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初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.6 二元一次方程组与一次函数
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（-1，b），
∴当x=-1时，b=-1+3=2，
∴点A的坐标为（-1，2），
∴关于x、y的方程组 的解是 .
故答案为：C．
【分析】由题意把点A（-1，b）代入解析式y=x+3可求得点A的纵坐标b的值，而点A是直线y=x+3和直线y=mx+n的交点，根据一次函数的图象和二元一次方程组之间的关系可知，联立解两条直线的解析式所构成的方程组所得的x、y的值就是点A的坐标。
2．（2019八上·榆林期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：把P（m，4）代入y=x+2得：m+2=4，解得：m=2，即P点坐标为（2，4），所以二元一次方程组 的解为 .
故答案为：C.
【分析】将点P（m,4）代入y=x+2算出m的值，得出点P的坐标，根据方程组 的解，就是 一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象交点的坐标即可得出答案。
3．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所列的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解:根据给出的图象上的点的坐标,(0,-1)、(1,1)、(0,2);
分别求出图中两条直线的解析式为y=2x-1,y=-x+2,
因此所解的二元一次方程组是 .
故答案为：D.
【分析】由题意用待定系数法可求得两条直线的解析式，由图知，两条直线相交于点P（1,1），于是将两条直线的解析式转化为方程组的形式即可判断求解。
4．如图，过点Q（0，3）的一次函数与正比例函数y=2x的图象交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（ ）
A．3x﹣2y+3=0 B．3x﹣2y﹣3=0 C．x﹣y+3=0 D．x+y﹣3=0
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】设一次函数的解析式为：y=kx+b，
∵点P、Q在y=kx+b的图像上，
∴ ，
解方程组得： ，
所以一次函数的解析式为：y=-x+3，即x+y-3=0，
故答案为：D
【分析】利用待定系数法，由点P、Q的坐标可求出直线PQ的函数解析式，再将函数解析式变形，就可得出答案。
5．函数y=4x﹣2与y=﹣4x﹣2的交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（2，0）
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解方程组 ，得 ，
所以直线y=4x﹣2与y=﹣4x﹣2的交点坐标为（0，﹣2）．
故答案为：B
【分析】解出方程组的x、y的值，即为两直线的交点的坐标。
二、填空题
6．（2019八下·温岭期末）若已知方程组 的解是 ，则直线y=-kx+b与直线y=x-a的交点坐标是 。
【答案】（-1，-3）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 方程组 的解是
∴ 直线y=kx-b与直线y=-x+a的交点坐,为（-1，3）.
则直线y=-kx+b=-（ kx-b ），直线y=x-a =-（-x+a）
∴ 直线y=-kx+b与直线y=x-a的交点坐标和直线y=kx-b与直线y=-x+a的交点坐标关于x轴对称，
即为 （-1，-3）
故答案为： （-1，-3）
【分析】利用一次函数与二元一次方程组的关系，可知两一次函数的交点坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解，再依据坐标轴对称的点的坐标特征 。可得结果。
7．（2019·贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组 的解是 .
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x，y的方程组 的解是 。
故答案为 。
【分析】求关于x，y的方程组 的解 ，就是求方程组中两方程代表的两直线图象的交点坐标。
8．（2019八下·昭通期末）如图，已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象相交于点P，则根据图中信息可得二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】 解：看图象可得交点P点坐标为（-4，-2），则的解也是（-4，-2）；
故答案为：（-4，-2）.
【分析】y＝ax+b和y＝kx的图象相交于点P 的坐标的意义是y＝ax+b和y＝kx组成的方程组的解，
由图得到交点P的坐标，则方程组的可求。
三、综合题
9．（2019·襄阳）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜.某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：
有机蔬菜种类 进价（元/ ） 售价（元/ ）
甲 16
乙 18
（1）该超市购进甲种蔬菜10 和乙种蔬菜5 需要170元；购进甲种蔬菜6 和乙种蔬菜10 需要200元.求 ， 的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20 ，且不大于70 .实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60 的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额 （元）与购进甲种蔬菜的数量 （ ）之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额 （元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 元，乙种蔬菜每千克捐出 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求 的最大值.
【答案】（1）解：由题意可得，
，解得， ，
答： 的值是10， 的值是14
（2）解：当 时，
当 时，
由上可得，
（3）解：当 时， ，则当 时， 取得最大值，此时 ，
当 时， ，则 ，
由上可得，当 时， 取得最大值，此时 ，
∵在（2）的条件下，超市在获得的利润额 （元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出 元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于20%，
∴ ，
解得， ，
即 的最大值是1.8
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；一次函数的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）抓住已知条件，可得等量关系：10×甲种蔬菜的进价+5×乙种蔬菜的进价=170；6×甲种蔬菜的进价+10×乙种蔬菜的进价=200，列方程组，再解方程组。
（2）分段列出函数解析式。当20≤x≤60时；当60＜x≤70,时，由总利润y=甲的数量×（甲的售价-进价）+乙的数量×（乙的售价-进价），分别列出函数关系式。
（3）利用二次函数的性质分别求出y取最大值时x的值；再根据保证捐款后的盈利率≥20%， 列不等式，根据不等式的解集求出a的最大值。
10．孝感市委市政府为了贯彻落实国家的“精准扶贫”战略部署，组织相关企业开展扶贫工作，博大公司为此制定了关于帮扶A、B两贫困村的计划．今年3月份决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表：
目的地 费用 车型 A村（元/辆） B村（元/辆）
大货车 800 900
小货车 400 600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总运费为y元；
①试求出y与x的函数解析式；
②若运往A村的鱼苗不少于108箱，请你写出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少运费．
【答案】（1）解：设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
，
解得： ．
故这15辆车中大货车用8辆，小货车用7辆
（2）解：y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400（3≤x≤8，且x为整数）．
由题意得：12x+8（10﹣x）≥108，
解得：x≥7，
又∵3≤x≤8，
∴7≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，
k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝7时，y最小，
最小值为y＝100×7+9400＝10100（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：7辆大货车、3辆小货车前往A村；1辆大货车、4辆小货车前往B村．最少运费为10100元
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；一次函数的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）等量关系为：大货车的数量+小货车的数量=15；12×大货车的数量+8×小货车的数量=152.设未知数，列方程组求解即可。
（2）①根据题意列出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围；②根据运往A村的鱼苗不少于108箱，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，就可求出总运费最少的货车调配方案及最小运费。
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初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.6 二元一次方程组与一次函数
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八上·榆林期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
3．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所列的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，过点Q（0，3）的一次函数与正比例函数y=2x的图象交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（ ）
A．3x﹣2y+3=0 B．3x﹣2y﹣3=0 C．x﹣y+3=0 D．x+y﹣3=0
5．函数y=4x﹣2与y=﹣4x﹣2的交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（2，0）
二、填空题
6．（2019八下·温岭期末）若已知方程组 的解是 ，则直线y=-kx+b与直线y=x-a的交点坐标是 。
7．（2019·贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组 的解是 .
8．（2019八下·昭通期末）如图，已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象相交于点P，则根据图中信息可得二元一次方程组 的解是 ．
三、综合题
9．（2019·襄阳）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜.某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：
有机蔬菜种类 进价（元/ ） 售价（元/ ）
甲 16
乙 18
（1）该超市购进甲种蔬菜10 和乙种蔬菜5 需要170元；购进甲种蔬菜6 和乙种蔬菜10 需要200元.求 ， 的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20 ，且不大于70 .实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60 的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额 （元）与购进甲种蔬菜的数量 （ ）之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额 （元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 元，乙种蔬菜每千克捐出 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求 的最大值.
10．孝感市委市政府为了贯彻落实国家的“精准扶贫”战略部署，组织相关企业开展扶贫工作，博大公司为此制定了关于帮扶A、B两贫困村的计划．今年3月份决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表：
目的地 费用 车型 A村（元/辆） B村（元/辆）
大货车 800 900
小货车 400 600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总运费为y元；
①试求出y与x的函数解析式；
②若运往A村的鱼苗不少于108箱，请你写出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少运费．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（-1，b），
∴当x=-1时，b=-1+3=2，
∴点A的坐标为（-1，2），
∴关于x、y的方程组 的解是 .
故答案为：C．
【分析】由题意把点A（-1，b）代入解析式y=x+3可求得点A的纵坐标b的值，而点A是直线y=x+3和直线y=mx+n的交点，根据一次函数的图象和二元一次方程组之间的关系可知，联立解两条直线的解析式所构成的方程组所得的x、y的值就是点A的坐标。
2．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：把P（m，4）代入y=x+2得：m+2=4，解得：m=2，即P点坐标为（2，4），所以二元一次方程组 的解为 .
故答案为：C.
【分析】将点P（m,4）代入y=x+2算出m的值，得出点P的坐标，根据方程组 的解，就是 一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象交点的坐标即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解:根据给出的图象上的点的坐标,(0,-1)、(1,1)、(0,2);
分别求出图中两条直线的解析式为y=2x-1,y=-x+2,
因此所解的二元一次方程组是 .
故答案为：D.
【分析】由题意用待定系数法可求得两条直线的解析式，由图知，两条直线相交于点P（1,1），于是将两条直线的解析式转化为方程组的形式即可判断求解。
4．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】设一次函数的解析式为：y=kx+b，
∵点P、Q在y=kx+b的图像上，
∴ ，
解方程组得： ，
所以一次函数的解析式为：y=-x+3，即x+y-3=0，
故答案为：D
【分析】利用待定系数法，由点P、Q的坐标可求出直线PQ的函数解析式，再将函数解析式变形，就可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解方程组 ，得 ，
所以直线y=4x﹣2与y=﹣4x﹣2的交点坐标为（0，﹣2）．
故答案为：B
【分析】解出方程组的x、y的值，即为两直线的交点的坐标。
6．【答案】（-1，-3）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 方程组 的解是
∴ 直线y=kx-b与直线y=-x+a的交点坐,为（-1，3）.
则直线y=-kx+b=-（ kx-b ），直线y=x-a =-（-x+a）
∴ 直线y=-kx+b与直线y=x-a的交点坐标和直线y=kx-b与直线y=-x+a的交点坐标关于x轴对称，
即为 （-1，-3）
故答案为： （-1，-3）
【分析】利用一次函数与二元一次方程组的关系，可知两一次函数的交点坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解，再依据坐标轴对称的点的坐标特征 。可得结果。
7．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x，y的方程组 的解是 。
故答案为 。
【分析】求关于x，y的方程组 的解 ，就是求方程组中两方程代表的两直线图象的交点坐标。
8．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】 解：看图象可得交点P点坐标为（-4，-2），则的解也是（-4，-2）；
故答案为：（-4，-2）.
【分析】y＝ax+b和y＝kx的图象相交于点P 的坐标的意义是y＝ax+b和y＝kx组成的方程组的解，
由图得到交点P的坐标，则方程组的可求。
9．【答案】（1）解：由题意可得，
，解得， ，
答： 的值是10， 的值是14
（2）解：当 时，
当 时，
由上可得，
（3）解：当 时， ，则当 时， 取得最大值，此时 ，
当 时， ，则 ，
由上可得，当 时， 取得最大值，此时 ，
∵在（2）的条件下，超市在获得的利润额 （元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出 元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于20%，
∴ ，
解得， ，
即 的最大值是1.8
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；一次函数的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）抓住已知条件，可得等量关系：10×甲种蔬菜的进价+5×乙种蔬菜的进价=170；6×甲种蔬菜的进价+10×乙种蔬菜的进价=200，列方程组，再解方程组。
（2）分段列出函数解析式。当20≤x≤60时；当60＜x≤70,时，由总利润y=甲的数量×（甲的售价-进价）+乙的数量×（乙的售价-进价），分别列出函数关系式。
（3）利用二次函数的性质分别求出y取最大值时x的值；再根据保证捐款后的盈利率≥20%， 列不等式，根据不等式的解集求出a的最大值。
10．【答案】（1）解：设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
，
解得： ．
故这15辆车中大货车用8辆，小货车用7辆
（2）解：y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400（3≤x≤8，且x为整数）．
由题意得：12x+8（10﹣x）≥108，
解得：x≥7，
又∵3≤x≤8，
∴7≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，
k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝7时，y最小，
最小值为y＝100×7+9400＝10100（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：7辆大货车、3辆小货车前往A村；1辆大货车、4辆小货车前往B村．最少运费为10100元
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；一次函数的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）等量关系为：大货车的数量+小货车的数量=15；12×大货车的数量+8×小货车的数量=152.设未知数，列方程组求解即可。
（2）①根据题意列出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围；②根据运往A村的鱼苗不少于108箱，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，就可求出总运费最少的货车调配方案及最小运费。
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