初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.4 中位线
一、单选题
1．（2019·河池）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八上·获嘉月考）如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD=DC，BE=EC D．AD=EC，DC=BE
3．给出以下判断：
(1)线段的中点是线段的重心
(2)三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心
(3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
(4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点
那么以上判断中正确的有( )
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
二、填空题
4．（2019八下·南浔期末）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选适当的点C，连结AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22m，则AB= m．
5．（2019·扬州）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB=7，BE=5，则MN= .
6．（2019·沈阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝ ，则四边形EGFH的周长是 .
7．（2019·聊城）如图，在 中， ， ， 为 的中位线，延长 至 ，使 ，连接 并延长交 于点 ．若 ，则 的周长为 ．
8．（2019·株洲）如图所示，在 中， ， 是斜边 上的中线， 分别为 的中点，若 ，则 ．
三、作图题
9．（2019·咸宁）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF.
（1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）.
四、综合题
10．（2019八下·义乌期末）如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD=2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）若BD=6，∠E=60°，求四边形ABEF的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE AC.
A、根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意.
B、根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故符合题意.
C、根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意.
D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据三角形的中位线定理可以得出DE AC，根据平行线的判定方法只要能证出DF=AC或CF∥AD即可判断四边形ADFC为平行四边形，从而即可一一判断得出答案。
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，
∴DE是△BCD的中线，BD是△ABC的中线，AD=DC，BE=EC.
但不能得到AD=EC和DC=BE.
故答案为：D.
【分析】连接三角形一边中点与这边所对的顶点的线段就是三角形的中线；连接三角形两边中点的线段就是三角形的中位线；根据定义即可一一判断得出答案。
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确；
（2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确；
（3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的中心，正确；
（4）利用平行可得三角形的重心把中线分为1：2两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正确；
故选D．
4．【答案】44
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，E、F分别为CA、CB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=44m .
故答案为： 44
【分析】由E、F分别为CA、CB的中点，得到EF为EF是△ABC的中位线，根据中位线的性质得AB=2EF，即可算出AB的长度。
5．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接FC，∵M、N分别是DC、DF的中点
∴MN=
∵AB=7，BE=5
且四ABCD，四EFGB是正方形
∴FC= =13
∴MN=
故答案为：.
【分析】连接FC，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半得出MN=，在Rt△FCG中，根据勾股定理算出FC的长，从而即可得出答案。
6．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、G是AB和AC的中点，
∴EG＝ BC＝ ，
同理HF＝ BC＝ ，
EH＝GF＝ AD＝ .
∴四边形EGFH的周长是：4× ＝4 。
故答案为：4 。
【分析】根据三角形中位线定理得出EG=HF= BC＝ ，EH＝GF＝ AD＝，进而根据四边形周长的计算方法即可算出答案。
7．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2a，AC= a．
∵DE是中位线，
∴CE= a．
在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE=a，
∴∠FEC=30°．
∴∠A=∠AEM=30°，
∴EM=AM．
△FMB周长=BF+FE+EM+BM=BF+FE+AM+MB=BF+FE+AB= a．
故答案为 a．
【分析】在Rt△ABC中根据30°直角三角形的三边关系可得AB和AC的长，由中位线定理可得CE的长，在Rt△CEF中根据勾股定理可得EF的长，再根据三角函数值可得∠AEM=∠A，从而根据等边对等角得到AM=EM，从而△FMB周长=BF+FE+AB。
8．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∵ ， 是斜边 上的中线，
∴ ，
故答案为：4．
【分析】根据三角形中位线定理可得CM=2EF=2，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长.
9．【答案】（1） 证明：∵点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点 ，
∴DE、EF是△ABC的中位线
∴DE∥CF，EF∥DC
∴四边形DEFC是平行四边形
∵∠C=90°
∴四边形DEFC是矩形
（2）解：如图所示
【知识点】矩形的判定；作图-角的平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的定义及定理，易证DE∥CF，EF∥DC，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形DEFC是平行四边形，然后由∠C=90°，利用矩形的判定定理可证得结论。
（2）连接EC、DF交于一点，然后过这一点和B作射线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知BE=CE，再由∠A=30°，可得∠ABC=60°，易证△BCE是等边三角形，利用等边三角形三线合一的性质，因此过点B和矩形CFED对角线的交点作射线即可。
10．【答案】（1） 证明：∵F、D分别为AC、BD的中点，
则FD为△ABC的中位线，
FD∥AB，AB=2DF，
又∵AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵AD=2DF，
∴AB=AD，
∴四边形ABED为菱形 .
（2） 解：∵四边形ABED为菱形，
∴EB=ED，
∴∠E=60°，
∴△BDE为等边三角形，
作BH⊥DE，
则BH=BDsin60°=3 ，
FE=FD+DE=3+6=9，
∴S四边形ABEF=（AB+EF）×BH ,
=（6+9）×3 ,
=
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由F、D分别是AC和CB的中点，得FD为三角形的中位线，得到FD平行AB，再结合AD平行BE，根据两组对边分别平行得ABED是平行四边形。再由AD=2DF，AB=2DF，得邻边相等，于是证得四边形ABED为菱形。
（2）因为∠E=60°，得到△BDE是等边三角形，过B作DE的垂线，解直角三角形，求得高BH的长，最后利用梯形的面积公式求面积即可。
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一、单选题
1．（2019·河池）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE AC.
A、根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意.
B、根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故符合题意.
C、根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意.
D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据三角形的中位线定理可以得出DE AC，根据平行线的判定方法只要能证出DF=AC或CF∥AD即可判断四边形ADFC为平行四边形，从而即可一一判断得出答案。
2．（2019八上·获嘉月考）如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD=DC，BE=EC D．AD=EC，DC=BE
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，
∴DE是△BCD的中线，BD是△ABC的中线，AD=DC，BE=EC.
但不能得到AD=EC和DC=BE.
故答案为：D.
【分析】连接三角形一边中点与这边所对的顶点的线段就是三角形的中线；连接三角形两边中点的线段就是三角形的中位线；根据定义即可一一判断得出答案。
3．给出以下判断：
(1)线段的中点是线段的重心
(2)三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心
(3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
(4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点
那么以上判断中正确的有( )
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确；
（2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确；
（3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的中心，正确；
（4）利用平行可得三角形的重心把中线分为1：2两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正确；
故选D．
二、填空题
4．（2019八下·南浔期末）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选适当的点C，连结AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22m，则AB= m．
【答案】44
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，E、F分别为CA、CB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=44m .
故答案为： 44
【分析】由E、F分别为CA、CB的中点，得到EF为EF是△ABC的中位线，根据中位线的性质得AB=2EF，即可算出AB的长度。
5．（2019·扬州）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB=7，BE=5，则MN= .
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接FC，∵M、N分别是DC、DF的中点
∴MN=
∵AB=7，BE=5
且四ABCD，四EFGB是正方形
∴FC= =13
∴MN=
故答案为：.
【分析】连接FC，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半得出MN=，在Rt△FCG中，根据勾股定理算出FC的长，从而即可得出答案。
6．（2019·沈阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝ ，则四边形EGFH的周长是 .
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、G是AB和AC的中点，
∴EG＝ BC＝ ，
同理HF＝ BC＝ ，
EH＝GF＝ AD＝ .
∴四边形EGFH的周长是：4× ＝4 。
故答案为：4 。
【分析】根据三角形中位线定理得出EG=HF= BC＝ ，EH＝GF＝ AD＝，进而根据四边形周长的计算方法即可算出答案。
7．（2019·聊城）如图，在 中， ， ， 为 的中位线，延长 至 ，使 ，连接 并延长交 于点 ．若 ，则 的周长为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2a，AC= a．
∵DE是中位线，
∴CE= a．
在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE=a，
∴∠FEC=30°．
∴∠A=∠AEM=30°，
∴EM=AM．
△FMB周长=BF+FE+EM+BM=BF+FE+AM+MB=BF+FE+AB= a．
故答案为 a．
【分析】在Rt△ABC中根据30°直角三角形的三边关系可得AB和AC的长，由中位线定理可得CE的长，在Rt△CEF中根据勾股定理可得EF的长，再根据三角函数值可得∠AEM=∠A，从而根据等边对等角得到AM=EM，从而△FMB周长=BF+FE+AB。
8．（2019·株洲）如图所示，在 中， ， 是斜边 上的中线， 分别为 的中点，若 ，则 ．
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∵ ， 是斜边 上的中线，
∴ ，
故答案为：4．
【分析】根据三角形中位线定理可得CM=2EF=2，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长.
三、作图题
9．（2019·咸宁）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF.
（1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】（1） 证明：∵点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点 ，
∴DE、EF是△ABC的中位线
∴DE∥CF，EF∥DC
∴四边形DEFC是平行四边形
∵∠C=90°
∴四边形DEFC是矩形
（2）解：如图所示
【知识点】矩形的判定；作图-角的平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的定义及定理，易证DE∥CF，EF∥DC，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形DEFC是平行四边形，然后由∠C=90°，利用矩形的判定定理可证得结论。
（2）连接EC、DF交于一点，然后过这一点和B作射线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知BE=CE，再由∠A=30°，可得∠ABC=60°，易证△BCE是等边三角形，利用等边三角形三线合一的性质，因此过点B和矩形CFED对角线的交点作射线即可。
四、综合题
10．（2019八下·义乌期末）如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD=2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）若BD=6，∠E=60°，求四边形ABEF的面积．
【答案】（1） 证明：∵F、D分别为AC、BD的中点，
则FD为△ABC的中位线，
FD∥AB，AB=2DF，
又∵AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵AD=2DF，
∴AB=AD，
∴四边形ABED为菱形 .
（2） 解：∵四边形ABED为菱形，
∴EB=ED，
∴∠E=60°，
∴△BDE为等边三角形，
作BH⊥DE，
则BH=BDsin60°=3 ，
FE=FD+DE=3+6=9，
∴S四边形ABEF=（AB+EF）×BH ,
=（6+9）×3 ,
=
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由F、D分别是AC和CB的中点，得FD为三角形的中位线，得到FD平行AB，再结合AD平行BE，根据两组对边分别平行得ABED是平行四边形。再由AD=2DF，AB=2DF，得邻边相等，于是证得四边形ABED为菱形。
（2）因为∠E=60°，得到△BDE是等边三角形，过B作DE的垂线，解直角三角形，求得高BH的长，最后利用梯形的面积公式求面积即可。
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