初中数学苏科版九年级下册7.3 特殊角的三角函数 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·韩城期末）计算：sin60° tan30°＝（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2021九上·上城期末）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·福田期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则cosA的值是（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2018九上·杭州期末）Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·包河月考）若sin（75°-θ）的值是 ，则θ=（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（2020九上·新化期末）点 关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019九上·西城期中）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2018九上·襄汾期中）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣ |+（sinB﹣ ）2=0，则∠C=（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
9．（2018·绍兴模拟）α为锐角，当 无意义时，sin（α+15°）+cos（α﹣15°）的值为（ ）
A． B． C． D．
10．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°= =1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°= ，②tan105°=﹣2﹣ ，③sin15°= ，④cos90°=0
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2020九上·临武月考）计算： =
12．（2020·合肥模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A= ，那么cosB= ．
13．（2020九上·临武月考）在 中，∠A，∠B为锐角，sinA = ，tanB = ，则 的形状为
14．（2020九上·鄞州月考）半径为3cm的⊙O中有长为 的弦AB，则弦AB所对的圆周角为
15．（2020·盐池模拟）反比例函数 的图象经过点（tan45°，cos60°），则k＝ .
16．（2019·宁津模拟）一般地，当a，β为任意角时，sin(a+β)与sin(a-β)的值可以用下面的公式求得：
sin(a+β)=sina·cosβ+cosa·sinβ:sin(a-β)=sina·cosβ-cosa·sinβ.例如sin90°=sin(60°+30°）=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°= =1,类似地，可以求得sin15°的值是 .
17．（2019九上·武邑月考）已知⊙O的直径CD为4， 的度数为80°，点B是 的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为 ．
18．（2019·南通）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则 的最小值等于 .
三、解答题
19．（2020九上·海淀期末）计算：
（1）
（2）
（3）
20．（2017·道外模拟）先化简，再求代数式的值： ，其中a=tan60°﹣2sin30°．
21．（2017·道里模拟）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中a=cos30°﹣2tan45°．
22．（2017·济宁模拟）先化简，再求代数式（ ﹣ ）÷ 的值，其中x=2sin60°﹣1，y=tan45°．
23．（2016九上·黑龙江期中）先化简，再求代数式 ÷ 的值，其中m=tan60°﹣2sin30°．
24．（2016·南岗模拟）先化简，再求代数式 的值，其中a=tan60° ．
25．（2016·哈尔滨）先化简，再求代数式（ ﹣ ）÷ 的值，其中a=2sin60°+tan45°．
26．（2019九上·泉州期中）请先阅读这段内容.再解答问题
三角函数中常用公式 .求 的值，
即 .
试用公式 ，求出 的值.
27．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°=（ ）2+（ ）2=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin60° tan30°＝ × ＝ .
故答案为：B.
【分析】由特殊角的三角函数值可得，sin60°=，tan30°=，再根据二次根式的乘法运算法则计算即可求解.
2．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A 、∵tan45 =1，∴A选项错误；
B、∵ cos45 = ，∴ B 选项错误；
C 、∵sin30 = ，∴C选项正确；
D 、∵tan60 = ；∴D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值分别判断即可.
3．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A=30°，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据锐角三角函数的定义求出，得出∠A=30°，从而求出，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sinA= ，
则∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠B=60°，
∴tanB=tan60°= ，
故选：D．
【分析】根据30°的正弦值是 ，求出∠A，根据直角三角形的性质求出∠B，根据60°的正切值计算．
5．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sin30°=
∴75°- θ=30°
∴ θ=45°
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数，求出答案即可。
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以点
所以关于x轴的对称点为
故答案为：D.
【分析】根据特殊锐角的三角函数值，先确定点M的坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标x值不变，y值互为相反数的特点进行选择即可.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴sin∠ABC＝ ；
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，再解直角三角形求出即可．
8．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵|cosA﹣ |+（sinB﹣ ）2=0，∴cosA= ，sinB= ，则∠A=60°，∠B=45°，故∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°．
故答案为：C．
【分析】先根据“几个非负数的和等于0，那么这几个数都等于0”求出cosA和sinB的值，然后根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数。
9．【答案】A
【知识点】分式有意义的条件；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：根据题意得1-tanα=0
∴α=45°
∴sin（α+15°）+cos（α﹣15°）=
=sin60°+cos30°=+=
故答案为：A
【分析】根据分式无意义，则分母＝0，得出1-tanα=0，求出α，然后将α代入sin（α+15°）+cos（α﹣15°），化简即可。
10．【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：①sin105°=sin（45°+60°）
=sin60°cos45°+cos60°sin45°
= × + ×
= ，故正确；
②tan105°=tan（60°+45°）
=
=
=
=﹣2﹣ ，故正确；
③sin15°=sin（60°﹣45°）
=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
= × ﹣ ×
= ，故正确；
④cos90°=cos（45°+45°）
=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
= × ﹣ ×
=0，故正确；
故正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】①利用公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ 将sin105°转化为sin（45°+60°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°，再根据特殊锐角三角函数值，利用实数的混合运算顺序进而算出答案；② 根据公式tan（α+β）= 将 tan105° 变形为tan（60°+45°）= ，再根据特殊锐角三角函数值，利用实数的混合运算顺序进而算出答案；③根据公式 sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ 将 sin15° 变形为sin（60°﹣45°）=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°再根据特殊锐角三角函数值，利用实数的混合运算顺序进而算出答案；④根据公式 cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ 将 cos90° 变形为cos（45°+45°）=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°，再根据特殊锐角三角函数值，利用实数的混合运算顺序进而算出答案，综上所述即可作出判断。
11．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
．
故答案是： .
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算，cos30°=，tan45°=1，sin60°=，tan60°=.
12．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵tanA= ，
∴∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°，
∴cosB= ．
故答案为： ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°，进而得出∠B的度数，进而得出答案．
13．【答案】等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 在 中， 为锐角， ，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可得到∠A=30°，∠B=30°，再根据三角形的内角和定理计算出∠C的度数，即可判断出△ABC的形状.
14．【答案】60°或120°
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则 ， ，
∵OA=3，AB= ，
∴ ，
∴ ，
∴∠AOF=60°，
∴∠AOB=2∠AOF=120°，
∴ ，
∴∠AEB=180°-60°=120°.
故答案为：60°或120°.
【分析】连接OA、OB，过O作OF⊥AB，利用垂径定理求出AF的长，再利用解直角三角形求出∠AOF的度数，由此可求出∠AOB的度数，然后利用圆周角定理可求出∠ADB的度数，然后利用圆内接四边形的性质，可求出∠AEB的度数.
15．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在函数图象上，把点代入函数，就可以求出k值.
y= 的图象经过点（tan45°，cos60°），所以cos60°= ， k=
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及特殊角的三角形函数值进行解答即可.
16．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin15°=sin（60°-45°）
=sin60°·cos45°-cos60°·sin45°，
=
=
故答案为：
【分析】由15°=60°-45°，根据sin(a-β)=sina·cosβ-cosa·sinβ，然后代入特殊角的三角函数值计算即得.
17．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O与点E，连接B′E．
∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB=PB′. ．
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是 的中点，
∴ =120°．
∴∠B′EA=60°．
∴AB′=AE sin60°=4× =2 ．
【分析】找到点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，进行作答即可.
18．【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP= PD，
∴ =BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时 有最小值，
∴ 的最小值为 。
故答案为：3 。
【分析】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，根据平行四边形的对边平行得出DC//AB，根据二直线平行，同位角相等得出∠QDP=∠DAB=60°，然后根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由PQ=PD sin∠QDP表示出PQ，故 =BP+PQ，根据两点之间线段最短得出当点B、P、Q三点共线时 有最小值，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得出 的最小值为 。
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式 ．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值化简，再代入计算即可；（2）先利用特殊角的三角函数值化简，再代入计算即可。
20．【答案】解：原式= ．
当a=tan60°﹣2sin30°= ﹣2× = 时，
原式= ．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】分别化简分式和a的值，再代入计算求值．
21．【答案】解：原式= ﹣
= ﹣
= ，
当a=cos30°﹣2tan45°= ﹣2时，原式= = ．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算除法，再算减法，最后求出a的值代入进行计算即可．
22．【答案】解：原式=[ ﹣ ]
=
=﹣
=﹣ ，
∵x=2sin60°﹣1=2× ﹣1= ﹣1，y=tan45°=1，
∴原式=﹣ =﹣ =﹣ ．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先将分子、分母因式分解、将括号内通分，同时将除法转化为乘法，再计算括号内的减法，最后约分可得，将x、y的值整理后代入即可．
23．【答案】解：∵m=tan60°﹣2sin30°= ﹣2× = ﹣1，
∴ ÷ = × = = =
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求出m的值，再把要求的代数式进行化简，然后代值计算即可．
24．【答案】解：原式= ÷
=
= ，
当a=tan60°﹣ sin45°= ﹣1时，原式= =3﹣
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出a的值，代入计算即可求出值．
25．【答案】解：原式=[ ﹣ ] （a+1）= （a+1）= （a+1）= （a+1）= ，当a=2sin60°+tan45°=2× +1= +1时，原式= = ．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
26．【答案】解： ，
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将75°化为30°和45°两个特殊角，然后根据给出的公式及特殊角的三角函数值来解答
27．【答案】解1：（Ⅰ）当α=30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
=sin230°+sin260°
=（ ）2+（ ）2
= +
=1；
（Ⅱ）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C=90°，
设∠A=α，则∠B=90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
=（ ）2+（ ）2
=
=
=1
【知识点】互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（Ⅰ）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；（Ⅱ）设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
1 / 1初中数学苏科版九年级下册7.3 特殊角的三角函数 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·韩城期末）计算：sin60° tan30°＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin60° tan30°＝ × ＝ .
故答案为：B.
【分析】由特殊角的三角函数值可得，sin60°=，tan30°=，再根据二次根式的乘法运算法则计算即可求解.
2．（2021九上·上城期末）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A 、∵tan45 =1，∴A选项错误；
B、∵ cos45 = ，∴ B 选项错误；
C 、∵sin30 = ，∴C选项正确；
D 、∵tan60 = ；∴D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值分别判断即可.
3．（2020九上·福田期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则cosA的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A=30°，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据锐角三角函数的定义求出，得出∠A=30°，从而求出，即可求解.
4．（2018九上·杭州期末）Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sinA= ，
则∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠B=60°，
∴tanB=tan60°= ，
故选：D．
【分析】根据30°的正弦值是 ，求出∠A，根据直角三角形的性质求出∠B，根据60°的正切值计算．
5．（2020九上·包河月考）若sin（75°-θ）的值是 ，则θ=（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sin30°=
∴75°- θ=30°
∴ θ=45°
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数，求出答案即可。
6．（2020九上·新化期末）点 关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以点
所以关于x轴的对称点为
故答案为：D.
【分析】根据特殊锐角的三角函数值，先确定点M的坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标x值不变，y值互为相反数的特点进行选择即可.
7．（2019九上·西城期中）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴sin∠ABC＝ ；
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，再解直角三角形求出即可．
8．（2018九上·襄汾期中）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣ |+（sinB﹣ ）2=0，则∠C=（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵|cosA﹣ |+（sinB﹣ ）2=0，∴cosA= ，sinB= ，则∠A=60°，∠B=45°，故∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°．
故答案为：C．
【分析】先根据“几个非负数的和等于0，那么这几个数都等于0”求出cosA和sinB的值，然后根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数。
9．（2018·绍兴模拟）α为锐角，当 无意义时，sin（α+15°）+cos（α﹣15°）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：根据题意得1-tanα=0
∴α=45°
∴sin（α+15°）+cos（α﹣15°）=
=sin60°+cos30°=+=
故答案为：A
【分析】根据分式无意义，则分母＝0，得出1-tanα=0，求出α，然后将α代入sin（α+15°）+cos（α﹣15°），化简即可。
10．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°= =1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°= ，②tan105°=﹣2﹣ ，③sin15°= ，④cos90°=0
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：①sin105°=sin（45°+60°）
=sin60°cos45°+cos60°sin45°
= × + ×
= ，故正确；
②tan105°=tan（60°+45°）
=
=
=
=﹣2﹣ ，故正确；
③sin15°=sin（60°﹣45°）
=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
= × ﹣ ×
= ，故正确；
④cos90°=cos（45°+45°）
=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
= × ﹣ ×
=0，故正确；
故正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】①利用公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ 将sin105°转化为sin（45°+60°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°，再根据特殊锐角三角函数值，利用实数的混合运算顺序进而算出答案；② 根据公式tan（α+β）= 将 tan105° 变形为tan（60°+45°）= ，再根据特殊锐角三角函数值，利用实数的混合运算顺序进而算出答案；③根据公式 sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ 将 sin15° 变形为sin（60°﹣45°）=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°再根据特殊锐角三角函数值，利用实数的混合运算顺序进而算出答案；④根据公式 cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ 将 cos90° 变形为cos（45°+45°）=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°，再根据特殊锐角三角函数值，利用实数的混合运算顺序进而算出答案，综上所述即可作出判断。
二、填空题
11．（2020九上·临武月考）计算： =
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
．
故答案是： .
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算，cos30°=，tan45°=1，sin60°=，tan60°=.
12．（2020·合肥模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A= ，那么cosB= ．
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵tanA= ，
∴∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°，
∴cosB= ．
故答案为： ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°，进而得出∠B的度数，进而得出答案．
13．（2020九上·临武月考）在 中，∠A，∠B为锐角，sinA = ，tanB = ，则 的形状为
【答案】等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 在 中， 为锐角， ，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可得到∠A=30°，∠B=30°，再根据三角形的内角和定理计算出∠C的度数，即可判断出△ABC的形状.
14．（2020九上·鄞州月考）半径为3cm的⊙O中有长为 的弦AB，则弦AB所对的圆周角为
【答案】60°或120°
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则 ， ，
∵OA=3，AB= ，
∴ ，
∴ ，
∴∠AOF=60°，
∴∠AOB=2∠AOF=120°，
∴ ，
∴∠AEB=180°-60°=120°.
故答案为：60°或120°.
【分析】连接OA、OB，过O作OF⊥AB，利用垂径定理求出AF的长，再利用解直角三角形求出∠AOF的度数，由此可求出∠AOB的度数，然后利用圆周角定理可求出∠ADB的度数，然后利用圆内接四边形的性质，可求出∠AEB的度数.
15．（2020·盐池模拟）反比例函数 的图象经过点（tan45°，cos60°），则k＝ .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在函数图象上，把点代入函数，就可以求出k值.
y= 的图象经过点（tan45°，cos60°），所以cos60°= ， k=
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及特殊角的三角形函数值进行解答即可.
16．（2019·宁津模拟）一般地，当a，β为任意角时，sin(a+β)与sin(a-β)的值可以用下面的公式求得：
sin(a+β)=sina·cosβ+cosa·sinβ:sin(a-β)=sina·cosβ-cosa·sinβ.例如sin90°=sin(60°+30°）=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°= =1,类似地，可以求得sin15°的值是 .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin15°=sin（60°-45°）
=sin60°·cos45°-cos60°·sin45°，
=
=
故答案为：
【分析】由15°=60°-45°，根据sin(a-β)=sina·cosβ-cosa·sinβ，然后代入特殊角的三角函数值计算即得.
17．（2019九上·武邑月考）已知⊙O的直径CD为4， 的度数为80°，点B是 的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O与点E，连接B′E．
∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB=PB′. ．
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是 的中点，
∴ =120°．
∴∠B′EA=60°．
∴AB′=AE sin60°=4× =2 ．
【分析】找到点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，进行作答即可.
18．（2019·南通）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则 的最小值等于 .
【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP= PD，
∴ =BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时 有最小值，
∴ 的最小值为 。
故答案为：3 。
【分析】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，根据平行四边形的对边平行得出DC//AB，根据二直线平行，同位角相等得出∠QDP=∠DAB=60°，然后根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由PQ=PD sin∠QDP表示出PQ，故 =BP+PQ，根据两点之间线段最短得出当点B、P、Q三点共线时 有最小值，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得出 的最小值为 。
三、解答题
19．（2020九上·海淀期末）计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式 ．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值化简，再代入计算即可；（2）先利用特殊角的三角函数值化简，再代入计算即可。
20．（2017·道外模拟）先化简，再求代数式的值： ，其中a=tan60°﹣2sin30°．
【答案】解：原式= ．
当a=tan60°﹣2sin30°= ﹣2× = 时，
原式= ．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】分别化简分式和a的值，再代入计算求值．
21．（2017·道里模拟）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中a=cos30°﹣2tan45°．
【答案】解：原式= ﹣
= ﹣
= ，
当a=cos30°﹣2tan45°= ﹣2时，原式= = ．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算除法，再算减法，最后求出a的值代入进行计算即可．
22．（2017·济宁模拟）先化简，再求代数式（ ﹣ ）÷ 的值，其中x=2sin60°﹣1，y=tan45°．
【答案】解：原式=[ ﹣ ]
=
=﹣
=﹣ ，
∵x=2sin60°﹣1=2× ﹣1= ﹣1，y=tan45°=1，
∴原式=﹣ =﹣ =﹣ ．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先将分子、分母因式分解、将括号内通分，同时将除法转化为乘法，再计算括号内的减法，最后约分可得，将x、y的值整理后代入即可．
23．（2016九上·黑龙江期中）先化简，再求代数式 ÷ 的值，其中m=tan60°﹣2sin30°．
【答案】解：∵m=tan60°﹣2sin30°= ﹣2× = ﹣1，
∴ ÷ = × = = =
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求出m的值，再把要求的代数式进行化简，然后代值计算即可．
24．（2016·南岗模拟）先化简，再求代数式 的值，其中a=tan60° ．
【答案】解：原式= ÷
=
= ，
当a=tan60°﹣ sin45°= ﹣1时，原式= =3﹣
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出a的值，代入计算即可求出值．
25．（2016·哈尔滨）先化简，再求代数式（ ﹣ ）÷ 的值，其中a=2sin60°+tan45°．
【答案】解：原式=[ ﹣ ] （a+1）= （a+1）= （a+1）= （a+1）= ，当a=2sin60°+tan45°=2× +1= +1时，原式= = ．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
26．（2019九上·泉州期中）请先阅读这段内容.再解答问题
三角函数中常用公式 .求 的值，
即 .
试用公式 ，求出 的值.
【答案】解： ，
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将75°化为30°和45°两个特殊角，然后根据给出的公式及特殊角的三角函数值来解答
27．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°=（ ）2+（ ）2=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【答案】解1：（Ⅰ）当α=30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
=sin230°+sin260°
=（ ）2+（ ）2
= +
=1；
（Ⅱ）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C=90°，
设∠A=α，则∠B=90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
=（ ）2+（ ）2
=
=
=1
【知识点】互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（Ⅰ）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；（Ⅱ）设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
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