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初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.6 应用一元二次方程
一、单选题
1．（2019·北部湾）扬帆中学有一块长30m.宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之—的区域种花.小禹同学设计方案如图所示.求花带的宽度。设花带的宽度为x m.则可列方程为( )
A．(30-x)(20-x)= ×20×30 B．(30-2x)(20-x)= ×20×30
C．30x+2×20x= ×20×30 D．(30-2x)(20-x)= ×20×30
2．（2019·北部湾模拟）将一块长方形桌布铺在长为3m，宽为2m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度．设桌布下垂的长度为xm，则所列的方程是（ ）
A．（2x+3）（2x+2)=2×3×2 B．2（x+3)（x+2)=3×2
C．(x+3）（x+2)=2×3×2 D．2(2x+3）(2x+2)=3×2 21/4x
3．（2019·伊春）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八下·诸暨期末）如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m2．若设AD＝xm，则可列方程（ ）
A．（50﹣ ）x＝900 B．（60﹣x）x＝900
C．（50﹣x）x＝900 D．（40﹣x）x＝900
二、解答题
5．（2019·南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
6．（2019·徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长 ，宽 .在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为 ？
三、综合题
7．已知y=ax2+bx+1，当x=1时，y=0;当x=2时，y=3．
（1）求a、b的值
（2）当x=-2时，求y的值
8．（2019·安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
9．（2019八下·鄞州期末）一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低1元，每天可多售出200千克．
（1）若将这种水果每千克的售价降低 元，则每天销售量是多少千克？（结果用含 的代数式表示）
（2）若想每天盈利300元，且保证每天至少售出260千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？
10．（2019八下·余姚期末）某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件
（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率
（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设花带的宽度为x m，根据题意得：
(30-2x)(20-x)=×20×30
故答案为：D
【分析】此题的等量关系为：空白区域的面积=矩形空地的面积，列方程即可。
2．【答案】A
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：
设桌布下垂的长度为xm ，
（2x+3）（2x+2）=2×3×2，
故答案为：A.
【分析】设桌布下垂的长度为xm ，可得桌布的长为（2x+3）米，宽为（2x+2）米，利用桌布的面积是桌面面积的2倍，列出方程即可.
3．【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设这种植物每个支干长出 个小分支，
依题意，得： ，
解得： （舍去）， ．
故答案为：C．
【分析】根据题意，可列出一元二次方程，解出结果即可。
4．【答案】B
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：AD＝xm，由题意得
（60﹣x）x＝900
故答案为：B
【分析】抓住题中关键的已知条件，可得等量关系：矩形的长+宽=60；AD·BC=900，列方程即可。
5．【答案】解：设扩充后广场的长为 ，宽为 .
根据题意，得 .
解得 （不合题意，舍去）.
所以 .
答：扩充后广场的长和宽应分别为 和
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 设扩充后广场的长为 ，宽为 ，扩建后广场的面积为3x·2x平方米，扩建后的广场铺设地砖费用为3x·2x×100元；扩建部分的面积为（3x·2x-50×40）平方米，扩建部分的费用为30（3x·2x-50×40）元，根据扩建部分的费用+扩建后的广场铺设地砖费用=642000元，列出方程，求解并检验即可。
6．【答案】解：设剪去正方形的边长为 ，则做成无盖长方体盒子的底面长为 ，宽为 ，高为 ，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
当 时， ，不合题意，舍去，
∴ ，
答：当剪去正方形的边长为 cm时，所得长方体盒子的侧面积为
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 设剪去正方形的边长为 ，则做成无盖长方体盒子的底面长为 ，宽为 ，高为 ， 根据矩形的面积计算方法，及长方体盒子侧面积的计算方法，由 长方体盒子的侧面积为 建立方程，求解并检验即可。
7．【答案】（1）解：由题意，得
（过程略）解得
（2）解：由（1）得y＝2x2－3x＋1，
当x＝-2时，y＝2×(-2)2－3×(-2)＋1＝15
【考点】二元一次方程组的解；一元二次方程的应用
【解析】【分析】解：（1）根据题意，即可得到关于a和b的二元一次方程组，解得a和b的值即可。
（2）根据（1）中计算得到函数解析式，将x=-2代入求出答案即可。
8．【答案】（1）解：设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2,y＝120
当x＝4,y＝140
∴
∴
∴y＝10x+100
（2）解：由题意得：
（60－40－x）(10x+100)＝2090(或（20－x）(10x+100)＝2090)
x2－10x+9＝0
解得：x1＝1.x2＝9
∵让顾客得到更大的实惠
∴x＝9
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元。
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法即可求出 这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（2）根据每千克的利润乘以销售数量等于总利润，列出方程，求解并检验即可。
9．【答案】（1）解：每天的销售量是 （千克）．
故每天销售量是 千克
（2）解：设这种水果每斤售价降低 元，根据题意得： ，
解得： ， ，
当 时，销售量是 ；
当 时，销售量是 （斤 ．
每天至少售出260斤，
．
答：水果店需将每千克的售价降低1元．
【考点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）抓住已知条件：通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低1元，每天可多售出200千克，就可求出每天增加的销售量，就可求出每天的销售量。
（2）根据利润=每千克的利润×销售量=300，建立关于x的方程，解方程求出x的值，再根据每天至少售出260斤，就可求出结果。
10．【答案】（1）解：设二、三月份销售量的平均月增长率为x，
则320（1+x)2=500
解得:x1=0.25，x2=-2.25(不合，舍去)
答:二、三月份销售量的平均月增长率为25%。
（2）解：设每件降价y元，
由题意得:(500+10× )(150-y-80)=12000
整理得:y2+180y-11500=0
解得:y1=50，y2=-230(不合，舍去)
答:每件降价50元，四月份可获利12000元。
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设二、三月份销售量的平均月增长率为x ，则二月份的销售量为320（1+x）, 三月份的销售量为320（1+x）（1+x）, 列方程得：320（1+x）2=500, 解方程即可。
（2）设降价x元，先根据该服装售价每降价5元，月销售量增加10件 ，得销售量为 500+10× ，再求出单件利润： 150-y-80 ，最后根据总利润=销售量×单件利润列方程，解方程即可。
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初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.6 应用一元二次方程
一、单选题
1．（2019·北部湾）扬帆中学有一块长30m.宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之—的区域种花.小禹同学设计方案如图所示.求花带的宽度。设花带的宽度为x m.则可列方程为( )
A．(30-x)(20-x)= ×20×30 B．(30-2x)(20-x)= ×20×30
C．30x+2×20x= ×20×30 D．(30-2x)(20-x)= ×20×30
【答案】D
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设花带的宽度为x m，根据题意得：
(30-2x)(20-x)=×20×30
故答案为：D
【分析】此题的等量关系为：空白区域的面积=矩形空地的面积，列方程即可。
2．（2019·北部湾模拟）将一块长方形桌布铺在长为3m，宽为2m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度．设桌布下垂的长度为xm，则所列的方程是（ ）
A．（2x+3）（2x+2)=2×3×2 B．2（x+3)（x+2)=3×2
C．(x+3）（x+2)=2×3×2 D．2(2x+3）(2x+2)=3×2 21/4x
【答案】A
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：
设桌布下垂的长度为xm ，
（2x+3）（2x+2）=2×3×2，
故答案为：A.
【分析】设桌布下垂的长度为xm ，可得桌布的长为（2x+3）米，宽为（2x+2）米，利用桌布的面积是桌面面积的2倍，列出方程即可.
3．（2019·伊春）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设这种植物每个支干长出 个小分支，
依题意，得： ，
解得： （舍去）， ．
故答案为：C．
【分析】根据题意，可列出一元二次方程，解出结果即可。
4．（2019八下·诸暨期末）如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m2．若设AD＝xm，则可列方程（ ）
A．（50﹣ ）x＝900 B．（60﹣x）x＝900
C．（50﹣x）x＝900 D．（40﹣x）x＝900
【答案】B
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：AD＝xm，由题意得
（60﹣x）x＝900
故答案为：B
【分析】抓住题中关键的已知条件，可得等量关系：矩形的长+宽=60；AD·BC=900，列方程即可。
二、解答题
5．（2019·南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【答案】解：设扩充后广场的长为 ，宽为 .
根据题意，得 .
解得 （不合题意，舍去）.
所以 .
答：扩充后广场的长和宽应分别为 和
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 设扩充后广场的长为 ，宽为 ，扩建后广场的面积为3x·2x平方米，扩建后的广场铺设地砖费用为3x·2x×100元；扩建部分的面积为（3x·2x-50×40）平方米，扩建部分的费用为30（3x·2x-50×40）元，根据扩建部分的费用+扩建后的广场铺设地砖费用=642000元，列出方程，求解并检验即可。
6．（2019·徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长 ，宽 .在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为 ？
【答案】解：设剪去正方形的边长为 ，则做成无盖长方体盒子的底面长为 ，宽为 ，高为 ，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
当 时， ，不合题意，舍去，
∴ ，
答：当剪去正方形的边长为 cm时，所得长方体盒子的侧面积为
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 设剪去正方形的边长为 ，则做成无盖长方体盒子的底面长为 ，宽为 ，高为 ， 根据矩形的面积计算方法，及长方体盒子侧面积的计算方法，由 长方体盒子的侧面积为 建立方程，求解并检验即可。
三、综合题
7．已知y=ax2+bx+1，当x=1时，y=0;当x=2时，y=3．
（1）求a、b的值
（2）当x=-2时，求y的值
【答案】（1）解：由题意，得
（过程略）解得
（2）解：由（1）得y＝2x2－3x＋1，
当x＝-2时，y＝2×(-2)2－3×(-2)＋1＝15
【考点】二元一次方程组的解；一元二次方程的应用
【解析】【分析】解：（1）根据题意，即可得到关于a和b的二元一次方程组，解得a和b的值即可。
（2）根据（1）中计算得到函数解析式，将x=-2代入求出答案即可。
8．（2019·安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【答案】（1）解：设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2,y＝120
当x＝4,y＝140
∴
∴
∴y＝10x+100
（2）解：由题意得：
（60－40－x）(10x+100)＝2090(或（20－x）(10x+100)＝2090)
x2－10x+9＝0
解得：x1＝1.x2＝9
∵让顾客得到更大的实惠
∴x＝9
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元。
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法即可求出 这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（2）根据每千克的利润乘以销售数量等于总利润，列出方程，求解并检验即可。
9．（2019八下·鄞州期末）一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低1元，每天可多售出200千克．
（1）若将这种水果每千克的售价降低 元，则每天销售量是多少千克？（结果用含 的代数式表示）
（2）若想每天盈利300元，且保证每天至少售出260千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？
【答案】（1）解：每天的销售量是 （千克）．
故每天销售量是 千克
（2）解：设这种水果每斤售价降低 元，根据题意得： ，
解得： ， ，
当 时，销售量是 ；
当 时，销售量是 （斤 ．
每天至少售出260斤，
．
答：水果店需将每千克的售价降低1元．
【考点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）抓住已知条件：通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低1元，每天可多售出200千克，就可求出每天增加的销售量，就可求出每天的销售量。
（2）根据利润=每千克的利润×销售量=300，建立关于x的方程，解方程求出x的值，再根据每天至少售出260斤，就可求出结果。
10．（2019八下·余姚期末）某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件
（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率
（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元
【答案】（1）解：设二、三月份销售量的平均月增长率为x，
则320（1+x)2=500
解得:x1=0.25，x2=-2.25(不合，舍去)
答:二、三月份销售量的平均月增长率为25%。
（2）解：设每件降价y元，
由题意得:(500+10× )(150-y-80)=12000
整理得:y2+180y-11500=0
解得:y1=50，y2=-230(不合，舍去)
答:每件降价50元，四月份可获利12000元。
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设二、三月份销售量的平均月增长率为x ，则二月份的销售量为320（1+x）, 三月份的销售量为320（1+x）（1+x）, 列方程得：320（1+x）2=500, 解方程即可。
（2）设降价x元，先根据该服装售价每降价5元，月销售量增加10件 ，得销售量为 500+10× ，再求出单件利润： 150-y-80 ，最后根据总利润=销售量×单件利润列方程，解方程即可。
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