2022年高考数学终极押题密卷(全国乙卷文科)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(全国乙卷文科)（Word版含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 288.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 00:00:00 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国乙卷文科)
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 茂名模拟）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|y}，则A∩（ RB）＝（ ）
A．[﹣3，） B．（，5） C．[﹣3，﹣2） D．（﹣2，5）
2．（5分）（2022 河南模拟）若复数z满足z（2﹣i）＝2﹣5i，则z＝（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2022 陕西模拟）命题p： x∈[1，2]，2x≥3，命题q： x0∈[1，2]，log2x0≥1，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）
4．（5分）（2019 厦门一模）设函数f（x）＝asinxcosx﹣2sin2x，若直线x是f（x）图象的一条对称轴，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为1
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为2
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为1
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为2
5．（5分）（2022 全国乙卷模拟）已知动点P（x，y）满足不等式组，则z＝x2+y2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2021 5月份模拟）若α∈（0，），且cos2α+cos（2α），则tan2α＝（ ）
A．3 B． C．2 D．
7．（5分）（2021 兴庆区校级三模）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2020 西城区校级模拟）下列函数中，值域为（1，+∞）的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y C．y＝log2|x| D．y＝e﹣x+1
9．（5分）（2011 潮阳区校级开学）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x），那么不等式f（x）＜0的解集是（ ）
A．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}
C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＜﹣1，或x＞1}
10．（5分）（2022 昌吉州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝AA1，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且BC＝4BE，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2021 天津模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：1（a＞0，b＞0）的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，则双曲线C2的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2022 焦作一模）已知函数的一个极值点为1，则a2b2的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 常德模拟）已知平面向量∥，（1，2），（﹣3，t），则||＝ ．
14．（5分）（2020 通州区一模）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为 ．
15．（5分）（2021 沙坪坝区校级模拟）在锐角△ABC中，，，且sinC+sin（B﹣A）﹣3sin2A＝0，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）（2014 南昌模拟）点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1（图1）的棱A1B1、A1D1的中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图2中的①，则该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为图2中的 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 江西模拟）2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 300 70 30 80
可回收垃圾 30 210 30 30
有害垃圾 20 20 60 20
其他垃圾 10 20 10 60
（1）分别估计厨余垃圾和有害垃圾投放正确的概率；
（2）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，d，其中a＞0，a+b+c+d＝800．当数据a，b，c，d的方差s2最大时，写出a，b，c，d的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
18．（12分）（2022 宝鸡三模）如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形ABCD为圆柱下底面的内接四边形，且AC为圆柱下底面的直径，PD为圆柱的母线，且PD＝3，圆柱的底面半径为1．
（1）证明：AD⊥PC；
（2）若B为的中点，点Q在线段PB上，2，求三棱锥P﹣QAC的体积．
19．（12分）（2022 黄山模拟）已知数列{an}、{bn}满足a1a2a3…an＝3，若数列{an}是等比数列，且a1＝3，b4＝4+b3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn，求{cn}的前n项和为Sn．
20．（12分）（2022 安康模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点．
（1）证明：以AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切；
（2）设（1）中的切点为P，且点P位于x轴上方，若△ABP的面积为，求直线l的方程．
21．（12分）（2020 赤峰模拟）已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：当a＝﹣1时，函数h（x）＝g（x）﹣f（x）有且只有一个零点x＝x0，且x0∈（0，1）．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2pcosθ﹣m＝0．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点．若点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，求正数m的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 全国乙卷模拟）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+m|x﹣3|（m＞0）．
（1）f（x）≥5恒成立，求m的取值范围；
（2）在（1）成立的条件下，设a+b＝m的最小值，a＞0，b＞0，求的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国乙卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 茂名模拟）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|y}，则A∩（ RB）＝（ ）
A．[﹣3，） B．（，5） C．[﹣3，﹣2） D．（﹣2，5）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】求出集合B，利用交集、补集的定义能求出A∩（ RB）．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，
B＝{x|y}＝{x|x}，
RB＝{x|x}，
∴A∩（ RB）＝{x|﹣3≤x}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
2．（5分）（2022 河南模拟）若复数z满足z（2﹣i）＝2﹣5i，则z＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：∵z（2﹣i）＝2﹣5i，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3．（5分）（2022 陕西模拟）命题p： x∈[1，2]，2x≥3，命题q： x0∈[1，2]，log2x0≥1，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）
【考点】复合命题及其真假．
【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑；数学运算．
【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
【解答】解：当x＝1时，2x＝2＜3，∴命题p： x∈[1，2]，2x≥3为假命题，
当x＝2时，log2x＝1，∴命题q： x0∈[1，2]，log2x0≥1为真命题，
则p∨q是真命题，其余为假命题，
故选：C．
【点评】本题主要考查复合命题真假关系，根据条件判断命题的真假是解决本题的关键，是基础题．
4．（5分）（2019 厦门一模）设函数f（x）＝asinxcosx﹣2sin2x，若直线x是f（x）图象的一条对称轴，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为1
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为2
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为1
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为2
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质．
【分析】利用倍角公式，以及辅助角公式将函数进行化简，进而根据正弦函数的性质求得周期和最小值．
【解答】解：f（x）＝asinxcosx﹣2sin2xsin2x+cos2x﹣1sin2xcos2x）﹣1，
令cosθ，sinθ，则tanθ，其中θ是参数，
则f（x）sin（2x+θ）﹣1，
则函数的最小正周期Tπ，
∵直线x是f（x）图象的一条对称轴，
∴2θ＝kπ，即θ＝kπ，
则tanθ＝tan（kπ）＝tan，
即，得a＝2
则函数f（x）的最大值为111＝2﹣1＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角函数的性质，利用倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出a的值是解决本题的关键．
5．（5分）（2022 全国乙卷模拟）已知动点P（x，y）满足不等式组，则z＝x2+y2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝x2+y2的几何意义，即可行域内的动点到坐标原点距离的平方求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
z＝x2+y2的几何意义为可行域内的动点到坐标原点距离的平方，
∵坐标原点O到直线x+y﹣3＝0的距离d，
∴z＝x2+y2的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．（5分）（2021 5月份模拟）若α∈（0，），且cos2α+cos（2α），则tan2α＝（ ）
A．3 B． C．2 D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由已知结合诱导公式及同角基本关系可求tanα，然后结合二倍角正切公式即可求解．
【解答】解：因为cos2α+cos（2α）＝cos2α+sin2α，
解得tanα＝3或tanα（舍），
则tan2α．
故选：D．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角基本关系及二倍角正切公式的应用，属于基础题．
7．（5分）（2021 兴庆区校级三模）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系，求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，并结合几何概率的公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，直角三角形斜边长为17，
则内切圆的半径r，
故向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率P．
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形内切圆的有关知识，以及几何概型的概率公式，属于基础题．
8．（5分）（2020 西城区校级模拟）下列函数中，值域为（1，+∞）的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y C．y＝log2|x| D．y＝e﹣x+1
【考点】函数的值域．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】A．y＝x2+1≥1，即可得出函数的值域；
B．函数y的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），利用反比例函数的单调性与值域即可得出此函数的值域；
C．函数y＝log2|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），利用对数函数即可函数的值域；
D．利用指数函数即可函数的值域．
【解答】解：A．y＝x2+1≥1，因此此函数的值域为[1，+∞），不正确；
B．函数y的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），此函数的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），不正确；
C．函数y＝log2|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），此函数的值域为R，不正确；
D．y＝e﹣x+1＞1，因此此函数的值域为（1，+∞），正确．
故选：D．
【点评】本题考查了基本函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（5分）（2011 潮阳区校级开学）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x），那么不等式f（x）＜0的解集是（ ）
A．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}
C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＜﹣1，或x＞1}
【考点】奇函数、偶函数；函数单调性的性质与判断．
【专题】数形结合．
【分析】因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x），又当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x），可解得当x＞0时，f（x）＝﹣lnx，根据函数的图象可得不等式f（x）＜0的解集．
【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，由题意当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）可知f（﹣x）＝lnx，
又∵y＝f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴﹣f（x）＝lnx，
即f（x）＝﹣lnx，
做出函数图象可得：
观察函数图象可得：f（x）＜0的解集是{x|﹣1＜x＜0或x＞1}，
故选：B．
【点评】函数的奇偶性，要注意奇偶性的定义．本题关键在于由x＜0时的解析式，推出x＞0时的解析式，然后画出函数图象，数形结合得到结果．
10．（5分）（2022 昌吉州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝AA1，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且BC＝4BE，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；对应思想；分析法；空间向量及应用；数学运算．
【分析】由题意，建立直角坐标，求出AC与DE的向量表示，再求夹角即可．
【解答】解：由题意，建立如图所示的直角坐标系，
设AB＝BC＝AA1＝4，
则A（0，4，0），C（4，0，0），D（2，0，4），E（1，0，0），
则，＝（4，﹣4，0），（﹣1，0，﹣4），
则cos，，
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
11．（5分）（2021 天津模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：1（a＞0，b＞0）的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，则双曲线C2的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的性质．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】求得抛物线的焦点和准线，可得EF的长，由题意可得p＝6a，求得双曲线与抛物线的交点坐标，再代入双曲线的方程，可得a，b的关系，再由离心率公式，可得所求值．
【解答】解：抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x，
准线与x轴的交点为E（，0），即|EF|＝p，
线段EF被双曲线C2：1（a＞0，b＞0）的顶点三等分，可得2ap，即p＝6a，
由题意可得两曲线C1，C2的交点为（，p），（，﹣p），
代入双曲线的方程可得1，
即有91，即有，
则双曲线C2的离心率为e．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与双曲线的综合，主要是抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
12．（5分）（2022 焦作一模）已知函数的一个极值点为1，则a2b2的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据导数与函数极值的关系，即可求得a+b＝3，即可求得a2b2的最大值．
【解答】解：由，则f′（x）＝﹣3x2+ax+b，
由题意可知，f′（1）＝0，即a+b＝3，a＞0，b＞0，
所以，当且仅当时取等号，
所以a2b2的最大值，
故选：D．
【点评】本题考查导数的应用，导数与函数极值的关系，基本不等式的应用及成立条件，考查转化思想，属于基础题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 常德模拟）已知平面向量∥，（1，2），（﹣3，t），则||＝ ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由已知结合向量共线的坐标运算求得t，再由向量模的计算公式求解．
【解答】解：∵（1，2），（﹣3，t），且∥，
∴1×t﹣2×（﹣3）＝0，解得t＝﹣6．
∴（﹣3，﹣6），则||．
故答案为：．
【点评】本题考查向量共线的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
14．（5分）（2020 通州区一模）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为 1 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果．
【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），
所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离d1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了点到直线距离公式，是基础题．
15．（5分）（2021 沙坪坝区校级模拟）在锐角△ABC中，，，且sinC+sin（B﹣A）﹣3sin2A＝0，则△ABC的面积为 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由已知结合和差角公式进行化简，然后结合正弦定理及余弦定理进行化简可求a，b，然后结合三角形面积公式可求．
【解答】解：由sinC+sin（B﹣A）﹣3sin2A＝0，及A+B+C＝π，
得sin（B+A）+sin（B﹣A）﹣3sin2A＝0，
即sinBcosA＝3sinAcosA，
又由锐角三角形知cosA≠0，从而sinB＝3sinA，
由正弦定理得b＝3a．
又由余弦定理得，且b＝3a，
故a＝1，b＝3，
故面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了和差角公式，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
16．（5分）（2014 南昌模拟）点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1（图1）的棱A1B1、A1D1的中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图2中的①，则该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为图2中的 ②、③、④ ．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图．类似判断俯视图即可．
【解答】解：由正视图的定义可知：
点A、B、B1在后面的投影点分别是点D、C、C1，
线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，
另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，
故几何体的正视图为②，左视图为③，俯视图为④；
故答案为：②、③、④
【点评】从正视图的定义可以判断出题中的正视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 江西模拟）2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 300 70 30 80
可回收垃圾 30 210 30 30
有害垃圾 20 20 60 20
其他垃圾 10 20 10 60
（1）分别估计厨余垃圾和有害垃圾投放正确的概率；
（2）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，d，其中a＞0，a+b+c+d＝800．当数据a，b，c，d的方差s2最大时，写出a，b，c，d的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）结合题意，利用等可能事件的概率公式，即可分别求解；
（2）结合已知数据及方差公式，即可判断求解．
【解答】解：（1）根据题意，厨余垃圾共300+70+30+80＝480吨，
其中投放正确的有300吨，则厨余垃圾投放正确的概率P1，
有害垃圾共20+20+60+20＝120吨，其中投放正确的有60吨，
则害垃圾投放正确的概率P2；
（2）根据题意，厨余垃圾在四种垃圾箱的投放量分别为a，b，c，d，其中a＞0，a+b+c+d＝800，
则其平均数200，
则其方差S2[（a﹣200）2+（b﹣200）2+（c﹣200）2+（d﹣200）2]，
当a＝600，b＝c＝d＝0时，s2最大，
而200，
此时s2[（600﹣200）2+（0﹣200）2+（0﹣200）2+（0﹣200）2]＝120000
【点评】本题考查概率的估算，涉及方差的性质以及计算，属于中档题．
18．（12分）（2022 宝鸡三模）如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形ABCD为圆柱下底面的内接四边形，且AC为圆柱下底面的直径，PD为圆柱的母线，且PD＝3，圆柱的底面半径为1．
（1）证明：AD⊥PC；
（2）若B为的中点，点Q在线段PB上，2，求三棱锥P﹣QAC的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】转化思想；等体积法；转化法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）推导出AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，PD⊥AD，得到AD⊥平面PDC，由此证明AD⊥PC．
（2）由得，VP﹣QAC＝2VB﹣QAC＝2VQ﹣ABC，利用VP﹣QAC＝2VB﹣QAC＝2VQ﹣ABC，求出三棱锥P﹣QAC的体积．
【解答】解：（1）证明：∵AC为直径，点D在圆上且不同于A，C点，∴AD⊥DC，
又∵PD为母线，∴PD⊥平面ABCD，又AD 平面ABCD，从而PD⊥AD，
又DC∩PD＝D，∴AD⊥平面PDC，又PC 平面PDC，
∴AD⊥PC．
（2）由已知得，VP﹣QAC＝2VB﹣QAC＝2VQ﹣ABC，
∵B为的中点，AC＝2，∴AB＝BC，
则VP﹣QAC＝2VB﹣QAC＝2VQ﹣ABC
＝2．
【点评】本题考查线线垂直的证明，线面垂直的判定定理与性质定理、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）（2022 黄山模拟）已知数列{an}、{bn}满足a1a2a3…an＝3，若数列{an}是等比数列，且a1＝3，b4＝4+b3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn，求{cn}的前n项和为Sn．
【考点】数列的求和．
【专题】方程思想；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，a1a2a3…an＝3，a1＝3，n＝1时，a13，解得b1，n≥2时，a1a2a3…an﹣1，相比可得an，结合b4＝4+b3，可得q，an．进而得出bn﹣bn﹣1＝n，再利用bn＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）即可得出bn．
（2）由（1）可得cn，再利用错位相减法求和即可．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
∵a1a2a3…an＝3，a1＝3，
n＝1时，a13，解得b1＝1，
∴n≥2时，a1a2a3…an﹣1，
∴an，
∴a434，
∴3×q3＝34，解得q＝3．
∴an＝3n，∴a1
∴3n，∴bn﹣bn﹣1＝n，
∴bn＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+bn﹣bn﹣1＝1+2+…+n．
（2）cn，
∴{cn}的前n项和为Sn3，
∴Sn2，
∴Sn，
∴Sn．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）（2022 安康模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点．
（1）证明：以AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切；
（2）设（1）中的切点为P，且点P位于x轴上方，若△ABP的面积为，求直线l的方程．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）求出抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），求出|AB|，弦AB的中点，通过M到准线x＝﹣1的距离，推出结果即可．
（2）设直线l的方程为x＝my+1，联立直线与抛物线方程，A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，弦长公式转化求解三角形的面积，推出直线方程即可．
【解答】（1）证明：由题意得抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），|AB|＝|AF|+|BF|＝（1+x1）+（1+x2）＝2+（x1+x2），
弦AB的中点，则M到准线x＝﹣1的距离为，
所以以AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切．
（2）解：由题可知直线l的斜率不能为0，设直线l的方程为x＝my+1，
由，整理得y2﹣4my﹣4＝0，
又A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以．
点P的坐标为（﹣1，2m），则点P到直线AB的距离为，
故，
解得m2＝1，即m＝±1，又点P位于x轴上方，所以m＝1，
所以直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21．（12分）（2020 赤峰模拟）已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：当a＝﹣1时，函数h（x）＝g（x）﹣f（x）有且只有一个零点x＝x0，且x0∈（0，1）．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理．
【分析】（1）函数f（x）的定义域：{x|x＞0}，求导，分当a≤0时，当a＞0时，两种情况讨论函数f（x）的单调性．
（2）当a＝﹣1时，h（x）＝g（x）﹣f（x）（x+lnx），求导，利用放缩法进行证明当x＞0时，﹣x2+2x≤1，1，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为h（1）＜0，h（）＞0，进而得证．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域：{x|x＞0}，
f′（x）＝1，
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
此时函数f（x）无极值．
当a＞0时，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
此时当x＝a时，f（x）极小值为f（a）＝a﹣alna，无极大值．
（2）当a＝﹣1时，f（x）＝x+lnx，
h（x）＝g（x）﹣f（x）（x+lnx），
h′（x）（1），
当x＞0时，﹣x2+2x≤1，1，
所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为h（1）1＜0，h（）ln2＞0，
所以函数h（x）＝g（x）﹣f（x）有且只有一个零点x＝x0，且x0∈（0，1）．
【点评】本题考查导数的综合应用，极值，零点，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2pcosθ﹣m＝0．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点．若点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，求正数m的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为x﹣y+3＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣m＝0，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2+2x﹣m＝0；
（2）将直线l的方程转换为参数方程为（n为参数），代入x2+y2+2x﹣m＝0；
得到；
所以；n1n2＝3﹣m；
由于点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，
不妨设n1＝﹣2n2，
整理得；
故，解得m＝19．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 全国乙卷模拟）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+m|x﹣3|（m＞0）．
（1）f（x）≥5恒成立，求m的取值范围；
（2）在（1）成立的条件下，设a+b＝m的最小值，a＞0，b＞0，求的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）去绝对值，用分段函数表示f（x），结合m＞0，求解每一段的值域，分析即可得解；
（2）由（1）可得a+b＝2，转化，利用基本不等式求出的范围，即可得解．
【解答】解：（1），
由于m＞0，故y＝（m+2）x﹣3m﹣1为增函数，
当x≥3，y≥3（m+2）﹣3m﹣1＝5，
y＝﹣（m+2）x+3m+1为减函数，
当x，y（m+2）+3m+1m，由于f（x）≥5恒成立，故m≥5，m≥2，
当x＜3时，由于m≥2，故y＝（2﹣m）x+3m﹣1为常值函数或者单调递减函数，
故y≥（2﹣m）×3+3m﹣1＝5，
综上，f（x）≥5恒成立，有m≥2，即m∈[2，+∞）．
（2）由（1）易知a+b＝2，∵a＞0，b＞0，
∴．
∵，当且仅当，时取等成立，
∴，
∴的取值范围是．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关 键 词 等 于 （＝） 大 于 （＞） 小 于 （＜） 是 能 都 是 没 有 至 多 有 一 个 至 少 有 一 个 至 少 有 n 个 至 多 有 n 个 任 意 的 任 两 个 P 且 Q P 或 Q
否 定 词 不 等 于 （≠） 不 大 于 （≤） 不 小 于 （≥） 不 是 不 能 不 都 是 至 少 有 一 个 至 少 有 两 个 一 个 都 没 有 至 多 有 n﹣1 个 至 少 有 n+1 个 某 个 某 两 个 P 或 Q P 且 Q
若原命题P为真，则 P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
3．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．
4．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
5．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
6．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
10．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的知识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
11．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
12．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
13．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
14．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
15．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
16．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ cos（2x） ．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x2 （cos2x﹣sin2x）
cos（2x）．
故答案为：cos（2x）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t
∴当t时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
19．点到直线的距离公式
【知识点的知识】
从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d．
【例题解析】
例：过点P（1，1）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程．
解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，
当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k1，
故直线方程为y﹣1＝（x﹣1），即x﹣y＝0；
当直线过AB的中点（3，4）时，斜率为k，
故直线方程为y﹣1（x﹣1），即3x﹣2y﹣1＝0；
故答案为：x﹣y＝0或3x﹣2y﹣1＝0．
这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题．
【考点分析】
正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离．
20．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
21．圆锥曲线的综合
【知识点的知识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c a2+b2＝c2
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±1 ±1
22．直线与抛物线的综合
v．
23．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
24．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
25．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
26．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
27．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
28．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 茂名模拟）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|y}，则A∩（ RB）＝（ ）
A．[﹣3，） B．（，5） C．[﹣3，﹣2） D．（﹣2，5）
2．（5分）（2022 河南模拟）若复数z满足z（2﹣i）＝2﹣5i，则z＝（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2022 陕西模拟）命题p： x∈[1，2]，2x≥3，命题q： x0∈[1，2]，log2x0≥1，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）
4．（5分）（2019 厦门一模）设函数f（x）＝asinxcosx﹣2sin2x，若直线x是f（x）图象的一条对称轴，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为1
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为2
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为1
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为2
5．（5分）（2022 全国乙卷模拟）已知动点P（x，y）满足不等式组，则z＝x2+y2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2021 5月份模拟）若α∈（0，），且cos2α+cos（2α），则tan2α＝（ ）
A．3 B． C．2 D．
7．（5分）（2021 兴庆区校级三模）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2020 西城区校级模拟）下列函数中，值域为（1，+∞）的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y C．y＝log2|x| D．y＝e﹣x+1
9．（5分）（2011 潮阳区校级开学）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x），那么不等式f（x）＜0的解集是（ ）
A．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}
C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＜﹣1，或x＞1}
10．（5分）（2022 昌吉州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝AA1，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且BC＝4BE，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2021 天津模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：1（a＞0，b＞0）的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，则双曲线C2的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2022 焦作一模）已知函数的一个极值点为1，则a2b2的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 常德模拟）已知平面向量∥，（1，2），（﹣3，t），则||＝ ．
14．（5分）（2020 通州区一模）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为 ．
15．（5分）（2021 沙坪坝区校级模拟）在锐角△ABC中，，，且sinC+sin（B﹣A）﹣3sin2A＝0，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）（2014 南昌模拟）点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1（图1）的棱A1B1、A1D1的中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图2中的①，则该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为图2中的 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 江西模拟）2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 300 70 30 80
可回收垃圾 30 210 30 30
有害垃圾 20 20 60 20
其他垃圾 10 20 10 60
（1）分别估计厨余垃圾和有害垃圾投放正确的概率；
（2）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，d，其中a＞0，a+b+c+d＝800．当数据a，b，c，d的方差s2最大时，写出a，b，c，d的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
18．（12分）（2022 宝鸡三模）如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形ABCD为圆柱下底面的内接四边形，且AC为圆柱下底面的直径，PD为圆柱的母线，且PD＝3，圆柱的底面半径为1．
（1）证明：AD⊥PC；
（2）若B为的中点，点Q在线段PB上，2，求三棱锥P﹣QAC的体积．
19．（12分）（2022 黄山模拟）已知数列{an}、{bn}满足a1a2a3…an＝3，若数列{an}是等比数列，且a1＝3，b4＝4+b3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn，求{cn}的前n项和为Sn．
20．（12分）（2022 安康模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点．
（1）证明：以AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切；
（2）设（1）中的切点为P，且点P位于x轴上方，若△ABP的面积为，求直线l的方程．
21．（12分）（2020 赤峰模拟）已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：当a＝﹣1时，函数h（x）＝g（x）﹣f（x）有且只有一个零点x＝x0，且x0∈（0，1）．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2pcosθ﹣m＝0．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点．若点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，求正数m的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 全国乙卷模拟）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+m|x﹣3|（m＞0）．
（1）f（x）≥5恒成立，求m的取值范围；
（2）在（1）成立的条件下，设a+b＝m的最小值，a＞0，b＞0，求的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷2 (全国乙卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 茂名模拟）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|y}，则A∩（ RB）＝（ ）
A．[﹣3，） B．（，5） C．[﹣3，﹣2） D．（﹣2，5）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】求出集合B，利用交集、补集的定义能求出A∩（ RB）．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，
B＝{x|y}＝{x|x}，
RB＝{x|x}，
∴A∩（ RB）＝{x|﹣3≤x}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
2．（5分）（2022 河南模拟）若复数z满足z（2﹣i）＝2﹣5i，则z＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：∵z（2﹣i）＝2﹣5i，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3．（5分）（2022 陕西模拟）命题p： x∈[1，2]，2x≥3，命题q： x0∈[1，2]，log2x0≥1，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）
【考点】复合命题及其真假．
【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑；数学运算．
【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
【解答】解：当x＝1时，2x＝2＜3，∴命题p： x∈[1，2]，2x≥3为假命题，
当x＝2时，log2x＝1，∴命题q： x0∈[1，2]，log2x0≥1为真命题，
则p∨q是真命题，其余为假命题，
故选：C．
【点评】本题主要考查复合命题真假关系，根据条件判断命题的真假是解决本题的关键，是基础题．
4．（5分）（2019 厦门一模）设函数f（x）＝asinxcosx﹣2sin2x，若直线x是f（x）图象的一条对称轴，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为1
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为2
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为1
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为2
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质．
【分析】利用倍角公式，以及辅助角公式将函数进行化简，进而根据正弦函数的性质求得周期和最小值．
【解答】解：f（x）＝asinxcosx﹣2sin2xsin2x+cos2x﹣1sin2xcos2x）﹣1，
令cosθ，sinθ，则tanθ，其中θ是参数，
则f（x）sin（2x+θ）﹣1，
则函数的最小正周期Tπ，
∵直线x是f（x）图象的一条对称轴，
∴2θ＝kπ，即θ＝kπ，
则tanθ＝tan（kπ）＝tan，
即，得a＝2
则函数f（x）的最大值为111＝2﹣1＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角函数的性质，利用倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出a的值是解决本题的关键．
5．（5分）（2022 全国乙卷模拟）已知动点P（x，y）满足不等式组，则z＝x2+y2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝x2+y2的几何意义，即可行域内的动点到坐标原点距离的平方求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
z＝x2+y2的几何意义为可行域内的动点到坐标原点距离的平方，
∵坐标原点O到直线x+y﹣3＝0的距离d，
∴z＝x2+y2的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．（5分）（2021 5月份模拟）若α∈（0，），且cos2α+cos（2α），则tan2α＝（ ）
A．3 B． C．2 D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由已知结合诱导公式及同角基本关系可求tanα，然后结合二倍角正切公式即可求解．
【解答】解：因为cos2α+cos（2α）＝cos2α+sin2α，
解得tanα＝3或tanα（舍），
则tan2α．
故选：D．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角基本关系及二倍角正切公式的应用，属于基础题．
7．（5分）（2021 兴庆区校级三模）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系，求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，并结合几何概率的公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，直角三角形斜边长为17，
则内切圆的半径r，
故向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率P．
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形内切圆的有关知识，以及几何概型的概率公式，属于基础题．
8．（5分）（2020 西城区校级模拟）下列函数中，值域为（1，+∞）的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y C．y＝log2|x| D．y＝e﹣x+1
【考点】函数的值域．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】A．y＝x2+1≥1，即可得出函数的值域；
B．函数y的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），利用反比例函数的单调性与值域即可得出此函数的值域；
C．函数y＝log2|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），利用对数函数即可函数的值域；
D．利用指数函数即可函数的值域．
【解答】解：A．y＝x2+1≥1，因此此函数的值域为[1，+∞），不正确；
B．函数y的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），此函数的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），不正确；
C．函数y＝log2|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），此函数的值域为R，不正确；
D．y＝e﹣x+1＞1，因此此函数的值域为（1，+∞），正确．
故选：D．
【点评】本题考查了基本函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（5分）（2011 潮阳区校级开学）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x），那么不等式f（x）＜0的解集是（ ）
A．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}
C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＜﹣1，或x＞1}
【考点】奇函数、偶函数；函数单调性的性质与判断．
【专题】数形结合．
【分析】因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x），又当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x），可解得当x＞0时，f（x）＝﹣lnx，根据函数的图象可得不等式f（x）＜0的解集．
【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，由题意当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）可知f（﹣x）＝lnx，
又∵y＝f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴﹣f（x）＝lnx，
即f（x）＝﹣lnx，
做出函数图象可得：
观察函数图象可得：f（x）＜0的解集是{x|﹣1＜x＜0或x＞1}，
故选：B．
【点评】函数的奇偶性，要注意奇偶性的定义．本题关键在于由x＜0时的解析式，推出x＞0时的解析式，然后画出函数图象，数形结合得到结果．
10．（5分）（2022 昌吉州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝AA1，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且BC＝4BE，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；对应思想；分析法；空间向量及应用；数学运算．
【分析】由题意，建立直角坐标，求出AC与DE的向量表示，再求夹角即可．
【解答】解：由题意，建立如图所示的直角坐标系，
设AB＝BC＝AA1＝4，
则A（0，4，0），C（4，0，0），D（2，0，4），E（1，0，0），
则，＝（4，﹣4，0），（﹣1，0，﹣4），
则cos，，
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
11．（5分）（2021 天津模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：1（a＞0，b＞0）的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，则双曲线C2的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的性质．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】求得抛物线的焦点和准线，可得EF的长，由题意可得p＝6a，求得双曲线与抛物线的交点坐标，再代入双曲线的方程，可得a，b的关系，再由离心率公式，可得所求值．
【解答】解：抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x，
准线与x轴的交点为E（，0），即|EF|＝p，
线段EF被双曲线C2：1（a＞0，b＞0）的顶点三等分，可得2ap，即p＝6a，
由题意可得两曲线C1，C2的交点为（，p），（，﹣p），
代入双曲线的方程可得1，
即有91，即有，
则双曲线C2的离心率为e．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与双曲线的综合，主要是抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
12．（5分）（2022 焦作一模）已知函数的一个极值点为1，则a2b2的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据导数与函数极值的关系，即可求得a+b＝3，即可求得a2b2的最大值．
【解答】解：由，则f′（x）＝﹣3x2+ax+b，
由题意可知，f′（1）＝0，即a+b＝3，a＞0，b＞0，
所以，当且仅当时取等号，
所以a2b2的最大值，
故选：D．
【点评】本题考查导数的应用，导数与函数极值的关系，基本不等式的应用及成立条件，考查转化思想，属于基础题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 常德模拟）已知平面向量∥，（1，2），（﹣3，t），则||＝ ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由已知结合向量共线的坐标运算求得t，再由向量模的计算公式求解．
【解答】解：∵（1，2），（﹣3，t），且∥，
∴1×t﹣2×（﹣3）＝0，解得t＝﹣6．
∴（﹣3，﹣6），则||．
故答案为：．
【点评】本题考查向量共线的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
14．（5分）（2020 通州区一模）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为 1 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果．
【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），
所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离d1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了点到直线距离公式，是基础题．
15．（5分）（2021 沙坪坝区校级模拟）在锐角△ABC中，，，且sinC+sin（B﹣A）﹣3sin2A＝0，则△ABC的面积为 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由已知结合和差角公式进行化简，然后结合正弦定理及余弦定理进行化简可求a，b，然后结合三角形面积公式可求．
【解答】解：由sinC+sin（B﹣A）﹣3sin2A＝0，及A+B+C＝π，
得sin（B+A）+sin（B﹣A）﹣3sin2A＝0，
即sinBcosA＝3sinAcosA，
又由锐角三角形知cosA≠0，从而sinB＝3sinA，
由正弦定理得b＝3a．
又由余弦定理得，且b＝3a，
故a＝1，b＝3，
故面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了和差角公式，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
16．（5分）（2014 南昌模拟）点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1（图1）的棱A1B1、A1D1的中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图2中的①，则该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为图2中的 ②、③、④ ．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图．类似判断俯视图即可．
【解答】解：由正视图的定义可知：
点A、B、B1在后面的投影点分别是点D、C、C1，
线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，
另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，
故几何体的正视图为②，左视图为③，俯视图为④；
故答案为：②、③、④
【点评】从正视图的定义可以判断出题中的正视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 江西模拟）2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 300 70 30 80
可回收垃圾 30 210 30 30
有害垃圾 20 20 60 20
其他垃圾 10 20 10 60
（1）分别估计厨余垃圾和有害垃圾投放正确的概率；
（2）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，d，其中a＞0，a+b+c+d＝800．当数据a，b，c，d的方差s2最大时，写出a，b，c，d的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）结合题意，利用等可能事件的概率公式，即可分别求解；
（2）结合已知数据及方差公式，即可判断求解．
【解答】解：（1）根据题意，厨余垃圾共300+70+30+80＝480吨，
其中投放正确的有300吨，则厨余垃圾投放正确的概率P1，
有害垃圾共20+20+60+20＝120吨，其中投放正确的有60吨，
则害垃圾投放正确的概率P2；
（2）根据题意，厨余垃圾在四种垃圾箱的投放量分别为a，b，c，d，其中a＞0，a+b+c+d＝800，
则其平均数200，
则其方差S2[（a﹣200）2+（b﹣200）2+（c﹣200）2+（d﹣200）2]，
当a＝600，b＝c＝d＝0时，s2最大，
而200，
此时s2[（600﹣200）2+（0﹣200）2+（0﹣200）2+（0﹣200）2]＝120000
【点评】本题考查概率的估算，涉及方差的性质以及计算，属于中档题．
18．（12分）（2022 宝鸡三模）如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形ABCD为圆柱下底面的内接四边形，且AC为圆柱下底面的直径，PD为圆柱的母线，且PD＝3，圆柱的底面半径为1．
（1）证明：AD⊥PC；
（2）若B为的中点，点Q在线段PB上，2，求三棱锥P﹣QAC的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】转化思想；等体积法；转化法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）推导出AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，PD⊥AD，得到AD⊥平面PDC，由此证明AD⊥PC．
（2）由得，VP﹣QAC＝2VB﹣QAC＝2VQ﹣ABC，利用VP﹣QAC＝2VB﹣QAC＝2VQ﹣ABC，求出三棱锥P﹣QAC的体积．
【解答】解：（1）证明：∵AC为直径，点D在圆上且不同于A，C点，∴AD⊥DC，
又∵PD为母线，∴PD⊥平面ABCD，又AD 平面ABCD，从而PD⊥AD，
又DC∩PD＝D，∴AD⊥平面PDC，又PC 平面PDC，
∴AD⊥PC．
（2）由已知得，VP﹣QAC＝2VB﹣QAC＝2VQ﹣ABC，
∵B为的中点，AC＝2，∴AB＝BC，
则VP﹣QAC＝2VB﹣QAC＝2VQ﹣ABC
＝2．
【点评】本题考查线线垂直的证明，线面垂直的判定定理与性质定理、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）（2022 黄山模拟）已知数列{an}、{bn}满足a1a2a3…an＝3，若数列{an}是等比数列，且a1＝3，b4＝4+b3．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn，求{cn}的前n项和为Sn．
【考点】数列的求和．
【专题】方程思想；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，a1a2a3…an＝3，a1＝3，n＝1时，a13，解得b1，n≥2时，a1a2a3…an﹣1，相比可得an，结合b4＝4+b3，可得q，an．进而得出bn﹣bn﹣1＝n，再利用bn＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）即可得出bn．
（2）由（1）可得cn，再利用错位相减法求和即可．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
∵a1a2a3…an＝3，a1＝3，
n＝1时，a13，解得b1＝1，
∴n≥2时，a1a2a3…an﹣1，
∴an，
∴a434，
∴3×q3＝34，解得q＝3．
∴an＝3n，∴a1
∴3n，∴bn﹣bn﹣1＝n，
∴bn＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+bn﹣bn﹣1＝1+2+…+n．
（2）cn，
∴{cn}的前n项和为Sn3，
∴Sn2，
∴Sn，
∴Sn．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）（2022 安康模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点．
（1）证明：以AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切；
（2）设（1）中的切点为P，且点P位于x轴上方，若△ABP的面积为，求直线l的方程．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）求出抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），求出|AB|，弦AB的中点，通过M到准线x＝﹣1的距离，推出结果即可．
（2）设直线l的方程为x＝my+1，联立直线与抛物线方程，A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，弦长公式转化求解三角形的面积，推出直线方程即可．
【解答】（1）证明：由题意得抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），|AB|＝|AF|+|BF|＝（1+x1）+（1+x2）＝2+（x1+x2），
弦AB的中点，则M到准线x＝﹣1的距离为，
所以以AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切．
（2）解：由题可知直线l的斜率不能为0，设直线l的方程为x＝my+1，
由，整理得y2﹣4my﹣4＝0，
又A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以．
点P的坐标为（﹣1，2m），则点P到直线AB的距离为，
故，
解得m2＝1，即m＝±1，又点P位于x轴上方，所以m＝1，
所以直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21．（12分）（2020 赤峰模拟）已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：当a＝﹣1时，函数h（x）＝g（x）﹣f（x）有且只有一个零点x＝x0，且x0∈（0，1）．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理．
【分析】（1）函数f（x）的定义域：{x|x＞0}，求导，分当a≤0时，当a＞0时，两种情况讨论函数f（x）的单调性．
（2）当a＝﹣1时，h（x）＝g（x）﹣f（x）（x+lnx），求导，利用放缩法进行证明当x＞0时，﹣x2+2x≤1，1，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为h（1）＜0，h（）＞0，进而得证．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域：{x|x＞0}，
f′（x）＝1，
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
此时函数f（x）无极值．
当a＞0时，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
此时当x＝a时，f（x）极小值为f（a）＝a﹣alna，无极大值．
（2）当a＝﹣1时，f（x）＝x+lnx，
h（x）＝g（x）﹣f（x）（x+lnx），
h′（x）（1），
当x＞0时，﹣x2+2x≤1，1，
所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为h（1）1＜0，h（）ln2＞0，
所以函数h（x）＝g（x）﹣f（x）有且只有一个零点x＝x0，且x0∈（0，1）．
【点评】本题考查导数的综合应用，极值，零点，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2pcosθ﹣m＝0．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点．若点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，求正数m的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为x﹣y+3＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣m＝0，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2+2x﹣m＝0；
（2）将直线l的方程转换为参数方程为（n为参数），代入x2+y2+2x﹣m＝0；
得到；
所以；n1n2＝3﹣m；
由于点P（﹣1，2）恰为线段AB的一个三等分点，
不妨设n1＝﹣2n2，
整理得；
故，解得m＝19．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 全国乙卷模拟）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+m|x﹣3|（m＞0）．
（1）f（x）≥5恒成立，求m的取值范围；
（2）在（1）成立的条件下，设a+b＝m的最小值，a＞0，b＞0，求的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）去绝对值，用分段函数表示f（x），结合m＞0，求解每一段的值域，分析即可得解；
（2）由（1）可得a+b＝2，转化，利用基本不等式求出的范围，即可得解．
【解答】解：（1），
由于m＞0，故y＝（m+2）x﹣3m﹣1为增函数，
当x≥3，y≥3（m+2）﹣3m﹣1＝5，
y＝﹣（m+2）x+3m+1为减函数，
当x，y（m+2）+3m+1m，由于f（x）≥5恒成立，故m≥5，m≥2，
当x＜3时，由于m≥2，故y＝（2﹣m）x+3m﹣1为常值函数或者单调递减函数，
故y≥（2﹣m）×3+3m﹣1＝5，
综上，f（x）≥5恒成立，有m≥2，即m∈[2，+∞）．
（2）由（1）易知a+b＝2，∵a＞0，b＞0，
∴．
∵，当且仅当，时取等成立，
∴，
∴的取值范围是．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关 键 词 等 于 （＝） 大 于 （＞） 小 于 （＜） 是 能 都 是 没 有 至 多 有 一 个 至 少 有 一 个 至 少 有 n 个 至 多 有 n 个 任 意 的 任 两 个 P 且 Q P 或 Q
否 定 词 不 等 于 （≠） 不 大 于 （≤） 不 小 于 （≥） 不 是 不 能 不 都 是 至 少 有 一 个 至 少 有 两 个 一 个 都 没 有 至 多 有 n﹣1 个 至 少 有 n+1 个 某 个 某 两 个 P 或 Q P 且 Q
若原命题P为真，则 P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
3．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．
4．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
5．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
6．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
10．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的知识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
11．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
12．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
13．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
14．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
15．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
16．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ cos（2x） ．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x2 （cos2x﹣sin2x）
cos（2x）．
故答案为：cos（2x）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t
∴当t时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
19．点到直线的距离公式
【知识点的知识】
从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d．
【例题解析】
例：过点P（1，1）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程．
解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，
当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k1，
故直线方程为y﹣1＝（x﹣1），即x﹣y＝0；
当直线过AB的中点（3，4）时，斜率为k，
故直线方程为y﹣1（x﹣1），即3x﹣2y﹣1＝0；
故答案为：x﹣y＝0或3x﹣2y﹣1＝0．
这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题．
【考点分析】
正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离．
20．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
21．圆锥曲线的综合
【知识点的知识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c a2+b2＝c2
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±1 ±1
22．直线与抛物线的综合
v．
23．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
24．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
25．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
26．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
27．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
28．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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