2022年高考数学终极押题密卷(全国乙卷理科)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(全国乙卷理科)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 650.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:20:50 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国乙卷理科)
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 泸州模拟）（ ）
A．1+i B．1﹣i C． D．
2．（5分）（2022 湖北模拟）集合M＝{x|x2﹣2x＜0}，N＝{x|lgx＞0}，则M∩N＝（ ）
A．（0，2） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（0，+∞）
3．（5分）（2022 甘肃模拟）已知命题p：若α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的充要条件；命题q：“若a，b∈R，则 a＞b，使a2＞b2成立”的否定为“若a，b∈R．则 a≤b，都有a2≤b2成立”．则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q
4．（5分）（2017 天津学业考试）下列函数中是奇函数的为（ ）
A．y＝2x B．y＝﹣x2 C．y＝（）x D．y＝log3x
5．（5分）（2022 黄山模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AB＝PA＝2AD＝2，PB＝3，AC与BD交于M点，2，连接MN，则异面直线MN与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022 临沭县校级模拟）从甲、乙等6名医生中任选3名分别去A，B，C三所学校进行核酸检测，每个学校去1人，其中甲、乙不能去A学校，则不同的选派种数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．80
7．（5分）（2022 绵阳模拟）函数的部分图象如图所示，将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．（5分）（2022 红山区模拟）如图，图形中的圆是正方形ABCD的内切圆，点E，F，G，H为对角线AC，BD与圆的交点，若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）（2022 汉中模拟）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）（2022 安康模拟）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 萍乡二模）已知双曲线左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2020 新课标Ⅰ）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（ ）
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 安徽模拟）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ．
14．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），则m＝ ．
15．（5分）（2021 白山模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝sin2C，且a2+b2＝2a+4b﹣5，则c＝ ．
16．（5分）（2021春 芜湖月考）如图，E，F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影所有可能正确的是图中的 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2018 四川模拟）汽车业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的M1型汽车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类M1型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）
甲 80 110 120 140 150
乙 100 120 x 100 160
经测算发现，乙品牌M1型汽车二氧化碳排放量的平均值为
（Ⅰ）从被检测的5辆甲类M1型品牌车中任取2辆，则至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？
（Ⅱ）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌M1型汽车二氧化碳排放量的稳定性．
（其中，表示的平均数，n表示样本的数量，xi表示个体，s2表示方差）
18．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB＝3，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值．
19．（12分）（2020 山东模拟）已知数列，且．
（I）求证：数列是等差数列，并求an；
（II）令，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，f（x）＞g（x）．
21．（12分）（2022 永州模拟）已知椭圆C：的焦距为2，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PM，PN的倾斜角互补，求△OMN面积的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 阿勒泰地区模拟）在直角坐标系xOy中若将曲线，（α为参数）的每一点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得的图象向左平移一个单位得到曲线C．以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，直线l极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）若直线l与C相交于A，B两点．求|PA|+|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 新疆模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．
（1）求不等式f（x）≥6的解集；
（2）设函数f（x）的最小值为m，若正数a，b满足2ab＝a+b+m，求ab的最小值．
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国乙卷理科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 泸州模拟）（ ）
A．1+i B．1﹣i C． D．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．（5分）（2022 湖北模拟）集合M＝{x|x2﹣2x＜0}，N＝{x|lgx＞0}，则M∩N＝（ ）
A．（0，2） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（0，+∞）
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】化简集合M、N，再求交集即可．
【解答】解：∵M＝（0，2），N＝（1，+∞），
∴M∩N＝（1，2），
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（5分）（2022 甘肃模拟）已知命题p：若α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的充要条件；命题q：“若a，b∈R，则 a＞b，使a2＞b2成立”的否定为“若a，b∈R．则 a≤b，都有a2≤b2成立”．则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【分析】根据题意，分析命题p、q的真假，进而由复合命题真假的判断方法分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对于p，若m∥β，不一定有α∥β，反之若α∥β，必有m∥β，
故“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，p是假命题；
对于q，“若a，b∈R，则 a＞b，使a2＞b2成立”的否定为“若a，b∈R．则 a＞b，都有a2≤b2成立”，
q是假命题；
故（￢p）∧（￢q）是真命题，
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及充分必要条件的定义，属于基础题．
4．（5分）（2017 天津学业考试）下列函数中是奇函数的为（ ）
A．y＝2x B．y＝﹣x2 C．y＝（）x D．y＝log3x
【考点】奇函数、偶函数．
【专题】方案型；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】直接利用函数奇偶性的定义判断A，B，由函数图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称判断C，D．
【解答】解：函数y＝2x的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣2x＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数；
函数y＝﹣x2的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝f（x），∴f（x）为偶函数；
由函数y＝（）x的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，∴函数y＝（）x是非奇非偶函数；
由函数y＝log3x的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，∴函数y＝log3x是非奇非偶函数．
故选：A．
【点评】本题考查函数奇偶性的判定，判定函数的奇偶性，即可以用定义法，也可以根据图象的对称性判断，该题是基础题．
5．（5分）（2022 黄山模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AB＝PA＝2AD＝2，PB＝3，AC与BD交于M点，2，连接MN，则异面直线MN与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；整体思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】依题得，则MN∥PB，所以异面直线MN与AB所成角与直线PB与AB所成角相等，结合余弦定理即可求解．
【解答】解：因为AD∥BC，则，又，
所以，故MN∥PB，
所以异面直线MN与AB所成角与直线PB与AB所成角相等，
由，
故异面直线MN与AB所成角的余弦值为．
故选：D．
【点评】本题考查了两条异面直线所成的角，属于基础题．
6．（5分）（2022 临沭县校级模拟）从甲、乙等6名医生中任选3名分别去A，B，C三所学校进行核酸检测，每个学校去1人，其中甲、乙不能去A学校，则不同的选派种数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．80
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【分析】由A学校先在除甲、乙的4名医生中选1名医生，然后由B，C两所学校在剩下的5名医生中选2名医生，再结合分步原理求解即可．
【解答】解：由A学校先在除甲、乙的4名医生中选1名医生，然后由B，C两所学校在剩下的5名医生中选2名医生即可，
则不同的选派种数为80，
故选：D．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步原理，属基础题．
7．（5分）（2022 绵阳模拟）函数的部分图象如图所示，将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，则（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点作图求出φ，可得函数的解析式，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而得到的值．
【解答】解：函数的部分图象，
可得A＝2，，∴ω．
再结合五点法作图，可得φ，∴φ，f（x）＝2sin（）．
将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）＝2sin的图象，
则2sin1，
故选：B．
【点评】考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式和函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
8．（5分）（2022 红山区模拟）如图，图形中的圆是正方形ABCD的内切圆，点E，F，G，H为对角线AC，BD与圆的交点，若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据几何概型的概率公式，求出对应区域的面积即可．
【解答】解：设圆的半径为1，则将圆和正方形分成四个部分，
则其中一个阴影部分的面积为1，
则题中四个阴影部分的面积等价为2个完整的阴影部分，
则对应的面积为2，
则若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率P，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据定义求出对应区域面积是解决本题的关键，是中档题．
9．（5分）（2022 汉中模拟）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】解三角形．
【专题】解三角形；数学建模；数学运算．
【分析】先求出∠BAD，然后利用正弦定理求出AD，再在△ADC中，求出AC．
【解答】解：由题可知：∠BAD＝73.5°﹣26.5°＝47°，
在△BAD中，由正弦定理可知：，即，
则，
又在△ACD中，，
所以，
故选：D．
【点评】本题考查了解三角形，考查了学生数学建模思想，属于基础题．
10．（5分）（2022 安康模拟）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；直观想象；数学运算．
【分析】先求导数，再根据f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点得f′（x）＝0有两个根，最后用导数研究函数零点个数问题求解．
【解答】解：f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a，因为f（x）有两个极值点，所以f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a＝0有两个根，
显然a≠0，ex﹣2ax﹣2a＝0有两个根 有两个根，
令g（x）＝e﹣x（x+1），g′（x）＝﹣xe﹣x，
当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以gmax（x）＝g（0）＝1，
又因为当x→+∞时，g（x）→0，当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，
所以ex﹣2ax﹣2ax＝0有两个根 有两个根 01 a，
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数极值问题，属于中档题．
11．（5分）（2022 萍乡二模）已知双曲线左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由题意画出图形，联立双曲线渐近线方程与圆的方程，可得P，Q的坐标，得到tan∠F2AQ，，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率．
【解答】解：如图，
设双曲线的一条渐近线方程为yx，
联立，解得xP＝﹣a，xQ＝a，
∴Q（a，b），且AP⊥x轴，
∵，∴cos（∠F2AQ），
∴sin∠F2AQ，tan∠F2AQ，则tan∠F2AQ，
∴，∴2b≤3a，∴4（c2﹣a2）≤9a2
得e2，即1＜e．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．
12．（5分）（2020 新课标Ⅰ）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（ ）
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先根据指数函数以及等式的性质得到2a+log2a＜22b+log22b；再借助于函数的单调性即可求解结论．
【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；
因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1，
所以2a+log2a＜22b+log22b，
令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
且f（a）＜f（2b） a＜2b；
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的应用，属于基础题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 安徽模拟）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用，求得，即可得到渐近线方程．
【解答】解：由，得，
∴，又渐近线方程为，
∴双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线渐近线方程的求解等知识，属于基础题．
14．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），则m＝ ﹣7 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，建立方程，求出m的值．
【解答】解：∵向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），
∴（2） 2（﹣4﹣2m）﹣2×5＝0，则m＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
15．（5分）（2021 白山模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝sin2C，且a2+b2＝2a+4b﹣5，则c＝ ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由已知先求a，b，然后结合二倍角公式及三角形的面积公式可求cosC，再由余弦定理即可求解．
【解答】解：因为a2+b2＝2a+4b﹣5，
所以（a﹣1）2+（b﹣2）2＝0，
所以a＝1，b＝2，
因为S＝sin2C，
所以，
因为sinC＞0，
所以cosC，
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab＝3，
故c．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及三角形的面积公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
16．（5分）（2021春 芜湖月考）如图，E，F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影所有可能正确的是图中的 ②③ ．
【考点】简单空间图形的三视图；棱柱的结构特征．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用几何体的直观图和平面图的关系，投影在平面中的位置判断结果．
【解答】解：根据几何体的ABCD﹣A1B1C1D1，四边形BFD1E在ABCD上的正投影的图形为②，在面BCC1B1上的正投影为③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查的知识要点：几何体的直观图和平面图的关系，投影在平面中的位置，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2018 四川模拟）汽车业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的M1型汽车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类M1型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）
甲 80 110 120 140 150
乙 100 120 x 100 160
经测算发现，乙品牌M1型汽车二氧化碳排放量的平均值为
（Ⅰ）从被检测的5辆甲类M1型品牌车中任取2辆，则至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？
（Ⅱ）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌M1型汽车二氧化碳排放量的稳定性．
（其中，表示的平均数，n表示样本的数量，xi表示个体，s2表示方差）
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】计算题；定义法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）分别计算出从被检测的5辆甲品牌汽车中任取2辆的取法总数及至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/km的取法，代入古典概型概率公式，可得答案．
（Ⅱ）分别计算两种品牌汽车二氧化碳排放量的平均数和方差，可得答案．
【解答】解：（I）从被检测的5辆甲品牌汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果，分别为：
（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），
（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150），
设“至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A
事件A包含7种不同结果：
（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），
（120，140），（120，150），（140，150），
所以
（II）由题可知，
所以x＝120，
又∵，
所以，
，
，
所以，，
所以乙品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性好．
【点评】本题考查的知识点是古典概型，数据的平均数和方差，难度不大，属于基础题．
18．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB＝3，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）连接AC，设AC∩BD＝M，连接FM．推出PA∥FM．然后证明PA∥平面BDF．
（2）设AD的中点为E，连接BE，PE．推出是平面PAD的一个法向量．分别以射线EA，EB，EP为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，求出平面BFP的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值即可．
【解答】（1）证明：连接AC，设AC∩BD＝M，连接FM．
∵ABCD是平行四边形，
∴M是AC的中点．
∵F是PC的中点，
∴MF是△ACP的中位线．
∴PA∥FM．
又∵PA 平面BDF，FM 平面BDF，
∴PA∥平面BDF．
（2）解：设AD的中点为E，连接BE，PE．
∵E为AD的中点，PA＝PD＝4，
∴PE⊥AD，PE．
∵ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，
∴BE．
∵AE2+BE2＝1+3＝4＝AB2，PE2+BE2＝15+3＝18＝PB2，
∴BE⊥AD，BE⊥PE．
∵AD∩PE＝E，AD 平面PAD，PE 平面PAD，
∴BE⊥平面PAD．
∴是平面PAD的一个法向量．
分别以射线EA，EB，EP为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，由题意可得E（0，0，0），，，．
∴，，．
设平面BFP的一个法向量为，则．
取y，得x＝0，z＝1．
∴是平面BFP的一个法向量．
∴cos．
设平面BFP与平面PAD所成二面角的大小为α，则α的取值范围为（0，π），
∴sinα．
∴平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19．（12分）（2020 山东模拟）已知数列，且．
（I）求证：数列是等差数列，并求an；
（II）令，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】等差数列的性质；数列的求和．
【专题】综合题．
【分析】（I）对两边同时减去1，整理得到，然后两边同时取倒数得到，即，进而可证数列是等差数列，结合等差数列的定义可得到，整理即可得到an的表达式．
（II）先根据（I）中的an的表达式表示出bn，然后根据数列求和的裂项法求得答案．
【解答】解：（I）∵∴
故
∴
∴数列是公差为的等差数列
而，∴
∴
∴
（II）由（I）知
∴
故Tn＝b1+b2++bn
【点评】本题主要考查求数列的通项公式和前n项和的裂项法．考查对数列知识的综合运用．
20．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，f（x）＞g（x）．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】分类讨论；转化思想；分析法；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）求解导函数，分类讨论a≥﹣1，a＝﹣2，a＜﹣2和﹣2＜a＜﹣1时的对应单调性；
（2）将题目不等式转化为证明，设，求导判断单调性，求解最大值，设F（x）＝xlnx+x2+1，求导判断单调性，求解最小值，设H（x）＝﹣x2﹣x+1，得单调性，从而可证明不等式．
【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞）
．
当a≥﹣1时，a+1≥0，所以x+（a+1）＞0恒成立，
所以f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
当a＜﹣1，分下面三种情况讨论：
①当a＝﹣2时，恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递增；
②当a＜﹣2时，﹣（a+1）＞1，令f'（x）＞0．得0＜x＜1，或x＞﹣（a+1）．
所以f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）单调递增，在（1，﹣a﹣1）单调递减；
③当﹣2＜a＜﹣1时，0﹣（a+1）＜1，令f′（x）＞0，得0＜x＜﹣（a+1），或x＞1，
所以f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）单调递增，在（﹣a﹣1，1）单调递减．
综上，当a＜﹣2时，f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）为增函数，在（1，﹣a﹣1）为减函数；
a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）为增函数；当﹣2＜a＜﹣1时，
f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）为增函数，在（﹣a﹣1，1）为减函数；
当a≥﹣1时，f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数．
（2）证明：当a＝1时，要证明，
即证，设，
易知在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，
所以；设F（x）＝xlnx+x2+1，
则F′（x）＝lnx+2x+1，又函数y＝F′（x）在（0，+∞）为增函数，
而，，
所以存在，使得F′（x0）＝0，且有lnx0＝﹣1﹣2x0，
所以F（x）在（0，x0）为减函数，在（x0，+∞）为增函数．
所以．
设H（x）＝﹣x2﹣x+1，显然在为减函数，
所以，即，
而，所以，
即，故当x＞0时，
F（x）＞G（x）恒成立，所以f（x）＞g（x）成立．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
21．（12分）（2022 永州模拟）已知椭圆C：的焦距为2，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PM，PN的倾斜角互补，求△OMN面积的最大值．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由焦距得c值，由P点坐标得PF1⊥x轴，从而利用通径长可得a，b值，得椭圆方程；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y＝kx+m，kPM+kPN＝0，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理得x1+x2，x1x2，同时注意Δ＞0，把x1+x2，x1x2代入kPM+kPN＝0可求得k，从而得出m的范围，然后由弦长公式求得弦长|MN|，求得原点到直线MN的距离，得三角形面积，结合函数性质得最大值．
【解答】解：（1）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，因为焦距为2，
所以2c＝2且PF1⊥x轴，
故
又由于a2＝b2+c2＝b2+1，所以解得a＝2，
故椭圆C方程为；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y＝kx+m，
由于直线PM，PN的倾斜角互补，故kPM+kPN＝0
联立方程，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
故Δ＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（3+4k2﹣m2）＞0，即m2＜3+4k2
且，
，
所以，故MN的方程为，且0≤m2＜3+4k2＝4
所以弦长
原点到直线MN：x﹣2y+2m＝0的距离为，
所以，
故当且仅当时，△OMN的面积的最大值为．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 阿勒泰地区模拟）在直角坐标系xOy中若将曲线，（α为参数）的每一点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得的图象向左平移一个单位得到曲线C．以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，直线l极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）若直线l与C相交于A，B两点．求|PA|+|PB|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；数学运算．
【分析】（1）（α为参数），消去参数可得直角坐标方程．利用坐标变换求解曲线C的方程即可，利用l极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ＝7，转化求解其直角坐标方程，然后写出参数方程为（t为参数）．（2）点P的直角坐标为（1，1），P∈l，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合参数的几何意义，求解即可．
【解答】解：（1）（α为参数），
∴（x﹣2）2+y2＝4（cos2α+sin2α）＝4，
每一点横坐标变为原来的倍得到（2x﹣2）2+y2＝4，即4（x﹣1）2+y2＝4．
向左平移一个单位得到曲线C为4x2+y2＝4，即，
l极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ＝7，其直角坐标方程为4x+3y＝7．
参数方程为（t为参数）（注：直线参数方程不唯一，结论正确即可给满分）
（2）点P的直角坐标为（1，1），P∈l，
联立直线与椭圆方程，
得，化简得．
∴，．∴t1＞0，t2＞0，．
【点评】本题主要考查坐标系与参数方程的基本知识，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 新疆模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．
（1）求不等式f（x）≥6的解集；
（2）设函数f（x）的最小值为m，若正数a，b满足2ab＝a+b+m，求ab的最小值．
【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式及其应用．
【专题】分类讨论；转化思想；分类法；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）根据f（x）≥6，利用零点分段法去绝对值号求解．
（2）根据已知条件，结合绝对值三角不等式，求得m的值，再利用基本不等求出ab的最小值．
【解答】解：（1）f（x），
当f（x）≥6时，或，解得x≤﹣4或x≥2，
故f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．
（2）f（x）＝|x﹣1|+|x+3|≥|x﹣1﹣x﹣3|＝4，当且仅当﹣3≤x≤1时，等号成立，
∵函数f（x）的最小值为m，∴m＝4，
∵2ab＝a+b+m，∴a+b＝2ab﹣4，∴，
即，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，
∴，即ab≥4，
∴ab的最小值为4．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查了利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
4．指数函数的图象与性质
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质 过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
5．对数函数的图象与性质
【知识点归纳】
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
11．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
12．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵， （3，﹣4）5，∴A不成立；
对于B：∵， （﹣4，3），∴B不成立；
对于C：∵， （4，3），∴C成立；
对于D：∵， （4，﹣3），∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
13．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
14．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
15．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
16．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
17．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
18．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的知识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
19．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的知识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
20．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
22．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
23．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
24．直线与椭圆的综合
v．
25．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
26．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
27．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
28．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
29．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
30．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
31．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
32．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
第2页（共2页）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 泸州模拟）（ ）
A．1+i B．1﹣i C． D．
2．（5分）（2022 湖北模拟）集合M＝{x|x2﹣2x＜0}，N＝{x|lgx＞0}，则M∩N＝（ ）
A．（0，2） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（0，+∞）
3．（5分）（2022 甘肃模拟）已知命题p：若α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的充要条件；命题q：“若a，b∈R，则 a＞b，使a2＞b2成立”的否定为“若a，b∈R．则 a≤b，都有a2≤b2成立”．则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q
4．（5分）（2017 天津学业考试）下列函数中是奇函数的为（ ）
A．y＝2x B．y＝﹣x2 C．y＝（）x D．y＝log3x
5．（5分）（2022 黄山模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AB＝PA＝2AD＝2，PB＝3，AC与BD交于M点，2，连接MN，则异面直线MN与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022 临沭县校级模拟）从甲、乙等6名医生中任选3名分别去A，B，C三所学校进行核酸检测，每个学校去1人，其中甲、乙不能去A学校，则不同的选派种数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．80
7．（5分）（2022 绵阳模拟）函数的部分图象如图所示，将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．（5分）（2022 红山区模拟）如图，图形中的圆是正方形ABCD的内切圆，点E，F，G，H为对角线AC，BD与圆的交点，若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）（2022 汉中模拟）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）（2022 安康模拟）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 萍乡二模）已知双曲线左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2020 新课标Ⅰ）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（ ）
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 安徽模拟）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ．
14．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），则m＝ ．
15．（5分）（2021 白山模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝sin2C，且a2+b2＝2a+4b﹣5，则c＝ ．
16．（5分）（2021春 芜湖月考）如图，E，F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影所有可能正确的是图中的 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2018 四川模拟）汽车业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的M1型汽车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类M1型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）
甲 80 110 120 140 150
乙 100 120 x 100 160
经测算发现，乙品牌M1型汽车二氧化碳排放量的平均值为
（Ⅰ）从被检测的5辆甲类M1型品牌车中任取2辆，则至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？
（Ⅱ）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌M1型汽车二氧化碳排放量的稳定性．
（其中，表示的平均数，n表示样本的数量，xi表示个体，s2表示方差）
18．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB＝3，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值．
19．（12分）（2020 山东模拟）已知数列，且．
（I）求证：数列是等差数列，并求an；
（II）令，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，f（x）＞g（x）．
21．（12分）（2022 永州模拟）已知椭圆C：的焦距为2，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PM，PN的倾斜角互补，求△OMN面积的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 阿勒泰地区模拟）在直角坐标系xOy中若将曲线，（α为参数）的每一点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得的图象向左平移一个单位得到曲线C．以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，直线l极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）若直线l与C相交于A，B两点．求|PA|+|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 新疆模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．
（1）求不等式f（x）≥6的解集；
（2）设函数f（x）的最小值为m，若正数a，b满足2ab＝a+b+m，求ab的最小值．
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国乙卷理科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 泸州模拟）（ ）
A．1+i B．1﹣i C． D．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．（5分）（2022 湖北模拟）集合M＝{x|x2﹣2x＜0}，N＝{x|lgx＞0}，则M∩N＝（ ）
A．（0，2） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（0，+∞）
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】化简集合M、N，再求交集即可．
【解答】解：∵M＝（0，2），N＝（1，+∞），
∴M∩N＝（1，2），
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（5分）（2022 甘肃模拟）已知命题p：若α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的充要条件；命题q：“若a，b∈R，则 a＞b，使a2＞b2成立”的否定为“若a，b∈R．则 a≤b，都有a2≤b2成立”．则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【分析】根据题意，分析命题p、q的真假，进而由复合命题真假的判断方法分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对于p，若m∥β，不一定有α∥β，反之若α∥β，必有m∥β，
故“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，p是假命题；
对于q，“若a，b∈R，则 a＞b，使a2＞b2成立”的否定为“若a，b∈R．则 a＞b，都有a2≤b2成立”，
q是假命题；
故（￢p）∧（￢q）是真命题，
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及充分必要条件的定义，属于基础题．
4．（5分）（2017 天津学业考试）下列函数中是奇函数的为（ ）
A．y＝2x B．y＝﹣x2 C．y＝（）x D．y＝log3x
【考点】奇函数、偶函数．
【专题】方案型；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】直接利用函数奇偶性的定义判断A，B，由函数图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称判断C，D．
【解答】解：函数y＝2x的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣2x＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数；
函数y＝﹣x2的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝f（x），∴f（x）为偶函数；
由函数y＝（）x的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，∴函数y＝（）x是非奇非偶函数；
由函数y＝log3x的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，∴函数y＝log3x是非奇非偶函数．
故选：A．
【点评】本题考查函数奇偶性的判定，判定函数的奇偶性，即可以用定义法，也可以根据图象的对称性判断，该题是基础题．
5．（5分）（2022 黄山模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AB＝PA＝2AD＝2，PB＝3，AC与BD交于M点，2，连接MN，则异面直线MN与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；整体思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】依题得，则MN∥PB，所以异面直线MN与AB所成角与直线PB与AB所成角相等，结合余弦定理即可求解．
【解答】解：因为AD∥BC，则，又，
所以，故MN∥PB，
所以异面直线MN与AB所成角与直线PB与AB所成角相等，
由，
故异面直线MN与AB所成角的余弦值为．
故选：D．
【点评】本题考查了两条异面直线所成的角，属于基础题．
6．（5分）（2022 临沭县校级模拟）从甲、乙等6名医生中任选3名分别去A，B，C三所学校进行核酸检测，每个学校去1人，其中甲、乙不能去A学校，则不同的选派种数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．80
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【分析】由A学校先在除甲、乙的4名医生中选1名医生，然后由B，C两所学校在剩下的5名医生中选2名医生，再结合分步原理求解即可．
【解答】解：由A学校先在除甲、乙的4名医生中选1名医生，然后由B，C两所学校在剩下的5名医生中选2名医生即可，
则不同的选派种数为80，
故选：D．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步原理，属基础题．
7．（5分）（2022 绵阳模拟）函数的部分图象如图所示，将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，则（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点作图求出φ，可得函数的解析式，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而得到的值．
【解答】解：函数的部分图象，
可得A＝2，，∴ω．
再结合五点法作图，可得φ，∴φ，f（x）＝2sin（）．
将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）＝2sin的图象，
则2sin1，
故选：B．
【点评】考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式和函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
8．（5分）（2022 红山区模拟）如图，图形中的圆是正方形ABCD的内切圆，点E，F，G，H为对角线AC，BD与圆的交点，若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据几何概型的概率公式，求出对应区域的面积即可．
【解答】解：设圆的半径为1，则将圆和正方形分成四个部分，
则其中一个阴影部分的面积为1，
则题中四个阴影部分的面积等价为2个完整的阴影部分，
则对应的面积为2，
则若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率P，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据定义求出对应区域面积是解决本题的关键，是中档题．
9．（5分）（2022 汉中模拟）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】解三角形．
【专题】解三角形；数学建模；数学运算．
【分析】先求出∠BAD，然后利用正弦定理求出AD，再在△ADC中，求出AC．
【解答】解：由题可知：∠BAD＝73.5°﹣26.5°＝47°，
在△BAD中，由正弦定理可知：，即，
则，
又在△ACD中，，
所以，
故选：D．
【点评】本题考查了解三角形，考查了学生数学建模思想，属于基础题．
10．（5分）（2022 安康模拟）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；直观想象；数学运算．
【分析】先求导数，再根据f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点得f′（x）＝0有两个根，最后用导数研究函数零点个数问题求解．
【解答】解：f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a，因为f（x）有两个极值点，所以f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a＝0有两个根，
显然a≠0，ex﹣2ax﹣2a＝0有两个根 有两个根，
令g（x）＝e﹣x（x+1），g′（x）＝﹣xe﹣x，
当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以gmax（x）＝g（0）＝1，
又因为当x→+∞时，g（x）→0，当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，
所以ex﹣2ax﹣2ax＝0有两个根 有两个根 01 a，
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数极值问题，属于中档题．
11．（5分）（2022 萍乡二模）已知双曲线左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由题意画出图形，联立双曲线渐近线方程与圆的方程，可得P，Q的坐标，得到tan∠F2AQ，，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率．
【解答】解：如图，
设双曲线的一条渐近线方程为yx，
联立，解得xP＝﹣a，xQ＝a，
∴Q（a，b），且AP⊥x轴，
∵，∴cos（∠F2AQ），
∴sin∠F2AQ，tan∠F2AQ，则tan∠F2AQ，
∴，∴2b≤3a，∴4（c2﹣a2）≤9a2
得e2，即1＜e．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．
12．（5分）（2020 新课标Ⅰ）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（ ）
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先根据指数函数以及等式的性质得到2a+log2a＜22b+log22b；再借助于函数的单调性即可求解结论．
【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；
因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1，
所以2a+log2a＜22b+log22b，
令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
且f（a）＜f（2b） a＜2b；
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的应用，属于基础题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 安徽模拟）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用，求得，即可得到渐近线方程．
【解答】解：由，得，
∴，又渐近线方程为，
∴双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线渐近线方程的求解等知识，属于基础题．
14．（5分）（2022 卡若区校级一模）已知向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），则m＝ ﹣7 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，建立方程，求出m的值．
【解答】解：∵向量（﹣4，m），（1，﹣2），且（2），
∴（2） 2（﹣4﹣2m）﹣2×5＝0，则m＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
15．（5分）（2021 白山模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝sin2C，且a2+b2＝2a+4b﹣5，则c＝ ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由已知先求a，b，然后结合二倍角公式及三角形的面积公式可求cosC，再由余弦定理即可求解．
【解答】解：因为a2+b2＝2a+4b﹣5，
所以（a﹣1）2+（b﹣2）2＝0，
所以a＝1，b＝2，
因为S＝sin2C，
所以，
因为sinC＞0，
所以cosC，
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab＝3，
故c．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及三角形的面积公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
16．（5分）（2021春 芜湖月考）如图，E，F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影所有可能正确的是图中的 ②③ ．
【考点】简单空间图形的三视图；棱柱的结构特征．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用几何体的直观图和平面图的关系，投影在平面中的位置判断结果．
【解答】解：根据几何体的ABCD﹣A1B1C1D1，四边形BFD1E在ABCD上的正投影的图形为②，在面BCC1B1上的正投影为③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查的知识要点：几何体的直观图和平面图的关系，投影在平面中的位置，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2018 四川模拟）汽车业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的M1型汽车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类M1型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）
甲 80 110 120 140 150
乙 100 120 x 100 160
经测算发现，乙品牌M1型汽车二氧化碳排放量的平均值为
（Ⅰ）从被检测的5辆甲类M1型品牌车中任取2辆，则至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？
（Ⅱ）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌M1型汽车二氧化碳排放量的稳定性．
（其中，表示的平均数，n表示样本的数量，xi表示个体，s2表示方差）
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】计算题；定义法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）分别计算出从被检测的5辆甲品牌汽车中任取2辆的取法总数及至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/km的取法，代入古典概型概率公式，可得答案．
（Ⅱ）分别计算两种品牌汽车二氧化碳排放量的平均数和方差，可得答案．
【解答】解：（I）从被检测的5辆甲品牌汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果，分别为：
（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），
（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150），
设“至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A
事件A包含7种不同结果：
（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），
（120，140），（120，150），（140，150），
所以
（II）由题可知，
所以x＝120，
又∵，
所以，
，
，
所以，，
所以乙品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性好．
【点评】本题考查的知识点是古典概型，数据的平均数和方差，难度不大，属于基础题．
18．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB＝3，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）连接AC，设AC∩BD＝M，连接FM．推出PA∥FM．然后证明PA∥平面BDF．
（2）设AD的中点为E，连接BE，PE．推出是平面PAD的一个法向量．分别以射线EA，EB，EP为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，求出平面BFP的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值即可．
【解答】（1）证明：连接AC，设AC∩BD＝M，连接FM．
∵ABCD是平行四边形，
∴M是AC的中点．
∵F是PC的中点，
∴MF是△ACP的中位线．
∴PA∥FM．
又∵PA 平面BDF，FM 平面BDF，
∴PA∥平面BDF．
（2）解：设AD的中点为E，连接BE，PE．
∵E为AD的中点，PA＝PD＝4，
∴PE⊥AD，PE．
∵ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，
∴BE．
∵AE2+BE2＝1+3＝4＝AB2，PE2+BE2＝15+3＝18＝PB2，
∴BE⊥AD，BE⊥PE．
∵AD∩PE＝E，AD 平面PAD，PE 平面PAD，
∴BE⊥平面PAD．
∴是平面PAD的一个法向量．
分别以射线EA，EB，EP为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，由题意可得E（0，0，0），，，．
∴，，．
设平面BFP的一个法向量为，则．
取y，得x＝0，z＝1．
∴是平面BFP的一个法向量．
∴cos．
设平面BFP与平面PAD所成二面角的大小为α，则α的取值范围为（0，π），
∴sinα．
∴平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19．（12分）（2020 山东模拟）已知数列，且．
（I）求证：数列是等差数列，并求an；
（II）令，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】等差数列的性质；数列的求和．
【专题】综合题．
【分析】（I）对两边同时减去1，整理得到，然后两边同时取倒数得到，即，进而可证数列是等差数列，结合等差数列的定义可得到，整理即可得到an的表达式．
（II）先根据（I）中的an的表达式表示出bn，然后根据数列求和的裂项法求得答案．
【解答】解：（I）∵∴
故
∴
∴数列是公差为的等差数列
而，∴
∴
∴
（II）由（I）知
∴
故Tn＝b1+b2++bn
【点评】本题主要考查求数列的通项公式和前n项和的裂项法．考查对数列知识的综合运用．
20．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，f（x）＞g（x）．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】分类讨论；转化思想；分析法；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）求解导函数，分类讨论a≥﹣1，a＝﹣2，a＜﹣2和﹣2＜a＜﹣1时的对应单调性；
（2）将题目不等式转化为证明，设，求导判断单调性，求解最大值，设F（x）＝xlnx+x2+1，求导判断单调性，求解最小值，设H（x）＝﹣x2﹣x+1，得单调性，从而可证明不等式．
【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞）
．
当a≥﹣1时，a+1≥0，所以x+（a+1）＞0恒成立，
所以f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
当a＜﹣1，分下面三种情况讨论：
①当a＝﹣2时，恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递增；
②当a＜﹣2时，﹣（a+1）＞1，令f'（x）＞0．得0＜x＜1，或x＞﹣（a+1）．
所以f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）单调递增，在（1，﹣a﹣1）单调递减；
③当﹣2＜a＜﹣1时，0﹣（a+1）＜1，令f′（x）＞0，得0＜x＜﹣（a+1），或x＞1，
所以f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）单调递增，在（﹣a﹣1，1）单调递减．
综上，当a＜﹣2时，f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）为增函数，在（1，﹣a﹣1）为减函数；
a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）为增函数；当﹣2＜a＜﹣1时，
f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）为增函数，在（﹣a﹣1，1）为减函数；
当a≥﹣1时，f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数．
（2）证明：当a＝1时，要证明，
即证，设，
易知在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，
所以；设F（x）＝xlnx+x2+1，
则F′（x）＝lnx+2x+1，又函数y＝F′（x）在（0，+∞）为增函数，
而，，
所以存在，使得F′（x0）＝0，且有lnx0＝﹣1﹣2x0，
所以F（x）在（0，x0）为减函数，在（x0，+∞）为增函数．
所以．
设H（x）＝﹣x2﹣x+1，显然在为减函数，
所以，即，
而，所以，
即，故当x＞0时，
F（x）＞G（x）恒成立，所以f（x）＞g（x）成立．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
21．（12分）（2022 永州模拟）已知椭圆C：的焦距为2，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PM，PN的倾斜角互补，求△OMN面积的最大值．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由焦距得c值，由P点坐标得PF1⊥x轴，从而利用通径长可得a，b值，得椭圆方程；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y＝kx+m，kPM+kPN＝0，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理得x1+x2，x1x2，同时注意Δ＞0，把x1+x2，x1x2代入kPM+kPN＝0可求得k，从而得出m的范围，然后由弦长公式求得弦长|MN|，求得原点到直线MN的距离，得三角形面积，结合函数性质得最大值．
【解答】解：（1）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，因为焦距为2，
所以2c＝2且PF1⊥x轴，
故
又由于a2＝b2+c2＝b2+1，所以解得a＝2，
故椭圆C方程为；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y＝kx+m，
由于直线PM，PN的倾斜角互补，故kPM+kPN＝0
联立方程，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
故Δ＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（3+4k2﹣m2）＞0，即m2＜3+4k2
且，
，
所以，故MN的方程为，且0≤m2＜3+4k2＝4
所以弦长
原点到直线MN：x﹣2y+2m＝0的距离为，
所以，
故当且仅当时，△OMN的面积的最大值为．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 阿勒泰地区模拟）在直角坐标系xOy中若将曲线，（α为参数）的每一点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得的图象向左平移一个单位得到曲线C．以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，直线l极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）若直线l与C相交于A，B两点．求|PA|+|PB|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；数学运算．
【分析】（1）（α为参数），消去参数可得直角坐标方程．利用坐标变换求解曲线C的方程即可，利用l极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ＝7，转化求解其直角坐标方程，然后写出参数方程为（t为参数）．（2）点P的直角坐标为（1，1），P∈l，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合参数的几何意义，求解即可．
【解答】解：（1）（α为参数），
∴（x﹣2）2+y2＝4（cos2α+sin2α）＝4，
每一点横坐标变为原来的倍得到（2x﹣2）2+y2＝4，即4（x﹣1）2+y2＝4．
向左平移一个单位得到曲线C为4x2+y2＝4，即，
l极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ＝7，其直角坐标方程为4x+3y＝7．
参数方程为（t为参数）（注：直线参数方程不唯一，结论正确即可给满分）
（2）点P的直角坐标为（1，1），P∈l，
联立直线与椭圆方程，
得，化简得．
∴，．∴t1＞0，t2＞0，．
【点评】本题主要考查坐标系与参数方程的基本知识，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 新疆模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．
（1）求不等式f（x）≥6的解集；
（2）设函数f（x）的最小值为m，若正数a，b满足2ab＝a+b+m，求ab的最小值．
【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式及其应用．
【专题】分类讨论；转化思想；分类法；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）根据f（x）≥6，利用零点分段法去绝对值号求解．
（2）根据已知条件，结合绝对值三角不等式，求得m的值，再利用基本不等求出ab的最小值．
【解答】解：（1）f（x），
当f（x）≥6时，或，解得x≤﹣4或x≥2，
故f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．
（2）f（x）＝|x﹣1|+|x+3|≥|x﹣1﹣x﹣3|＝4，当且仅当﹣3≤x≤1时，等号成立，
∵函数f（x）的最小值为m，∴m＝4，
∵2ab＝a+b+m，∴a+b＝2ab﹣4，∴，
即，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，
∴，即ab≥4，
∴ab的最小值为4．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查了利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
4．指数函数的图象与性质
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质 过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
5．对数函数的图象与性质
【知识点归纳】
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
11．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
12．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵， （3，﹣4）5，∴A不成立；
对于B：∵， （﹣4，3），∴B不成立；
对于C：∵， （4，3），∴C成立；
对于D：∵， （4，﹣3），∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
13．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
14．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
15．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
16．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
17．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
18．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的知识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
19．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的知识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
20．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
22．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
23．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
24．直线与椭圆的综合
v．
25．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
26．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
27．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
28．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
29．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
30．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
31．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
32．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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