初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.3.1 锐角三角函数
一、单选题
1．（2019·台州）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH、AB=EF=2cm，BC=FG=8cm，把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角最小α时，tanα等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图形绕着点D选择可知，当点B与点E重合时，α角度最小且重叠部分为平行四边形，设BC与FD交于点M，如图，
依题可得：EF=CD=2，∠F=∠C=90°，∠EMF=∠DMC=α，
∴△EFM≌△DCM（AAS），
∴FM=CM，EM=DM，
设CM=FM=x，则DM=8-x，
在Rt△ABC中，
∵CM2+CD2=DM2，
∴x2+22=（8-x）2，
解得：x= ，
tanα= .
故答案为：D.
【分析】由图形绕着点D选择可知，当点B与点E重合时，α角度最小且重叠部分为平行四边形，设BC与FD交于点M，根据全等三角形的判定AAS可得△EFM≌△DCM，由全等三角形性质得FM=CM，EM=DM，设CM=FM=x，则DM=8-x，在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程，解之得CD长，再由锐角三角函数正切定义即可求得答案.
2．（2019·宿迁）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 与原点 重合，顶点 落在 轴的正半轴上，对角线 、 交于点 ，点 、 恰好都在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设 ， ，
∵ 点为菱形对角线的交点，
∴ ， ， ，
∴ ，
把 代入 得 ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】设 ， ，根据菱形的四边相等得出根据菱形的性质得出 ， ， ，根据线段中点坐标公式，用含m,t的式子表示出点M的坐标，将点M的坐标代入反比例函数的解析式得出 ，根据勾股定理建立方程求解得出,利用等量代换即可简化点M的坐标，在 中，根据正切函数的定义由，进而即可得出 的值 。
3．（2019·金华）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BDC=∠α B．BC=m·tanα C．AO= D．BD=
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A.∵矩形ABCD，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
又∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠BDC=∠BAC=α，
故正确，A不符合题意；
B.∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=α，AB=m，
∴tanα= ，
∴BC=AB·tanα=mtanα，
故正确，B不符合题意；
C.∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=α，AB=m，
∴cosα= ，
∴AC= = ，
∴AO= AC=
故错误，C符合题意；
D.∵矩形ABCD，
∴AC=BD，
由C知AC= = ，
∴BD=AC= ，
故正确，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A.由矩形性质和全等三角形判定SAS可得△ABC≌△DCB，根据全等三角形性质可得
∠BDC=∠BAC=α，故A正确；
B.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据正切函数定义可得BC=AB·tanα=mtanα，
故正确；
C.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据余弦函数定义可得AC= = ，再由AO= AC即可求得AO长，故错误；
D.由矩形性质得AC=BD，由C知AC= = ，从而可得BD长，故正确；
4．（2019·凉山）如图，在 中， ，则 sinB 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作 ，垂足为D，如图所示．
在 中， ，
；
在 中， ，
，
．
故答案为：D．
【分析】过点A作 ，垂足为D，如图所示．利用解直角三角形可求出CD=1，根据勾股定理可求出AD=，从而求出BD=CB-CD=3，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，利用三角函数定义可求出sinB=的值.
二、填空题
5．（2019·南通）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则 的最小值等于 .
【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP= PD，
∴ =BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时 有最小值，
∴ 的最小值为 。
故答案为：3 。
【分析】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，根据平行四边形的对边平行得出DC//AB，根据二直线平行，同位角相等得出∠QDP=∠DAB=60°，然后根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由PQ=PD sin∠QDP表示出PQ，故 =BP+PQ，根据两点之间线段最短得出当点B、P、Q三点共线时 有最小值，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得出 的最小值为 。
6．（2019·淮安）如图，在矩形ABCD中， ， ，H是AB的中点，将 沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则 .
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接PB，交CH于E，
由折叠可得，CH垂直平分BP， ，
又∵H为AB的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 中， ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP， ，进而根据线段中点的定义得出，根据等边对等角及三角形的内角和得出 ；根据同位角相等，二直线平行得出 ，根据二直线平行同位角相等得出，进而根据正切函数的定义及等角的同名三角函数值相等得出结论。
7．（2019·雅安）在 Rt△ABC中， ， ，则 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在 中， ，
故答案为： ．
【分析】根据sinA=计算即可.
三、计算题
8．（2019·百色）计算：
【答案】解：原式
=-1+3-1-6
=-5
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据有理数的乘方、二次根式的性质、0指数的意义、特殊锐角三角函数值分别化简，再根据实数的运算顺序及法则即可算出答案。
9．（2019·哈尔滨）先化简，再求代数式（ - ）÷ 的值，其中x=4tan45°+2cos30°．
【答案】 解：原式=
=
=
=
x=
原式=
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先将分式的分子分母能分解因式的先分解因式，将括号里的分式减法进行通分计算，再将除法转化为乘法运算，约分化简，同时将x的值进行化简，然后代入求值。
四、综合题
10．（2019·绥化）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2，-4)，B(0，-4)，C(1，-1)
（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1：
（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，
将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标
（3）若另有一点P(-3，-3)，连接PC，则tan∠BCP= 。
【答案】（1）解：如图，作出线段
标字母B1和C1
（2）解：画出直线CD
写出D(-1，-4)
（3）1
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义；作图﹣旋转
【解析】【解答】（3）连接PB， ∵B(0，-4)，C(1，-1)P(-3，-3) ，
∴PB2=10，PC2=20，CB2=10，
∴PB2+BC2=PC2，
∴△BPC是等腰直角三角形，
∴∠PCB=45°，
∴tan∠BCP=1.
【分析】（1）先确定点B、C关于原点对称点的位置，然后连接即得线段B1C1.
（2）如图，取AB的中点D画出直线CD即可，根据位置写出D点坐标.
（3）连接BP，根据勾股定理的逆定理得出△BPC是等腰直角三角形，可得∠PCB=45°，从而求出tan∠BCP的值.
11．（2019·武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°， ，M是BC上一点，连接AM
（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN
（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q
① 如图2，若n＝1，求证：
② 如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）
【答案】（1） 证明：如图1中，延长AM交CN于点D
∵AM⊥CN，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝∠CBN=90°，
∴∠BAM＋∠AMB＝90°，∠BCN＋∠CMD＝90°，
∵∠AMB＝∠CMD，
∴∠BAM＝∠BCN，
∵
∴AB=BC
在△ABM和△CBN中
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM＝BN．
（2）①证明：如图2中，过点C作CH∥AB交BP的延长线于H． ∴∠ABC+∠BCH=90°∵∠ABC=90°∴∠BCH=∠ABC=90°∵BP⊥AM，∴∠BPM＝90°，∴∠MPB＋∠AMB＝90°，∠MPB＋∠H＝90°， ∴∠AMB＝∠H，∵∴AB＝BC，在△ABM和△BCH中∴△ABM≌△BCH（AAS）∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴∴②如图3中，过点C作CD∥AB交BP的延长线于D，作CE⊥BD于E．∵点M时BC的中点∴BC=2CM设CM=m，则BC＝2m，则AB＝2mn．∵AB：BC=n∴AB=2mn，∵∠DCB=∠ABM=90°，∠D=∠AMB∴△BCD∽△ABM∴解之：CD＝，在Rt△BCD中，BD＝∵m＞0，n＞0∴BD＝在Rt△AMB中AM＝,∵S△AMB=AM BP＝AB BM，∴PB＝=∵S△BCD=BD CE＝CD BC，∴CE＝∵CE⊥BD，PM⊥BD，∴CE∥PM，∴BM：CM=BP：PE∵CM＝BM，∴BP=PE∴PE=∵∠BPQ＝∠CPE，∴tan∠BPQ＝tan∠CPE在Rt△PCE中，∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 （1） 如图1中，延长AM交CN于点D，利用垂直的定义及余角的性质，可证得∠BAM＝∠BCN，由n=1，可知AB=BC，再利用ASA证明△ABM≌△CBN，然后利用全等三角形的性质可证得结论。
（2）①证明：如图2中，过点C作CH∥AB交BP的延长线于H，利用平行线的性质，可知∠BCH=∠ABC，利用余角的性质，可证∠AMB＝∠H，由n=1可得到AB=BC，再利用AAS证明△ABM≌△BCH，从而可得到MB=CH，然后根据平行线分线段成比例定理，得出对应相等成比例，继而可证得结论；②如图3中，过点C作CD∥AB交BP的延长线于D，作CE⊥BD于E，利用线段中点的定义可知BC=2CM，设CM为m，由AB：BC=n可表示出BC、AB，再证明△BCD∽△ABM，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，求出CD，在Rt△BCD和Rt△AMB中，利用勾股定理求出BD，AM，根据同一个直角三角形的面积相等，分别求出PB、CE，再利用平行线分线段成比例，可知BP=PE，就可得到PE的长，根据对顶角相等，可证∠BPQ＝∠CPE，然后在Rt△PCE中，利用锐角三角函数的定义，可求出tan∠BPQ。
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.3.1 锐角三角函数
一、单选题
1．（2019·台州）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH、AB=EF=2cm，BC=FG=8cm，把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角最小α时，tanα等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·宿迁）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 与原点 重合，顶点 落在 轴的正半轴上，对角线 、 交于点 ，点 、 恰好都在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2019·金华）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BDC=∠α B．BC=m·tanα C．AO= D．BD=
4．（2019·凉山）如图，在 中， ，则 sinB 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2019·南通）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则 的最小值等于 .
6．（2019·淮安）如图，在矩形ABCD中， ， ，H是AB的中点，将 沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则 .
7．（2019·雅安）在 Rt△ABC中， ， ，则 ．
三、计算题
8．（2019·百色）计算：
9．（2019·哈尔滨）先化简，再求代数式（ - ）÷ 的值，其中x=4tan45°+2cos30°．
四、综合题
10．（2019·绥化）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2，-4)，B(0，-4)，C(1，-1)
（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1：
（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，
将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标
（3）若另有一点P(-3，-3)，连接PC，则tan∠BCP= 。
11．（2019·武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°， ，M是BC上一点，连接AM
（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN
（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q
① 如图2，若n＝1，求证：
② 如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图形绕着点D选择可知，当点B与点E重合时，α角度最小且重叠部分为平行四边形，设BC与FD交于点M，如图，
依题可得：EF=CD=2，∠F=∠C=90°，∠EMF=∠DMC=α，
∴△EFM≌△DCM（AAS），
∴FM=CM，EM=DM，
设CM=FM=x，则DM=8-x，
在Rt△ABC中，
∵CM2+CD2=DM2，
∴x2+22=（8-x）2，
解得：x= ，
tanα= .
故答案为：D.
【分析】由图形绕着点D选择可知，当点B与点E重合时，α角度最小且重叠部分为平行四边形，设BC与FD交于点M，根据全等三角形的判定AAS可得△EFM≌△DCM，由全等三角形性质得FM=CM，EM=DM，设CM=FM=x，则DM=8-x，在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程，解之得CD长，再由锐角三角函数正切定义即可求得答案.
2．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设 ， ，
∵ 点为菱形对角线的交点，
∴ ， ， ，
∴ ，
把 代入 得 ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】设 ， ，根据菱形的四边相等得出根据菱形的性质得出 ， ， ，根据线段中点坐标公式，用含m,t的式子表示出点M的坐标，将点M的坐标代入反比例函数的解析式得出 ，根据勾股定理建立方程求解得出,利用等量代换即可简化点M的坐标，在 中，根据正切函数的定义由，进而即可得出 的值 。
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A.∵矩形ABCD，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
又∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠BDC=∠BAC=α，
故正确，A不符合题意；
B.∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=α，AB=m，
∴tanα= ，
∴BC=AB·tanα=mtanα，
故正确，B不符合题意；
C.∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=α，AB=m，
∴cosα= ，
∴AC= = ，
∴AO= AC=
故错误，C符合题意；
D.∵矩形ABCD，
∴AC=BD，
由C知AC= = ，
∴BD=AC= ，
故正确，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A.由矩形性质和全等三角形判定SAS可得△ABC≌△DCB，根据全等三角形性质可得
∠BDC=∠BAC=α，故A正确；
B.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据正切函数定义可得BC=AB·tanα=mtanα，
故正确；
C.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据余弦函数定义可得AC= = ，再由AO= AC即可求得AO长，故错误；
D.由矩形性质得AC=BD，由C知AC= = ，从而可得BD长，故正确；
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作 ，垂足为D，如图所示．
在 中， ，
；
在 中， ，
，
．
故答案为：D．
【分析】过点A作 ，垂足为D，如图所示．利用解直角三角形可求出CD=1，根据勾股定理可求出AD=，从而求出BD=CB-CD=3，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，利用三角函数定义可求出sinB=的值.
5．【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP= PD，
∴ =BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时 有最小值，
∴ 的最小值为 。
故答案为：3 。
【分析】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，根据平行四边形的对边平行得出DC//AB，根据二直线平行，同位角相等得出∠QDP=∠DAB=60°，然后根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由PQ=PD sin∠QDP表示出PQ，故 =BP+PQ，根据两点之间线段最短得出当点B、P、Q三点共线时 有最小值，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得出 的最小值为 。
6．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接PB，交CH于E，
由折叠可得，CH垂直平分BP， ，
又∵H为AB的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 中， ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP， ，进而根据线段中点的定义得出，根据等边对等角及三角形的内角和得出 ；根据同位角相等，二直线平行得出 ，根据二直线平行同位角相等得出，进而根据正切函数的定义及等角的同名三角函数值相等得出结论。
7．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在 中， ，
故答案为： ．
【分析】根据sinA=计算即可.
8．【答案】解：原式
=-1+3-1-6
=-5
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据有理数的乘方、二次根式的性质、0指数的意义、特殊锐角三角函数值分别化简，再根据实数的运算顺序及法则即可算出答案。
9．【答案】 解：原式=
=
=
=
x=
原式=
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先将分式的分子分母能分解因式的先分解因式，将括号里的分式减法进行通分计算，再将除法转化为乘法运算，约分化简，同时将x的值进行化简，然后代入求值。
10．【答案】（1）解：如图，作出线段
标字母B1和C1
（2）解：画出直线CD
写出D(-1，-4)
（3）1
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义；作图﹣旋转
【解析】【解答】（3）连接PB， ∵B(0，-4)，C(1，-1)P(-3，-3) ，
∴PB2=10，PC2=20，CB2=10，
∴PB2+BC2=PC2，
∴△BPC是等腰直角三角形，
∴∠PCB=45°，
∴tan∠BCP=1.
【分析】（1）先确定点B、C关于原点对称点的位置，然后连接即得线段B1C1.
（2）如图，取AB的中点D画出直线CD即可，根据位置写出D点坐标.
（3）连接BP，根据勾股定理的逆定理得出△BPC是等腰直角三角形，可得∠PCB=45°，从而求出tan∠BCP的值.
11．【答案】（1） 证明：如图1中，延长AM交CN于点D
∵AM⊥CN，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝∠CBN=90°，
∴∠BAM＋∠AMB＝90°，∠BCN＋∠CMD＝90°，
∵∠AMB＝∠CMD，
∴∠BAM＝∠BCN，
∵
∴AB=BC
在△ABM和△CBN中
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM＝BN．
（2）①证明：如图2中，过点C作CH∥AB交BP的延长线于H． ∴∠ABC+∠BCH=90°∵∠ABC=90°∴∠BCH=∠ABC=90°∵BP⊥AM，∴∠BPM＝90°，∴∠MPB＋∠AMB＝90°，∠MPB＋∠H＝90°， ∴∠AMB＝∠H，∵∴AB＝BC，在△ABM和△BCH中∴△ABM≌△BCH（AAS）∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴∴②如图3中，过点C作CD∥AB交BP的延长线于D，作CE⊥BD于E．∵点M时BC的中点∴BC=2CM设CM=m，则BC＝2m，则AB＝2mn．∵AB：BC=n∴AB=2mn，∵∠DCB=∠ABM=90°，∠D=∠AMB∴△BCD∽△ABM∴解之：CD＝，在Rt△BCD中，BD＝∵m＞0，n＞0∴BD＝在Rt△AMB中AM＝,∵S△AMB=AM BP＝AB BM，∴PB＝=∵S△BCD=BD CE＝CD BC，∴CE＝∵CE⊥BD，PM⊥BD，∴CE∥PM，∴BM：CM=BP：PE∵CM＝BM，∴BP=PE∴PE=∵∠BPQ＝∠CPE，∴tan∠BPQ＝tan∠CPE在Rt△PCE中，∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 （1） 如图1中，延长AM交CN于点D，利用垂直的定义及余角的性质，可证得∠BAM＝∠BCN，由n=1，可知AB=BC，再利用ASA证明△ABM≌△CBN，然后利用全等三角形的性质可证得结论。
（2）①证明：如图2中，过点C作CH∥AB交BP的延长线于H，利用平行线的性质，可知∠BCH=∠ABC，利用余角的性质，可证∠AMB＝∠H，由n=1可得到AB=BC，再利用AAS证明△ABM≌△BCH，从而可得到MB=CH，然后根据平行线分线段成比例定理，得出对应相等成比例，继而可证得结论；②如图3中，过点C作CD∥AB交BP的延长线于D，作CE⊥BD于E，利用线段中点的定义可知BC=2CM，设CM为m，由AB：BC=n可表示出BC、AB，再证明△BCD∽△ABM，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，求出CD，在Rt△BCD和Rt△AMB中，利用勾股定理求出BD，AM，根据同一个直角三角形的面积相等，分别求出PB、CE，再利用平行线分线段成比例，可知BP=PE，就可得到PE的长，根据对顶角相等，可证∠BPQ＝∠CPE，然后在Rt△PCE中，利用锐角三角函数的定义，可求出tan∠BPQ。
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