2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅰ)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅰ)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 411.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:23:30 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷3 (新高考Ⅰ)
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 胶州市一模）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A． B．[﹣1，1） C．[1，3] D．（1，3]
2．（5分）（2022 新余二模）设（1+2i）z＝3﹣i，则z （ ）
A．2 B． C． D．1
3．（5分）（2022 3月份模拟）已知圆锥的表面积为90π，母线与底面所成角为θ，若，则圆锥的体积为（ ）
A．108π B． C． D．72π
4．（5分）（2021秋 肇庆月考）函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022 贵州模拟）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且∠F1PF2＝30°，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2017 临川区校级模拟）若角α的终边落在直线y＝2x上，求sin2α﹣cos2α+sinαcosα的值（ ）
A．1 B．2 C．±2 D．±1
7．（5分）（2021 浔阳区校级模拟）若直线y＝ax与曲线C：y＝lnx相交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），曲线C：y＝lnx在点A，B处的切线相交于点P（x0，y0），则（ ）
A． B．ex1x2＝x0 C．kAP+kBP＞2a D．kAP+kBP≤2a
8．（5分）（2021秋 开福区校级月考）袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件A＝“两个球颜色相同”，事件B＝“两个球颜色不同”，事件C＝“第二次摸到红球”，事件D＝“两个球都是红球”下列说法错误的是（ ）
A．P（A∪B）＝1 B．B与C相互独立
C．D C D．P（B）＝P（A）+P（D）
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021秋 莱州市校级月考）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，可能改变的数字特征是（ ）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差
（多选）10．（5分）（2022春 龙岩期中）已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为2，且，，则有（ ）
A．与共线
B．，
C．
D．在方向上的投影向量的长度为
（多选）11．（5分）（2022 临沭县校级模拟）已知直线l：x+y﹣4＝0，圆O：x2+y2＝2，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（ ）
A．直线l与圆O相切
B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为
C．存在点M，使∠AMB＝90°
D．存在点M，使△AMB为等边三角形
（多选）12．（5分）（2022 长沙模拟）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ）
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体的体积
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 泉州期中）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）均定义在R上，且满足f（x）+g（x）＝3x25，则f（﹣1）+g（3）＝ ．
14．（5分）（2022 于都县二模）已知点O为坐标原点，点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，若线段OF的垂直平分线与抛物线C的一个交点为A，且|OA|＝3，则p＝ ．
15．（5分）（2022 广州二模）函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为 ．
16．（5分）（2022 南通模拟）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……．经过n次操作后，共删去个 小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过，则至少需要操作 次．（lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 二模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{（﹣1）n（Sn﹣3n）}的前n项和Tn．
18．（12分）（2022 福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起．其中20km男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈4km），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜．
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和．假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响．
（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由．
19．（12分）（2022 赣州一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b＝7，c＝5．
（1）若，求cosC的值；
（2）若BC边上的中线长为，求a的值．
20．（12分）（2022 道里区校级二模）如图1，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，AB＝4，AD＝2，将矩形ABCD沿EF翻折．
（Ⅰ）若所成二面角的大小为（如图2），求证：直线CE⊥面DBF；
（Ⅱ）若所成二面角的大小为（如图3），点M在线段AD上，当直线BE与面EMC所成角为时，求二面角D﹣EM﹣C的余弦值．
21．（12分）（2022 安徽模拟）已知离心率为的椭圆1过点，过椭圆的右焦点且斜率为k的直线与椭圆交于B，C两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2﹣2k为定值．
22．（12分）（2022 湘潭三模）已知函数f（x）＝ln2x+ax+2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2xeax+1有且只有x1，x2两个零点，证明：x1+x2．
2022年高考数学终极押题密卷3 (新高考Ⅰ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 胶州市一模）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A． B．[﹣1，1） C．[1，3] D．（1，3]
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，
∴A∩B＝（1，3]．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 新余二模）设（1+2i）z＝3﹣i，则z （ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：∵（1+2i）z＝3﹣i，
∴，
∴z ．
故选：A．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（5分）（2022 3月份模拟）已知圆锥的表面积为90π，母线与底面所成角为θ，若，则圆锥的体积为（ ）
A．108π B． C． D．72π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】先求出圆锥的母线长、底面半径长，再代入圆锥体积公式即可解决．
【解答】解：cosθ，∴rl，
∵πrl+πr290π，解得l＝9，
∴r，
∴圆锥的体积为V36π．
故选：B．
【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查圆锥母线长、底面半径、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）（2021秋 肇庆月考）函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．
【解答】解：对于函数，令2kπ2x2kπ，k∈Z，
求得kπx≤kπ，k∈Z，所以函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z，
令k＝0，可得函数的一个单调递减区间是[，]，
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
5．（5分）（2022 贵州模拟）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且∠F1PF2＝30°，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】设出|PF2|＝m，|PF1|m，由双曲线的定义可得m＝（1）a，再通过∠F1PF2＝30°，由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率．
【解答】解：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，|PF1||PF2|，
设|PF2|＝m，|PF1|m，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝（1）m＝2a，即m＝（1）a，
所以|PF1|＝（3）a，|PF2|＝（1）a，因为∠F1PF2＝30°，|F1F2|＝2c，
所以4c2＝（3）2a2+（1）2a2﹣2×（3）a×（1）a×cos30°，整理得4c2＝（1）2a2，
所以e．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查方程思想、转化思想与运算求解能力，属于中档题．
6．（5分）（2017 临川区校级模拟）若角α的终边落在直线y＝2x上，求sin2α﹣cos2α+sinαcosα的值（ ）
A．1 B．2 C．±2 D．±1
【考点】同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】利用同角三角函数的基本关系、任意角的三角函数的定义，求得要求式子的值．
【解答】解：∵角α的终边落在直线y＝2x上，∴tanα＝2，
∴sin2α﹣cos2α+sinαcosα1，
故选：A．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、任意角的三角函数的定义，属于基础题．
7．（5分）（2021 浔阳区校级模拟）若直线y＝ax与曲线C：y＝lnx相交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），曲线C：y＝lnx在点A，B处的切线相交于点P（x0，y0），则（ ）
A． B．ex1x2＝x0 C．kAP+kBP＞2a D．kAP+kBP≤2a
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】对于A，依题意，方程有两个不同的根，即直线y＝a与函数的图象有两个交点，利用导数研究函数f（x）的性质即可得出a的取值范围；
对于B，利用导数的几何意义及点斜式方程，求得两条切线方程，联立方程可得x0＝ax1x2；
对于CD，设0＜x1＜x2，，则，，表示出kAP+kBP，再通过构造新函数可得，由此可得kAP+kBP＞2a．
【解答】解：由ax＝lnx，可得，
设，则，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减，
可得x＝e时，f（x）取得最大值，又当x→+∞，f（x）→0，
由题意可得，故A错误；
对曲线C：y＝lnx求导可得，且A（x1，ax1），则直线，
同理直线，
联立直线AP与直线BP，可得，
又x1≠x2，则x＝ax1x2，即x0＝ax1x2，故B错误；
不妨设0＜x1＜x2，，依题意，，则lnt＝ax2﹣ax1＝atx1﹣ax1，
∴，则，
∴，
设h（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，t＞1，则h′（t）＝2t﹣2（lnt+1）＝2（t﹣lnt﹣1）＞0在（1，+∞）上恒成立（运用了恒等式x﹣1≥lnx，当且仅当x＝1时等号成立），
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，
∴当t＞1时，t2﹣1＞2tlnt，即，
又，故，即kAP+kBP＞2a，故C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究曲线的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，最值等知识点，考查换元思想，转化与化归思想，考查运算求解能力，属于较难题目．
8．（5分）（2021秋 开福区校级月考）袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件A＝“两个球颜色相同”，事件B＝“两个球颜色不同”，事件C＝“第二次摸到红球”，事件D＝“两个球都是红球”下列说法错误的是（ ）
A．P（A∪B）＝1 B．B与C相互独立
C．D C D．P（B）＝P（A）+P（D）
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，事件A与B为对立事件，则P（A∪B）＝1，A正确；
对于B，P（B），P（C），P（B∩C），有P（B） P（C）＝P（B∩C），B正确；
对于C，事件C＝“第二次摸到红球”，包括“第一次白球，第二次红球”和“两个球都是红球”，C正确；
对于D，P（B），P（A），故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查相互独立事件的定义，涉及概率的性质，属于基础题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021秋 莱州市校级月考）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，可能改变的数字特征是（ ）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．
【分析】根据题意判断中位数不变，可能改变的是平均数、极差和方差．
【解答】解：7个有效评分与9个原始评分相比，平均数、极差、方差都有可能变化，
9个原始评分的中位数是从小到大排序后的第5个数，7个有效评分的中位数是从小到大排序后的第4个数，
是同一个数，所以中位数不变．
故选：ABD．
【点评】本题考查了数据分析与判断问题，是基础题．
（多选）10．（5分）（2022春 龙岩期中）已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为2，且，，则有（ ）
A．与共线
B．，
C．
D．在方向上的投影向量的长度为
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量（共线）．
【专题】综合题；对应思想；数形结合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由条件可得，即可判断A；分析可得四边形OBAC是边长为2的菱形，可判断BC；然后利用向量的几何意义可判断D．
【解答】解：因为，所以，即，故A正确；
由可得，所以四边形OBAC是平行四边形，如图：
因为O为△ABC的外接圆圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形，
因为△ABC外接圆的半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，
则∠OCA，，π，故B错误；
因为四边形OBAC是菱形，所以OA⊥BC，即，故C正确；
因为四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB，
则在方向上的投影向量的长度为||cos2，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查向量的线性运算、数量积运算以及投影向量长度的运算，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）（2022 临沭县校级模拟）已知直线l：x+y﹣4＝0，圆O：x2+y2＝2，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（ ）
A．直线l与圆O相切
B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为
C．存在点M，使∠AMB＝90°
D．存在点M，使△AMB为等边三角形
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】利用直线与圆的有关知识进行逐项计算可判断结果．
【解答】解：圆O：x2+y2＝2的圆心为（0，0），半径r，
圆心到直线l：x+y﹣4＝0的距离d2r，
故直线l与圆相离，故A错误；
∴圆O上的点到直线l的距离的最小值为2，故B正确；
当OM⊥直线l时，OM＝2，此时OAMB是正方形，故MA⊥MB，存在点M，使∠AMB＝90°，故C正确；
当M在直线l上移动时，∠AMB越来越小，可接近0°，
所以存在点M，使△AMB为等边三角形，故D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
（多选）12．（5分）（2022 长沙模拟）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ）
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体的体积
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；球；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】先求得正四面体的外接球半径、内切球半径、正四面体的体积、外接球的体积．结合勒洛四面体的知识对选项进行分析，从而得出正确选项．
【解答】解：首先求得正四面体的一些结论：
正四面体ABCD棱长为a，M是底面BCD的中心，O是其外接球（也是内切球）的球心，外接球半径为R，AM是高，如图．
，，
由BO2＝BM2+OM2得，解得，（内切球半径）．
正四面体ABCD的体积为，外接球体积为．
对于A选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a，故A正确；
对于B选项，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，
其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，
易知该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE，
易知B、O、E三点共线，且BE＝a，，
因此，故B正确；
对于C选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a，最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图，
根据勒洛四面体结构的对称性，不妨设此截面为投影光线垂直于正四面体的一个面ABD时，勒洛四面体在与平面ABD平行的一个投影平面α上的正投影，当光线与平面ABD夹角不为90°时，易知截面投影均为上图所示图像在平面α上的投影，其面积必然减小．
上图截面为三个半径为a，圆心角为60°的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积，即，故C错误；
对于D选项，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球的体积之间，正四面体ABCD的体积，正四面体ABCD的外接球的体积，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，立体几何中的截面问题，球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 泉州期中）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）均定义在R上，且满足f（x）+g（x）＝3x25，则f（﹣1）+g（3）＝ ．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】推导出f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），由f（x）+g（x）＝3x25，令x＝1，x＝﹣1可求得f（﹣1），令x＝3，x＝﹣3可求得g（3），从而可得结论．
【解答】解：∵偶函数f（x）和奇函数g（x）均定义在R上，
∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x）
∵f（x）+g（x）＝3x25，
∴令x＝1，可得f（1）+g（1），
∴f（﹣1）﹣g（﹣1），①
令x＝﹣1，f（﹣1）+g（﹣1）②
①+②，2f（﹣1）＝16，∴f（﹣1）＝8，
令x＝3，可得f（3）+g（3），③
令x＝﹣3，f（﹣3）+g（﹣3），
∴f（3）﹣g（3），④
③﹣④，2g（3），∴g（3），
所以f（﹣1）+g（3）＝8．
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（5分）（2022 于都县二模）已知点O为坐标原点，点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，若线段OF的垂直平分线与抛物线C的一个交点为A，且|OA|＝3，则p＝ 4 ．
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由题意，可得A点的横坐标为，又|OA|＝3，根据两点之间距离即可求p．
【解答】解：由题意得，代入y2＝2px得，
所以，
所以p＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了抛物线的定义，属于基础题．
15．（5分）（2022 广州二模）函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为 9 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据给定条件，构造函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|，作出这两个函数的部分图像，确定两个图像的交点个数，再结合函数图像的对称性即可求解．
【解答】解：由f（x）＝0得sinπx＝ln|2x﹣3|，令y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|，
显然y＝sinπx与y＝ln|2x﹣3|的图像都关于直线x对称，
在同一坐标系内作出函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|的图像，如图，
观察图像可知，函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|的图像有6个公共点，其横坐标依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，
这6个点两两关于直线x对称，所以x1+x6＝x2+x5＝x3+x4＝3，
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6＝9，
即函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
16．（5分）（2022 南通模拟）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……．经过n次操作后，共删去个 小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过，则至少需要操作 9 次．（lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
【考点】数列的应用．
【专题】计算题；对应思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】通过观察可知每次删掉的正方形数和保留下来的正方形数为等比数列，然后根据等比数列的求和公式可解．
【解答】解：由题可知，每次删掉的正方形数构成公比为4，首项为5的等比数列，
所以经过n次操作后，共删去的正方形个数；
易知，第n次操作后共保留4n个小正方形，其边长为，
所以，保留下来的所有小正方形面积之和为，
由，得，
所以，至少需要9次操作才能使保留下来的所有小正方形面积之和不超过．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 二模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{（﹣1）n（Sn﹣3n）}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】（1）将原等式化简可得4Sn2an﹣8，再利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）推出数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，然后等差数列的通项公式，得解；
（2）由（1）知，Sn＝n2+3n，再分n为偶数和n为奇数，结合平方差公式，等差数列的前n项和公式，得解．
【解答】解：（1）因为，
所以4Sn＝（an﹣2）（an+4）2an﹣8，
当n≥2时，4Sn﹣12an﹣1﹣8，
两式相减得，4an2an2an﹣1，
化简整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，
因为an＞0，所以an+an﹣1≠0，所以an﹣an﹣1＝2（n≥2），
在4Sn2an﹣8中，令n＝1，则a1＝4，
所以数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，
故数列{an}的通项公式为an＝4+（n﹣1）×2＝2n+2．
（2）由（1）知，Snn2+3n，
所以（﹣1）n（Sn﹣3n）＝（﹣1）n n2，
当n为偶数时，Tn＝﹣12+22﹣32+42﹣……﹣（n﹣1）2+n2
＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+……+（n+n﹣1）（n﹣n+1）
＝3+7+10+……+（2n﹣1）
；
当n为奇数时，Tn＝﹣12+22﹣32+42﹣……﹣（n﹣2）2+（n﹣1）2﹣n2
＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+……+（n﹣1+n﹣2）（n﹣1﹣n+2）﹣n2
＝3+7+10+……+（2n﹣3）﹣n2
n2，
综上所述，Tn．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求通项公式，等差数列的通项公式与前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）（2022 福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起．其中20km男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈4km），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜．
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和．假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响．
（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．
【专题】分类讨论；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）设第四圈甲命中n发，乙命中了m发，在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，甲胜乙需要满足：60×（5﹣m）＞60（5﹣n）+36×5，化为n﹣m＞3．由m，n∈N，0≤n，m≤5．对m，n分类讨论，利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．
（2）设甲射击命中目标的次数为X，乙射击命中目标的次数为Y，可得X～B（20，），Y～B（20，），求出E（X），E（Y）．结合甲滑雪每圈比乙慢36秒，即可判断出甲乙各自用时，即可判断出结论．
【解答】解：（1）设第四圈甲命中n发，乙命中了m发，
在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，甲胜乙需要满足：60×（5﹣m）＞60（5﹣n）+36×5，化为n﹣m＞3．
∵m，n∈N，0≤n，m≤5．
∴n＝5，m＝1时，P1；
n＝5，m＝0时，P2；
n＝4，m＝0时，P3．
∴甲胜乙的概率P＝P1+P2+P3．
（2）设甲射击命中目标的次数为X，乙射击命中目标的次数为Y，则X～B（20，），Y～B（20，）
E（X）＝2016发，E（Y）＝2015发，
∴甲平均罚时为4分钟，乙平均罚时为5分钟，
又甲滑雪每圈比乙慢36秒，
∴甲滑雪用时比乙多了36×5＝180秒＝3分钟，
∴4+3＞5，
∴乙的水平更高．
【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算公式、二项分布列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2022 赣州一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b＝7，c＝5．
（1）若，求cosC的值；
（2）若BC边上的中线长为，求a的值．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知利用正弦定理可求sinC的值，利用大边对大角可求C为锐角，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解cosC的值；
（2）取BC边上的中点D，则AD，设BD＝x，利用余弦定理，又∠ADB+∠ADC＝π，可得0，即2x2﹣32＝0，解得x的值，结合a＝2x即可求解a的值．
【解答】解：（1）因为b＝7，c＝5，，
所以由正弦定理，可得sinC，
因为c＜b，可得C为锐角，
所以cosC；
（2）若BC边上的中线长为，取BC边上的中点D，则AD，设BD＝x，
在△ABD中，利用余弦定理可得cos∠ADB，
在△ACD中，利用余弦定理可得cos∠ADC，
又∠ADB+∠ADC＝π，则cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
可得0，即2x2﹣32＝0，解得x＝4，
又a＝2x＝8，
故a的值为8．
【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．（12分）（2022 道里区校级二模）如图1，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，AB＝4，AD＝2，将矩形ABCD沿EF翻折．
（Ⅰ）若所成二面角的大小为（如图2），求证：直线CE⊥面DBF；
（Ⅱ）若所成二面角的大小为（如图3），点M在线段AD上，当直线BE与面EMC所成角为时，求二面角D﹣EM﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【专题】计算题；对应思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】（1）由题设易知BF⊥EC，再由面面垂直的性质可得DF⊥面BEFC，根据线面垂直的性质有DF⊥EC，最后由线面垂直的判定即可证结论．
（2）过E作Ez⊥面AEFD，构建空间直角坐标系并设M（2，m，0）且0≤m≤2，求出面EMC法向量、直线BE的方向向量，根据线面角的大小，结合空间向量夹角的坐标表示列方程求出参数m，再确定面EMD的法向量，应用向量法求二面角的余弦值即可．
【解答】证明：（1）由题设易知：BEFC是边长为2的正方形，BF，EC是BEFC的对角线，
所以BF⊥EC，
又面BEFC⊥面AEFD，面BEFC∩面AEFD＝EF，DF⊥EF，DF 面AEFD，
所以DF⊥面BEFC，又EC 面BEFC，则DF⊥EC，
又DF∩BF＝F，则EC⊥面BDF．
解：（2）过E作Ez⊥面AEFD，而AE，EF 面AEFD，则Ez⊥AE，Ez⊥EF，而AE⊥EF，
可构建如下图示的空间直角坐标系，
由题设知：，
所以且0≤m≤2，
则，
若（x，y，z）是面EMC的一个法向量，则，
令x＝m，则，，可得m＝1，则，
又是面EMD的一个法向量，
所以，则锐二面角D﹣EM﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查二面角，考查学生的推理能力及运算能力，属于中档题．
21．（12分）（2022 安徽模拟）已知离心率为的椭圆1过点，过椭圆的右焦点且斜率为k的直线与椭圆交于B，C两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2﹣2k为定值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．
【专题】整体思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由离心率的值求出a，b的关系，再由椭圆过的点A的坐标，可得a，b的关系，进而求出a，b的值，求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得右焦点的坐标，设直线BC的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线AB，AC的斜率之和的代数式，将两根之和及两根之积代入，可证得k1+k2﹣2k为定值．
【解答】解：（1）由离心率e，可得a2＝2b2，
将A点的坐标代入椭圆的方程：1，解得b2＝2，a2＝4，
所以椭圆的方程为：1；
（2）证明：由（1）可得椭圆的右焦点F（，0），
由题意直线BC的方程为：y＝k（x），设B（x1，y1），C（x2，y2），
联立，整理可得：（1+2k2）x2﹣4k2x+4k2﹣4＝0，
Δ＞0，x1+x2，x1x2，
所以k1，k2，
所以k1+k22k，
所以k1+k2﹣2k2k﹣2k为定值．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22．（12分）（2022 湘潭三模）已知函数f（x）＝ln2x+ax+2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2xeax+1有且只有x1，x2两个零点，证明：x1+x2．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．
【分析】（1）求导得f′（x），分两种情况：当a≥0时，当a＜0时，分析f（x）的单调性，即可得出答案．
（2）令g（x）＝0，得ln（2xeax）+2﹣2xeax+1＝0，令t＝2xeax，则lnt+2﹣et＝0，令h（t）＝lnt+2﹣et，求导，分析h（t）的单调性，可得h（t）max＝h（）＝0，则g（x）有两个零点等价为t＝2xeax有两解，即可得出答案．
【解答】解：（1）f′（x）aa，
①当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间，
②当a＜0时，令f′（x）＞0，得0＜x，
令f′（x）＜0，得x，
所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞），
综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间，
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．
（2）令g（x）＝ln2x+ax+2﹣2xeax+1＝0，
则ln（2xeax）+2﹣2xeax+1＝0，
令t＝2xeax，则lnt+2﹣et＝0，
令h（t）＝lnt+2﹣et，
h′（t）e，
令h′（t）＞0，得0＜t，
令h′（t）＜0，得t，
所以h（t）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
所以h（t）max＝h（）＝ln2﹣1＝0，
所以g（x）有两个零点等价为t＝2xeax有两解，
令k（x）＝2xeax，
k′（x）＝2（1+ax）eax，
又当a≥0时，k′（x）＞0，k（x）单调递增，不会有两个零点，舍去，
当a＜0时，令k′（x）＞0，得0＜x，
令k′（x）＜0，得x，
所以k（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
又k（0）0，
当x→+∞时，k（x）＜0，
故只需k（x）max＝k（）＞0，即可有两个零点满足题意，
则2x（） e﹣1，
所以﹣2＜a＜0，
不妨设两零点0＜x1x2，
令p（x）＝k（x）﹣k（x），
因为1+ax＞0，
所以e2（ax+1）﹣1＞0，
故p′（x）＞0，
所以p（x）在（0，）递增，
又p（x）＜p（）＝0，即k（x1）＜k（x1），0＜x1，
又k（x1）＝k（x2），
所以k（x2）＜k（x1），且k（x）在（，+∞）上单调递减，
所以x2x1，
所以x2+x1，得证．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
4．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
5．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
7．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
8．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
9．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
10．平行向量（共线）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1 y2﹣x2 y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ＝ ﹣0.5 ．
解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得k（）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的知识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【典型例题分析】
例：复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：cos60°+isin60°．
∴复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
【考点点评】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
13．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵， （3，﹣4）5，∴A不成立；
对于B：∵， （﹣4，3），∴B不成立；
对于C：∵， （4，3），∴C成立；
对于D：∵， （4，﹣3），∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
14．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
15．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
16．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
17．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
18．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
19．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【命题方向】
已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r5．
∴cosα，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
20．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
21．正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
22．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
23．圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
【实例解析】
例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 ．
解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r．
①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，
∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；
②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．
∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d，解之得k＝﹣1，
因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．
综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．
这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．
例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为 ．
解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设为k，
由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，
∴圆心到切线的距离d＝r，即2，
解得：k，
此时切线的方程为y﹣5（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，
综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．
这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．
【考点分析】
本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．
24．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
25．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
26．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上
焦点 （，0） （0，）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线 x y
27．直线与椭圆的综合
v．
28．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
29．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
30．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
31．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
第1页（共1页）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 胶州市一模）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A． B．[﹣1，1） C．[1，3] D．（1，3]
2．（5分）（2022 新余二模）设（1+2i）z＝3﹣i，则z （ ）
A．2 B． C． D．1
3．（5分）（2022 3月份模拟）已知圆锥的表面积为90π，母线与底面所成角为θ，若，则圆锥的体积为（ ）
A．108π B． C． D．72π
4．（5分）（2021秋 肇庆月考）函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022 贵州模拟）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且∠F1PF2＝30°，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2017 临川区校级模拟）若角α的终边落在直线y＝2x上，求sin2α﹣cos2α+sinαcosα的值（ ）
A．1 B．2 C．±2 D．±1
7．（5分）（2021 浔阳区校级模拟）若直线y＝ax与曲线C：y＝lnx相交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），曲线C：y＝lnx在点A，B处的切线相交于点P（x0，y0），则（ ）
A． B．ex1x2＝x0 C．kAP+kBP＞2a D．kAP+kBP≤2a
8．（5分）（2021秋 开福区校级月考）袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件A＝“两个球颜色相同”，事件B＝“两个球颜色不同”，事件C＝“第二次摸到红球”，事件D＝“两个球都是红球”下列说法错误的是（ ）
A．P（A∪B）＝1 B．B与C相互独立
C．D C D．P（B）＝P（A）+P（D）
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021秋 莱州市校级月考）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，可能改变的数字特征是（ ）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差
（多选）10．（5分）（2022春 龙岩期中）已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为2，且，，则有（ ）
A．与共线
B．，
C．
D．在方向上的投影向量的长度为
（多选）11．（5分）（2022 临沭县校级模拟）已知直线l：x+y﹣4＝0，圆O：x2+y2＝2，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（ ）
A．直线l与圆O相切
B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为
C．存在点M，使∠AMB＝90°
D．存在点M，使△AMB为等边三角形
（多选）12．（5分）（2022 长沙模拟）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ）
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体的体积
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 泉州期中）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）均定义在R上，且满足f（x）+g（x）＝3x25，则f（﹣1）+g（3）＝ ．
14．（5分）（2022 于都县二模）已知点O为坐标原点，点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，若线段OF的垂直平分线与抛物线C的一个交点为A，且|OA|＝3，则p＝ ．
15．（5分）（2022 广州二模）函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为 ．
16．（5分）（2022 南通模拟）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……．经过n次操作后，共删去个 小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过，则至少需要操作 次．（lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 二模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{（﹣1）n（Sn﹣3n）}的前n项和Tn．
18．（12分）（2022 福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起．其中20km男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈4km），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜．
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和．假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响．
（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由．
19．（12分）（2022 赣州一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b＝7，c＝5．
（1）若，求cosC的值；
（2）若BC边上的中线长为，求a的值．
20．（12分）（2022 道里区校级二模）如图1，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，AB＝4，AD＝2，将矩形ABCD沿EF翻折．
（Ⅰ）若所成二面角的大小为（如图2），求证：直线CE⊥面DBF；
（Ⅱ）若所成二面角的大小为（如图3），点M在线段AD上，当直线BE与面EMC所成角为时，求二面角D﹣EM﹣C的余弦值．
21．（12分）（2022 安徽模拟）已知离心率为的椭圆1过点，过椭圆的右焦点且斜率为k的直线与椭圆交于B，C两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2﹣2k为定值．
22．（12分）（2022 湘潭三模）已知函数f（x）＝ln2x+ax+2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2xeax+1有且只有x1，x2两个零点，证明：x1+x2．
2022年高考数学终极押题密卷3 (新高考Ⅰ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 胶州市一模）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A． B．[﹣1，1） C．[1，3] D．（1，3]
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，
∴A∩B＝（1，3]．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 新余二模）设（1+2i）z＝3﹣i，则z （ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：∵（1+2i）z＝3﹣i，
∴，
∴z ．
故选：A．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（5分）（2022 3月份模拟）已知圆锥的表面积为90π，母线与底面所成角为θ，若，则圆锥的体积为（ ）
A．108π B． C． D．72π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】先求出圆锥的母线长、底面半径长，再代入圆锥体积公式即可解决．
【解答】解：cosθ，∴rl，
∵πrl+πr290π，解得l＝9，
∴r，
∴圆锥的体积为V36π．
故选：B．
【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查圆锥母线长、底面半径、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）（2021秋 肇庆月考）函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．
【解答】解：对于函数，令2kπ2x2kπ，k∈Z，
求得kπx≤kπ，k∈Z，所以函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z，
令k＝0，可得函数的一个单调递减区间是[，]，
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
5．（5分）（2022 贵州模拟）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且∠F1PF2＝30°，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】设出|PF2|＝m，|PF1|m，由双曲线的定义可得m＝（1）a，再通过∠F1PF2＝30°，由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率．
【解答】解：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，|PF1||PF2|，
设|PF2|＝m，|PF1|m，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝（1）m＝2a，即m＝（1）a，
所以|PF1|＝（3）a，|PF2|＝（1）a，因为∠F1PF2＝30°，|F1F2|＝2c，
所以4c2＝（3）2a2+（1）2a2﹣2×（3）a×（1）a×cos30°，整理得4c2＝（1）2a2，
所以e．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查方程思想、转化思想与运算求解能力，属于中档题．
6．（5分）（2017 临川区校级模拟）若角α的终边落在直线y＝2x上，求sin2α﹣cos2α+sinαcosα的值（ ）
A．1 B．2 C．±2 D．±1
【考点】同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】利用同角三角函数的基本关系、任意角的三角函数的定义，求得要求式子的值．
【解答】解：∵角α的终边落在直线y＝2x上，∴tanα＝2，
∴sin2α﹣cos2α+sinαcosα1，
故选：A．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、任意角的三角函数的定义，属于基础题．
7．（5分）（2021 浔阳区校级模拟）若直线y＝ax与曲线C：y＝lnx相交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），曲线C：y＝lnx在点A，B处的切线相交于点P（x0，y0），则（ ）
A． B．ex1x2＝x0 C．kAP+kBP＞2a D．kAP+kBP≤2a
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】对于A，依题意，方程有两个不同的根，即直线y＝a与函数的图象有两个交点，利用导数研究函数f（x）的性质即可得出a的取值范围；
对于B，利用导数的几何意义及点斜式方程，求得两条切线方程，联立方程可得x0＝ax1x2；
对于CD，设0＜x1＜x2，，则，，表示出kAP+kBP，再通过构造新函数可得，由此可得kAP+kBP＞2a．
【解答】解：由ax＝lnx，可得，
设，则，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减，
可得x＝e时，f（x）取得最大值，又当x→+∞，f（x）→0，
由题意可得，故A错误；
对曲线C：y＝lnx求导可得，且A（x1，ax1），则直线，
同理直线，
联立直线AP与直线BP，可得，
又x1≠x2，则x＝ax1x2，即x0＝ax1x2，故B错误；
不妨设0＜x1＜x2，，依题意，，则lnt＝ax2﹣ax1＝atx1﹣ax1，
∴，则，
∴，
设h（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，t＞1，则h′（t）＝2t﹣2（lnt+1）＝2（t﹣lnt﹣1）＞0在（1，+∞）上恒成立（运用了恒等式x﹣1≥lnx，当且仅当x＝1时等号成立），
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，
∴当t＞1时，t2﹣1＞2tlnt，即，
又，故，即kAP+kBP＞2a，故C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究曲线的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，最值等知识点，考查换元思想，转化与化归思想，考查运算求解能力，属于较难题目．
8．（5分）（2021秋 开福区校级月考）袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件A＝“两个球颜色相同”，事件B＝“两个球颜色不同”，事件C＝“第二次摸到红球”，事件D＝“两个球都是红球”下列说法错误的是（ ）
A．P（A∪B）＝1 B．B与C相互独立
C．D C D．P（B）＝P（A）+P（D）
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，事件A与B为对立事件，则P（A∪B）＝1，A正确；
对于B，P（B），P（C），P（B∩C），有P（B） P（C）＝P（B∩C），B正确；
对于C，事件C＝“第二次摸到红球”，包括“第一次白球，第二次红球”和“两个球都是红球”，C正确；
对于D，P（B），P（A），故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查相互独立事件的定义，涉及概率的性质，属于基础题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021秋 莱州市校级月考）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，可能改变的数字特征是（ ）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．
【分析】根据题意判断中位数不变，可能改变的是平均数、极差和方差．
【解答】解：7个有效评分与9个原始评分相比，平均数、极差、方差都有可能变化，
9个原始评分的中位数是从小到大排序后的第5个数，7个有效评分的中位数是从小到大排序后的第4个数，
是同一个数，所以中位数不变．
故选：ABD．
【点评】本题考查了数据分析与判断问题，是基础题．
（多选）10．（5分）（2022春 龙岩期中）已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为2，且，，则有（ ）
A．与共线
B．，
C．
D．在方向上的投影向量的长度为
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量（共线）．
【专题】综合题；对应思想；数形结合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由条件可得，即可判断A；分析可得四边形OBAC是边长为2的菱形，可判断BC；然后利用向量的几何意义可判断D．
【解答】解：因为，所以，即，故A正确；
由可得，所以四边形OBAC是平行四边形，如图：
因为O为△ABC的外接圆圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形，
因为△ABC外接圆的半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，
则∠OCA，，π，故B错误；
因为四边形OBAC是菱形，所以OA⊥BC，即，故C正确；
因为四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB，
则在方向上的投影向量的长度为||cos2，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查向量的线性运算、数量积运算以及投影向量长度的运算，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）（2022 临沭县校级模拟）已知直线l：x+y﹣4＝0，圆O：x2+y2＝2，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（ ）
A．直线l与圆O相切
B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为
C．存在点M，使∠AMB＝90°
D．存在点M，使△AMB为等边三角形
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】利用直线与圆的有关知识进行逐项计算可判断结果．
【解答】解：圆O：x2+y2＝2的圆心为（0，0），半径r，
圆心到直线l：x+y﹣4＝0的距离d2r，
故直线l与圆相离，故A错误；
∴圆O上的点到直线l的距离的最小值为2，故B正确；
当OM⊥直线l时，OM＝2，此时OAMB是正方形，故MA⊥MB，存在点M，使∠AMB＝90°，故C正确；
当M在直线l上移动时，∠AMB越来越小，可接近0°，
所以存在点M，使△AMB为等边三角形，故D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
（多选）12．（5分）（2022 长沙模拟）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ）
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体的体积
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；球；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】先求得正四面体的外接球半径、内切球半径、正四面体的体积、外接球的体积．结合勒洛四面体的知识对选项进行分析，从而得出正确选项．
【解答】解：首先求得正四面体的一些结论：
正四面体ABCD棱长为a，M是底面BCD的中心，O是其外接球（也是内切球）的球心，外接球半径为R，AM是高，如图．
，，
由BO2＝BM2+OM2得，解得，（内切球半径）．
正四面体ABCD的体积为，外接球体积为．
对于A选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a，故A正确；
对于B选项，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，
其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，
易知该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE，
易知B、O、E三点共线，且BE＝a，，
因此，故B正确；
对于C选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a，最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图，
根据勒洛四面体结构的对称性，不妨设此截面为投影光线垂直于正四面体的一个面ABD时，勒洛四面体在与平面ABD平行的一个投影平面α上的正投影，当光线与平面ABD夹角不为90°时，易知截面投影均为上图所示图像在平面α上的投影，其面积必然减小．
上图截面为三个半径为a，圆心角为60°的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积，即，故C错误；
对于D选项，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球的体积之间，正四面体ABCD的体积，正四面体ABCD的外接球的体积，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，立体几何中的截面问题，球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 泉州期中）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）均定义在R上，且满足f（x）+g（x）＝3x25，则f（﹣1）+g（3）＝ ．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】推导出f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），由f（x）+g（x）＝3x25，令x＝1，x＝﹣1可求得f（﹣1），令x＝3，x＝﹣3可求得g（3），从而可得结论．
【解答】解：∵偶函数f（x）和奇函数g（x）均定义在R上，
∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x）
∵f（x）+g（x）＝3x25，
∴令x＝1，可得f（1）+g（1），
∴f（﹣1）﹣g（﹣1），①
令x＝﹣1，f（﹣1）+g（﹣1）②
①+②，2f（﹣1）＝16，∴f（﹣1）＝8，
令x＝3，可得f（3）+g（3），③
令x＝﹣3，f（﹣3）+g（﹣3），
∴f（3）﹣g（3），④
③﹣④，2g（3），∴g（3），
所以f（﹣1）+g（3）＝8．
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（5分）（2022 于都县二模）已知点O为坐标原点，点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，若线段OF的垂直平分线与抛物线C的一个交点为A，且|OA|＝3，则p＝ 4 ．
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由题意，可得A点的横坐标为，又|OA|＝3，根据两点之间距离即可求p．
【解答】解：由题意得，代入y2＝2px得，
所以，
所以p＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了抛物线的定义，属于基础题．
15．（5分）（2022 广州二模）函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为 9 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据给定条件，构造函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|，作出这两个函数的部分图像，确定两个图像的交点个数，再结合函数图像的对称性即可求解．
【解答】解：由f（x）＝0得sinπx＝ln|2x﹣3|，令y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|，
显然y＝sinπx与y＝ln|2x﹣3|的图像都关于直线x对称，
在同一坐标系内作出函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|的图像，如图，
观察图像可知，函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|的图像有6个公共点，其横坐标依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，
这6个点两两关于直线x对称，所以x1+x6＝x2+x5＝x3+x4＝3，
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6＝9，
即函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
16．（5分）（2022 南通模拟）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……．经过n次操作后，共删去个 小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过，则至少需要操作 9 次．（lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
【考点】数列的应用．
【专题】计算题；对应思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】通过观察可知每次删掉的正方形数和保留下来的正方形数为等比数列，然后根据等比数列的求和公式可解．
【解答】解：由题可知，每次删掉的正方形数构成公比为4，首项为5的等比数列，
所以经过n次操作后，共删去的正方形个数；
易知，第n次操作后共保留4n个小正方形，其边长为，
所以，保留下来的所有小正方形面积之和为，
由，得，
所以，至少需要9次操作才能使保留下来的所有小正方形面积之和不超过．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 二模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{（﹣1）n（Sn﹣3n）}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】（1）将原等式化简可得4Sn2an﹣8，再利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）推出数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，然后等差数列的通项公式，得解；
（2）由（1）知，Sn＝n2+3n，再分n为偶数和n为奇数，结合平方差公式，等差数列的前n项和公式，得解．
【解答】解：（1）因为，
所以4Sn＝（an﹣2）（an+4）2an﹣8，
当n≥2时，4Sn﹣12an﹣1﹣8，
两式相减得，4an2an2an﹣1，
化简整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，
因为an＞0，所以an+an﹣1≠0，所以an﹣an﹣1＝2（n≥2），
在4Sn2an﹣8中，令n＝1，则a1＝4，
所以数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，
故数列{an}的通项公式为an＝4+（n﹣1）×2＝2n+2．
（2）由（1）知，Snn2+3n，
所以（﹣1）n（Sn﹣3n）＝（﹣1）n n2，
当n为偶数时，Tn＝﹣12+22﹣32+42﹣……﹣（n﹣1）2+n2
＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+……+（n+n﹣1）（n﹣n+1）
＝3+7+10+……+（2n﹣1）
；
当n为奇数时，Tn＝﹣12+22﹣32+42﹣……﹣（n﹣2）2+（n﹣1）2﹣n2
＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+……+（n﹣1+n﹣2）（n﹣1﹣n+2）﹣n2
＝3+7+10+……+（2n﹣3）﹣n2
n2，
综上所述，Tn．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求通项公式，等差数列的通项公式与前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）（2022 福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起．其中20km男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈4km），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；
②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；
③如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；
④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜．
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和．假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响．
（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；
（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．
【专题】分类讨论；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）设第四圈甲命中n发，乙命中了m发，在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，甲胜乙需要满足：60×（5﹣m）＞60（5﹣n）+36×5，化为n﹣m＞3．由m，n∈N，0≤n，m≤5．对m，n分类讨论，利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．
（2）设甲射击命中目标的次数为X，乙射击命中目标的次数为Y，可得X～B（20，），Y～B（20，），求出E（X），E（Y）．结合甲滑雪每圈比乙慢36秒，即可判断出甲乙各自用时，即可判断出结论．
【解答】解：（1）设第四圈甲命中n发，乙命中了m发，
在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，甲胜乙需要满足：60×（5﹣m）＞60（5﹣n）+36×5，化为n﹣m＞3．
∵m，n∈N，0≤n，m≤5．
∴n＝5，m＝1时，P1；
n＝5，m＝0时，P2；
n＝4，m＝0时，P3．
∴甲胜乙的概率P＝P1+P2+P3．
（2）设甲射击命中目标的次数为X，乙射击命中目标的次数为Y，则X～B（20，），Y～B（20，）
E（X）＝2016发，E（Y）＝2015发，
∴甲平均罚时为4分钟，乙平均罚时为5分钟，
又甲滑雪每圈比乙慢36秒，
∴甲滑雪用时比乙多了36×5＝180秒＝3分钟，
∴4+3＞5，
∴乙的水平更高．
【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算公式、二项分布列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2022 赣州一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b＝7，c＝5．
（1）若，求cosC的值；
（2）若BC边上的中线长为，求a的值．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知利用正弦定理可求sinC的值，利用大边对大角可求C为锐角，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解cosC的值；
（2）取BC边上的中点D，则AD，设BD＝x，利用余弦定理，又∠ADB+∠ADC＝π，可得0，即2x2﹣32＝0，解得x的值，结合a＝2x即可求解a的值．
【解答】解：（1）因为b＝7，c＝5，，
所以由正弦定理，可得sinC，
因为c＜b，可得C为锐角，
所以cosC；
（2）若BC边上的中线长为，取BC边上的中点D，则AD，设BD＝x，
在△ABD中，利用余弦定理可得cos∠ADB，
在△ACD中，利用余弦定理可得cos∠ADC，
又∠ADB+∠ADC＝π，则cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
可得0，即2x2﹣32＝0，解得x＝4，
又a＝2x＝8，
故a的值为8．
【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．（12分）（2022 道里区校级二模）如图1，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，AB＝4，AD＝2，将矩形ABCD沿EF翻折．
（Ⅰ）若所成二面角的大小为（如图2），求证：直线CE⊥面DBF；
（Ⅱ）若所成二面角的大小为（如图3），点M在线段AD上，当直线BE与面EMC所成角为时，求二面角D﹣EM﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【专题】计算题；对应思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】（1）由题设易知BF⊥EC，再由面面垂直的性质可得DF⊥面BEFC，根据线面垂直的性质有DF⊥EC，最后由线面垂直的判定即可证结论．
（2）过E作Ez⊥面AEFD，构建空间直角坐标系并设M（2，m，0）且0≤m≤2，求出面EMC法向量、直线BE的方向向量，根据线面角的大小，结合空间向量夹角的坐标表示列方程求出参数m，再确定面EMD的法向量，应用向量法求二面角的余弦值即可．
【解答】证明：（1）由题设易知：BEFC是边长为2的正方形，BF，EC是BEFC的对角线，
所以BF⊥EC，
又面BEFC⊥面AEFD，面BEFC∩面AEFD＝EF，DF⊥EF，DF 面AEFD，
所以DF⊥面BEFC，又EC 面BEFC，则DF⊥EC，
又DF∩BF＝F，则EC⊥面BDF．
解：（2）过E作Ez⊥面AEFD，而AE，EF 面AEFD，则Ez⊥AE，Ez⊥EF，而AE⊥EF，
可构建如下图示的空间直角坐标系，
由题设知：，
所以且0≤m≤2，
则，
若（x，y，z）是面EMC的一个法向量，则，
令x＝m，则，，可得m＝1，则，
又是面EMD的一个法向量，
所以，则锐二面角D﹣EM﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查二面角，考查学生的推理能力及运算能力，属于中档题．
21．（12分）（2022 安徽模拟）已知离心率为的椭圆1过点，过椭圆的右焦点且斜率为k的直线与椭圆交于B，C两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2﹣2k为定值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．
【专题】整体思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由离心率的值求出a，b的关系，再由椭圆过的点A的坐标，可得a，b的关系，进而求出a，b的值，求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得右焦点的坐标，设直线BC的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线AB，AC的斜率之和的代数式，将两根之和及两根之积代入，可证得k1+k2﹣2k为定值．
【解答】解：（1）由离心率e，可得a2＝2b2，
将A点的坐标代入椭圆的方程：1，解得b2＝2，a2＝4，
所以椭圆的方程为：1；
（2）证明：由（1）可得椭圆的右焦点F（，0），
由题意直线BC的方程为：y＝k（x），设B（x1，y1），C（x2，y2），
联立，整理可得：（1+2k2）x2﹣4k2x+4k2﹣4＝0，
Δ＞0，x1+x2，x1x2，
所以k1，k2，
所以k1+k22k，
所以k1+k2﹣2k2k﹣2k为定值．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22．（12分）（2022 湘潭三模）已知函数f（x）＝ln2x+ax+2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2xeax+1有且只有x1，x2两个零点，证明：x1+x2．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．
【分析】（1）求导得f′（x），分两种情况：当a≥0时，当a＜0时，分析f（x）的单调性，即可得出答案．
（2）令g（x）＝0，得ln（2xeax）+2﹣2xeax+1＝0，令t＝2xeax，则lnt+2﹣et＝0，令h（t）＝lnt+2﹣et，求导，分析h（t）的单调性，可得h（t）max＝h（）＝0，则g（x）有两个零点等价为t＝2xeax有两解，即可得出答案．
【解答】解：（1）f′（x）aa，
①当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间，
②当a＜0时，令f′（x）＞0，得0＜x，
令f′（x）＜0，得x，
所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞），
综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间，
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．
（2）令g（x）＝ln2x+ax+2﹣2xeax+1＝0，
则ln（2xeax）+2﹣2xeax+1＝0，
令t＝2xeax，则lnt+2﹣et＝0，
令h（t）＝lnt+2﹣et，
h′（t）e，
令h′（t）＞0，得0＜t，
令h′（t）＜0，得t，
所以h（t）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
所以h（t）max＝h（）＝ln2﹣1＝0，
所以g（x）有两个零点等价为t＝2xeax有两解，
令k（x）＝2xeax，
k′（x）＝2（1+ax）eax，
又当a≥0时，k′（x）＞0，k（x）单调递增，不会有两个零点，舍去，
当a＜0时，令k′（x）＞0，得0＜x，
令k′（x）＜0，得x，
所以k（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
又k（0）0，
当x→+∞时，k（x）＜0，
故只需k（x）max＝k（）＞0，即可有两个零点满足题意，
则2x（） e﹣1，
所以﹣2＜a＜0，
不妨设两零点0＜x1x2，
令p（x）＝k（x）﹣k（x），
因为1+ax＞0，
所以e2（ax+1）﹣1＞0，
故p′（x）＞0，
所以p（x）在（0，）递增，
又p（x）＜p（）＝0，即k（x1）＜k（x1），0＜x1，
又k（x1）＝k（x2），
所以k（x2）＜k（x1），且k（x）在（，+∞）上单调递减，
所以x2x1，
所以x2+x1，得证．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
4．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
5．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
7．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
8．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
9．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
10．平行向量（共线）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1 y2﹣x2 y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ＝ ﹣0.5 ．
解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得k（）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的知识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【典型例题分析】
例：复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：cos60°+isin60°．
∴复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
【考点点评】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
13．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵， （3，﹣4）5，∴A不成立；
对于B：∵， （﹣4，3），∴B不成立；
对于C：∵， （4，3），∴C成立；
对于D：∵， （4，﹣3），∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
14．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
15．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
16．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
17．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
18．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
19．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【命题方向】
已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r5．
∴cosα，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
20．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
21．正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
22．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
23．圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
【实例解析】
例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 ．
解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r．
①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，
∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；
②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．
∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d，解之得k＝﹣1，
因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．
综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．
这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．
例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为 ．
解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设为k，
由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，
∴圆心到切线的距离d＝r，即2，
解得：k，
此时切线的方程为y﹣5（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，
综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．
这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．
【考点分析】
本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．
24．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
25．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
26．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上
焦点 （，0） （0，）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线 x y
27．直线与椭圆的综合
v．
28．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
29．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
30．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
31．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
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