2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅱ)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅱ)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 385.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:25:32 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷3 (新高考Ⅱ)
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 榆林三模）若复数（3+2i）（1﹣ai）在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．（，） B．（﹣∞，） C．（，） D．（﹣∞，）
2．（5分）（2018 福州二模）已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x
3．（5分）（2022 新高考卷模拟）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与1个正五边形组成，其中，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2016秋 金华期中）已知正四棱台的高是12cm，两底面边长之差为10cm，表面积为512cm2，则下底面的边长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．（5分）（2022 铁东区校级模拟）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作Y～N（μ，σ ）．当μ＝0，σ＝1的正态分布称为标准正态分布，如果令X，则可以证明X～N（0，1），即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果X～N（0，1）那么对任意的a，通常记Φ（a）＝P（X＜a），也就是说，Φ（a）表示N（0，1）对应的正态曲线与x轴在区间（﹣∞，a）内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，Φ（2）＝0.9772，那么成绩落在（88，112]的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
6．（5分）（2022 安徽模拟）已知a，b，c＝log43，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
7．（5分）（2022 宁河区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）＝f（x），y＝f（x+3）为偶函数，若f（x）在（0，3）内单调递减．则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）（2022 金华模拟）已知数列{an}、{bn}、{cn}满足a1＝b1＝c1＝1，cn＝an+1﹣an，cn+2，Sn（n≥2），Tn（n≥3），则下列有可能成立的是（ ）
A．若{an}为等比数列，则a20222＞b2022
B．若{cn}为递增的等差数列，则S2022＜T2022
C．若{an}为等比数列，则a20222＜b2022
D．若{cn}为递增的等差数列，则S2022＞T2022
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021 渝中区校级模拟）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据x1，x2，…，xn，方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，xn，的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
（多选）10．（5分）（2021 广东模拟）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是，（ ）
A． B．
C． D．
（多选）11．（5分）（2022 莆田模拟）已知直线l：ax+by+1＝0（a＞0，b＞0）与圆C：x2+y2＝1相切，则下列说法正确的是（ ）
A．ab B．4
C．（）2 D．2
（多选）12．（5分）（2021 沙坪坝区校级模拟）“0，1数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限0，1数列，f（A）表示把A中每个0都变为1，0，每个1都变为0，1，所得到的新的0，1数列，例如A（0，1，1，0）
，则f（A）＝（1，0，0，1，0，1，1，0）．设A1是一个有限0，1数列，定义Ak+1＝f（Ak），k＝1，2，3， ．则下列说法正确的是（ ）
A．若A3＝（1，0，0，1，1，0，0，1），则A1＝（0，0）
B．对任意有限0，1数列A1，An（n≥2，n∈N）中0和1的个数总相等
C．An+1中的0，0数对的个数总与An中的0，1数对的个数相等
D．若A1＝（0，0），则A2021中0，0数对的个数为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 通州区一模）已知双曲线的一条渐近线方程是5x﹣2y＝0，则m＝ ．
14．（5分）（2022 福建模拟）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①定义域为R；
②值域为（﹣∞，1）；
③对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，均有．
15．（5分）（2020 衡水模拟）已知向量，，满足||＝1，||＝||＝5，且 1，则 的取值范围是 ．
16．（5分）（2021 郊区校级三模）若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 景德镇模拟）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使得恒成立的m的最小值．
18．（12分）（2022 胶州市一模）如图，在四边形ABCD中，△BCD为锐角三角形，CD＝4，sin∠DBC，cos∠BDC．
（1）求BC；
（2）若AB＝m，AC＝BC，是否存在正整数m，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
19．（12分）（2022 绵阳模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，已知AD∥BC，∠BAD＝120°，AB＝BC＝PA＝2AD＝2，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：PB⊥平面PCD；
（2）求二面角B﹣PA﹣D的平面角的余弦值．
20．（12分）（2022 景德镇模拟）已知椭圆经过两点，．
（1）求椭圆C的方程：
（2）A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为圆x2+y2＝4上的动点（P不在坐标轴上），PA与PB分别与椭圆C交E、F两点，直线EF交x轴于H点，请问点P的横坐标与点H的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
21．（12分）（2022 江西模拟）2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行．北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2：1，按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个．
（1）若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概率．
（2）设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为，记同学甲获得“优秀学员”的次数为X，试求X的分布列及其数学期望E（X），并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？
22．（12分）（2021 诸暨市校级模拟）已知函数f（x）＝ax﹣bx+b，a＞0，b∈R．
（Ⅰ）当a＝2，b＝1时，求函数f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）若a＝e且f（x）≥0恒成立，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a＝e时，记x1，x2（其中x1＜x2）为f（x）在（0，+∞）上的两个零点，证明：．
2022年高考数学终极押题密卷3 (新高考Ⅱ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 榆林三模）若复数（3+2i）（1﹣ai）在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．（，） B．（﹣∞，） C．（，） D．（﹣∞，）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：复数（3+2i）（1﹣ai）＝3+2a+（2﹣3a）i在复平面内对应的点（3+2a，2﹣3a）位于第一象限，
则，解得，
故实数a的取值范围为（）．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．（5分）（2018 福州二模）已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】把M的坐标代入抛物线方程可得M的横坐标，结合点M到准线l的距离为3列式求得p，则抛物线方程可求．
【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），
∴，可得．
又点M到准线l的距离为3，
∴，解得p＝2或p＝4．
则该抛物线的方程为y2＝4x或y2＝8x．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线标准方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
3．（5分）（2022 新高考卷模拟）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与1个正五边形组成，其中，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；对应思想；分析法；解三角形；数学运算．
【分析】在三角形ABC中，由sin18°值，可得，即，设△ABC的面积为x，由此可知△BCD和△CEF的面积均为的面积为x，由此即可求出结果．
【解答】解：如图所示，
依题意，在三角形ABC中，，故；
所以，
设△ABC的面积为x，则△BCD面积为x，同理△CEF的面积为
△CDE的面积为x，
则阴影部分面积与五角形面积的比值为．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中的计算，考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（5分）（2016秋 金华期中）已知正四棱台的高是12cm，两底面边长之差为10cm，表面积为512cm2，则下底面的边长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【考点】棱台的结构特征．
【专题】综合题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离．
【分析】设OE＝xcm，则上底面边长为2xcm，下底面边长为（2x﹣10）cm，故O1E1＝（x﹣5）cm，结合棱台的全面积为512cm2，解方程可得棱台的上、下底面的边长．
【解答】解：设OE＝xcm，则下底面边长为2xcm，上底面边长为（2x﹣10）cm，故O1E1＝（x﹣5）cm，
则FE＝5cm，
又∵正四棱台高是12cm，
∴EE1＝13cm，
故正四棱台的全面积S8（x2+8x﹣20）＝512cm2．
解得：x＝6cm，
故正四棱台下底面边长为12cm，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是棱台的表面积，考查学生的计算能力，难度中档．
5．（5分）（2022 铁东区校级模拟）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作Y～N（μ，σ ）．当μ＝0，σ＝1的正态分布称为标准正态分布，如果令X，则可以证明X～N（0，1），即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果X～N（0，1）那么对任意的a，通常记Φ（a）＝P（X＜a），也就是说，Φ（a）表示N（0，1）对应的正态曲线与x轴在区间（﹣∞，a）内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，Φ（2）＝0.9772，那么成绩落在（88，112]的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：∵高三年级数学成绩平均分100，方差为36，
∴σ＝6，
∴，即﹣2＜X＜2，
∵Φ（2）＝0.9772，
∴P（X＜2）＝0.9772，
∴P（﹣2＜X＜2）＝1﹣2[（1﹣P（X＜2）]＝0.9544，
故成绩落在（88，112]的人数约为800×0.9544≈764．
故选：D．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
6．（5分）（2022 安徽模拟）已知a，b，c＝log43，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用构造函数的单调性判断a＜b，利用对数函数的单调性判断b＜c即可．
【解答】解：设f（x）＝xlnx，则f′（x）＝1+lnx，
当x∈（，+∞）时，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（0，）时，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x时，f（x）取得最小值，
∴f（）＞f（） lnln ，∴a＜b，
∵34＞43 log43，∴b＜c，
∴a＜b＜c，
故选：C．
【点评】本题考查三个数大小的比较，注意对数函数和构造函数单调性的应用，属于中档题．
7．（5分）（2022 宁河区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）＝f（x），y＝f（x+3）为偶函数，若f（x）在（0，3）内单调递减．则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，分析函数的周期性和对称性可得f（10）＝f（4）＝f（2），结合函数的单调性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+6）＝f（x），即f（x）是周期为6的周期函数，
又由y＝f（x+3）为偶函数，函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，
则f（10）＝f（4）＝f（2），
而ln2＜lne＝1，12，
又由f（x）在（0，3）内单调递减，则有f（2）＜f（）＜f（ln2），
故，
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性和对称性的应用，涉及函数的周期性，属于基础题．
8．（5分）（2022 金华模拟）已知数列{an}、{bn}、{cn}满足a1＝b1＝c1＝1，cn＝an+1﹣an，cn+2，Sn（n≥2），Tn（n≥3），则下列有可能成立的是（ ）
A．若{an}为等比数列，则a20222＞b2022
B．若{cn}为递增的等差数列，则S2022＜T2022
C．若{an}为等比数列，则a20222＜b2022
D．若{cn}为递增的等差数列，则S2022＞T2022
【考点】数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】对AC，先求a2，再由a1已知及{an}为等比数列确定an，接着求、bn，最后代值即可判断AC；
对BD，先由{cn}为递增的等差数列，引进公差d表示cn，再分别求an、bn，接着求Sn、Tn，最后代值即可判断BD．
【解答】解：∵a1＝b1＝c1＝1，cn＝an+1﹣an，∴a2＝c1+a1＝2．
对AC，若{an}为等比数列，则公比q2，∴，
∴，
又，又b1＝1，
∴，又，
∴，∴，∴选项AC都错误；
对BD，若{cn}为递增的等差数列，设公差为d，则d＞0，又c1＝1，
∴cn＝1+（n﹣1）d，又an+1﹣an＝cn
∴a2﹣a1＝c1，a3﹣a2＝c2，…，an﹣an﹣1＝cn﹣1，
累加得：，又a1＝1，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，，…，，累乘得：
，
∴，又c1＝1，
∴，
∴，
∴，
又d＞0，∴1+2022d＞1011d＞0，
∴，∴，
∴S2022＜T2022，故选项B正确，选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查等差、等比数列性质，由递推关系式求通项，累加法，累乘法，裂项求和法，属中档题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021 渝中区校级模拟）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据x1，x2，…，xn，方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，xn，的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．
【分析】根据样本数据的数字特征，对选项中的命题分析判断即可．
【解答】解：对于A，数据x1，x2，…，xn的方差为s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同，即x1＝x2＝ ＝xn，所以选项A正确；
对于B，数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为2×3+1＝7，所以选项B错误；
对于C，数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90，符合百分位数的定义，选项C正确；
对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了样本数据的数字特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）（2021 广东模拟）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是，（ ）
A． B．
C． D．
【考点】直线与平面垂直．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．
【分析】设定正方体的顶点如图，连接DB，AC，根据M，P分别为中点，判断出MP∥AC，由四边形ABCD为正方形，判断出AC⊥BD进而根据DD′⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，判断出DD′⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理推断出AC⊥平面DBB′，根据线面垂直的性质可知AC⊥DB′，利用线面垂直的判定定理推断出由MP∥AC，推断出DB′⊥MP，同理可证DB′⊥MP，DB′⊥NP，利用线面垂直的判定定理推断出DB′⊥平面MNP．C中由A中证明可知l⊥MP，根据MP∥AC，AC⊥l，推断出l⊥MP，进而根据线面垂直的判定定理推断出l⊥平面MNP，同理可证明D中l⊥平面MNP．
【解答】解：设定正方体的顶点如图，连接DB，AC，
∵M，P分别为中点，
∴MP∥AC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵BB′⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴BB′⊥AC，
∵BB′∩BD＝B，BB′ 平面DBB′，BD 平面DBB′，
∴AC⊥平面DBB′，
∵DB′ 平面DBB′，
∴AC⊥DB′，
∵MP∥AC，
∴DB′⊥MP，
同理可证DB′⊥MN，DB′⊥NP，
∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，
∴DB′⊥平面MNP，即l垂直于平面MNP，故A正确．
B中，l与MN不垂直，不成立；
C，由A中证明可知l⊥MP，
∵MP∥AC，
AC⊥l，
∴l⊥MP，
∴l⊥平面MNP，
D，由题意，如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则可得：（1，1，﹣1），
（1，，），
（，，1），
故可得： 0， 0，即l⊥NM，l⊥MP，
又MP∩MN＝M，
可得：l⊥平面MNP．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系基础知识，考查数学运算、逻辑思维等核心素养，是中档题．
（多选）11．（5分）（2022 莆田模拟）已知直线l：ax+by+1＝0（a＞0，b＞0）与圆C：x2+y2＝1相切，则下列说法正确的是（ ）
A．ab B．4
C．（）2 D．2
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】由直线与圆相切可得a2+b2＝1，结合基本不等式计算每个选项的范围，可判断正确性．
【解答】解：∵直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相切，
∴圆心O（0，0）到直线ax+by+1＝0的距离d1，即a2+b2＝1．∴1≥2ab，∴ab，故A错误；
4，故B正确；
（）2ab，故C正确；
22，故D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
（多选）12．（5分）（2021 沙坪坝区校级模拟）“0，1数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限0，1数列，f（A）表示把A中每个0都变为1，0，每个1都变为0，1，所得到的新的0，1数列，例如A（0，1，1，0）
，则f（A）＝（1，0，0，1，0，1，1，0）．设A1是一个有限0，1数列，定义Ak+1＝f（Ak），k＝1，2，3， ．则下列说法正确的是（ ）
A．若A3＝（1，0，0，1，1，0，0，1），则A1＝（0，0）
B．对任意有限0，1数列A1，An（n≥2，n∈N）中0和1的个数总相等
C．An+1中的0，0数对的个数总与An中的0，1数对的个数相等
D．若A1＝（0，0），则A2021中0，0数对的个数为
【考点】数列的应用．
【专题】阅读型；对应思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理．
【分析】根据新定义依次判断各个选项即可．
【解答】解：若A1＝（0，0），则A2＝（1，0，1，0），A3＝（0，1，1，0，0，1，1，0），A错误；
由f（A）的定义知，B正确；
因为An+1中的每一个0，0数对只能由An中的一个0，1数对变来，且An中的每一个0，1数对必生成一个An+1中的0，0数对，C正确；
记An中的0，0数对与0，1数对的个数分别为an，bn，由C选项知an+1＝bn．
又因为An中的每一个0，1数对只能由An﹣1中的一个1或者一个0，0数对变来，
且由B选项知，An﹣1中有2n﹣2个1，
从而．所以（n≥2），
故，D错误，
故选：BC．
【点评】本题属于新定义问题，解题时要通过阅读，理解所给出的新定义，并将其应用在解题中，此类问题主要考查学生的阅读理解和应用新知识的解决问题的能力，属于难题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 通州区一模）已知双曲线的一条渐近线方程是5x﹣2y＝0，则m＝ 5 ．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，求解m即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是5x﹣2y＝0，
可得，
所以m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
14．（5分）（2022 福建模拟）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 1﹣（）x（答案不唯一） ．
①定义域为R；
②值域为（﹣∞，1）；
③对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，均有．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】根据题意，结合指数函数的性质以及函数图象变换的规律分析可得答案．
【解答】解：根据题意，要求函数可以为指数函数的变形形式，
故满足题意的函数可以为f（x）＝1﹣（）x；
故答案为：1﹣（）x（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数的单调性
15．（5分）（2020 衡水模拟）已知向量，，满足||＝1，||＝||＝5，且 1，则 的取值范围是 [﹣7，7] ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】将已知条件中的等式变形为 1 （），两边平方，再结合平面向量数量积的运算，化简整理后可推出（ ）2+2 12 ，即（ ）2≤49，从而得解．
【解答】解：∵ 1，∴ 1 （），
∴（ 1）2＝[ （）]2≤（||||）2，
∴（ ）2+2 1≤||2||22 ，
∴（ ）2+1≤25+25，
∴（ ）2≤49，∴﹣7 7，
∴ 的取值范围为[﹣7，7]，
故答案为：[﹣7，7]．
【点评】本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
16．（5分）（2021 郊区校级三模）若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是 （0，2e] ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】分别设切点（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），求得导数和切线的方程，根据切线重合得到a的表达式a＝4x2﹣4x2lnx，利用导数求出该式的取值范围，进而得到a的取值范围．
【解答】解：设公切线与曲线y＝x2+1和y＝alnx+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），其中x2＞0，
对于y＝x2+1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2+1相切的切线方程为：y﹣（x12+1）＝2x1（x﹣x1），
即y＝2x1x﹣x12+1，
对于y＝alnx+1，y′，
所以与曲线y＝alnx+1相切的切线方程为y﹣（alnx2+1）（x﹣x2），即yx﹣a+1+alnx2，
所以，即有alnx2﹣a，
由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2lnx，
记f（x）＝4x2﹣4x2lnx（x＞0），f′（x）＝8x﹣4x﹣8xlnx＝4x（1﹣2lnx），
当x时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）上单调递增，当x时，f′（x）＜0，即f（x）在（，+∞）上单调递减，
所以f（x）max＝f（）＝2e，又x→0时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，
所以0＜a≤2e．
故答案为：（0，2e]．
【点评】本题考查导数的运用：求函数的切线方程和单调性、求函数的最值，考查方程思想和运算能力，是中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 景德镇模拟）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使得恒成立的m的最小值．
【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）设等差数列公差d，由已知条件求出公差d即可得其通项公式：
（2）采用裂项相消的方法求得Tn，求出Tn的最大值即可．
【解答】解：（1）在等差数列{an}中，设公差为d，则d≠0，
由已知得，
∴，
解得，∴an＝2n﹣1；
（2）由（1）知，an＝2n﹣1，
则，
∴，
∵，
∴要使恒成立，只需，解得m≥2，
∴m的最小值为2．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，裂项相消法求和问题，属于中档题．
18．（12分）（2022 胶州市一模）如图，在四边形ABCD中，△BCD为锐角三角形，CD＝4，sin∠DBC，cos∠BDC．
（1）求BC；
（2）若AB＝m，AC＝BC，是否存在正整数m，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由cos∠BDC得sin∠BDC，结合正弦定理求解即可；
（2）可判断若△ABC为钝角三角形，则∠ABC为钝角，可得m2+（2）2﹣（2）2＜0，解不等式，再确定m的值即可．
【解答】解：（1）∵cos∠BDC，
∴sin∠BDC，
在△BCD中，
，
即，
解得BC＝2；
（2）存在，理由如下：
AC＝BC2，
若△ABC为钝角三角形，
则∠ABC为钝角，
则m2+（2）2﹣（2）2＜0，
解得0＜m，
故m＝1或m＝2．
【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题．
19．（12分）（2022 绵阳模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，已知AD∥BC，∠BAD＝120°，AB＝BC＝PA＝2AD＝2，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：PB⊥平面PCD；
（2）求二面角B﹣PA﹣D的平面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）取M为BC的中点，连接PM、AM，先证AM⊥BC、PM⊥MA，然后再证明AM∥CD，从而证明CD⊥平面PBC，找到CD⊥PB，再根据PC⊥PB，即可证明PB⊥平面PCD．
（2）以M为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别表示出对应点的坐标，然后计算平面PBA、平面PAD的法向量，通过计算两个法向量夹角的余弦值来确定二面角B﹣PA﹣D的平面角的余弦值．
【解答】（1）证明：
设点M为BC的中点，连接PM、AM，
因为△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，所以PM⊥BC，
因为BC＝2，所以PM＝1，因为∠BAD＝120°，AD∥BC，所以∠ABC＝60°，
在△ABM中，AB＝2BM＝2，可知，且AM⊥BC，
又因为AD∥MC，且AD＝MC＝1，所以四边形ADCM为平行四边形，
所以AM∥CD，
在△PAM中，PA2＝AM2+PM2，所以PM⊥MA，即PM⊥CD，
又因为CD⊥BC，PM BC＝M，PM，BC 平面PBC，所以CD⊥平面PBC，
因为PB 平面PBC，所以CD⊥PB，又因为PC⊥PB，PC CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以PB⊥平面PCD．
（2）解：以M为坐标原点，分别以MA，MC，MP为x轴，y轴，z轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示，空间直角坐标系M﹣xyz，
由题意得：M（0，0，0），，P（0，0，1），B（0，﹣1，0），，
所以，，
设平面PBA的一个法向量为，
得，不妨设，则，
同理可得平面PAD的一个法向量为，
所以．
由图可知，所求的二面角平面角为钝角，
所以二面角B﹣PA﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题主要考查线面垂直的证明，二面角的相关计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
20．（12分）（2022 景德镇模拟）已知椭圆经过两点，．
（1）求椭圆C的方程：
（2）A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为圆x2+y2＝4上的动点（P不在坐标轴上），PA与PB分别与椭圆C交E、F两点，直线EF交x轴于H点，请问点P的横坐标与点H的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）将两点代入椭圆方程解方程求出a，b的值，确定椭圆方程．
（2）设PA与PB直线与椭圆联立，求出E、F两点的坐标表达式，写出直线EF方程，求出与x轴的交点H点的坐标，联立两条直线求出P点的坐标，计算乘积判断是否为定值．
【解答】解：（1）将M，N点坐标代入椭圆方程得：，解得：，
所以椭圆方程为．
（2）根据圆方程为x2+y2＝4可知，AB为圆的直径，点P在圆上，所以PA⊥PB，
设直线PA方程为：y＝k（x+2），k≠0，联立，
得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，由于二次方程的判别式为正，所以，所以，
代入直线得：；同理设直线PB方程为：，
联立得，
则，
所以，，
所以，直线EF的方程为：，
令y＝0得：，
联立直线PA，PB，得：，
所以，所以点P的横坐标与点H的横坐标之积为定值，定值为4．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定值问题等知识，属于中等题．
21．（12分）（2022 江西模拟）2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行．北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2：1，按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个．
（1）若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概率．
（2）设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为，记同学甲获得“优秀学员”的次数为X，试求X的分布列及其数学期望E（X），并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解．
（2）由题可知X所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题可知，抽取的9名大学生中，6名男生，3名女生，
则选出的3名学生中至少有一名女生的概率P＝1．
（2）由题可知X所有可能取值为0，1，2，3，4，
，P（X＝1），，，，
所以X的分布列：
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝np＝42，即能获得吉祥物．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
22．（12分）（2021 诸暨市校级模拟）已知函数f（x）＝ax﹣bx+b，a＞0，b∈R．
（Ⅰ）当a＝2，b＝1时，求函数f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）若a＝e且f（x）≥0恒成立，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a＝e时，记x1，x2（其中x1＜x2）为f（x）在（0，+∞）上的两个零点，证明：．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明．
【专题】数形结合；分类讨论；分析法；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）当a＝2，b＝1时，f（x）＝2x﹣x+1，f（0）＝2，f′（x）＝2xln2﹣1，可得f′（0），利用点斜式即可得出切线方程．
（Ⅱ）f（x）＝ex﹣bx+b，f′（x）＝ex﹣b，对b分类讨论，即可得出函数f（x）的单调性，根据f（x）≥0恒成立，则f（x）min≥0，即可得出b的取值范围．
（Ⅲ）当a＝e时，令f（x）＝ex﹣bx+b＝0，解得b（x＞0，且x≠0）．令g（x）（x＞0，且x≠1），g′（x），可得函数g（x）在（0，+∞）上单调性，画出图象可得：1＜x1＜2＜x2．先证明：x1，x1∈（1，2） b（x1﹣1）＞ex1，x1∈（1，2） ex1，x1∈（1，2）．令h（x）＝ex﹣ex，x∈（1，2），利用导数研究函数h（x）在x∈（1，2）上单调性，即可证明结论．再证明：x11在x1∈（1，2）上成立 lnb在x1∈（1，2）上成立．由b（x1﹣1），可得lnb＝x1﹣ln（x1﹣1），只需要证明x1﹣ln（x1﹣1）成立，即lnx1．令u（x）＝lnx﹣x+1，x∈（1，+∞），可得lnx＜x﹣1．ln1．只要证明1x1即可．
【解答】解：（1）当a＝2，b＝1时，f（x）＝2x﹣x+1，f（0）＝2，
f′（x）＝2xln2﹣1，∴f′（0）＝ln2﹣1，
∴函数f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣2＝（ln2﹣1）x，即（ln2﹣1）x﹣y+2＝0．
（Ⅱ）若a＝e，则f（x）＝ex﹣bx+b，
f′（x）＝ex﹣b，
b＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增，x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，不符合题意，舍去．
b＝0时，f（x）＝ex＞0，满足题意．
b＞0，令f′（x）＝ex﹣b＝0，解得x＝lnb，
x∈（﹣∞，lnb）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（lnb，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴x＝lnb时函数f（x）取得极小值，令f（lnb）＝b﹣blnb+b≥0，化为lnb≤2，解得0＜b≤e2．
∴b的取值范围为[0，e2]．
（Ⅲ）证明：当a＝e时，令f（x）＝ex﹣bx+b＝0，解得b（x＞0，且x≠0）．
令g（x）（x＞0，且x≠1），g′（x），
可得函数g（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
x＝2时，函数g（x）取得极小值，g（2）＝e2．
画出图象可得：1＜x1＜2＜x2．
先证明：x1，x1∈（1，2） b（x1﹣1）＞ex1，x1∈（1，2） ex1，x1∈（1，2）．
令h（x）＝ex﹣ex，x∈（1，2），h′（x）＝ex﹣e＞0，∴函数h（x）在x∈（1，2）上单调递增，∴h（x）＞h（1）＝0，即ex﹣ex＞0，x∈（1，2），
因此x1在x1∈（1，2）上成立．
再证明：x11在x1∈（1，2）上成立 lnb在x1∈（1，2）上成立．
∵b（x1﹣1），∴lnb＝x1﹣ln（x1﹣1），只需要证明x1﹣ln（x1﹣1）成立，即lnx1．
令u（x）＝lnx﹣x+1，x∈（1，+∞），u′（x）1＜0，函数u（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，
∴u（x）＜u（1）＝0，即lnx＜x﹣1．
∵1，∴ln1．
∵1＜x1＜2，∴1，∴1x1．
∴lnx1．
∴x11在x1∈（1，2）上成立．
综上可得：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分析与综合法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
考点卡片
1．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）f（﹣x） a＝1
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
2．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1） f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
3．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
4．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
5．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
6．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
7．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
8．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
9．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
10．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
11．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R b＝0（a，b∈R）；②z∈R z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z0且z≠0．
12．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
13．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
14．离散型随机变量及其分布列
【考点归纳】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
15．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
16．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的知识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【典型例题分析】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x），则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．
典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（ ）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.50.682 6＝0.1587．故选B．
题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．
典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．
题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝ ．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．
题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有 辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．
典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
17．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
18．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
19．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
20．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上
焦点 （，0） （0，）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线 x y
21．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
22．直线与椭圆的综合
v．
23．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
24．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
25．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
26．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b a﹣b＞0；a＜b a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，1 a＞b；b＜0，1 a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 榆林三模）若复数（3+2i）（1﹣ai）在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．（，） B．（﹣∞，） C．（，） D．（﹣∞，）
2．（5分）（2018 福州二模）已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x
3．（5分）（2022 新高考卷模拟）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与1个正五边形组成，其中，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2016秋 金华期中）已知正四棱台的高是12cm，两底面边长之差为10cm，表面积为512cm2，则下底面的边长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．（5分）（2022 铁东区校级模拟）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作Y～N（μ，σ ）．当μ＝0，σ＝1的正态分布称为标准正态分布，如果令X，则可以证明X～N（0，1），即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果X～N（0，1）那么对任意的a，通常记Φ（a）＝P（X＜a），也就是说，Φ（a）表示N（0，1）对应的正态曲线与x轴在区间（﹣∞，a）内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，Φ（2）＝0.9772，那么成绩落在（88，112]的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
6．（5分）（2022 安徽模拟）已知a，b，c＝log43，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
7．（5分）（2022 宁河区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）＝f（x），y＝f（x+3）为偶函数，若f（x）在（0，3）内单调递减．则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）（2022 金华模拟）已知数列{an}、{bn}、{cn}满足a1＝b1＝c1＝1，cn＝an+1﹣an，cn+2，Sn（n≥2），Tn（n≥3），则下列有可能成立的是（ ）
A．若{an}为等比数列，则a20222＞b2022
B．若{cn}为递增的等差数列，则S2022＜T2022
C．若{an}为等比数列，则a20222＜b2022
D．若{cn}为递增的等差数列，则S2022＞T2022
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021 渝中区校级模拟）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据x1，x2，…，xn，方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，xn，的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
（多选）10．（5分）（2021 广东模拟）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是，（ ）
A． B．
C． D．
（多选）11．（5分）（2022 莆田模拟）已知直线l：ax+by+1＝0（a＞0，b＞0）与圆C：x2+y2＝1相切，则下列说法正确的是（ ）
A．ab B．4
C．（）2 D．2
（多选）12．（5分）（2021 沙坪坝区校级模拟）“0，1数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限0，1数列，f（A）表示把A中每个0都变为1，0，每个1都变为0，1，所得到的新的0，1数列，例如A（0，1，1，0）
，则f（A）＝（1，0，0，1，0，1，1，0）．设A1是一个有限0，1数列，定义Ak+1＝f（Ak），k＝1，2，3， ．则下列说法正确的是（ ）
A．若A3＝（1，0，0，1，1，0，0，1），则A1＝（0，0）
B．对任意有限0，1数列A1，An（n≥2，n∈N）中0和1的个数总相等
C．An+1中的0，0数对的个数总与An中的0，1数对的个数相等
D．若A1＝（0，0），则A2021中0，0数对的个数为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 通州区一模）已知双曲线的一条渐近线方程是5x﹣2y＝0，则m＝ ．
14．（5分）（2022 福建模拟）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①定义域为R；
②值域为（﹣∞，1）；
③对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，均有．
15．（5分）（2020 衡水模拟）已知向量，，满足||＝1，||＝||＝5，且 1，则 的取值范围是 ．
16．（5分）（2021 郊区校级三模）若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 景德镇模拟）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使得恒成立的m的最小值．
18．（12分）（2022 胶州市一模）如图，在四边形ABCD中，△BCD为锐角三角形，CD＝4，sin∠DBC，cos∠BDC．
（1）求BC；
（2）若AB＝m，AC＝BC，是否存在正整数m，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
19．（12分）（2022 绵阳模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，已知AD∥BC，∠BAD＝120°，AB＝BC＝PA＝2AD＝2，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：PB⊥平面PCD；
（2）求二面角B﹣PA﹣D的平面角的余弦值．
20．（12分）（2022 景德镇模拟）已知椭圆经过两点，．
（1）求椭圆C的方程：
（2）A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为圆x2+y2＝4上的动点（P不在坐标轴上），PA与PB分别与椭圆C交E、F两点，直线EF交x轴于H点，请问点P的横坐标与点H的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
21．（12分）（2022 江西模拟）2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行．北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2：1，按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个．
（1）若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概率．
（2）设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为，记同学甲获得“优秀学员”的次数为X，试求X的分布列及其数学期望E（X），并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？
22．（12分）（2021 诸暨市校级模拟）已知函数f（x）＝ax﹣bx+b，a＞0，b∈R．
（Ⅰ）当a＝2，b＝1时，求函数f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）若a＝e且f（x）≥0恒成立，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a＝e时，记x1，x2（其中x1＜x2）为f（x）在（0，+∞）上的两个零点，证明：．
2022年高考数学终极押题密卷3 (新高考Ⅱ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 榆林三模）若复数（3+2i）（1﹣ai）在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．（，） B．（﹣∞，） C．（，） D．（﹣∞，）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：复数（3+2i）（1﹣ai）＝3+2a+（2﹣3a）i在复平面内对应的点（3+2a，2﹣3a）位于第一象限，
则，解得，
故实数a的取值范围为（）．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．（5分）（2018 福州二模）已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】把M的坐标代入抛物线方程可得M的横坐标，结合点M到准线l的距离为3列式求得p，则抛物线方程可求．
【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），
∴，可得．
又点M到准线l的距离为3，
∴，解得p＝2或p＝4．
则该抛物线的方程为y2＝4x或y2＝8x．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线标准方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
3．（5分）（2022 新高考卷模拟）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与1个正五边形组成，其中，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；对应思想；分析法；解三角形；数学运算．
【分析】在三角形ABC中，由sin18°值，可得，即，设△ABC的面积为x，由此可知△BCD和△CEF的面积均为的面积为x，由此即可求出结果．
【解答】解：如图所示，
依题意，在三角形ABC中，，故；
所以，
设△ABC的面积为x，则△BCD面积为x，同理△CEF的面积为
△CDE的面积为x，
则阴影部分面积与五角形面积的比值为．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中的计算，考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（5分）（2016秋 金华期中）已知正四棱台的高是12cm，两底面边长之差为10cm，表面积为512cm2，则下底面的边长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【考点】棱台的结构特征．
【专题】综合题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离．
【分析】设OE＝xcm，则上底面边长为2xcm，下底面边长为（2x﹣10）cm，故O1E1＝（x﹣5）cm，结合棱台的全面积为512cm2，解方程可得棱台的上、下底面的边长．
【解答】解：设OE＝xcm，则下底面边长为2xcm，上底面边长为（2x﹣10）cm，故O1E1＝（x﹣5）cm，
则FE＝5cm，
又∵正四棱台高是12cm，
∴EE1＝13cm，
故正四棱台的全面积S8（x2+8x﹣20）＝512cm2．
解得：x＝6cm，
故正四棱台下底面边长为12cm，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是棱台的表面积，考查学生的计算能力，难度中档．
5．（5分）（2022 铁东区校级模拟）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作Y～N（μ，σ ）．当μ＝0，σ＝1的正态分布称为标准正态分布，如果令X，则可以证明X～N（0，1），即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果X～N（0，1）那么对任意的a，通常记Φ（a）＝P（X＜a），也就是说，Φ（a）表示N（0，1）对应的正态曲线与x轴在区间（﹣∞，a）内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，Φ（2）＝0.9772，那么成绩落在（88，112]的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：∵高三年级数学成绩平均分100，方差为36，
∴σ＝6，
∴，即﹣2＜X＜2，
∵Φ（2）＝0.9772，
∴P（X＜2）＝0.9772，
∴P（﹣2＜X＜2）＝1﹣2[（1﹣P（X＜2）]＝0.9544，
故成绩落在（88，112]的人数约为800×0.9544≈764．
故选：D．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
6．（5分）（2022 安徽模拟）已知a，b，c＝log43，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用构造函数的单调性判断a＜b，利用对数函数的单调性判断b＜c即可．
【解答】解：设f（x）＝xlnx，则f′（x）＝1+lnx，
当x∈（，+∞）时，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（0，）时，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x时，f（x）取得最小值，
∴f（）＞f（） lnln ，∴a＜b，
∵34＞43 log43，∴b＜c，
∴a＜b＜c，
故选：C．
【点评】本题考查三个数大小的比较，注意对数函数和构造函数单调性的应用，属于中档题．
7．（5分）（2022 宁河区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）＝f（x），y＝f（x+3）为偶函数，若f（x）在（0，3）内单调递减．则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，分析函数的周期性和对称性可得f（10）＝f（4）＝f（2），结合函数的单调性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+6）＝f（x），即f（x）是周期为6的周期函数，
又由y＝f（x+3）为偶函数，函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，
则f（10）＝f（4）＝f（2），
而ln2＜lne＝1，12，
又由f（x）在（0，3）内单调递减，则有f（2）＜f（）＜f（ln2），
故，
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性和对称性的应用，涉及函数的周期性，属于基础题．
8．（5分）（2022 金华模拟）已知数列{an}、{bn}、{cn}满足a1＝b1＝c1＝1，cn＝an+1﹣an，cn+2，Sn（n≥2），Tn（n≥3），则下列有可能成立的是（ ）
A．若{an}为等比数列，则a20222＞b2022
B．若{cn}为递增的等差数列，则S2022＜T2022
C．若{an}为等比数列，则a20222＜b2022
D．若{cn}为递增的等差数列，则S2022＞T2022
【考点】数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】对AC，先求a2，再由a1已知及{an}为等比数列确定an，接着求、bn，最后代值即可判断AC；
对BD，先由{cn}为递增的等差数列，引进公差d表示cn，再分别求an、bn，接着求Sn、Tn，最后代值即可判断BD．
【解答】解：∵a1＝b1＝c1＝1，cn＝an+1﹣an，∴a2＝c1+a1＝2．
对AC，若{an}为等比数列，则公比q2，∴，
∴，
又，又b1＝1，
∴，又，
∴，∴，∴选项AC都错误；
对BD，若{cn}为递增的等差数列，设公差为d，则d＞0，又c1＝1，
∴cn＝1+（n﹣1）d，又an+1﹣an＝cn
∴a2﹣a1＝c1，a3﹣a2＝c2，…，an﹣an﹣1＝cn﹣1，
累加得：，又a1＝1，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，，…，，累乘得：
，
∴，又c1＝1，
∴，
∴，
∴，
又d＞0，∴1+2022d＞1011d＞0，
∴，∴，
∴S2022＜T2022，故选项B正确，选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查等差、等比数列性质，由递推关系式求通项，累加法，累乘法，裂项求和法，属中档题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021 渝中区校级模拟）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据x1，x2，…，xn，方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，xn，的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．
【分析】根据样本数据的数字特征，对选项中的命题分析判断即可．
【解答】解：对于A，数据x1，x2，…，xn的方差为s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同，即x1＝x2＝ ＝xn，所以选项A正确；
对于B，数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为2×3+1＝7，所以选项B错误；
对于C，数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90，符合百分位数的定义，选项C正确；
对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了样本数据的数字特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）（2021 广东模拟）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是，（ ）
A． B．
C． D．
【考点】直线与平面垂直．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．
【分析】设定正方体的顶点如图，连接DB，AC，根据M，P分别为中点，判断出MP∥AC，由四边形ABCD为正方形，判断出AC⊥BD进而根据DD′⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，判断出DD′⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理推断出AC⊥平面DBB′，根据线面垂直的性质可知AC⊥DB′，利用线面垂直的判定定理推断出由MP∥AC，推断出DB′⊥MP，同理可证DB′⊥MP，DB′⊥NP，利用线面垂直的判定定理推断出DB′⊥平面MNP．C中由A中证明可知l⊥MP，根据MP∥AC，AC⊥l，推断出l⊥MP，进而根据线面垂直的判定定理推断出l⊥平面MNP，同理可证明D中l⊥平面MNP．
【解答】解：设定正方体的顶点如图，连接DB，AC，
∵M，P分别为中点，
∴MP∥AC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵BB′⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴BB′⊥AC，
∵BB′∩BD＝B，BB′ 平面DBB′，BD 平面DBB′，
∴AC⊥平面DBB′，
∵DB′ 平面DBB′，
∴AC⊥DB′，
∵MP∥AC，
∴DB′⊥MP，
同理可证DB′⊥MN，DB′⊥NP，
∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，
∴DB′⊥平面MNP，即l垂直于平面MNP，故A正确．
B中，l与MN不垂直，不成立；
C，由A中证明可知l⊥MP，
∵MP∥AC，
AC⊥l，
∴l⊥MP，
∴l⊥平面MNP，
D，由题意，如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则可得：（1，1，﹣1），
（1，，），
（，，1），
故可得： 0， 0，即l⊥NM，l⊥MP，
又MP∩MN＝M，
可得：l⊥平面MNP．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系基础知识，考查数学运算、逻辑思维等核心素养，是中档题．
（多选）11．（5分）（2022 莆田模拟）已知直线l：ax+by+1＝0（a＞0，b＞0）与圆C：x2+y2＝1相切，则下列说法正确的是（ ）
A．ab B．4
C．（）2 D．2
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】由直线与圆相切可得a2+b2＝1，结合基本不等式计算每个选项的范围，可判断正确性．
【解答】解：∵直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相切，
∴圆心O（0，0）到直线ax+by+1＝0的距离d1，即a2+b2＝1．∴1≥2ab，∴ab，故A错误；
4，故B正确；
（）2ab，故C正确；
22，故D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
（多选）12．（5分）（2021 沙坪坝区校级模拟）“0，1数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限0，1数列，f（A）表示把A中每个0都变为1，0，每个1都变为0，1，所得到的新的0，1数列，例如A（0，1，1，0）
，则f（A）＝（1，0，0，1，0，1，1，0）．设A1是一个有限0，1数列，定义Ak+1＝f（Ak），k＝1，2，3， ．则下列说法正确的是（ ）
A．若A3＝（1，0，0，1，1，0，0，1），则A1＝（0，0）
B．对任意有限0，1数列A1，An（n≥2，n∈N）中0和1的个数总相等
C．An+1中的0，0数对的个数总与An中的0，1数对的个数相等
D．若A1＝（0，0），则A2021中0，0数对的个数为
【考点】数列的应用．
【专题】阅读型；对应思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理．
【分析】根据新定义依次判断各个选项即可．
【解答】解：若A1＝（0，0），则A2＝（1，0，1，0），A3＝（0，1，1，0，0，1，1，0），A错误；
由f（A）的定义知，B正确；
因为An+1中的每一个0，0数对只能由An中的一个0，1数对变来，且An中的每一个0，1数对必生成一个An+1中的0，0数对，C正确；
记An中的0，0数对与0，1数对的个数分别为an，bn，由C选项知an+1＝bn．
又因为An中的每一个0，1数对只能由An﹣1中的一个1或者一个0，0数对变来，
且由B选项知，An﹣1中有2n﹣2个1，
从而．所以（n≥2），
故，D错误，
故选：BC．
【点评】本题属于新定义问题，解题时要通过阅读，理解所给出的新定义，并将其应用在解题中，此类问题主要考查学生的阅读理解和应用新知识的解决问题的能力，属于难题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 通州区一模）已知双曲线的一条渐近线方程是5x﹣2y＝0，则m＝ 5 ．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，求解m即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是5x﹣2y＝0，
可得，
所以m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
14．（5分）（2022 福建模拟）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 1﹣（）x（答案不唯一） ．
①定义域为R；
②值域为（﹣∞，1）；
③对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，均有．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】根据题意，结合指数函数的性质以及函数图象变换的规律分析可得答案．
【解答】解：根据题意，要求函数可以为指数函数的变形形式，
故满足题意的函数可以为f（x）＝1﹣（）x；
故答案为：1﹣（）x（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数的单调性
15．（5分）（2020 衡水模拟）已知向量，，满足||＝1，||＝||＝5，且 1，则 的取值范围是 [﹣7，7] ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】将已知条件中的等式变形为 1 （），两边平方，再结合平面向量数量积的运算，化简整理后可推出（ ）2+2 12 ，即（ ）2≤49，从而得解．
【解答】解：∵ 1，∴ 1 （），
∴（ 1）2＝[ （）]2≤（||||）2，
∴（ ）2+2 1≤||2||22 ，
∴（ ）2+1≤25+25，
∴（ ）2≤49，∴﹣7 7，
∴ 的取值范围为[﹣7，7]，
故答案为：[﹣7，7]．
【点评】本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
16．（5分）（2021 郊区校级三模）若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是 （0，2e] ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】分别设切点（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），求得导数和切线的方程，根据切线重合得到a的表达式a＝4x2﹣4x2lnx，利用导数求出该式的取值范围，进而得到a的取值范围．
【解答】解：设公切线与曲线y＝x2+1和y＝alnx+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），其中x2＞0，
对于y＝x2+1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2+1相切的切线方程为：y﹣（x12+1）＝2x1（x﹣x1），
即y＝2x1x﹣x12+1，
对于y＝alnx+1，y′，
所以与曲线y＝alnx+1相切的切线方程为y﹣（alnx2+1）（x﹣x2），即yx﹣a+1+alnx2，
所以，即有alnx2﹣a，
由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2lnx，
记f（x）＝4x2﹣4x2lnx（x＞0），f′（x）＝8x﹣4x﹣8xlnx＝4x（1﹣2lnx），
当x时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）上单调递增，当x时，f′（x）＜0，即f（x）在（，+∞）上单调递减，
所以f（x）max＝f（）＝2e，又x→0时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，
所以0＜a≤2e．
故答案为：（0，2e]．
【点评】本题考查导数的运用：求函数的切线方程和单调性、求函数的最值，考查方程思想和运算能力，是中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 景德镇模拟）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使得恒成立的m的最小值．
【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）设等差数列公差d，由已知条件求出公差d即可得其通项公式：
（2）采用裂项相消的方法求得Tn，求出Tn的最大值即可．
【解答】解：（1）在等差数列{an}中，设公差为d，则d≠0，
由已知得，
∴，
解得，∴an＝2n﹣1；
（2）由（1）知，an＝2n﹣1，
则，
∴，
∵，
∴要使恒成立，只需，解得m≥2，
∴m的最小值为2．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，裂项相消法求和问题，属于中档题．
18．（12分）（2022 胶州市一模）如图，在四边形ABCD中，△BCD为锐角三角形，CD＝4，sin∠DBC，cos∠BDC．
（1）求BC；
（2）若AB＝m，AC＝BC，是否存在正整数m，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由cos∠BDC得sin∠BDC，结合正弦定理求解即可；
（2）可判断若△ABC为钝角三角形，则∠ABC为钝角，可得m2+（2）2﹣（2）2＜0，解不等式，再确定m的值即可．
【解答】解：（1）∵cos∠BDC，
∴sin∠BDC，
在△BCD中，
，
即，
解得BC＝2；
（2）存在，理由如下：
AC＝BC2，
若△ABC为钝角三角形，
则∠ABC为钝角，
则m2+（2）2﹣（2）2＜0，
解得0＜m，
故m＝1或m＝2．
【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题．
19．（12分）（2022 绵阳模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，已知AD∥BC，∠BAD＝120°，AB＝BC＝PA＝2AD＝2，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：PB⊥平面PCD；
（2）求二面角B﹣PA﹣D的平面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）取M为BC的中点，连接PM、AM，先证AM⊥BC、PM⊥MA，然后再证明AM∥CD，从而证明CD⊥平面PBC，找到CD⊥PB，再根据PC⊥PB，即可证明PB⊥平面PCD．
（2）以M为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别表示出对应点的坐标，然后计算平面PBA、平面PAD的法向量，通过计算两个法向量夹角的余弦值来确定二面角B﹣PA﹣D的平面角的余弦值．
【解答】（1）证明：
设点M为BC的中点，连接PM、AM，
因为△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，所以PM⊥BC，
因为BC＝2，所以PM＝1，因为∠BAD＝120°，AD∥BC，所以∠ABC＝60°，
在△ABM中，AB＝2BM＝2，可知，且AM⊥BC，
又因为AD∥MC，且AD＝MC＝1，所以四边形ADCM为平行四边形，
所以AM∥CD，
在△PAM中，PA2＝AM2+PM2，所以PM⊥MA，即PM⊥CD，
又因为CD⊥BC，PM BC＝M，PM，BC 平面PBC，所以CD⊥平面PBC，
因为PB 平面PBC，所以CD⊥PB，又因为PC⊥PB，PC CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以PB⊥平面PCD．
（2）解：以M为坐标原点，分别以MA，MC，MP为x轴，y轴，z轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示，空间直角坐标系M﹣xyz，
由题意得：M（0，0，0），，P（0，0，1），B（0，﹣1，0），，
所以，，
设平面PBA的一个法向量为，
得，不妨设，则，
同理可得平面PAD的一个法向量为，
所以．
由图可知，所求的二面角平面角为钝角，
所以二面角B﹣PA﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题主要考查线面垂直的证明，二面角的相关计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
20．（12分）（2022 景德镇模拟）已知椭圆经过两点，．
（1）求椭圆C的方程：
（2）A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为圆x2+y2＝4上的动点（P不在坐标轴上），PA与PB分别与椭圆C交E、F两点，直线EF交x轴于H点，请问点P的横坐标与点H的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）将两点代入椭圆方程解方程求出a，b的值，确定椭圆方程．
（2）设PA与PB直线与椭圆联立，求出E、F两点的坐标表达式，写出直线EF方程，求出与x轴的交点H点的坐标，联立两条直线求出P点的坐标，计算乘积判断是否为定值．
【解答】解：（1）将M，N点坐标代入椭圆方程得：，解得：，
所以椭圆方程为．
（2）根据圆方程为x2+y2＝4可知，AB为圆的直径，点P在圆上，所以PA⊥PB，
设直线PA方程为：y＝k（x+2），k≠0，联立，
得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，由于二次方程的判别式为正，所以，所以，
代入直线得：；同理设直线PB方程为：，
联立得，
则，
所以，，
所以，直线EF的方程为：，
令y＝0得：，
联立直线PA，PB，得：，
所以，所以点P的横坐标与点H的横坐标之积为定值，定值为4．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定值问题等知识，属于中等题．
21．（12分）（2022 江西模拟）2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行．北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2：1，按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个．
（1）若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概率．
（2）设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为，记同学甲获得“优秀学员”的次数为X，试求X的分布列及其数学期望E（X），并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解．
（2）由题可知X所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题可知，抽取的9名大学生中，6名男生，3名女生，
则选出的3名学生中至少有一名女生的概率P＝1．
（2）由题可知X所有可能取值为0，1，2，3，4，
，P（X＝1），，，，
所以X的分布列：
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝np＝42，即能获得吉祥物．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
22．（12分）（2021 诸暨市校级模拟）已知函数f（x）＝ax﹣bx+b，a＞0，b∈R．
（Ⅰ）当a＝2，b＝1时，求函数f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）若a＝e且f（x）≥0恒成立，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a＝e时，记x1，x2（其中x1＜x2）为f（x）在（0，+∞）上的两个零点，证明：．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明．
【专题】数形结合；分类讨论；分析法；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）当a＝2，b＝1时，f（x）＝2x﹣x+1，f（0）＝2，f′（x）＝2xln2﹣1，可得f′（0），利用点斜式即可得出切线方程．
（Ⅱ）f（x）＝ex﹣bx+b，f′（x）＝ex﹣b，对b分类讨论，即可得出函数f（x）的单调性，根据f（x）≥0恒成立，则f（x）min≥0，即可得出b的取值范围．
（Ⅲ）当a＝e时，令f（x）＝ex﹣bx+b＝0，解得b（x＞0，且x≠0）．令g（x）（x＞0，且x≠1），g′（x），可得函数g（x）在（0，+∞）上单调性，画出图象可得：1＜x1＜2＜x2．先证明：x1，x1∈（1，2） b（x1﹣1）＞ex1，x1∈（1，2） ex1，x1∈（1，2）．令h（x）＝ex﹣ex，x∈（1，2），利用导数研究函数h（x）在x∈（1，2）上单调性，即可证明结论．再证明：x11在x1∈（1，2）上成立 lnb在x1∈（1，2）上成立．由b（x1﹣1），可得lnb＝x1﹣ln（x1﹣1），只需要证明x1﹣ln（x1﹣1）成立，即lnx1．令u（x）＝lnx﹣x+1，x∈（1，+∞），可得lnx＜x﹣1．ln1．只要证明1x1即可．
【解答】解：（1）当a＝2，b＝1时，f（x）＝2x﹣x+1，f（0）＝2，
f′（x）＝2xln2﹣1，∴f′（0）＝ln2﹣1，
∴函数f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣2＝（ln2﹣1）x，即（ln2﹣1）x﹣y+2＝0．
（Ⅱ）若a＝e，则f（x）＝ex﹣bx+b，
f′（x）＝ex﹣b，
b＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增，x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，不符合题意，舍去．
b＝0时，f（x）＝ex＞0，满足题意．
b＞0，令f′（x）＝ex﹣b＝0，解得x＝lnb，
x∈（﹣∞，lnb）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（lnb，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴x＝lnb时函数f（x）取得极小值，令f（lnb）＝b﹣blnb+b≥0，化为lnb≤2，解得0＜b≤e2．
∴b的取值范围为[0，e2]．
（Ⅲ）证明：当a＝e时，令f（x）＝ex﹣bx+b＝0，解得b（x＞0，且x≠0）．
令g（x）（x＞0，且x≠1），g′（x），
可得函数g（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
x＝2时，函数g（x）取得极小值，g（2）＝e2．
画出图象可得：1＜x1＜2＜x2．
先证明：x1，x1∈（1，2） b（x1﹣1）＞ex1，x1∈（1，2） ex1，x1∈（1，2）．
令h（x）＝ex﹣ex，x∈（1，2），h′（x）＝ex﹣e＞0，∴函数h（x）在x∈（1，2）上单调递增，∴h（x）＞h（1）＝0，即ex﹣ex＞0，x∈（1，2），
因此x1在x1∈（1，2）上成立．
再证明：x11在x1∈（1，2）上成立 lnb在x1∈（1，2）上成立．
∵b（x1﹣1），∴lnb＝x1﹣ln（x1﹣1），只需要证明x1﹣ln（x1﹣1）成立，即lnx1．
令u（x）＝lnx﹣x+1，x∈（1，+∞），u′（x）1＜0，函数u（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，
∴u（x）＜u（1）＝0，即lnx＜x﹣1．
∵1，∴ln1．
∵1＜x1＜2，∴1，∴1x1．
∴lnx1．
∴x11在x1∈（1，2）上成立．
综上可得：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分析与综合法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
考点卡片
1．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）f（﹣x） a＝1
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
2．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1） f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
3．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
4．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
5．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
6．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
7．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
8．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
9．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
10．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
11．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R b＝0（a，b∈R）；②z∈R z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z0且z≠0．
12．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
13．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
14．离散型随机变量及其分布列
【考点归纳】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
15．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
16．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的知识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【典型例题分析】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x），则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．
典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（ ）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.50.682 6＝0.1587．故选B．
题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．
典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．
题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝ ．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．
题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有 辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．
典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
17．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
18．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
19．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
20．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上
焦点 （，0） （0，）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线 x y
21．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
22．直线与椭圆的综合
v．
23．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
24．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
25．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
26．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b a﹣b＞0；a＜b a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，1 a＞b；b＜0，1 a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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