（x）min，即2f（x）min≥f（x）max不成立．
综上所述，对任意的x1，x2∈[0，t]，2f（x1）≥f（x2）成立，
，即t．
故选：A．
【点评】本题考查了本题考查求三角函数解析式的方法，三角函数单调性及最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（5分）（2021 安徽模拟）已知关于x的不等式k（x+1）（k＞0）的解集为[a，b]，若|b﹣a|≤2，则k的取值范围为（ ）
A．（，] B．（，） C．（0，] D．（0，2）
【考点】其他不等式的解法．
【专题】综合题；数形结合；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直观想象；数学运算．
【分析】本题由函数y的图象和y＝k（x+1）（k＞0）的图象交点情况分析即可解决此题．
【解答】解：∵关于x的不等式k（x+1）（k＞0）的解集为[a，b]，
∴由函数y的图象和y＝k（x+1）（k＞0）的图象交点可知0≤a＜4．
把a＝4，2代入k（a+1），得a∈（，]．
答案故选：A．
【点评】本题考查，特殊不等式解法及应用、数形结合思想、函数思想，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 徐汇区二模）如图，已知AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，OA＝2，∠BOP＝60°，圆柱OO1的表面积为24π．
（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）求直线AP与平面A1PB所成的角的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；整体思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；数学运算．
【分析】（1）根据表面积为24π，求得AA1＝4，结合题意和锥体的体积公式，即可求解；
（2）根据题意证得BP⊥平面AA1P，得到平面A1PB⊥平面AA1P，过点A作AM⊥A1P，证得AM⊥平面A1PB，得到∠APM为直线AP与平面A1PB所成的角，再直角△AA1P中，求得，即，即可求解．
【解答】（1）解：由题意，AB是圆柱OO1的底面圆O的一条直径，且OA＝2，其表面积为24π，
可得2π 22+2π×2×AA1＝24π，解得AA1＝4，
在△AOP中，由∠BOP＝60°且OA＝OP＝2，可得∠AOP＝120°，所以，
在△BOP中，OB＝OP＝2且∠BOP＝60°，可得BP＝2，
所以三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）解：由AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，可得BP⊥AP，
又由AA1⊥平面ABP，BP 平面ABP，所以BP⊥AA1，
因为AP∩AA1＝A且AP，AA1 平面AA1P，所以BP⊥平面AA1P，
又因为BP 平面A1PB，所以平面A1PB⊥平面AA1P，
过点A作AM⊥A1P，垂足为M，如图所示，
因为平面A1PB⊥平面AA1P，平面A1PB∩平面AA1P＝A1P，且AM 平面AAlP，
所以AM⊥平面A1PB，所以∠APM为直线AP与平面A1PB所成的角，
又由OA＝2，∠BOP＝60°，可得PB＝2，
在直角△ABP中，可得，
在直角△AA1P中，可得，
所以，
即，
所以直线AP与平面A1PB所成的角的大小．
【点评】本题考查了三棱锥体积的计算，直线与平面所成的角，属于中档题．
18．（14分）（2021 上海模拟）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，且有1．
（1）求∠B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝2，求△ABC面积的取值范围．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得cosB，结合B∈（0，π），可得B的值．
（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可得S△ABCcotA，由已知可求范围，利用三角函数的性质即可求解其取值范围．
【解答】解：（1）由已知利用正弦定理可得1，
又因为11，
由上述两式子可得cosB，
因为B∈（0，π），
所以B．
（2）由于B，sinB，A+C，
所以S△ABCacsinB2×2 sinBcotA，
而由△ABC是锐角三角形，且∠B，可得，
故cotA∈（0，），
故S△ABC的取值范围为（，）．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式以及三角函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（14分）（2021 黄浦区校级三模）“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的实数，当f∈（1，2）时，该地区收入均衡性最为稳定．
（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？
（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）由对数有意义的条件可得函数的定义域；结合分离常数法、复合函数单调性的判断原则“同增异减”，可知函数g（x）的单调性；将f＝0.89，x＝3.15，a＝2.17代入，解之即可得最低保障收入系数；
（2）结合对数的运算法则解不等式1＜loga2，即可．
【解答】解：（1）由题意知，0，
所以x＞b或x＜﹣b，
故定义域为（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞）；
函数y1，
因为a、b、x都是大于1的实数，
所以函数y＝logax在定义域内单调递增，函数y在定义域内单调递减，
由复合函数的单调性知，g（x）在（﹣∞，﹣b）和（b，+∞）上单调递减，
函数g（x）的单调性的实际意义为该地区的收入均值系数大于该地区的最低保障收入系数时，收入均值系数越大，弗格指数越小．
将f＝0.89，x＝3.15，a＝2.17代入，有0.89＝log2.17，
所以2.170.89≈1.993，
解得b≈1.04，
故该地区的最低保障收入系数为1.04．
（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，则f∈（1，2），
所以1＜loga2，即logaa＜loga，
因为a＞1，所以aa2，即a＜1a2，
解得x，
故该地区收入均值系数的取值范围为．
【点评】本题考查函数的实际应用，对数函数和复合函数的单调性，解对数不等式等，熟练掌握对数函数和复合函数的单调性，以及对数的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（16分）（2022 徐汇区校级模拟）如图，A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上与A、B均不重合的相异两点，设直线AM、BN、AN的斜率分别是k1、k2、k3．
（1）若直线MN过点（1，0），求证：k1 k3为定值；
（2）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）设直线MN为：x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立MN方程和椭圆方程，根据韦达定理和斜率计算公式计算k1 k3即可；
（2）设MN：x＝my+t，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立MN方程和椭圆方程，求得根与系数关系．联立AM与BN方程，消去y，求解x，将根与系数关系代入化简即可求解．
【解答】（1）证明：设直线MN为：x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
由得，（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
∴，，
∴
，
∴k1 k3为定值；
（2）解：设MN：x＝my+t，M（x1，y1），N（x2，y2），
，
∴，，∴，
则，，
AM和BN方程联立得，，
即
，
即，
即直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上．
【点评】本题主要考查圆锥曲线中的定值问题，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
21．（18分）（2020 浦东新区校级模拟）设对集合D上的任意两相异实数x1，x2，若|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，则称f（x）在D上优于g（x）；若|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，则称f（x）在D上严格优于g（x）．
（1）设f（x）在R上优于g（x），且y＝f（x）是偶函数，判断并证明y＝g（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在R上严格优于g（x），h（x）＝f（x）+g（x），若y＝f（x）是R上的增函数，求证：h（x）＝f（x）+g（x）在R上也是增函数；
（3）设函数f（x）＝loga8x，g（x）＝loga（a+x）﹣loga（a﹣x），若0＜a＜1，是否存在实数t∈（0，a）使得f（x）在D＝（0，t]上优于g（x），若存在，求实数t的最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数思想；转化思想；定义法；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）令 x1＝x，x2＝﹣x代入已知不等式中，再结合y＝f（x）是偶函数，即可证明y＝g（x）是偶函数；
（2）根据新定义先列出不等式，再把y＝f（x）是R上的增函数转化为若 x1＜x2，则 f（x1）＜f（x2），代入不等式即可证明h（x）＝f（x）+g（x）在R上也是增函数；
（3）先根据新定义列出不等式，再将不等式化简得到恒成立，再结合又因为即可得到a2≥3t2，从而求得t的最大值．
【解答】解：（1）因为 f（x）在R上优于g（x），
所以在R上任意两相异实数x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，
令 x1＝x，x2＝﹣x，得：
|f（x）﹣f（﹣x）|≥|g（x）﹣g（﹣x）|，
因为 f（x） 是偶函数，所以 f（x）＝f（﹣x），
于是|g（x）﹣g（﹣x）|≤0，即g（x）﹣g（﹣x）＝0，
故函数y＝g（x）为偶函数．
（2）设 x1＜x2，因为 y＝f（x） 是 R 上的增函数，所以 f（x1）＜f（x2），
|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x2）﹣f（x1），
因为f（x）在R上严格优于g（x），所以
|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|，
所以﹣f（x2）+f（x1）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），
于是f（x2）+g（x2）＞f（x1）+g（x1），
即 h（x2）＞h（x1），
故函数h（x）＝f（x）+g（x）在R上也是增函数．
（3）f（x）＝loga8x，则函数f（x）的定义域为（0，+∞），
g（x）＝loga（a+x）﹣loga（a﹣x），
因为0＜a＜1，则函数g（x）的定义域为（﹣a，a），
函数f（x）在D＝（0，t]上优于g（x），t∈（0，a），
等价于对集合D＝（0，t]上的任意两相异实数x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，
即（*）恒成立，
不妨设x1＜x2≤t，
所以不等式（*）等价于：恒成立，
等价于：恒成立，
根据对数函数单调性可得恒成立，
化简得恒成立，
又因为，
于是a2≥3t2，即，
又因为t∈（0，a），所以t的取值范围为（0，]，
即实数t的最大值为．
【点评】本题考查函数的性质（单调性，奇偶性），考查不等式恒成立的转化，新定义问题，着重考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
3．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a恒成立
即a≤x2
a≤22
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
4．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
7．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
8．数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
【典型例题分析】
典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）
解：an＝n2+kn+2，
∵不等式an≥a4恒成立，
∴，
解得﹣9≤k≤﹣7，
故选：B．
典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（ ）
A．310 B．212 C．180 D．121
解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d，
其前n项和为Sn，
∴，
1，，，
∵数列{}也为等差数列，
∴，
∴1，
解得d＝2．
∴Sn+10＝（n+10）2，
（2n﹣1）2，
∴，
由于为单调递减数列，
∴112＝121，
故选：D．
9．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
10．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
11．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
12．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
13．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
14．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
15．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ cos（2x） ．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x2 （cos2x﹣sin2x）
cos（2x）．
故答案为：cos（2x）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t
∴当t时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
16．圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（，），半径r．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
17．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
18．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则
当，
解得
此时对 k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
19．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
20．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
21．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
22．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
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