初中数学北师大版七年级上学期 第三章 3.5 探索与表达规律
一、单选题
1．（2019七上·义乌月考） ……依次观察左边三个图形，并判断照此规律从左到右第2019个图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八下·罗湖期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019七下·南浔期末）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建市了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班学生.下图表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019七下·十堰期末）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对（ ， ）表示第n排，从左到右第 个数，如（4，2）表示9，则表示114的有序数对是（ ）
A．（15，9） B．（9，15） C．（15，7） D．（7，15）
5．（2019·贺州）计算 + + + +…+ 的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019七下·东阳期末）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“的个数为a3，…，以此类推，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（ ）
A．上方 B．右方 C．下方 D．左方
二、填空题
8．（2019七上·天台月考）定义： 为不为1的有理数,我们把 称为 的差倒数.如:2的差倒数是 ,－1的差倒数是 .已知 , 是 的差倒数, 是 的差倒数, 是 的差倒数,…,以此类推,则 .
9．（2019七下·龙岩期末）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，则第1007个三角数与第1009个三角数的差为 .
10．（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有 个〇.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：2019÷5=434，
故答案为：A.
【分析】根据图形可知，由左到右顺时针方向转动图形，每次转一格，五次为一个循环，故用2019除以5求余数，即可找出第2019个图形.
2．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】A.中3和10是三角形数，但是不相邻；
B.中16、9均是正方形数，不是三角形数；
C.中18不是三角形数；
D.中28=1+2+3+4+5+6+7，36=1+2+3+4+5+6+7+8，所以D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据“ 任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和 ”可判断A；根据 三角形数” 及 “正方形数”的定义可判断B、C；根据题意可得n2=[(1+2+···+(n-1）]+（1+2+···+n），然后代入数据计算，然后即可判断D.
3．【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：A、 1×23+0×22+1×21+0×20=10≠6，故A不符合题意；
B、 0×23+1×22+1×21+0×20=6，故B不符合题意；
C、 1×23+0×22+0×21+1×20=9≠6，故C不符合题意；
D、 0×23+1×22+1×21+1×20=7≠6，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】抓住题中关键已知条件：黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，班级序号公式为： a×23+b×22+c×21+d×20，分别将各选项中的a、b、c、d代入计算可求解。
4．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得，
∵114=（1+2+3+ +14）+9，
∴114所对应的有序数对是（15，9）。
故答案为：A。
【分析】探索数字规律的题，通过观察每一排的数字个数与对应的排数的序号是一致的，由于1+2+3+ +14＜114＜1+2+3+ +14+15，从而确定出114所在的排数是15，由于单数排的数是从左至右按从小到大排列的，从而即可找出其在15排的序号，进而根据有序数对的表示方法即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式＝
＝
＝ 。
故答案为：B。
【分析】探索算式规律的题，通过观察每一个加数都是分数，分子是1，分母是两个连续奇数的乘积，故每一个加数都可以改写成分母是两个连续奇数，分子是1的分数差的一半，再根据乘法分配律的逆用及互为相反数的两个数的和为0，进行化简计算得出答案。
6．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：当n=1时， “●”的个数为2+1=1×3，
当n=2时， “●”的个数为2+3+2+1=8=2×4，
当n=3时，“●”的个数为：2+3+4+3+2+1=3×5，
当n=4时，“●”的个数为：2+3+4+5+4+3+2+1=4×6，
……依次类推，得第n项的“●”个数为：n(n+2)；
∵ ，
故
=
=
=
= ；
故答案为：C.
【分析】看图分别得出第一幅、第二幅、第三幅和第四幅图的 “●” 个数，分别把每项的个数表示成其和项数的关系，从而探究出规律： an=n(n+2)，把 裂项变形，从而使 能用隔项相消法求值。
7．【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：如图所示：每旋转4次一周，2019÷4＝504…3，
则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方。
故答案为：C。
【分析】探索图形规律的题，通过观察即可发现每旋转4次一周，从而利用发现的规律即可解决问题。
8．【答案】3
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a1=,
∴a2=,a3=,
a4=,a5= ，a6=,
……
由此可得，an值呈现周期性变化，其中周期为3，
2019÷3=673，正好能整除，余数为0，
故a2019=a3=3.
故答案为：3.
【分析】根据题意，由a1的值，结合题意列出前面几项的值，得出一般规律，发现an值呈现周期性变化，周期为3，于是用2019和3相除，求余数，即可得出a2019=a3=3.
9．【答案】2017
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】观察三角形数，发现第二个三角数比第一个三角数大2，第三个三角数比第二个三角数大3，第四个三角数比第三个三角数大4，所以第n个三角数比第n-1个三角数大n，所以第1009个三角数比第1008个三角数大1009，第1008个三角数比第1007个三角数大1008，得到第1007个三角数与第1009个三角数的差为1009+1008=2017，故填2017
【分析】这是一道探索数与式的规律的题目，先从中发现第n个三角数比第n-1个三角数大n，从而求解。
10．【答案】6058
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可得，
第1个图象中〇的个数为： ，
第2个图象中〇的个数为： ，
第3个图象中〇的个数为： ，
第4个图象中〇的个数为： ，
……
∴第2019个图形中共有： 个〇。
故答案为：6058。
【分析】探寻图形规律的题，分别算出前几个图案中〇的个数，即可发现通用公式第n个图案中共有3n+1个〇，从而将n=2019代入就可算出答案。
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一、单选题
1．（2019七上·义乌月考） ……依次观察左边三个图形，并判断照此规律从左到右第2019个图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：2019÷5=434，
故答案为：A.
【分析】根据图形可知，由左到右顺时针方向转动图形，每次转一格，五次为一个循环，故用2019除以5求余数，即可找出第2019个图形.
2．（2019八下·罗湖期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】A.中3和10是三角形数，但是不相邻；
B.中16、9均是正方形数，不是三角形数；
C.中18不是三角形数；
D.中28=1+2+3+4+5+6+7，36=1+2+3+4+5+6+7+8，所以D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据“ 任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和 ”可判断A；根据 三角形数” 及 “正方形数”的定义可判断B、C；根据题意可得n2=[(1+2+···+(n-1）]+（1+2+···+n），然后代入数据计算，然后即可判断D.
3．（2019七下·南浔期末）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建市了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班学生.下图表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：A、 1×23+0×22+1×21+0×20=10≠6，故A不符合题意；
B、 0×23+1×22+1×21+0×20=6，故B不符合题意；
C、 1×23+0×22+0×21+1×20=9≠6，故C不符合题意；
D、 0×23+1×22+1×21+1×20=7≠6，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】抓住题中关键已知条件：黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，班级序号公式为： a×23+b×22+c×21+d×20，分别将各选项中的a、b、c、d代入计算可求解。
4．（2019七下·十堰期末）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对（ ， ）表示第n排，从左到右第 个数，如（4，2）表示9，则表示114的有序数对是（ ）
A．（15，9） B．（9，15） C．（15，7） D．（7，15）
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得，
∵114=（1+2+3+ +14）+9，
∴114所对应的有序数对是（15，9）。
故答案为：A。
【分析】探索数字规律的题，通过观察每一排的数字个数与对应的排数的序号是一致的，由于1+2+3+ +14＜114＜1+2+3+ +14+15，从而确定出114所在的排数是15，由于单数排的数是从左至右按从小到大排列的，从而即可找出其在15排的序号，进而根据有序数对的表示方法即可得出答案。
5．（2019·贺州）计算 + + + +…+ 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式＝
＝
＝ 。
故答案为：B。
【分析】探索算式规律的题，通过观察每一个加数都是分数，分子是1，分母是两个连续奇数的乘积，故每一个加数都可以改写成分母是两个连续奇数，分子是1的分数差的一半，再根据乘法分配律的逆用及互为相反数的两个数的和为0，进行化简计算得出答案。
6．（2019七下·东阳期末）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“的个数为a3，…，以此类推，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：当n=1时， “●”的个数为2+1=1×3，
当n=2时， “●”的个数为2+3+2+1=8=2×4，
当n=3时，“●”的个数为：2+3+4+3+2+1=3×5，
当n=4时，“●”的个数为：2+3+4+5+4+3+2+1=4×6，
……依次类推，得第n项的“●”个数为：n(n+2)；
∵ ，
故
=
=
=
= ；
故答案为：C.
【分析】看图分别得出第一幅、第二幅、第三幅和第四幅图的 “●” 个数，分别把每项的个数表示成其和项数的关系，从而探究出规律： an=n(n+2)，把 裂项变形，从而使 能用隔项相消法求值。
7．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（ ）
A．上方 B．右方 C．下方 D．左方
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：如图所示：每旋转4次一周，2019÷4＝504…3，
则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方。
故答案为：C。
【分析】探索图形规律的题，通过观察即可发现每旋转4次一周，从而利用发现的规律即可解决问题。
二、填空题
8．（2019七上·天台月考）定义： 为不为1的有理数,我们把 称为 的差倒数.如:2的差倒数是 ,－1的差倒数是 .已知 , 是 的差倒数, 是 的差倒数, 是 的差倒数,…,以此类推,则 .
【答案】3
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a1=,
∴a2=,a3=,
a4=,a5= ，a6=,
……
由此可得，an值呈现周期性变化，其中周期为3，
2019÷3=673，正好能整除，余数为0，
故a2019=a3=3.
故答案为：3.
【分析】根据题意，由a1的值，结合题意列出前面几项的值，得出一般规律，发现an值呈现周期性变化，周期为3，于是用2019和3相除，求余数，即可得出a2019=a3=3.
9．（2019七下·龙岩期末）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，则第1007个三角数与第1009个三角数的差为 .
【答案】2017
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】观察三角形数，发现第二个三角数比第一个三角数大2，第三个三角数比第二个三角数大3，第四个三角数比第三个三角数大4，所以第n个三角数比第n-1个三角数大n，所以第1009个三角数比第1008个三角数大1009，第1008个三角数比第1007个三角数大1008，得到第1007个三角数与第1009个三角数的差为1009+1008=2017，故填2017
【分析】这是一道探索数与式的规律的题目，先从中发现第n个三角数比第n-1个三角数大n，从而求解。
10．（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有 个〇.
【答案】6058
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可得，
第1个图象中〇的个数为： ，
第2个图象中〇的个数为： ，
第3个图象中〇的个数为： ，
第4个图象中〇的个数为： ，
……
∴第2019个图形中共有： 个〇。
故答案为：6058。
【分析】探寻图形规律的题，分别算出前几个图案中〇的个数，即可发现通用公式第n个图案中共有3n+1个〇，从而将n=2019代入就可算出答案。
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