初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.2.6 斜边直角边
一、单选题
1．（2019八下·来宾期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确
2．（2019八上·黔南期末）如图，BE=CF，AE⊥BC．DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需添加的一个条件是（ ）。
A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC
3．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
二、填空题
4．（2018八上·阳江月考）如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为 cm．
5．（2018八上·番禺月考）如图所示，∠C=∠D=90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是 ．
三、解答题
6．（2019八下·慈溪期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AC＝BF，DC＝DF．求证：BE⊥AC．
7．（2019·孝感）如图，已知 ， 与 交于点 ， ，求证： .
8．（2019八上·官渡期末）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF＝BE，CE＝DF，求证：∠C＝∠D．
四、综合题
9．（2019·宁江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，过点C作CF∥BD交ED的延长线于点F。
（1）求证：△BED≌△BCD；
（2）若∠A=36°，求∠CFD的度数。
10．（2019八下·南山期中）如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB为公共边，也为 Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，
∴ 若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要一组直角边对应相等，
即 AC＝AD或BC＝BD ；
故答案为：B.
【分析】 用“HL”证明两个直角三角形全等，需要证明斜边和一组直角边对应相等。现知斜边相等，则只需一组直角边对应相等，据此分析判断即可。
2．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ AE⊥BC．DF⊥BC ，∴∠DFC=∠AEB=90°，
A、如果添加： AE=DF ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ BE=CF ， ∠DFC=∠AEB=90°，AE=DF ，∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (SAS），故A不符合题意；
B、如果添加： ∠A=∠D ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°， ∠A=∠D ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (AAS），故B不符合题意；
C、如果添加： ∠B=∠C ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°，BE=CF ， ∠B=∠C ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (ASA），故C不符合题意；
D、如果添加： AB=DC ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ AB=DC ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (HL），故D符合题意.
故答案为：D。
【分析】根据全等三角形的判定方法：
A、如果添加： AE=DF ，可以利用SAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
B、如果添加：∠A=∠D ，可以利用AAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
C、如果添加： ∠B=∠C ，可以利用ASA判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
D、如果添加： AB=DC ，可以利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△DCF .
3．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB=EF，
又∵AE=AE
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EF，然后利用HL判断出Rt△AEF≌Rt△AEB，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出AB=AF，∠AEF=∠AEB；根据中点的定义从而得出EC=EF=BE；然后利用HL判断出Rt△EFD≌Rt△ECD，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出DC=DF，∠FDE=∠CDE，然后根据线段的和差及等量代换，由AD=AF+FD=AB+DC得出AD＝AB＋CD，根据平角的定义及角的和差得出∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°。
4．【答案】12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】连接BE，
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
BD=AB(已知),BE=EB(公共边)，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，
∴AE=ED，
又∵AE=12cm，
∴ED=12cm.
故填12.
【分析】根据直角三角形全等的判定定理容易证得Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，从而可以得出结论
5．【答案】AC=AD(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】条件是AC=AD，
∵∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
故答案为：AC=AD．
【分析】图中的两个直角三角形中，斜边是公共边，即斜边对应相等，再加任意一条直角边对应相等即可，所以应添加条件AC=AD或者BC=BD，都可以，这是一个开放性题目，答案不唯一。
6．【答案】证明：∵AD⊥BC
∴∠BDF＝∠ADC＝90°
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠FBD＝∠DAC
又∵∠BFD＝∠AFE
∴∠AEF＝∠BDF＝90°
∴BE⊥AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】 因为AD⊥BC，则∠BDF＝∠ADC＝90°，结合AC＝BF，DC＝DF，利用斜边直角边定理证得Rt△BDF≌Rt△ADC，于是根据全等三角形对应角相等，得∠FBD＝∠DAC，因为对顶角相等，则∠BFD＝∠AFE，因此∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC。
7．【答案】解：∵ ，
∴ 和 是直角三角形，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】图形中隐含公共边AB=BA，因此直接利用HL可证得Rt△ACB≌Rt△BDA，再利用全等三角形的对应角相等易证∠ABC=∠BAD，然后利用等角对等边，可证得结论。
8．【答案】证明：∵AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AF＝BE，
∴AE＝BF，
∵CE＝DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠C＝∠D．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先根据等量加等量和相等得出 AE＝BF， 然后利用“HL”判断Rt△ACE≌Rt△BDF，由全等三角形的对应角相等可得 ∠C＝∠D．
9．【答案】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴ED=DC，在Rt△BED 与R t△BCD中， ，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）.
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，∠A=36°，∴∠ABD=∠DBC=27°，∴∠BDC=∠BDE=63°，∵CF∥BD，∴∠CFD=∠BDE=63°
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）对于两个直角三角形，根据HL定理易证；
（2）由角平分线，直角三角形以及平行线的性质可得。
10．【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°
∴△ABF与ADCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF=Rt△DCE（HL），
∴AF=DE
（2）证明：∵Rt△ABF=Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥FE
∴OP平分∠EOF
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由BE=CF，可得到BF=CE，在Rt
△ABF与Rt△ADC中，利用“HL”定理即可证得Rt△ABF=Rt△DCE，可得AF=DE；
（2）由（1）中结论可判断∠AFB=∠DEC，△OEF是等腰三角形，根据“三线合一”即可判断OP平分∠EOF。
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一、单选题
1．（2019八下·来宾期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB为公共边，也为 Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，
∴ 若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要一组直角边对应相等，
即 AC＝AD或BC＝BD ；
故答案为：B.
【分析】 用“HL”证明两个直角三角形全等，需要证明斜边和一组直角边对应相等。现知斜边相等，则只需一组直角边对应相等，据此分析判断即可。
2．（2019八上·黔南期末）如图，BE=CF，AE⊥BC．DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需添加的一个条件是（ ）。
A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ AE⊥BC．DF⊥BC ，∴∠DFC=∠AEB=90°，
A、如果添加： AE=DF ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ BE=CF ， ∠DFC=∠AEB=90°，AE=DF ，∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (SAS），故A不符合题意；
B、如果添加： ∠A=∠D ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°， ∠A=∠D ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (AAS），故B不符合题意；
C、如果添加： ∠B=∠C ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°，BE=CF ， ∠B=∠C ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (ASA），故C不符合题意；
D、如果添加： AB=DC ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ AB=DC ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (HL），故D符合题意.
故答案为：D。
【分析】根据全等三角形的判定方法：
A、如果添加： AE=DF ，可以利用SAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
B、如果添加：∠A=∠D ，可以利用AAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
C、如果添加： ∠B=∠C ，可以利用ASA判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
D、如果添加： AB=DC ，可以利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△DCF .
3．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB=EF，
又∵AE=AE
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EF，然后利用HL判断出Rt△AEF≌Rt△AEB，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出AB=AF，∠AEF=∠AEB；根据中点的定义从而得出EC=EF=BE；然后利用HL判断出Rt△EFD≌Rt△ECD，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出DC=DF，∠FDE=∠CDE，然后根据线段的和差及等量代换，由AD=AF+FD=AB+DC得出AD＝AB＋CD，根据平角的定义及角的和差得出∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°。
二、填空题
4．（2018八上·阳江月考）如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为 cm．
【答案】12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】连接BE，
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
BD=AB(已知),BE=EB(公共边)，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，
∴AE=ED，
又∵AE=12cm，
∴ED=12cm.
故填12.
【分析】根据直角三角形全等的判定定理容易证得Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，从而可以得出结论
5．（2018八上·番禺月考）如图所示，∠C=∠D=90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是 ．
【答案】AC=AD(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】条件是AC=AD，
∵∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
故答案为：AC=AD．
【分析】图中的两个直角三角形中，斜边是公共边，即斜边对应相等，再加任意一条直角边对应相等即可，所以应添加条件AC=AD或者BC=BD，都可以，这是一个开放性题目，答案不唯一。
三、解答题
6．（2019八下·慈溪期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AC＝BF，DC＝DF．求证：BE⊥AC．
【答案】证明：∵AD⊥BC
∴∠BDF＝∠ADC＝90°
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠FBD＝∠DAC
又∵∠BFD＝∠AFE
∴∠AEF＝∠BDF＝90°
∴BE⊥AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】 因为AD⊥BC，则∠BDF＝∠ADC＝90°，结合AC＝BF，DC＝DF，利用斜边直角边定理证得Rt△BDF≌Rt△ADC，于是根据全等三角形对应角相等，得∠FBD＝∠DAC，因为对顶角相等，则∠BFD＝∠AFE，因此∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC。
7．（2019·孝感）如图，已知 ， 与 交于点 ， ，求证： .
【答案】解：∵ ，
∴ 和 是直角三角形，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】图形中隐含公共边AB=BA，因此直接利用HL可证得Rt△ACB≌Rt△BDA，再利用全等三角形的对应角相等易证∠ABC=∠BAD，然后利用等角对等边，可证得结论。
8．（2019八上·官渡期末）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF＝BE，CE＝DF，求证：∠C＝∠D．
【答案】证明：∵AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AF＝BE，
∴AE＝BF，
∵CE＝DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠C＝∠D．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先根据等量加等量和相等得出 AE＝BF， 然后利用“HL”判断Rt△ACE≌Rt△BDF，由全等三角形的对应角相等可得 ∠C＝∠D．
四、综合题
9．（2019·宁江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，过点C作CF∥BD交ED的延长线于点F。
（1）求证：△BED≌△BCD；
（2）若∠A=36°，求∠CFD的度数。
【答案】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴ED=DC，在Rt△BED 与R t△BCD中， ，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）.
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，∠A=36°，∴∠ABD=∠DBC=27°，∴∠BDC=∠BDE=63°，∵CF∥BD，∴∠CFD=∠BDE=63°
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）对于两个直角三角形，根据HL定理易证；
（2）由角平分线，直角三角形以及平行线的性质可得。
10．（2019八下·南山期中）如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°
∴△ABF与ADCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF=Rt△DCE（HL），
∴AF=DE
（2）证明：∵Rt△ABF=Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥FE
∴OP平分∠EOF
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由BE=CF，可得到BF=CE，在Rt
△ABF与Rt△ADC中，利用“HL”定理即可证得Rt△ABF=Rt△DCE，可得AF=DE；
（2）由（1）中结论可判断∠AFB=∠DEC，△OEF是等腰三角形，根据“三线合一”即可判断OP平分∠EOF。
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