初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.5.2 线段垂直平分线
一、单选题
1．（2019·梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．（2019·南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
3．（2019·衡阳）下列命题是假命题的是（ ）
A． 边形（ ）的外角和是
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．矩形的对角线互相平分且相等
4．（2019·郴州）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2019·广元）如图， 中， ， ，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，连接BD，则 的值是 ．
6．（2019·铜仁）如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于 cm.
7．（2019·苍南模拟）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为 .
8．（2019·绍兴模拟）如图，在△ABC中， ，DE是AB的垂直平分线，∠BAD:∠CAB=1:3，则∠B＝ ．
三、综合题
9．（2019·杭州）如图，在△ABC中，AC
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B.
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q.连接AQ若∠AQC=3∠B，求∠B的度数.
10．（2018八下·南山期末）已知：如图，在 中， 。
（1）尺规作图：作线段 的垂直平分线交 于点 ，垂足为点 ，连接 ；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证： 是等腰三角形。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13。
故答案为：B。
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AE＝BE，从而根据三角形的周长计算方法及线段的和差等量代换即可算出答案。
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE
=AC+CE+BE
=AC+BC
=5+6
=11．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，则△ACE的周长=EC+AE+AC=BC+AC，因而得解。
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；多边形内角与外角；矩形的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 边形（ ）的外角和是 ，是真命题；
B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；
C、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；
故答案为：C．
【分析】分别根据每个选项进行判断即可得到答案。
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】 由作图可知，EF垂直平分AB，
，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据题意，由线段垂直平分线的性质分别进行判断即可。
5．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接AD，设AC与BD交于点O，
由题意得： ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴BD垂直平分AC，
∴ ， ，
∴
∴ ，
故答案为：
【分析】根据垂直平分线的性质，利用三角函数，可求出BD的值。
6．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D是AC的中点，且BD⊥AC，
∴AB＝BC＝7cm，AD＝ AC＝3cm，
∵ED∥BC，
∴AE＝BE＝ AB＝3.5cm，ED＝ BC＝3.5cm，
∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10cm。
故答案为：10。
【分析】根据题意BD是AC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AB＝BC＝7cm，AD＝ AC＝3cm，根据三角形的中位线定理得出AE＝BE＝ AB＝3.5cm，ED＝ BC＝3.5cm，从而根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
7．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P
∴AC=CD=CE+DE，AB=BE=BD+DE
∴点P为AD的中点，点Q为AE的中点
∴AC=CD=CE+DE，AB=BE=BD+DE
∴PQ=DE
∵ △ABC的周长为26 ，BC=10
∴AB+AC+BC=26
即CE+DE+BD+DE+BC=26
∴BC+DE+BC=26
∴10+DE+10=26
解之：DE=6
∴PQ=×6=3
故答案为：3
【分析】利用线段垂直平分线的定义可证得AC=CD=CE+DE，AB=BE=BD+DE，可证AC=CD=CE+DE，AB=BE=BD+DE，利用三角形中位线定理可得到PQ=DE，再将△ABC的周长为26转化为BC+DE+BC=26，就可求出DE的长，然后求出PQ的长即可。
8．【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在 中，DE是AB的垂直平分线，
∴ ，即 ，
又∵ ，设 ,
∴ ，
∵ ，
∴ + ，即 ，
解得： ,
∴ ,
故答案为：22.5°
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，根据等边对等角得出∠B=∠DAB，由于 ∠BAD:∠CAB=1:3 ，故设 ,则，根据直角三角形两锐角互余列出方程，求解算出x的，从而即可得出答案。
9．【答案】（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）解：根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°.
解得x=36°，即∠B=36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得PA=PA，由等腰三角形性质得∠PAB=∠B，根据三角形外角性质即可得证.（2）根据等腰三角形性质得∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由三角形外角性质得与已知条件得∠BAQ=∠BQA=2x，再由三角形内角和定理列出方程，解之即可得出答案.
10．【答案】（1）解：如图，作出 的垂直平分线 ，
连接 ，
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于一点，过两点画直线分别 交BC于点D，AB于点F，然后连接AD即可.
（2）利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，利用等边对等角可得∠1=∠B=36°，从而求出∠DAC的度数，利用三角形外角的性质求出∠ADC的度数，即得∠DAC=∠ADC，从而可证△ACD是等腰三角形.
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一、单选题
1．（2019·梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13。
故答案为：B。
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AE＝BE，从而根据三角形的周长计算方法及线段的和差等量代换即可算出答案。
2．（2019·南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE
=AC+CE+BE
=AC+BC
=5+6
=11．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，则△ACE的周长=EC+AE+AC=BC+AC，因而得解。
3．（2019·衡阳）下列命题是假命题的是（ ）
A． 边形（ ）的外角和是
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．矩形的对角线互相平分且相等
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；多边形内角与外角；矩形的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 边形（ ）的外角和是 ，是真命题；
B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；
C、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；
故答案为：C．
【分析】分别根据每个选项进行判断即可得到答案。
4．（2019·郴州）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】 由作图可知，EF垂直平分AB，
，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据题意，由线段垂直平分线的性质分别进行判断即可。
二、填空题
5．（2019·广元）如图， 中， ， ，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，连接BD，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接AD，设AC与BD交于点O，
由题意得： ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴BD垂直平分AC，
∴ ， ，
∴
∴ ，
故答案为：
【分析】根据垂直平分线的性质，利用三角函数，可求出BD的值。
6．（2019·铜仁）如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于 cm.
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D是AC的中点，且BD⊥AC，
∴AB＝BC＝7cm，AD＝ AC＝3cm，
∵ED∥BC，
∴AE＝BE＝ AB＝3.5cm，ED＝ BC＝3.5cm，
∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10cm。
故答案为：10。
【分析】根据题意BD是AC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AB＝BC＝7cm，AD＝ AC＝3cm，根据三角形的中位线定理得出AE＝BE＝ AB＝3.5cm，ED＝ BC＝3.5cm，从而根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
7．（2019·苍南模拟）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为 .
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P
∴AC=CD=CE+DE，AB=BE=BD+DE
∴点P为AD的中点，点Q为AE的中点
∴AC=CD=CE+DE，AB=BE=BD+DE
∴PQ=DE
∵ △ABC的周长为26 ，BC=10
∴AB+AC+BC=26
即CE+DE+BD+DE+BC=26
∴BC+DE+BC=26
∴10+DE+10=26
解之：DE=6
∴PQ=×6=3
故答案为：3
【分析】利用线段垂直平分线的定义可证得AC=CD=CE+DE，AB=BE=BD+DE，可证AC=CD=CE+DE，AB=BE=BD+DE，利用三角形中位线定理可得到PQ=DE，再将△ABC的周长为26转化为BC+DE+BC=26，就可求出DE的长，然后求出PQ的长即可。
8．（2019·绍兴模拟）如图，在△ABC中， ，DE是AB的垂直平分线，∠BAD:∠CAB=1:3，则∠B＝ ．
【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在 中，DE是AB的垂直平分线，
∴ ，即 ，
又∵ ，设 ,
∴ ，
∵ ，
∴ + ，即 ，
解得： ,
∴ ,
故答案为：22.5°
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，根据等边对等角得出∠B=∠DAB，由于 ∠BAD:∠CAB=1:3 ，故设 ,则，根据直角三角形两锐角互余列出方程，求解算出x的，从而即可得出答案。
三、综合题
9．（2019·杭州）如图，在△ABC中，AC（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B.
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q.连接AQ若∠AQC=3∠B，求∠B的度数.
【答案】（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）解：根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°.
解得x=36°，即∠B=36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得PA=PA，由等腰三角形性质得∠PAB=∠B，根据三角形外角性质即可得证.（2）根据等腰三角形性质得∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由三角形外角性质得与已知条件得∠BAQ=∠BQA=2x，再由三角形内角和定理列出方程，解之即可得出答案.
10．（2018八下·南山期末）已知：如图，在 中， 。
（1）尺规作图：作线段 的垂直平分线交 于点 ，垂足为点 ，连接 ；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证： 是等腰三角形。
【答案】（1）解：如图，作出 的垂直平分线 ，
连接 ，
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于一点，过两点画直线分别 交BC于点D，AB于点F，然后连接AD即可.
（2）利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，利用等边对等角可得∠1=∠B=36°，从而求出∠DAC的度数，利用三角形外角的性质求出∠ADC的度数，即得∠DAC=∠ADC，从而可证△ACD是等腰三角形.
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