初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.2 直角三角形的性质
一、单选题
1.(2019八上·义乌月考)若有两条线段长分别为3cm和4cm,则下列长度的线段能与其组成三角形的是( )
A.1cm B.5cm C.7cm D.9cm
2.(2019·陕西)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E。若DE=1,则BC的长为( )
A.2+ B. C. D.3
3.(2019八下·天台期末)如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为( )
A.2.5 B.2 C.1.5 D.1
4.(2019八下·博白期末)在直角三角形中,两条直角边的长分别为12和5,则斜边上的中线长是( )
A.6.5 B.8.5 C.13 D.
二、填空题
5.(2019·梧州)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是 .
6.(2019八上·义乌月考)如图AD是△ABC的中线,AB=7,AC=5,AD=x,则x的取值范围是 。
7.(2019九上·贾汪月考)一个三角形有两边长为3和6,第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根,则这个三角形的周长等于 .
8.(2019·株洲)如图所示,在 中, , 是斜边 上的中线, 分别为 的中点,若 ,则 .
9.(2019·吉林)如图,在四边形 中, .若将 沿 折叠,点 与边 的中点 恰好重合,则四边形 的周长为 .
10.(2019八下·温岭期末)如图,在R△ABC中,∠ABC=90°,AB=2 ,BC=1,BD是AC边上的中线,则BD= 。
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解:∵ 两条线段长分别为3cm和4cm
∴1+3=4,故A不符合题意;
3+4=7>5,故B符合题意;C不符合题意;
3+4=7<9,故D不符合题意;
故答案为:B
【分析】根据三角形的较小两边之和必须大于第三边,才能构造三角形,再进行计算,可得答案。
2.【答案】A
【知识点】角平分线的性质;含30°角的直角三角形;勾股定理;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:如图,过点D作DF⊥AC于F,
∵AD为∠BAC的平分线,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DF=DE=1,
在Rt△BED中,∠B=30°,
∴BD=2DE=2,
在Rt△CDF中,∠C=45°,
∴△CDF为等腰直角三角形,
∴CF=DF=1,
∴CD= = ,
∴BC=BD+CD= ,
故答案为:A。
【分析】如图,过点D作DF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DE=1,根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BD=2DE=2,根据等腰直角三角形的性质得出CF=DF=1,进而根据勾股定理算出CD的长,最后由BC=BD+CD算出答案。
3.【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解: ∵D,E 分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=BC=4,又∵DRt△AFB斜边BC的中点,∴FD=AB=2.5, 则EF=DE-DF=4-2.5=1.5.
故答案为:C
【分析】首先把EF转化为DE和DF之差,根据条件,由三角形的中位线定理得DE得长,由直角三角形ABF斜边的中线得出DF的长,则EF的长可求。
4.【答案】A
【知识点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵直角三角形的两直角边为12和5,
∴斜边长为,
∴斜边上的中线长为.
故答案为:A
【分析】利用勾股定理求出斜边长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,就可求出此三角形斜边上的中线。
5.【答案】 ﹣1
【知识点】含30°角的直角三角形;菱形的性质;旋转的性质
【解析】【解答】解:连接BD交AC于O,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=AB=2,∠BCD=∠BAD=60°,∠ACD=∠BAC= ∠BAD=30°,OA=OC,AC⊥BD,
∴OB= AB=1,
∴OA= OB= ,
∴AC=2 ,
由旋转的性质得:AE=AB=2,∠EAG=∠BAD=60°,
∴CE=AC﹣AE=2 ﹣2,
∵四边形AEFG是菱形,
∴EF∥AG,
∴∠CEP=∠EAG=60°,
∴∠CEP+∠ACD=90°,
∴∠CPE=90°,
∴PE= CE= ﹣1,PC= PE=3﹣ ,
∴DP=CD﹣PC=2﹣(3﹣ )= ﹣1。
故答案为 ﹣1。
【分析】连接BD交AC于O,如图所示:根据菱形的性质得出CD=AB=2,∠BCD=∠BAD=60°,∠ACD=∠BAC= ∠BAD=30°,OA=OC,AC⊥BD,根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OB、OA的长,进而得出AC的长,由旋转的性质得:AE=AB=2,∠EAG=∠BAD=60°,根据线段的和差得出CE的长,根据二直线平行,同位角相等得出∠CEP=∠EAG=60°,进而根据三角形的内角和得出∠CPE=90°,根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出PE,PC的长,最后根据DP=CD﹣PC算出答案。
6.【答案】1<x<6
【知识点】三角形三边关系;全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:延长AD至G,使DG=AD,连接CG
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD;
在△ABD和△GCD中,
∴△ABD≌△GCD(SAS)
∴AB=CG;
∵CG-AC<AG<CG+AC即AB-AC<2AD<AB+AC
∴7-5<2ADx<5+7
解之:1<x<6
故答案为:1<x<6
【分析】延长AD至G,使DG=AD,连接CG,利用三角形中线的定义,可证得BD=CD,再利用SAS证明△ABD≌△GCD,利用全等三角形的性质,可证得AB=CG,然后利用三角形三边关系定理建立关于x的不等式组,解不等式组求出x的取值范围。
7.【答案】13
【知识点】因式分解法解一元二次方程;三角形三边关系
【解析】【解答】解:解方程x2﹣6x+8=0得:x1=2,x2=4,
当第三边长是2时,2+3<6不满足三角形的三边关系,应舍去;
当第三边长是4时,能构成三角形,周长是3+6+4=13.
故答案为:13.
【分析】利用因式分解法求出方程的两根为x1=2,x2=4,然后分:当第三边长是2时与当第三边长是4时两种情况,分别根据三角形三边关系判断能否围成三角形,对能围成三角形的利用三角形周长的计算方法算出答案。
8.【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵ 分别为 的中点,
∴ ,
∵ , 是斜边 上的中线,
∴ ,
故答案为:4.
【分析】根据三角形中位线定理可得CM=2EF=2,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可求出AB的长.
9.【答案】20
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵BD⊥AD,点E是AB的中点,
∴DE=BE= AB=5,
由折叠可得,CB=BE,CD=ED,
∴四边形BCDE的周长为5×4=20,
故答案为:20.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得到DE和BE的长度,即可得到四边形BCDE的周长。
10.【答案】1.5
【知识点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:在Rt△ABC中,
AC=
∵ BD是AC边上的中线,
∴AC=2BD
∴BD=3÷2=1.5
故答案为:1.5
【分析】利用勾股定理求出AC的长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,就可求出BD的长。
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一、单选题
1.(2019八上·义乌月考)若有两条线段长分别为3cm和4cm,则下列长度的线段能与其组成三角形的是( )
A.1cm B.5cm C.7cm D.9cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解:∵ 两条线段长分别为3cm和4cm
∴1+3=4,故A不符合题意;
3+4=7>5,故B符合题意;C不符合题意;
3+4=7<9,故D不符合题意;
故答案为:B
【分析】根据三角形的较小两边之和必须大于第三边,才能构造三角形,再进行计算,可得答案。
2.(2019·陕西)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E。若DE=1,则BC的长为( )
A.2+ B. C. D.3
【答案】A
【知识点】角平分线的性质;含30°角的直角三角形;勾股定理;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:如图,过点D作DF⊥AC于F,
∵AD为∠BAC的平分线,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DF=DE=1,
在Rt△BED中,∠B=30°,
∴BD=2DE=2,
在Rt△CDF中,∠C=45°,
∴△CDF为等腰直角三角形,
∴CF=DF=1,
∴CD= = ,
∴BC=BD+CD= ,
故答案为:A。
【分析】如图,过点D作DF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DE=1,根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BD=2DE=2,根据等腰直角三角形的性质得出CF=DF=1,进而根据勾股定理算出CD的长,最后由BC=BD+CD算出答案。
3.(2019八下·天台期末)如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为( )
A.2.5 B.2 C.1.5 D.1
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解: ∵D,E 分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=BC=4,又∵DRt△AFB斜边BC的中点,∴FD=AB=2.5, 则EF=DE-DF=4-2.5=1.5.
故答案为:C
【分析】首先把EF转化为DE和DF之差,根据条件,由三角形的中位线定理得DE得长,由直角三角形ABF斜边的中线得出DF的长,则EF的长可求。
4.(2019八下·博白期末)在直角三角形中,两条直角边的长分别为12和5,则斜边上的中线长是( )
A.6.5 B.8.5 C.13 D.
【答案】A
【知识点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵直角三角形的两直角边为12和5,
∴斜边长为,
∴斜边上的中线长为.
故答案为:A
【分析】利用勾股定理求出斜边长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,就可求出此三角形斜边上的中线。
二、填空题
5.(2019·梧州)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是 .
【答案】 ﹣1
【知识点】含30°角的直角三角形;菱形的性质;旋转的性质
【解析】【解答】解:连接BD交AC于O,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=AB=2,∠BCD=∠BAD=60°,∠ACD=∠BAC= ∠BAD=30°,OA=OC,AC⊥BD,
∴OB= AB=1,
∴OA= OB= ,
∴AC=2 ,
由旋转的性质得:AE=AB=2,∠EAG=∠BAD=60°,
∴CE=AC﹣AE=2 ﹣2,
∵四边形AEFG是菱形,
∴EF∥AG,
∴∠CEP=∠EAG=60°,
∴∠CEP+∠ACD=90°,
∴∠CPE=90°,
∴PE= CE= ﹣1,PC= PE=3﹣ ,
∴DP=CD﹣PC=2﹣(3﹣ )= ﹣1。
故答案为 ﹣1。
【分析】连接BD交AC于O,如图所示:根据菱形的性质得出CD=AB=2,∠BCD=∠BAD=60°,∠ACD=∠BAC= ∠BAD=30°,OA=OC,AC⊥BD,根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OB、OA的长,进而得出AC的长,由旋转的性质得:AE=AB=2,∠EAG=∠BAD=60°,根据线段的和差得出CE的长,根据二直线平行,同位角相等得出∠CEP=∠EAG=60°,进而根据三角形的内角和得出∠CPE=90°,根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出PE,PC的长,最后根据DP=CD﹣PC算出答案。
6.(2019八上·义乌月考)如图AD是△ABC的中线,AB=7,AC=5,AD=x,则x的取值范围是 。
【答案】1<x<6
【知识点】三角形三边关系;全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:延长AD至G,使DG=AD,连接CG
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD;
在△ABD和△GCD中,
∴△ABD≌△GCD(SAS)
∴AB=CG;
∵CG-AC<AG<CG+AC即AB-AC<2AD<AB+AC
∴7-5<2ADx<5+7
解之:1<x<6
故答案为:1<x<6
【分析】延长AD至G,使DG=AD,连接CG,利用三角形中线的定义,可证得BD=CD,再利用SAS证明△ABD≌△GCD,利用全等三角形的性质,可证得AB=CG,然后利用三角形三边关系定理建立关于x的不等式组,解不等式组求出x的取值范围。
7.(2019九上·贾汪月考)一个三角形有两边长为3和6,第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根,则这个三角形的周长等于 .
【答案】13
【知识点】因式分解法解一元二次方程;三角形三边关系
【解析】【解答】解:解方程x2﹣6x+8=0得:x1=2,x2=4,
当第三边长是2时,2+3<6不满足三角形的三边关系,应舍去;
当第三边长是4时,能构成三角形,周长是3+6+4=13.
故答案为:13.
【分析】利用因式分解法求出方程的两根为x1=2,x2=4,然后分:当第三边长是2时与当第三边长是4时两种情况,分别根据三角形三边关系判断能否围成三角形,对能围成三角形的利用三角形周长的计算方法算出答案。
8.(2019·株洲)如图所示,在 中, , 是斜边 上的中线, 分别为 的中点,若 ,则 .
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵ 分别为 的中点,
∴ ,
∵ , 是斜边 上的中线,
∴ ,
故答案为:4.
【分析】根据三角形中位线定理可得CM=2EF=2,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可求出AB的长.
9.(2019·吉林)如图,在四边形 中, .若将 沿 折叠,点 与边 的中点 恰好重合,则四边形 的周长为 .
【答案】20
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵BD⊥AD,点E是AB的中点,
∴DE=BE= AB=5,
由折叠可得,CB=BE,CD=ED,
∴四边形BCDE的周长为5×4=20,
故答案为:20.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得到DE和BE的长度,即可得到四边形BCDE的周长。
10.(2019八下·温岭期末)如图,在R△ABC中,∠ABC=90°,AB=2 ,BC=1,BD是AC边上的中线,则BD= 。
【答案】1.5
【知识点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:在Rt△ABC中,
AC=
∵ BD是AC边上的中线,
∴AC=2BD
∴BD=3÷2=1.5
故答案为:1.5
【分析】利用勾股定理求出AC的长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,就可求出BD的长。
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