2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷文科)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷文科)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 456.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:24:10 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国甲卷文科)
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 赤峰模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{0，1}，则A∩B＝（ ）
A．[0，1] B．{0，1} C．[0，2] D．{0，1，2}
2．（5分）（2022 山西二模）2022年北京冬奥会开幕式各个代表团所身着的运动鞋服品牌一度成为热议话题，运动鞋服是近年来新消费市场中规模相当庞大的品类，如图为2021年中国消费者运动鞋服购置品牌偏好调查，根据该图，下列说法错误的是（ ）
A．2021年中国运动鞋服消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比超过70%
B．2021年中国运动鞋服消费者没有为孩子购买运动鞋服的占比低于20%
C．2021年中国运动鞋服消费者在为自己购买运动鞋服时选择国外品牌的占比不超过
D．2021年中国运动鞋服消费者在为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数超过选择国外品牌人数的2倍
3．（5分）（2022 黄山模拟）已知复数z满足（1+i）z＝3+2i，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2012 通州区一模）下列函数中，函数图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y D．y
5．（5分）（2022 新乡三模）已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
6．（5分）（2022 蓬溪县校级模拟）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）的关系为：P＝P0e﹣kt（P0，k是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少80%需要大约花多少时间（ ）（精确到1h，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．56h B．66h C．76h D．86b
7．（5分）（2017 阳东县校级模拟）某几何体的正（主）视图与侧（左）视图均为边长为1的正方形，则下列图形一定不是该几何体俯视图的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）（2021 亭湖区校级一模）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，则cos∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）（2022 濮阳一模）已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，若S6＝9S3，2a2a4＝a6，则a5＝（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．（5分）（2021 阳泉三模）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，则取出的两个小球的编号之差的绝对值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 渭南二模）已知α∈（0，π），且sinα﹣cosα，则tan2α（ ）
A． B．12 C．﹣12 D．
12．（5分）（2017 博山区校级三模）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2020 常德模拟）设向量（﹣2，m），（3，4），且||＝||，则m＝ ．
14．（5分）（2020 南通模拟）一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为 cm，则圆锥的体积是 cm3．
15．（5分）（2020 湖北模拟）函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则f（）＝ ．
16．（5分）（2020 辽宁模拟）设点P为椭圆：上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，G为△PF1F2的重心，且PF1⊥PF2，那么△GPF2的面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 肥东县模拟）某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下：
良好以下 良好及以上 合计
男 25
女 10
合计 70 100
（Ⅰ）将列联表补充完整；计算并判断是否有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
（Ⅱ）事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．
附：，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
18．（12分）（2021 乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知2．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
19．（12分）（2022 兰州模拟）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，点E为棱PC上一点（与P、C不重合），点M、N分别在棱PD、PB上，平面EMN∥平面ABCD．
（1）求证：BD∥平面AMN；
（2）若E为PC中点，PC＝BC＝BD＝2，∠PBC，PC⊥BD，求点A到平面EBD的距离．
20．（12分）（2020 平谷区一模）已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）的极大值恒大于0．
21．（12分）（2022 云南模拟）已知由线C的方程为，点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（1，2）．
（1）设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标；
（2）设A，B是曲线C上能坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与x轴分别交于M、N两点，线段MN的直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-5：不等式选讲]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若f（x）的最小值为m2+2n2，证明：．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
23．（10分）（2022 遂宁模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程：（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程：ρcos（）＝3，P点极坐标为（3，π）且在l上．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）若l与C交于A，B两点，求|PA||PB|．
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国甲卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 赤峰模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{0，1}，则A∩B＝（ ）
A．[0，1] B．{0，1} C．[0，2] D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，利用交集定义能求出结果．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{0，1}，
则A∩B＝{0，1}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 山西二模）2022年北京冬奥会开幕式各个代表团所身着的运动鞋服品牌一度成为热议话题，运动鞋服是近年来新消费市场中规模相当庞大的品类，如图为2021年中国消费者运动鞋服购置品牌偏好调查，根据该图，下列说法错误的是（ ）
A．2021年中国运动鞋服消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比超过70%
B．2021年中国运动鞋服消费者没有为孩子购买运动鞋服的占比低于20%
C．2021年中国运动鞋服消费者在为自己购买运动鞋服时选择国外品牌的占比不超过
D．2021年中国运动鞋服消费者在为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数超过选择国外品牌人数的2倍
【考点】频率分布直方图．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据2021年中国消费者运动鞋服购置品牌偏好调查的结果的条形图，可得到消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比，没有为孩子购买运动鞋服的占比，以及为自己购买运动鞋服时选择外国品牌的占比和为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数占比与选择外国品牌人数占比，比较占比，即可得到答案．
【解答】解：2021年中国运动鞋服消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比为71.9%，超过70%，故A正确；
2021年中国运动鞋服消费者没有为孩子购买运动鞋服的占比为17.2%，低于20%，故B正确；
2021年中国运动鞋服消费者在为自己购买运动鞋服时选择国外品牌的占比为26.8%，占比26.8%，超过了，故C错误；
2021年中国运动鞋服消费者在为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数占比为49.9%，
选择国外品牌人数占比为24.0%，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）（2022 黄山模拟）已知复数z满足（1+i）z＝3+2i，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝3+2i，
∴，
∴，
∴的虚部为．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
4．（5分）（2012 通州区一模）下列函数中，函数图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y D．y
【考点】函数的单调性及单调区间．
【专题】探究型；函数的性质及应用．
【分析】先判断函数为偶函数，定义域关于原点对称，再利用函数在（0，+∞）上单调递增，即可得到结论．
【解答】解：∵函数图象关于y轴对称，∴函数为偶函数，定义域关于原点对称
∴A，C不符合，B，D符合
∵函数在（0，+∞）上单调递增
∴B符合，D不符合
故选：B．
【点评】本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
5．（5分）（2022 新乡三模）已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线的一个顶点（a，0）到渐近线ay＝bx的距离为实轴长的，
∴，
∴b2c2，可得c2＝4a2，
∴e24，
∴e＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程．
6．（5分）（2022 蓬溪县校级模拟）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）的关系为：P＝P0e﹣kt（P0，k是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少80%需要大约花多少时间（ ）（精确到1h，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．56h B．66h C．76h D．86b
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先求出常数k，然后再令P＝0.2P0即可解出t．
【解答】解：由题意当t＝0时，P＝P0，当t＝5时，P＝（1﹣10%）P0＝0.9P0，
所以0.9P0＝P0e﹣5k，解得kln0.9，所以P＝P0 ．
当P＝（1﹣80%）P0时，有P0 20%P0，即0.2，
解得t＝5log0.90.2＝576．
故选：C．
【点评】本题考查函数在实际生活中的应用，考查指数与对数的互化，考查数学建模的核心素养，属于基础题．
7．（5分）（2017 阳东县校级模拟）某几何体的正（主）视图与侧（左）视图均为边长为1的正方形，则下列图形一定不是该几何体俯视图的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】根据三视图的数量关系进行判断即可．
【解答】解：由三视图的数量关系可知几何体的俯视图与主视图长对正，与侧视图宽平齐，
故俯视图长为1，宽为1，显然D不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体三视图的特点，属于基础题．
8．（5分）（2021 亭湖区校级一模）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，则cos∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】余弦定理；三角形中的几何计算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【分析】画出图形，利用余弦定理转化求解即可．
【解答】解：如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB BC cos∠ABC＝22+12﹣2×2×1cos120°＝7，即，
又由．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基础题．
9．（5分）（2022 濮阳一模）已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，若S6＝9S3，2a2a4＝a6，则a5＝（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：由S6＝9S3，，
解得q＝2，因为2a2a4＝a6，
所以，即，
解得a1＝1，所以a5＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5分）（2021 阳泉三模）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，则取出的两个小球的编号之差的绝对值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】集合思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】基本事件总数n30，利用列举法求出取出的两个小球的编号之差的绝对值为2包含的基本事件有8个，由此能求出取出的两个小球的编号之差的绝对值为2的概率．
【解答】解：从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，
基本事件总数n30，
取出的两个小球的编号之差的绝对值为2包含的基本事件有：
（1，3），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（4，6），（5，3），（6.4），共8个，
则取出的两个小球的编号之差的绝对值为2的概率是：P．
故选：A．
【点评】本题考查古典概型，考查运算求解能力，考查数据分析、逻辑推理、数学运算核心素养，是基础题．
11．（5分）（2022 渭南二模）已知α∈（0，π），且sinα﹣cosα，则tan2α（ ）
A． B．12 C．﹣12 D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】利用同角三角函数间的关系求得sinα+cosα，可求tanα，从而可求值．
【解答】解：∵sinα﹣cosα，两边平方得sin2α﹣2sinαcosα+cos2α，2sinαcosα，
∵α∈（0，π），∴sinα＞0，∴cosα＞0，
∴（sinα+cosα）2＝1+2inαcosα，∴sinα+cosα，∴sinα，cosα，∴tanα，
则tan2α12，
故选：C．
【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，属中档题．
12．（5分）（2017 博山区校级三模）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的周期性．
【专题】计算题．
【分析】由已知条件推导出周期，再用周期和奇偶性把自变量的范围化到[0，1]范围上，用[0，1]上的解析式即可求值
【解答】解：∵f（x+2）＝f（x）
∴函数f（x）的周期为T＝2
∴
又∵f（x）是R上的奇函数
∴
又∵当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x）
∴
∴
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性，须能够熟练应用性质．属简单题
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2020 常德模拟）设向量（﹣2，m），（3，4），且||＝||，则m＝ 4 ．
【考点】向量的概念与向量的模；平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】可求出，从而根据即可得出（m﹣4）2＝0，解出m即可．
【解答】解：，且，
∴，
∴25+（m﹣4）2＝25，解得m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
14．（5分）（2020 南通模拟）一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为 cm，则圆锥的体积是 3π cm3．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】对应思想；综合法；立体几何．
【分析】根据面积比计算圆锥的母线长，得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则S侧面积＝πrl，S底面积＝πr2＝3π．
∴2×3π，解得l＝2．
∴圆锥的高h3．
∴圆锥的体积V3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的面积和体积计算，属于基础题．
15．（5分）（2020 湖北模拟）函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则f（）＝ ．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】方程思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】根据条件求出A，B，C的坐标，结合直角三角形的性质求出ω的值即可．
【解答】解：由图可得A（，1），B（，1），C（，﹣1），
根据对称性|AC|＝|BC|，△ABC是直角三角形，
所以为等腰直角三角形AC⊥BC，直角三角形斜边中线等于斜边长的一半，
则|AB|＝4，4，得ω，
则f（x）＝sinx，所以f（）＝sin，
故答案为：
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键．难度中等．
16．（5分）（2020 辽宁模拟）设点P为椭圆：上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，G为△PF1F2的重心，且PF1⊥PF2，那么△GPF2的面积为 8 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由G为三角形的重心，可得S，由PF1⊥PF2，设一条焦半径的值，由椭圆的定义可得另一条焦半径的值，在直角三角形中，由勾股定理求出两条焦半径的值，进而求出三角形PF1F2的面积，进而求出△GPF2的面积．
【解答】解：因为G为△PF1F2的重心，所以S，
因为PF1⊥PF2，设PF1＝x，PF2＝2a﹣x，
所以（2c）2＝x2+（2a﹣x）2，由椭圆的方程可得：a2＝49，b2＝24，所以c2＝a2﹣b2＝49﹣24＝25，a＝7，
所以方程整理可得x2﹣14x+48＝0，解得x1＝6，x2＝8，
当x1＝6时，PF1＝6，PF2＝2a﹣6＝2×7﹣6＝8，则S6×8＝24，
所以SS8，
同理x2＝8时，SS8，
故答案为：8．
【点评】本题考查椭圆的性质及三角形的重心的性质，及直角三角形的性质，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 肥东县模拟）某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下：
良好以下 良好及以上 合计
男 25
女 10
合计 70 100
（Ⅰ）将列联表补充完整；计算并判断是否有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
（Ⅱ）事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．
附：，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】应用题；对应思想；数学模型法；概率与统计；数学运算；数据分析．
【分析】（Ⅰ）根据题意补充列联表，计算K2，对照附表得出结论；
（Ⅱ）根据分层抽样原理求出抽取的人数，利用古典概型的概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意补充列联表如下，
良好以下 良好及以上 合计
男 25 20 45
女 45 10 55
合计 70 30 100
计算K28.129＞6.635，
所以有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
（Ⅱ）在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取9人，男生抽取6人，女生抽取3人，
从这9人中随机抽取3人，抽到的3人全是男生的概率为P．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样原理与古典概型的概率计算问题，是基础题．
18．（12分）（2021 乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知2．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
【考点】等差数列的性质；数列递推式．
【专题】计算题；方程思想；综合法；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由题意当n＝1时，b1＝S1，代入已知等式可得b1的值，当n≥2时，将Sn，代入2，可得bn﹣bn﹣1，进一步得到数列{bn}是等差数列；
（2）由a1＝S1＝b1，可得bn，代入已知等式可得Sn，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，进一步得到数列{an}的通项公式．
【解答】解：（1）证明：当n＝1时，b1＝S1，
由2，解得b1，
当n≥2时，Sn，代入2，
消去Sn，可得2，所以bn﹣bn﹣1，
所以{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由题意，得a1＝S1＝b1，
由（1），可得bn（n﹣1），
由2，可得Sn，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，显然a1不满足该式，
所以an．
【点评】本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．
19．（12分）（2022 兰州模拟）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，点E为棱PC上一点（与P、C不重合），点M、N分别在棱PD、PB上，平面EMN∥平面ABCD．
（1）求证：BD∥平面AMN；
（2）若E为PC中点，PC＝BC＝BD＝2，∠PBC，PC⊥BD，求点A到平面EBD的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行．
【专题】数形结合；等体积法；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）根据面面平行求出BD∥MN，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）把点A到平面EBD的距离转化为点C到平面EBD的距离，再由等体积法求解．
【解答】（1）证明：∵平面EMN∥平面ABCD，
平面PBD∩平面ABCD＝BD，平面PBD∩平面EMN＝MN，∴BD∥MN，
∵BD 平面EMN，MN 平面EMN，
∴BD∥平面AMN；
（2）解：由（1）得BD∥平面AMN，
∵PC＝BC＝2，∠PBC，∴∠PBC＝∠CPB，则∠BCP，
∴PC⊥BC，又PC⊥BD，BC∩BD＝B，∴PC⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，BC＝BD＝2，∴△BCD为正三角形，
则，
∵E为PC中点，∴BE＝DE，则，
设C到平面EBD的距离为h，由VE﹣BDC＝VC﹣BDE，
得，解得h．
由图可知，A与C到平面BDE的距离相等，可得点A到平面EBD的距离为．
【点评】本题考查了面面平行的性质，考查线面平行的判定定理，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．
20．（12分）（2020 平谷区一模）已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）的极大值恒大于0．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】分类讨论；综合法；导数的综合应用；逻辑推理．
【分析】（Ⅰ）求导，代入a＝0，求出在x＝1处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；
（Ⅱ）分类讨论得出极大值即可判断．
【解答】解：（Ⅰ），
当a＝0时，，
则f（x）在（1，f（1））的切线方程为；
（Ⅱ）证明：令f′（x）＝0，解得x＝2或x＝﹣a，
①当a＝﹣2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在R上单调递减，
∴函数f（x）无极值；
②当a＞﹣2时，令f′（x）＞0，解得﹣a＜x＜2，令f′（x）＜0，解得x＜﹣a或x＞2，
∴函数f（x）在（﹣a，2）上单调递增，在（﹣∞，﹣a），（2，+∞）上单调递减，
∴；
③当a＜﹣2时，令f′（x）＞0，解得2＜x＜﹣a，令f′（x）＜0，解得x＜2或x＞﹣a，
∴函数f（x）在（2，﹣a）上单调递增，在（﹣∞，2），（﹣a，+∞）上单调递减，
∴，
综上，函数f（x）的极大值恒大于0．
【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力及分类讨论思想，属于中档题．
21．（12分）（2022 云南模拟）已知由线C的方程为，点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（1，2）．
（1）设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标；
（2）设A，B是曲线C上能坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与x轴分别交于M、N两点，线段MN的直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）求出曲线C的方程，说明D（1，0）为抛物线y2＝4x的焦点，求出抛物线的准线方程．设E（x0，y0），利用抛物线的性质转化求解E的坐标．
（2）判断点P（1，2）在曲线C上．设直线PA的方程为y＝kx+2﹣k．求出M坐标，然后求解N的坐标，通过线段MN的垂直平分线经过点P，由，设A（x1，y1），利用韦达定理转化求解B的坐标，推出直线AB的斜率为定值．
【解答】（1）解：∵曲线C的方程为，
由化简得y2＝4x，
∴曲线C的方程为y2＝4x．
∴D（1，0）为抛物线y2＝4x的焦点，直线x＝﹣1为抛物线y2＝4x的准线．
设E（x0，y0），则|ED|＝x0+1．
∵|ED|＝4，
∴x0+1＝4，解得x0＝3．
∴，解得．
∴E的坐标为或．
（2）证明：∵P（1，2），曲线C的方程为y2＝4x，22＝4×1，
∴点P（1，2）在曲线C上．
∵A、B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA、PB与y轴分别交于点M、N，
∴直线PA、PB的斜率都存在，且都不为0，分别设为k、k1，则kk1≠0，直线PA的方程为y﹣2＝k（x﹣1），
即y＝kx+2﹣k．
当x＝0时，y＝2﹣k，即M（0，2﹣k）．
同理可得N（0，2﹣k1）．
∵线段MN的垂直平分线经过点P，
∴，即k1＝﹣k．
由，得：k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4＝0．
设A（x1，y1），则1，x1是k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4＝0的解．
由韦达定理得：．
∴．
∴．
同理可得．
∴．
∴直线AB的斜率为定值．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-5：不等式选讲]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若f（x）的最小值为m2+2n2，证明：．
【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）通过去掉绝对值符号，求解不等式即可．
（2）推出m2+2n2＝3．利用乘“1”法，结合基本不等式证明即可．
【解答】（1）解：由f（x）≤5，得|x﹣1|+|x+2|≤5．
当x≤﹣2时，由1﹣x﹣x﹣2≤5，得x≥﹣3，所以﹣3≤x≤﹣2；
当﹣2＜x＜1时，由1﹣x+x+2≤5，得3≤5，所以﹣2＜x＜1；
当x≥1时，由x﹣1+x+2≤5，得x≤2，所以1≤x≤2．
故不等式f（x）≤5的解集为[﹣3，2]．
（2）证明：因为f（x）＝|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|＝3，所以m2+2n2＝3．
因为5＝3．
当且仅当，即|m|＝|n|时，等号成立，所以．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
23．（10分）（2022 遂宁模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程：（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程：ρcos（）＝3，P点极坐标为（3，π）且在l上．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）若l与C交于A，B两点，求|PA||PB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程：（α为参数），转换为普通方程为（x﹣2）2+y2＝8；
直线l的极坐标方程：ρcos（）＝3，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣3＝0；
（2）点P极坐标为（3，π）转换为直角坐标为（0，﹣3），故直线l的参数方程为（t为参数），
代入（x﹣2）2+y2＝8，
得到；
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝5．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数的单调性及单调区间
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
① f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）f（x﹣2） T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．
4．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
5．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
7．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
8．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
9．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
10．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
11．平面向量的坐标运算
【知识点的知识】
平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d．若（m，n），则（x+m，y+n），则（x﹣m，y﹣n）； （xm，ny），λ（λx，λy）．
【典型例题分析】
例：已知平面向量满足：，，且，则向量的坐标为 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
解：根据题意，设（x，y），
若，有0，则﹣x+2y＝0，①，
若，x2+y2＝20，②，
联立①②，可得，
解可得或，
则（4，2）或（﹣4，﹣2）；
故答案为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设（x，y），根据题意，由，可得﹣x+2y＝0，①，由，可得x2+y2＝20，②，联立①②两式，解可得x、y的值，即可得的坐标．这也是常用的一种方法．
【考点点评】
这是一个很重要的考点，也是一个比较容易的考点，大家在学习的时候关键是掌握公式的应用，常用的解法一般就是上面例题中的先设未知数，再求未知数．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
14．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
15．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
16．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
17．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的知识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
18．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
19．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
20．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
21．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
22．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则
当，
解得
此时对 k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
23．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
24．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
25．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
26．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
27．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
28．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
29．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b a﹣b＞0；a＜b a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，1 a＞b；b＜0，1 a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 赤峰模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{0，1}，则A∩B＝（ ）
A．[0，1] B．{0，1} C．[0，2] D．{0，1，2}
2．（5分）（2022 山西二模）2022年北京冬奥会开幕式各个代表团所身着的运动鞋服品牌一度成为热议话题，运动鞋服是近年来新消费市场中规模相当庞大的品类，如图为2021年中国消费者运动鞋服购置品牌偏好调查，根据该图，下列说法错误的是（ ）
A．2021年中国运动鞋服消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比超过70%
B．2021年中国运动鞋服消费者没有为孩子购买运动鞋服的占比低于20%
C．2021年中国运动鞋服消费者在为自己购买运动鞋服时选择国外品牌的占比不超过
D．2021年中国运动鞋服消费者在为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数超过选择国外品牌人数的2倍
3．（5分）（2022 黄山模拟）已知复数z满足（1+i）z＝3+2i，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2012 通州区一模）下列函数中，函数图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y D．y
5．（5分）（2022 新乡三模）已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
6．（5分）（2022 蓬溪县校级模拟）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）的关系为：P＝P0e﹣kt（P0，k是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少80%需要大约花多少时间（ ）（精确到1h，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．56h B．66h C．76h D．86b
7．（5分）（2017 阳东县校级模拟）某几何体的正（主）视图与侧（左）视图均为边长为1的正方形，则下列图形一定不是该几何体俯视图的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）（2021 亭湖区校级一模）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，则cos∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）（2022 濮阳一模）已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，若S6＝9S3，2a2a4＝a6，则a5＝（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．（5分）（2021 阳泉三模）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，则取出的两个小球的编号之差的绝对值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 渭南二模）已知α∈（0，π），且sinα﹣cosα，则tan2α（ ）
A． B．12 C．﹣12 D．
12．（5分）（2017 博山区校级三模）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2020 常德模拟）设向量（﹣2，m），（3，4），且||＝||，则m＝ ．
14．（5分）（2020 南通模拟）一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为 cm，则圆锥的体积是 cm3．
15．（5分）（2020 湖北模拟）函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则f（）＝ ．
16．（5分）（2020 辽宁模拟）设点P为椭圆：上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，G为△PF1F2的重心，且PF1⊥PF2，那么△GPF2的面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 肥东县模拟）某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下：
良好以下 良好及以上 合计
男 25
女 10
合计 70 100
（Ⅰ）将列联表补充完整；计算并判断是否有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
（Ⅱ）事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．
附：，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
18．（12分）（2021 乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知2．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
19．（12分）（2022 兰州模拟）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，点E为棱PC上一点（与P、C不重合），点M、N分别在棱PD、PB上，平面EMN∥平面ABCD．
（1）求证：BD∥平面AMN；
（2）若E为PC中点，PC＝BC＝BD＝2，∠PBC，PC⊥BD，求点A到平面EBD的距离．
20．（12分）（2020 平谷区一模）已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）的极大值恒大于0．
21．（12分）（2022 云南模拟）已知由线C的方程为，点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（1，2）．
（1）设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标；
（2）设A，B是曲线C上能坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与x轴分别交于M、N两点，线段MN的直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-5：不等式选讲]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若f（x）的最小值为m2+2n2，证明：．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
23．（10分）（2022 遂宁模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程：（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程：ρcos（）＝3，P点极坐标为（3，π）且在l上．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）若l与C交于A，B两点，求|PA||PB|．
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国甲卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 赤峰模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{0，1}，则A∩B＝（ ）
A．[0，1] B．{0，1} C．[0，2] D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，利用交集定义能求出结果．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{0，1}，
则A∩B＝{0，1}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 山西二模）2022年北京冬奥会开幕式各个代表团所身着的运动鞋服品牌一度成为热议话题，运动鞋服是近年来新消费市场中规模相当庞大的品类，如图为2021年中国消费者运动鞋服购置品牌偏好调查，根据该图，下列说法错误的是（ ）
A．2021年中国运动鞋服消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比超过70%
B．2021年中国运动鞋服消费者没有为孩子购买运动鞋服的占比低于20%
C．2021年中国运动鞋服消费者在为自己购买运动鞋服时选择国外品牌的占比不超过
D．2021年中国运动鞋服消费者在为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数超过选择国外品牌人数的2倍
【考点】频率分布直方图．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据2021年中国消费者运动鞋服购置品牌偏好调查的结果的条形图，可得到消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比，没有为孩子购买运动鞋服的占比，以及为自己购买运动鞋服时选择外国品牌的占比和为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数占比与选择外国品牌人数占比，比较占比，即可得到答案．
【解答】解：2021年中国运动鞋服消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比为71.9%，超过70%，故A正确；
2021年中国运动鞋服消费者没有为孩子购买运动鞋服的占比为17.2%，低于20%，故B正确；
2021年中国运动鞋服消费者在为自己购买运动鞋服时选择国外品牌的占比为26.8%，占比26.8%，超过了，故C错误；
2021年中国运动鞋服消费者在为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数占比为49.9%，
选择国外品牌人数占比为24.0%，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）（2022 黄山模拟）已知复数z满足（1+i）z＝3+2i，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝3+2i，
∴，
∴，
∴的虚部为．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
4．（5分）（2012 通州区一模）下列函数中，函数图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y D．y
【考点】函数的单调性及单调区间．
【专题】探究型；函数的性质及应用．
【分析】先判断函数为偶函数，定义域关于原点对称，再利用函数在（0，+∞）上单调递增，即可得到结论．
【解答】解：∵函数图象关于y轴对称，∴函数为偶函数，定义域关于原点对称
∴A，C不符合，B，D符合
∵函数在（0，+∞）上单调递增
∴B符合，D不符合
故选：B．
【点评】本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
5．（5分）（2022 新乡三模）已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线的一个顶点（a，0）到渐近线ay＝bx的距离为实轴长的，
∴，
∴b2c2，可得c2＝4a2，
∴e24，
∴e＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程．
6．（5分）（2022 蓬溪县校级模拟）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）的关系为：P＝P0e﹣kt（P0，k是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少80%需要大约花多少时间（ ）（精确到1h，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．56h B．66h C．76h D．86b
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先求出常数k，然后再令P＝0.2P0即可解出t．
【解答】解：由题意当t＝0时，P＝P0，当t＝5时，P＝（1﹣10%）P0＝0.9P0，
所以0.9P0＝P0e﹣5k，解得kln0.9，所以P＝P0 ．
当P＝（1﹣80%）P0时，有P0 20%P0，即0.2，
解得t＝5log0.90.2＝576．
故选：C．
【点评】本题考查函数在实际生活中的应用，考查指数与对数的互化，考查数学建模的核心素养，属于基础题．
7．（5分）（2017 阳东县校级模拟）某几何体的正（主）视图与侧（左）视图均为边长为1的正方形，则下列图形一定不是该几何体俯视图的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】根据三视图的数量关系进行判断即可．
【解答】解：由三视图的数量关系可知几何体的俯视图与主视图长对正，与侧视图宽平齐，
故俯视图长为1，宽为1，显然D不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体三视图的特点，属于基础题．
8．（5分）（2021 亭湖区校级一模）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，则cos∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】余弦定理；三角形中的几何计算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【分析】画出图形，利用余弦定理转化求解即可．
【解答】解：如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB BC cos∠ABC＝22+12﹣2×2×1cos120°＝7，即，
又由．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基础题．
9．（5分）（2022 濮阳一模）已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，若S6＝9S3，2a2a4＝a6，则a5＝（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：由S6＝9S3，，
解得q＝2，因为2a2a4＝a6，
所以，即，
解得a1＝1，所以a5＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5分）（2021 阳泉三模）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，则取出的两个小球的编号之差的绝对值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】集合思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】基本事件总数n30，利用列举法求出取出的两个小球的编号之差的绝对值为2包含的基本事件有8个，由此能求出取出的两个小球的编号之差的绝对值为2的概率．
【解答】解：从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，
基本事件总数n30，
取出的两个小球的编号之差的绝对值为2包含的基本事件有：
（1，3），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（4，6），（5，3），（6.4），共8个，
则取出的两个小球的编号之差的绝对值为2的概率是：P．
故选：A．
【点评】本题考查古典概型，考查运算求解能力，考查数据分析、逻辑推理、数学运算核心素养，是基础题．
11．（5分）（2022 渭南二模）已知α∈（0，π），且sinα﹣cosα，则tan2α（ ）
A． B．12 C．﹣12 D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】利用同角三角函数间的关系求得sinα+cosα，可求tanα，从而可求值．
【解答】解：∵sinα﹣cosα，两边平方得sin2α﹣2sinαcosα+cos2α，2sinαcosα，
∵α∈（0，π），∴sinα＞0，∴cosα＞0，
∴（sinα+cosα）2＝1+2inαcosα，∴sinα+cosα，∴sinα，cosα，∴tanα，
则tan2α12，
故选：C．
【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，属中档题．
12．（5分）（2017 博山区校级三模）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的周期性．
【专题】计算题．
【分析】由已知条件推导出周期，再用周期和奇偶性把自变量的范围化到[0，1]范围上，用[0，1]上的解析式即可求值
【解答】解：∵f（x+2）＝f（x）
∴函数f（x）的周期为T＝2
∴
又∵f（x）是R上的奇函数
∴
又∵当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x）
∴
∴
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性，须能够熟练应用性质．属简单题
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2020 常德模拟）设向量（﹣2，m），（3，4），且||＝||，则m＝ 4 ．
【考点】向量的概念与向量的模；平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】可求出，从而根据即可得出（m﹣4）2＝0，解出m即可．
【解答】解：，且，
∴，
∴25+（m﹣4）2＝25，解得m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
14．（5分）（2020 南通模拟）一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为 cm，则圆锥的体积是 3π cm3．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】对应思想；综合法；立体几何．
【分析】根据面积比计算圆锥的母线长，得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则S侧面积＝πrl，S底面积＝πr2＝3π．
∴2×3π，解得l＝2．
∴圆锥的高h3．
∴圆锥的体积V3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的面积和体积计算，属于基础题．
15．（5分）（2020 湖北模拟）函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则f（）＝ ．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】方程思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】根据条件求出A，B，C的坐标，结合直角三角形的性质求出ω的值即可．
【解答】解：由图可得A（，1），B（，1），C（，﹣1），
根据对称性|AC|＝|BC|，△ABC是直角三角形，
所以为等腰直角三角形AC⊥BC，直角三角形斜边中线等于斜边长的一半，
则|AB|＝4，4，得ω，
则f（x）＝sinx，所以f（）＝sin，
故答案为：
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键．难度中等．
16．（5分）（2020 辽宁模拟）设点P为椭圆：上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，G为△PF1F2的重心，且PF1⊥PF2，那么△GPF2的面积为 8 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由G为三角形的重心，可得S，由PF1⊥PF2，设一条焦半径的值，由椭圆的定义可得另一条焦半径的值，在直角三角形中，由勾股定理求出两条焦半径的值，进而求出三角形PF1F2的面积，进而求出△GPF2的面积．
【解答】解：因为G为△PF1F2的重心，所以S，
因为PF1⊥PF2，设PF1＝x，PF2＝2a﹣x，
所以（2c）2＝x2+（2a﹣x）2，由椭圆的方程可得：a2＝49，b2＝24，所以c2＝a2﹣b2＝49﹣24＝25，a＝7，
所以方程整理可得x2﹣14x+48＝0，解得x1＝6，x2＝8，
当x1＝6时，PF1＝6，PF2＝2a﹣6＝2×7﹣6＝8，则S6×8＝24，
所以SS8，
同理x2＝8时，SS8，
故答案为：8．
【点评】本题考查椭圆的性质及三角形的重心的性质，及直角三角形的性质，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 肥东县模拟）某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下：
良好以下 良好及以上 合计
男 25
女 10
合计 70 100
（Ⅰ）将列联表补充完整；计算并判断是否有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
（Ⅱ）事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．
附：，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】应用题；对应思想；数学模型法；概率与统计；数学运算；数据分析．
【分析】（Ⅰ）根据题意补充列联表，计算K2，对照附表得出结论；
（Ⅱ）根据分层抽样原理求出抽取的人数，利用古典概型的概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意补充列联表如下，
良好以下 良好及以上 合计
男 25 20 45
女 45 10 55
合计 70 30 100
计算K28.129＞6.635，
所以有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
（Ⅱ）在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取9人，男生抽取6人，女生抽取3人，
从这9人中随机抽取3人，抽到的3人全是男生的概率为P．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样原理与古典概型的概率计算问题，是基础题．
18．（12分）（2021 乙卷）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知2．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
【考点】等差数列的性质；数列递推式．
【专题】计算题；方程思想；综合法；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由题意当n＝1时，b1＝S1，代入已知等式可得b1的值，当n≥2时，将Sn，代入2，可得bn﹣bn﹣1，进一步得到数列{bn}是等差数列；
（2）由a1＝S1＝b1，可得bn，代入已知等式可得Sn，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，进一步得到数列{an}的通项公式．
【解答】解：（1）证明：当n＝1时，b1＝S1，
由2，解得b1，
当n≥2时，Sn，代入2，
消去Sn，可得2，所以bn﹣bn﹣1，
所以{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由题意，得a1＝S1＝b1，
由（1），可得bn（n﹣1），
由2，可得Sn，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，显然a1不满足该式，
所以an．
【点评】本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．
19．（12分）（2022 兰州模拟）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，点E为棱PC上一点（与P、C不重合），点M、N分别在棱PD、PB上，平面EMN∥平面ABCD．
（1）求证：BD∥平面AMN；
（2）若E为PC中点，PC＝BC＝BD＝2，∠PBC，PC⊥BD，求点A到平面EBD的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行．
【专题】数形结合；等体积法；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）根据面面平行求出BD∥MN，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）把点A到平面EBD的距离转化为点C到平面EBD的距离，再由等体积法求解．
【解答】（1）证明：∵平面EMN∥平面ABCD，
平面PBD∩平面ABCD＝BD，平面PBD∩平面EMN＝MN，∴BD∥MN，
∵BD 平面EMN，MN 平面EMN，
∴BD∥平面AMN；
（2）解：由（1）得BD∥平面AMN，
∵PC＝BC＝2，∠PBC，∴∠PBC＝∠CPB，则∠BCP，
∴PC⊥BC，又PC⊥BD，BC∩BD＝B，∴PC⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，BC＝BD＝2，∴△BCD为正三角形，
则，
∵E为PC中点，∴BE＝DE，则，
设C到平面EBD的距离为h，由VE﹣BDC＝VC﹣BDE，
得，解得h．
由图可知，A与C到平面BDE的距离相等，可得点A到平面EBD的距离为．
【点评】本题考查了面面平行的性质，考查线面平行的判定定理，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．
20．（12分）（2020 平谷区一模）已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）的极大值恒大于0．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】分类讨论；综合法；导数的综合应用；逻辑推理．
【分析】（Ⅰ）求导，代入a＝0，求出在x＝1处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；
（Ⅱ）分类讨论得出极大值即可判断．
【解答】解：（Ⅰ），
当a＝0时，，
则f（x）在（1，f（1））的切线方程为；
（Ⅱ）证明：令f′（x）＝0，解得x＝2或x＝﹣a，
①当a＝﹣2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在R上单调递减，
∴函数f（x）无极值；
②当a＞﹣2时，令f′（x）＞0，解得﹣a＜x＜2，令f′（x）＜0，解得x＜﹣a或x＞2，
∴函数f（x）在（﹣a，2）上单调递增，在（﹣∞，﹣a），（2，+∞）上单调递减，
∴；
③当a＜﹣2时，令f′（x）＞0，解得2＜x＜﹣a，令f′（x）＜0，解得x＜2或x＞﹣a，
∴函数f（x）在（2，﹣a）上单调递增，在（﹣∞，2），（﹣a，+∞）上单调递减，
∴，
综上，函数f（x）的极大值恒大于0．
【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力及分类讨论思想，属于中档题．
21．（12分）（2022 云南模拟）已知由线C的方程为，点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（1，2）．
（1）设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标；
（2）设A，B是曲线C上能坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与x轴分别交于M、N两点，线段MN的直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）求出曲线C的方程，说明D（1，0）为抛物线y2＝4x的焦点，求出抛物线的准线方程．设E（x0，y0），利用抛物线的性质转化求解E的坐标．
（2）判断点P（1，2）在曲线C上．设直线PA的方程为y＝kx+2﹣k．求出M坐标，然后求解N的坐标，通过线段MN的垂直平分线经过点P，由，设A（x1，y1），利用韦达定理转化求解B的坐标，推出直线AB的斜率为定值．
【解答】（1）解：∵曲线C的方程为，
由化简得y2＝4x，
∴曲线C的方程为y2＝4x．
∴D（1，0）为抛物线y2＝4x的焦点，直线x＝﹣1为抛物线y2＝4x的准线．
设E（x0，y0），则|ED|＝x0+1．
∵|ED|＝4，
∴x0+1＝4，解得x0＝3．
∴，解得．
∴E的坐标为或．
（2）证明：∵P（1，2），曲线C的方程为y2＝4x，22＝4×1，
∴点P（1，2）在曲线C上．
∵A、B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA、PB与y轴分别交于点M、N，
∴直线PA、PB的斜率都存在，且都不为0，分别设为k、k1，则kk1≠0，直线PA的方程为y﹣2＝k（x﹣1），
即y＝kx+2﹣k．
当x＝0时，y＝2﹣k，即M（0，2﹣k）．
同理可得N（0，2﹣k1）．
∵线段MN的垂直平分线经过点P，
∴，即k1＝﹣k．
由，得：k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4＝0．
设A（x1，y1），则1，x1是k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4＝0的解．
由韦达定理得：．
∴．
∴．
同理可得．
∴．
∴直线AB的斜率为定值．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-5：不等式选讲]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若f（x）的最小值为m2+2n2，证明：．
【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）通过去掉绝对值符号，求解不等式即可．
（2）推出m2+2n2＝3．利用乘“1”法，结合基本不等式证明即可．
【解答】（1）解：由f（x）≤5，得|x﹣1|+|x+2|≤5．
当x≤﹣2时，由1﹣x﹣x﹣2≤5，得x≥﹣3，所以﹣3≤x≤﹣2；
当﹣2＜x＜1时，由1﹣x+x+2≤5，得3≤5，所以﹣2＜x＜1；
当x≥1时，由x﹣1+x+2≤5，得x≤2，所以1≤x≤2．
故不等式f（x）≤5的解集为[﹣3，2]．
（2）证明：因为f（x）＝|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|＝3，所以m2+2n2＝3．
因为5＝3．
当且仅当，即|m|＝|n|时，等号成立，所以．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
23．（10分）（2022 遂宁模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程：（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程：ρcos（）＝3，P点极坐标为（3，π）且在l上．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）若l与C交于A，B两点，求|PA||PB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程：（α为参数），转换为普通方程为（x﹣2）2+y2＝8；
直线l的极坐标方程：ρcos（）＝3，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣3＝0；
（2）点P极坐标为（3，π）转换为直角坐标为（0，﹣3），故直线l的参数方程为（t为参数），
代入（x﹣2）2+y2＝8，
得到；
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝5．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数的单调性及单调区间
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
① f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）f（x﹣2） T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．
4．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
5．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
7．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
8．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
9．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
10．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
11．平面向量的坐标运算
【知识点的知识】
平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d．若（m，n），则（x+m，y+n），则（x﹣m，y﹣n）； （xm，ny），λ（λx，λy）．
【典型例题分析】
例：已知平面向量满足：，，且，则向量的坐标为 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
解：根据题意，设（x，y），
若，有0，则﹣x+2y＝0，①，
若，x2+y2＝20，②，
联立①②，可得，
解可得或，
则（4，2）或（﹣4，﹣2）；
故答案为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设（x，y），根据题意，由，可得﹣x+2y＝0，①，由，可得x2+y2＝20，②，联立①②两式，解可得x、y的值，即可得的坐标．这也是常用的一种方法．
【考点点评】
这是一个很重要的考点，也是一个比较容易的考点，大家在学习的时候关键是掌握公式的应用，常用的解法一般就是上面例题中的先设未知数，再求未知数．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
14．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
15．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
16．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
17．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的知识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
18．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
19．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
20．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
21．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
22．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则
当，
解得
此时对 k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
23．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
24．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
25．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
26．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
27．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
28．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
29．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b a﹣b＞0；a＜b a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，1 a＞b；b＜0，1 a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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