初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.1.4 圆周角
一、基础巩固
1．（2019·温州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（ ）
A．22° B．26° C．32° D．34°
2．（2019九下·保山期中）如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B=22°，则∠A=（ ）.
A．22° B．40° C．44° D．68°
3．（2019九上·惠城期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
4．（2019九上·临沧期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是
A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA
5．（2019九下·江阴期中）如图，O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝38 ，则∠OAC的度数是 .
6．（2019九下·象山月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠BCD＝130°，则∠ABD的度数是 ．
7．（2019九上·德清期末）如图，⊙D是△ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线，保留画图痕迹．
二、强化提升
8．（2019·温州模拟）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且EF⊥BE，EF=BE，△DEF的外接圆⊙O恰好切BC于点G，BF交⊙O于点H，连结DH.若AB=8，则DH= .
9．（2019·仁寿模拟）如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝ .
10．（2019九下·三原月考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝ ．
11．（2019九上·秀洲期末）如图，AB是 的直径，点C、D是 两点，且AC=CD．求证：OC//BD.
12．（2019九上·官渡期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．
（1）求证：OD∥AC；
（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．
三、真题演练
13．（2019·柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
14．（2019·贵港）如图，AD是⊙O的直径， ，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
15．（2019·德州）如图，点 为线段 的中点，点 ， ， 到点 的距离相等，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
16．（2019·盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且弧AB为50°，则∠E＋∠C＝
17．（2019·辽阳）如图， 是⊙ 上的四点，且点 是 的中点， 交 于点 ， ， ，那么 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵ ∠A＝68° ，
∴∠BOC=2∠A=136°,
∵OB=OC,
∴ ∠OBC ==22°;
故答案为 ：A。
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC，再根据三角形的内角和及等腰三角形的两底角相等即可算出答案。
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BA∥CO，
∴∠A=∠AOC；
∵∠B=22°，
∴∠AOC=2∠B=44°，
∴∠A=44°.
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A=∠AOC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC的度数，从而求出∠A的度数。
3．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠A＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：B
【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质可求得∠C的度数。
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴ ，AD=DC，故A、B正确；
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，故C正确；
∵ ，∴∠DAB＞∠CBA，故D错误。
故答案为：D。
【分析】根据角的平分线定理得出∠DBC=∠ABD，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等、所对的弦相等得出 ，AD=DC，故A、B正确；根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=∠ACB=90°，故C正确，从而得出答案。
5．【答案】19°
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝38 ，
∴∠ACB=19°，
又∵AO∥BC，
∴∠OAC=∠ACB=19°.
故答案为：19°.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠ACB的度数，再根据二直线平行，内错角相等得出 ∠OAC的度数 。
6．【答案】40°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝40°，
故答案为：40°．
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补得出∠A的度数，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB的度数，最后根据三角形的内角和即可算出∠ABD的度数。
7．【答案】如图①中，连接PA，PA就是∠P的平分线．
图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，PE就是∠P的平分线
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】①根据等弦对等弧得，由圆周角定理可得∠APB=∠APC，从而可得AP平分 ∠P .
② 连接AO延长交⊙O于E，由垂径定理可得， 由圆周角定理可得∠EPB=∠EPC，从而可得EP平分 ∠P .
8．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接OG，反向延长交DE于M，连接EH，过H作HN//BC交DC于N，HP//CF教BC于P。
∵∠BEF=90°，ABCD是矩形，
∴∠ABE+∠AEB=90°，∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
又∵BE=EF，∠BAE=∠EDF=90°，
∴△BAE≌△EDF，
∴DE=AB=8，
∵⊙O切BC于G，
∴OG⊥BC，OM⊥DE，MG=AB=8，
∴ME= DE=4，
在Rt△OEM中，OE2=OM2+ME2，即OE2=(8-OE)2+42，
解得：OE=5，
∴OM=3，
∵OM是△DEF的中位线，
∴DF=2OM=6，
∴CF=8-6=2，
∵∠EDF=90°，⊙O是△DEF的外接圆，
∴EF是⊙O的直径，
∴∠EHF=90°，
∵BE=EF，
∴BH=HF，
∵HN//BC，HP//CF，∠C=90°，
∴四边形HPCN是矩形，
∴PH是△BFC的中位线，
∴PH=CN，PH= CF，
∴CN=1，FN=1，
∴DN=6+1=7，
∵∠BFE=∠EDH=45°，∠EDF=90°，
∴∠HDN=45°，
∴△DHN是等腰直角三角形，
∴DH= DN=7 .
【分析】如图，连接OG，反向延长交DE于M，连接EH，过H作HN//BC，HP//CF，根据AAS可证明△BAE≌△EDF，即可得出DE=AB=8，由切线性质可知OG⊥BC，OM⊥DE，MG=AB=8，
由垂径定理可得ME的长，利用勾股定理可求出OE的长，进而可得OM的长，根据中位线的性质可得DF的长，根据等腰三角形的性质可得BH=HF，由HN//BC，HP//CF，∠C=90°可判定四边形HPCN是矩形，进而可得HP是△BFC的中位线，即可求出FN的长，进而可得DN的长，由圆周角定理可得∠EDH=45°，即可求出∠HDN=45°，即可证明△DHN是等腰直角三角形，即可求出DH的长.
9．【答案】4
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接OB、OD，过O作OE⊥BD，垂直为E，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A=180°，又∠C=2∠A，
∴∠A=60°，∠C=120°,
∠BOD=120°，∠BOE= ∠BOD=60°，
BE=OB×sin∠BOE=4× = ，
BD=2BE= 。
【分析】根据圆内接四边形对角互补和已知可求出∠A，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可以求出∠BOD，最后根据垂径定理解直角三角形即可求得BD长。
10．【答案】40°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠DAB=∠BOC=50°，
∵OA=OD，
∴∠AOD=180°-2∠DAB=80°，
∴∠ACD= ∠AOD=40°，
故答案为：40°
【分析】
先求出∠DAB=50°，进而求出∠AOD=80°，即可得出结论。
11．【答案】证明：∵AC=CD，
∴ ，
∴∠ABC=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD．
【知识点】平行线的判定；圆周角定理
【解析】【分析】根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 ，根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠ABC=∠DBC，根据等边对等角得出 ∠OCB=∠OBC， 故 ∠OCB=∠DBC， 根据内错角星等，二直线平行得出 OC∥BD 。
12．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC
（2）解：令⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：BE＝CE＝ BC＝4，
由勾股定理得：r2＝42+（r﹣3）2，
解得：r＝ ，
所以⊙O的直径为 ．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠
C＝90°，由垂线的定义可得∠OEB=C＝90°，由平行线的判定可得OD∥AC；
（2）设圆的半径为r，在直角三角形BEO中，用勾股定理可得关于r的方程，解方程可求得r的值；则圆的直径=2r可求解。
13．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A与∠D都是 所对的圆周角，
∴∠D=∠A。
故答案为：D。
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A。
14．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝50°。
故答案为：B。
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠COD＝∠AOB＝40°，根据平角的定义得出∠BOC的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半算出∠BPC的度数。
15．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】
由题意得到 ，作出圆 ，如图所示，
四边形 为圆 的内接四边形，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】先根据题意得到A、B、C、D四点都在以点O为圆心，OC为半径的圆上，然后根据圆内接四边形的性质求解即可。
16．【答案】155
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵∠E所对的弧为弧DCB，∠C所对的弧为弧AED，又∵弧DCB、弧DEA和弧AB三者相加正好为整个圆周，
∠E和∠C为圆周角，则
∠E＋∠C =
.
【分析】因∠E和∠C为圆周角，自然想到用它们所对的弧的关系来解决，∵弧DCB、弧DEA和弧AB三者相加正好为整个圆周，则∠E和∠C所对的弧之和就是整个圆周减去弧AB。
17．【答案】60°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 。
故答案为:60°。
【分析】连接 .根据等弧所对的圆心角相等得出，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，然后根据三角形的外角定理，由即可算出答案。
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.1.4 圆周角
一、基础巩固
1．（2019·温州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（ ）
A．22° B．26° C．32° D．34°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵ ∠A＝68° ，
∴∠BOC=2∠A=136°,
∵OB=OC,
∴ ∠OBC ==22°;
故答案为 ：A。
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC，再根据三角形的内角和及等腰三角形的两底角相等即可算出答案。
2．（2019九下·保山期中）如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B=22°，则∠A=（ ）.
A．22° B．40° C．44° D．68°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BA∥CO，
∴∠A=∠AOC；
∵∠B=22°，
∴∠AOC=2∠B=44°，
∴∠A=44°.
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A=∠AOC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC的度数，从而求出∠A的度数。
3．（2019九上·惠城期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠A＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：B
【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质可求得∠C的度数。
4．（2019九上·临沧期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是
A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴ ，AD=DC，故A、B正确；
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，故C正确；
∵ ，∴∠DAB＞∠CBA，故D错误。
故答案为：D。
【分析】根据角的平分线定理得出∠DBC=∠ABD，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等、所对的弦相等得出 ，AD=DC，故A、B正确；根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=∠ACB=90°，故C正确，从而得出答案。
5．（2019九下·江阴期中）如图，O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝38 ，则∠OAC的度数是 .
【答案】19°
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝38 ，
∴∠ACB=19°，
又∵AO∥BC，
∴∠OAC=∠ACB=19°.
故答案为：19°.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠ACB的度数，再根据二直线平行，内错角相等得出 ∠OAC的度数 。
6．（2019九下·象山月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠BCD＝130°，则∠ABD的度数是 ．
【答案】40°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝40°，
故答案为：40°．
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补得出∠A的度数，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB的度数，最后根据三角形的内角和即可算出∠ABD的度数。
7．（2019九上·德清期末）如图，⊙D是△ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线，保留画图痕迹．
【答案】如图①中，连接PA，PA就是∠P的平分线．
图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，PE就是∠P的平分线
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】①根据等弦对等弧得，由圆周角定理可得∠APB=∠APC，从而可得AP平分 ∠P .
② 连接AO延长交⊙O于E，由垂径定理可得， 由圆周角定理可得∠EPB=∠EPC，从而可得EP平分 ∠P .
二、强化提升
8．（2019·温州模拟）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且EF⊥BE，EF=BE，△DEF的外接圆⊙O恰好切BC于点G，BF交⊙O于点H，连结DH.若AB=8，则DH= .
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接OG，反向延长交DE于M，连接EH，过H作HN//BC交DC于N，HP//CF教BC于P。
∵∠BEF=90°，ABCD是矩形，
∴∠ABE+∠AEB=90°，∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
又∵BE=EF，∠BAE=∠EDF=90°，
∴△BAE≌△EDF，
∴DE=AB=8，
∵⊙O切BC于G，
∴OG⊥BC，OM⊥DE，MG=AB=8，
∴ME= DE=4，
在Rt△OEM中，OE2=OM2+ME2，即OE2=(8-OE)2+42，
解得：OE=5，
∴OM=3，
∵OM是△DEF的中位线，
∴DF=2OM=6，
∴CF=8-6=2，
∵∠EDF=90°，⊙O是△DEF的外接圆，
∴EF是⊙O的直径，
∴∠EHF=90°，
∵BE=EF，
∴BH=HF，
∵HN//BC，HP//CF，∠C=90°，
∴四边形HPCN是矩形，
∴PH是△BFC的中位线，
∴PH=CN，PH= CF，
∴CN=1，FN=1，
∴DN=6+1=7，
∵∠BFE=∠EDH=45°，∠EDF=90°，
∴∠HDN=45°，
∴△DHN是等腰直角三角形，
∴DH= DN=7 .
【分析】如图，连接OG，反向延长交DE于M，连接EH，过H作HN//BC，HP//CF，根据AAS可证明△BAE≌△EDF，即可得出DE=AB=8，由切线性质可知OG⊥BC，OM⊥DE，MG=AB=8，
由垂径定理可得ME的长，利用勾股定理可求出OE的长，进而可得OM的长，根据中位线的性质可得DF的长，根据等腰三角形的性质可得BH=HF，由HN//BC，HP//CF，∠C=90°可判定四边形HPCN是矩形，进而可得HP是△BFC的中位线，即可求出FN的长，进而可得DN的长，由圆周角定理可得∠EDH=45°，即可求出∠HDN=45°，即可证明△DHN是等腰直角三角形，即可求出DH的长.
9．（2019·仁寿模拟）如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝ .
【答案】4
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接OB、OD，过O作OE⊥BD，垂直为E，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A=180°，又∠C=2∠A，
∴∠A=60°，∠C=120°,
∠BOD=120°，∠BOE= ∠BOD=60°，
BE=OB×sin∠BOE=4× = ，
BD=2BE= 。
【分析】根据圆内接四边形对角互补和已知可求出∠A，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可以求出∠BOD，最后根据垂径定理解直角三角形即可求得BD长。
10．（2019九下·三原月考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝ ．
【答案】40°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠DAB=∠BOC=50°，
∵OA=OD，
∴∠AOD=180°-2∠DAB=80°，
∴∠ACD= ∠AOD=40°，
故答案为：40°
【分析】
先求出∠DAB=50°，进而求出∠AOD=80°，即可得出结论。
11．（2019九上·秀洲期末）如图，AB是 的直径，点C、D是 两点，且AC=CD．求证：OC//BD.
【答案】证明：∵AC=CD，
∴ ，
∴∠ABC=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD．
【知识点】平行线的判定；圆周角定理
【解析】【分析】根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 ，根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠ABC=∠DBC，根据等边对等角得出 ∠OCB=∠OBC， 故 ∠OCB=∠DBC， 根据内错角星等，二直线平行得出 OC∥BD 。
12．（2019九上·官渡期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．
（1）求证：OD∥AC；
（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC
（2）解：令⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：BE＝CE＝ BC＝4，
由勾股定理得：r2＝42+（r﹣3）2，
解得：r＝ ，
所以⊙O的直径为 ．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠
C＝90°，由垂线的定义可得∠OEB=C＝90°，由平行线的判定可得OD∥AC；
（2）设圆的半径为r，在直角三角形BEO中，用勾股定理可得关于r的方程，解方程可求得r的值；则圆的直径=2r可求解。
三、真题演练
13．（2019·柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A与∠D都是 所对的圆周角，
∴∠D=∠A。
故答案为：D。
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A。
14．（2019·贵港）如图，AD是⊙O的直径， ，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝50°。
故答案为：B。
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠COD＝∠AOB＝40°，根据平角的定义得出∠BOC的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半算出∠BPC的度数。
15．（2019·德州）如图，点 为线段 的中点，点 ， ， 到点 的距离相等，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】
由题意得到 ，作出圆 ，如图所示，
四边形 为圆 的内接四边形，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】先根据题意得到A、B、C、D四点都在以点O为圆心，OC为半径的圆上，然后根据圆内接四边形的性质求解即可。
16．（2019·盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且弧AB为50°，则∠E＋∠C＝
【答案】155
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵∠E所对的弧为弧DCB，∠C所对的弧为弧AED，又∵弧DCB、弧DEA和弧AB三者相加正好为整个圆周，
∠E和∠C为圆周角，则
∠E＋∠C =
.
【分析】因∠E和∠C为圆周角，自然想到用它们所对的弧的关系来解决，∵弧DCB、弧DEA和弧AB三者相加正好为整个圆周，则∠E和∠C所对的弧之和就是整个圆周减去弧AB。
17．（2019·辽阳）如图， 是⊙ 上的四点，且点 是 的中点， 交 于点 ， ， ，那么 .
【答案】60°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 。
故答案为:60°。
【分析】连接 .根据等弧所对的圆心角相等得出，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，然后根据三角形的外角定理，由即可算出答案。
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