初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.3.1 等腰三角形的性质
一、单选题
1．（2019·崇左）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
2．（2019·衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
3．（2019·台湾）如图，△ABC中，AC=BC＜AB.若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019八下·慈溪期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（ ）
A．∠B＝∠CAD B．∠BED＝∠CAD
C．∠ADB＝∠AED D．∠BED＝∠ADC
5．（2019七下·盐田期末）若等腰三角形的底角为15°，则一腰上的高是腰长的（ ）
A． B． C．1倍 D．2倍
二、填空题
6．（2019八下·赵县期末）在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠EPF=147°，则∠PFE的度数是 。
7．（2019·齐齐哈尔）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD= AC，则等腰△ABC底角的度数为 ．
8．（2019·兰州）在 中，AB=AC， ，则 :∠B= 。
9．（2019·枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ．图中， 度．
10．（2019·毕节）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC与点D，连结AD，若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是 .
三、综合题
11．（2019·无锡）如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；
求证：
（1）
（2）
12．（2019七下·盐田期末）如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=50°，点D在BC边上（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交边AC于点E.
（1）当∠BAD=20°时，求∠CDE的度数；
（2）当CD等于多少时，△ABD≌△DCE？为什么？
（3）在点D运动的过程中，△ADE可能是等腰三角形吗？若可能，直接写出∠DAE的度数；若不可能，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法得CG⊥AB，
∵AB＝AC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝ ∠ACB＝50°。
故答案为：C。
【分析】根据作图过程可知：CG⊥AB，然后根据等腰三角形的三线合一得出CG平分∠ACB，从而根据三角形的内角和计算出 ∠BCG的度数 。
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
即x+180°-4x+75°=180°，
解得：x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵AC=BC＜AB，
∴∠A=∠ABC＜∠ACB，
∵∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠2=∠A+∠ABC，
∴∠A+∠2=∠A+∠A+∠ABC＜∠ACB+∠A+∠ABC=180°，
故答案为：C.
【分析】根据等边对等角、大边对大角得出∠A=∠ABC＜∠ACB，根据邻补角的定义即可得出∠1＞∠2；根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠2=∠A+∠ABC，∠1=∠A+∠ACB，故∠A+∠2=∠A+∠A+∠ABC＜∠ACB+∠A+∠ABC=180°，∠A＋∠1=∠A＋∠A＋ACB=∠A＋∠ABC＋ACB=180°,从而即可一一判断得出答案。
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：作AF⊥BC于F，
∵AD=AC，
∴∠CAD=2∠DAF，
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠EDA=∠DAF，
∵EA=ED，
∠EAD=∠EDA，
∴∠BED=2∠EAD，
∴ ∠BED＝∠CAD ；
故答案为：B.
【分析】 作AF⊥BC于F．首先证明∠EAD=∠EDA=∠DAF=∠CAF，由∠BED=2∠EAD，∠DAC=2∠DAF，可得∠BED＝∠CAD ．
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
过点C作BA延长线的垂线，根据题意可知，∠DAC=∠B+∠ACB=30°
∴在直角三角形ADC中，CD=AC
故答案为：B。
【分析】根据题意作出等腰三角形的一个腰上的高，由三角形的外角定理得到∠DAC的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到答案。
6．【答案】16.5°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ P是对角线BD的中点
PF和PE都为三角形的中位线，
又∵AD=BC，
∴PF=PE，
∴△PEF为等腰三角形，
∴∠PFE=∠PEF=（180°-147°）=16.5°
【分析】根据中位线的性质和等腰三角形的性质，可得到角度关系。
7．【答案】15°或45°或75°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】
①点A为顶点时，AB=AC
∴在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=45°
②点A是底角顶点 ，AD在△ABC的外部
AC=BC，∠BAC=∠ABC=15°
③点A是底角顶点，AD在△ABC的内部
AC=BC，∠C=30°，
∠BAC=∠ABC=75°
【分析】分别考虑A点的情况，利用等腰三角形的性质，进行求解。
8．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 中，AB=AC， ，
∴∠B=∠C=.
故答案为：70°.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等，由三角形的内角和即可算出答案。
9．【答案】36°
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】 ， 是等腰三角形，
度．
【分析】根据多边形内角和公式容易求出的度数，再根据等腰三角形的性质可求出答案
10．【答案】34°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图过程可知BD=BA，
∵∠B=40°，
∴∠BDA=∠BAD= (180°-∠B)=70°，
∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°。
故答案为34°。
【分析】根据等边对等角及三角形的内角和得出∠BAD= (180°-∠B)=70°，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，即可由∠DAC=∠BDA-∠C算出答案。
11．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ECB=∠DBC，
在
，
∴
（2）证明：由(1) ，
∴∠DCB=∠EBC，
∴OB=OC
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠ECB=∠DBC， 从而利用SAS判断出 ；
（2）根据全等三角形对应角相等得出 ∠DCB=∠EBC， 根据等角对等边得出 OB=OC 。
12．【答案】（1） ∵∠ADC为三角形ABD的外角
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴50°+20°=50°+∠CDE
∴∠CDE=20°
（2） CD=3时，△ABD≌△DCE
∵AB=CD=3，∠BAD=∠CDE，∠B=∠C=50°
∴△ABD≌△DCE。
（3） ∠BDA=100°时，∴∠ADC=80°
∵∠C=50°
∴∠DAC=50°
∴∠DAC=∠ADE
∴三角形ADE为等腰三角形，∠DAE的度数为50°或65°。
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据外角的性质即可得到∠CDE的度数。
（2）根据三角全等的性质，即可得到CD的长度。
（3）根据等腰三角形的性质，讨论动点的位置，得到点D的位置。
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一、单选题
1．（2019·崇左）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法得CG⊥AB，
∵AB＝AC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝ ∠ACB＝50°。
故答案为：C。
【分析】根据作图过程可知：CG⊥AB，然后根据等腰三角形的三线合一得出CG平分∠ACB，从而根据三角形的内角和计算出 ∠BCG的度数 。
2．（2019·衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
即x+180°-4x+75°=180°，
解得：x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
3．（2019·台湾）如图，△ABC中，AC=BC＜AB.若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵AC=BC＜AB，
∴∠A=∠ABC＜∠ACB，
∵∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠2=∠A+∠ABC，
∴∠A+∠2=∠A+∠A+∠ABC＜∠ACB+∠A+∠ABC=180°，
故答案为：C.
【分析】根据等边对等角、大边对大角得出∠A=∠ABC＜∠ACB，根据邻补角的定义即可得出∠1＞∠2；根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠2=∠A+∠ABC，∠1=∠A+∠ACB，故∠A+∠2=∠A+∠A+∠ABC＜∠ACB+∠A+∠ABC=180°，∠A＋∠1=∠A＋∠A＋ACB=∠A＋∠ABC＋ACB=180°,从而即可一一判断得出答案。
4．（2019八下·慈溪期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（ ）
A．∠B＝∠CAD B．∠BED＝∠CAD
C．∠ADB＝∠AED D．∠BED＝∠ADC
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：作AF⊥BC于F，
∵AD=AC，
∴∠CAD=2∠DAF，
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠EDA=∠DAF，
∵EA=ED，
∠EAD=∠EDA，
∴∠BED=2∠EAD，
∴ ∠BED＝∠CAD ；
故答案为：B.
【分析】 作AF⊥BC于F．首先证明∠EAD=∠EDA=∠DAF=∠CAF，由∠BED=2∠EAD，∠DAC=2∠DAF，可得∠BED＝∠CAD ．
5．（2019七下·盐田期末）若等腰三角形的底角为15°，则一腰上的高是腰长的（ ）
A． B． C．1倍 D．2倍
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
过点C作BA延长线的垂线，根据题意可知，∠DAC=∠B+∠ACB=30°
∴在直角三角形ADC中，CD=AC
故答案为：B。
【分析】根据题意作出等腰三角形的一个腰上的高，由三角形的外角定理得到∠DAC的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到答案。
二、填空题
6．（2019八下·赵县期末）在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠EPF=147°，则∠PFE的度数是 。
【答案】16.5°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ P是对角线BD的中点
PF和PE都为三角形的中位线，
又∵AD=BC，
∴PF=PE，
∴△PEF为等腰三角形，
∴∠PFE=∠PEF=（180°-147°）=16.5°
【分析】根据中位线的性质和等腰三角形的性质，可得到角度关系。
7．（2019·齐齐哈尔）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD= AC，则等腰△ABC底角的度数为 ．
【答案】15°或45°或75°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】
①点A为顶点时，AB=AC
∴在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=45°
②点A是底角顶点 ，AD在△ABC的外部
AC=BC，∠BAC=∠ABC=15°
③点A是底角顶点，AD在△ABC的内部
AC=BC，∠C=30°，
∠BAC=∠ABC=75°
【分析】分别考虑A点的情况，利用等腰三角形的性质，进行求解。
8．（2019·兰州）在 中，AB=AC， ，则 :∠B= 。
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 中，AB=AC， ，
∴∠B=∠C=.
故答案为：70°.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等，由三角形的内角和即可算出答案。
9．（2019·枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ．图中， 度．
【答案】36°
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】 ， 是等腰三角形，
度．
【分析】根据多边形内角和公式容易求出的度数，再根据等腰三角形的性质可求出答案
10．（2019·毕节）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC与点D，连结AD，若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是 .
【答案】34°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图过程可知BD=BA，
∵∠B=40°，
∴∠BDA=∠BAD= (180°-∠B)=70°，
∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°。
故答案为34°。
【分析】根据等边对等角及三角形的内角和得出∠BAD= (180°-∠B)=70°，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，即可由∠DAC=∠BDA-∠C算出答案。
三、综合题
11．（2019·无锡）如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；
求证：
（1）
（2）
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ECB=∠DBC，
在
，
∴
（2）证明：由(1) ，
∴∠DCB=∠EBC，
∴OB=OC
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠ECB=∠DBC， 从而利用SAS判断出 ；
（2）根据全等三角形对应角相等得出 ∠DCB=∠EBC， 根据等角对等边得出 OB=OC 。
12．（2019七下·盐田期末）如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=50°，点D在BC边上（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交边AC于点E.
（1）当∠BAD=20°时，求∠CDE的度数；
（2）当CD等于多少时，△ABD≌△DCE？为什么？
（3）在点D运动的过程中，△ADE可能是等腰三角形吗？若可能，直接写出∠DAE的度数；若不可能，说明理由.
【答案】（1） ∵∠ADC为三角形ABD的外角
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴50°+20°=50°+∠CDE
∴∠CDE=20°
（2） CD=3时，△ABD≌△DCE
∵AB=CD=3，∠BAD=∠CDE，∠B=∠C=50°
∴△ABD≌△DCE。
（3） ∠BDA=100°时，∴∠ADC=80°
∵∠C=50°
∴∠DAC=50°
∴∠DAC=∠ADE
∴三角形ADE为等腰三角形，∠DAE的度数为50°或65°。
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据外角的性质即可得到∠CDE的度数。
（2）根据三角全等的性质，即可得到CD的长度。
（3）根据等腰三角形的性质，讨论动点的位置，得到点D的位置。
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