初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.3.4 课题学习 最短路径问题
一、单选题
1．（2019·绍兴模拟）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2019·港南模拟）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题
3．（2018八下·南山期末）已知平面直角坐标系中A．B两点坐标如图，若PQ是一条在x轴上活动的线段，且PQ=1，求当BP+PQ+QA最小时，点Q的坐标 .
4．（2019·广西模拟）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AG于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm.
5．（2019八上·昭通期末）如图所示：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长为15cm，P1P2＝ ．
三、作图题
6．（2019·长春模拟）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点。点 、 、 、 均落在格点上.在图①、图②给定的网格中按要求作图.
（1）在图①中的格线 上确定一点 ，使 与 的长度之和最小;
（2）在图②中的格线 上确定一点 ，使 .
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法.
7．（2019八上·潮安期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，4），B（2，-4）．
（1）若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C、D，请分别描出并写出点C、D的坐标；
（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB最小（不写作法，保留作图痕迹）
四、综合题
8．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）求△ABC的面积为 ；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为 ．
9．（2018·平南模拟）A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是(2，2)，点B的坐标是(7， 3)，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不用写作法）.
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点；
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，P点的坐标为 .
10．（2018八上·扬州期中）如图A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米.
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水.有两种方案备选.
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B 村（即AC+AB）.（如图）
方案2：作A点关于直线CD的对称点 ，连接 交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM.（即AM+BM）（如图）
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工.请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适.
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q与CD中点G相距多远时，△ABQ为等腰三角形？直接写出答案，不要说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵DC=1，BD=3，
∴BC=4，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，
∴∠CBC′=90°，
∵CO⊥AB于O，OC′=OC
∴BC=BC′=4，
根据勾股定理可得DC′= 5．
故答案为：B．
【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．连接BC′，根据等腰三角形的性质可知∠ABC=45°，根据对称性得出∠C′BA=∠CBA=45°，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BC=BC′=4，根据勾股定理即可算出DC'的长。
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN.
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝8.
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，
故答案为：C.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN，利用轴对称的性质，可证得
PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA，PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，结合已知条件，可证得OD=OC，∠DOC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，就可得到DC的长，然后利用三角形三边关系定理，可证得△PMN的周长的最小值就是CD的长。
3．【答案】（ ，0）
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】如图把点 向右平移1个单位得到 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 与 轴的交点即为点 ，此时 的值最小，
设最小 的解析式为 ，则有 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，得到 ，
.
故答案为： .
【分析】如图把点 向右平移1个单位得到 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 与 轴的交点即为点 ，此时 的值最小.根据待定系数法求出直线AF的解析式，求出当y=0时x的值，即得点Q的坐标.
4．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=12，
解之：AD=6
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8，
故答案为：8
【分析】连接AD。利用等腰三角形的性质，利用△ABC的面积=12求出AD的长，再根据对称轴的应用，距离最短，可知AD的长为BM+MD的最小值，然后就可求出△BDM的周长的最小值。
5．【答案】15cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，
∵△PMN的周长是15 cm，
∴P1P2=15（cm） ．
故答案为：15 cm．
【分析】根据轴对称的性质得出PM=P1M，PN=P2N，根据三角形的周长计算方法及线段的和差、等量代换，由PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2即可算出答案。
6．【答案】（1）解：如图①所示
（2）解：如图②所示
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用轴对称求最短问题，如图①，作A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于P，P点即为所求；
（2）根据轴对称的性质和方格纸的特点，如图②，作B关于MN的对称点B′，连接AB′并延长交MN于Q，Q点即为所求．
7．【答案】（1）解：如图所示；C点坐标为；（4，-4），D点坐标为：（-4，4）
（2）解：连接BD交y轴于点P，P点即为所求
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据关于x轴和y轴对称的点的特征，描出点C和点D即可；
（2）连接BD，使得BD与y轴交于一点，则该点即为点P，使得PA+OB最小。
8．【答案】（1）解：如图所示：△AB′C′即为所求；
（2）4
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）△ABC的面积为：2×4﹣
×2×2﹣
×2×1﹣
×1×2=4；
故答案为：4；
（ 3 ）如图所示：P点即为所求，PB+PC的长为BC′的长，则BC′=
=
．
故答案为：
．
【分析】（1）根据 轴对称性质可画出图形；
（2）利用△ABC所在矩形的面积减去周围三角形面积进而求出即可；
（3）连接BC′交直线l于点P，利用轴对称图形的性质可知此时点P为所求，进而利用勾股定理求出即可.
9．【答案】（1）解：如图所示：如下图，图中点C为所求点；
（2）（4，0）
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）如下图所示，图中点P为所求的点；
∵点A′和点A（2，2）关于x轴对称，
∴点A′的坐标为（2，-2），
设直线A′B的解析式为： ，代入点A′和点B的坐标可得：
，解得： ，
∴直线A′B的解析式为： ，
∵在 中，当 时，可得 ，
∴点P的坐标为（4，0）.
【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，用尺规作图作AB的垂直平分线与Ox的交点即为所求作的点P；
（2）根据轴对称的应用-----最短距离问题可先确定点P的位置，再用待定系数法求得直线A′B的解析式，求得直线A′B与x轴的交点坐标即为点P的坐标。
10．【答案】（1）解：过A点作AE⊥BD于E，
∵BD=4，AC=1，
∴BE=3.
∵AE=CD=4，BE=3，
在△ABE中，根据勾股定理得：
AB= ，
=5.
过A，作A，H⊥BD于H，
在直角三角形A，HB中，根据勾股定理得：
A，B= ，
= ，
= ，
方案①AC+AB=1+5=6.
方案②AM+MB=A，B= .
∵6＜ ，
∴方案①路线短，比较合适.
（2）解：过A点以AB为半径作圆交CD于E和F点，
图中由勾股定理求得EC=CF=2 .所以QG=2 -2或2 ＋2.
过B点为圆心以AB为半径作圆，交CD于G、H.
由勾股定理可求得：GD=DH=3，所以QG=1或5.
做AB的垂直平分线交CD于Q，
求得：QG= .
综上， QG= 时，△ABQ为等腰三角形.
【知识点】勾股定理的应用；圆的认识；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）①由题意作辅助线， 过A点作AE⊥BD于E， 在直角三角形ABE中，用勾股定理可求得AB的值；
②过 作 H⊥BD于H，在直角三角形 HB中，用勾股定理可求得 B的值；再比较AB和 B的大小即可判断求解；
（2）①过A点以AB为半径作圆交CD于E和F点， 用勾股定理可求解；
②过B点为圆心以AB为半径作圆，交CD于G、H.，用勾股定理可求解；
③作AB的垂直平分线交CD于Q， 由线段中点的定义即可求解。
1 / 1初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.3.4 课题学习 最短路径问题
一、单选题
1．（2019·绍兴模拟）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵DC=1，BD=3，
∴BC=4，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，
∴∠CBC′=90°，
∵CO⊥AB于O，OC′=OC
∴BC=BC′=4，
根据勾股定理可得DC′= 5．
故答案为：B．
【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．连接BC′，根据等腰三角形的性质可知∠ABC=45°，根据对称性得出∠C′BA=∠CBA=45°，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BC=BC′=4，根据勾股定理即可算出DC'的长。
2．（2019·港南模拟）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN.
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝8.
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，
故答案为：C.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN，利用轴对称的性质，可证得
PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA，PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，结合已知条件，可证得OD=OC，∠DOC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，就可得到DC的长，然后利用三角形三边关系定理，可证得△PMN的周长的最小值就是CD的长。
二、填空题
3．（2018八下·南山期末）已知平面直角坐标系中A．B两点坐标如图，若PQ是一条在x轴上活动的线段，且PQ=1，求当BP+PQ+QA最小时，点Q的坐标 .
【答案】（ ，0）
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】如图把点 向右平移1个单位得到 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 与 轴的交点即为点 ，此时 的值最小，
设最小 的解析式为 ，则有 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，得到 ，
.
故答案为： .
【分析】如图把点 向右平移1个单位得到 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 与 轴的交点即为点 ，此时 的值最小.根据待定系数法求出直线AF的解析式，求出当y=0时x的值，即得点Q的坐标.
4．（2019·广西模拟）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AG于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm.
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=12，
解之：AD=6
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8，
故答案为：8
【分析】连接AD。利用等腰三角形的性质，利用△ABC的面积=12求出AD的长，再根据对称轴的应用，距离最短，可知AD的长为BM+MD的最小值，然后就可求出△BDM的周长的最小值。
5．（2019八上·昭通期末）如图所示：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长为15cm，P1P2＝ ．
【答案】15cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，
∵△PMN的周长是15 cm，
∴P1P2=15（cm） ．
故答案为：15 cm．
【分析】根据轴对称的性质得出PM=P1M，PN=P2N，根据三角形的周长计算方法及线段的和差、等量代换，由PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2即可算出答案。
三、作图题
6．（2019·长春模拟）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点。点 、 、 、 均落在格点上.在图①、图②给定的网格中按要求作图.
（1）在图①中的格线 上确定一点 ，使 与 的长度之和最小;
（2）在图②中的格线 上确定一点 ，使 .
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法.
【答案】（1）解：如图①所示
（2）解：如图②所示
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用轴对称求最短问题，如图①，作A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于P，P点即为所求；
（2）根据轴对称的性质和方格纸的特点，如图②，作B关于MN的对称点B′，连接AB′并延长交MN于Q，Q点即为所求．
7．（2019八上·潮安期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，4），B（2，-4）．
（1）若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C、D，请分别描出并写出点C、D的坐标；
（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB最小（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图所示；C点坐标为；（4，-4），D点坐标为：（-4，4）
（2）解：连接BD交y轴于点P，P点即为所求
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据关于x轴和y轴对称的点的特征，描出点C和点D即可；
（2）连接BD，使得BD与y轴交于一点，则该点即为点P，使得PA+OB最小。
四、综合题
8．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）求△ABC的面积为 ；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为 ．
【答案】（1）解：如图所示：△AB′C′即为所求；
（2）4
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）△ABC的面积为：2×4﹣
×2×2﹣
×2×1﹣
×1×2=4；
故答案为：4；
（ 3 ）如图所示：P点即为所求，PB+PC的长为BC′的长，则BC′=
=
．
故答案为：
．
【分析】（1）根据 轴对称性质可画出图形；
（2）利用△ABC所在矩形的面积减去周围三角形面积进而求出即可；
（3）连接BC′交直线l于点P，利用轴对称图形的性质可知此时点P为所求，进而利用勾股定理求出即可.
9．（2018·平南模拟）A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是(2，2)，点B的坐标是(7， 3)，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不用写作法）.
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点；
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，P点的坐标为 .
【答案】（1）解：如图所示：如下图，图中点C为所求点；
（2）（4，0）
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）如下图所示，图中点P为所求的点；
∵点A′和点A（2，2）关于x轴对称，
∴点A′的坐标为（2，-2），
设直线A′B的解析式为： ，代入点A′和点B的坐标可得：
，解得： ，
∴直线A′B的解析式为： ，
∵在 中，当 时，可得 ，
∴点P的坐标为（4，0）.
【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，用尺规作图作AB的垂直平分线与Ox的交点即为所求作的点P；
（2）根据轴对称的应用-----最短距离问题可先确定点P的位置，再用待定系数法求得直线A′B的解析式，求得直线A′B与x轴的交点坐标即为点P的坐标。
10．（2018八上·扬州期中）如图A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米.
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水.有两种方案备选.
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B 村（即AC+AB）.（如图）
方案2：作A点关于直线CD的对称点 ，连接 交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM.（即AM+BM）（如图）
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工.请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适.
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q与CD中点G相距多远时，△ABQ为等腰三角形？直接写出答案，不要说明理由.
【答案】（1）解：过A点作AE⊥BD于E，
∵BD=4，AC=1，
∴BE=3.
∵AE=CD=4，BE=3，
在△ABE中，根据勾股定理得：
AB= ，
=5.
过A，作A，H⊥BD于H，
在直角三角形A，HB中，根据勾股定理得：
A，B= ，
= ，
= ，
方案①AC+AB=1+5=6.
方案②AM+MB=A，B= .
∵6＜ ，
∴方案①路线短，比较合适.
（2）解：过A点以AB为半径作圆交CD于E和F点，
图中由勾股定理求得EC=CF=2 .所以QG=2 -2或2 ＋2.
过B点为圆心以AB为半径作圆，交CD于G、H.
由勾股定理可求得：GD=DH=3，所以QG=1或5.
做AB的垂直平分线交CD于Q，
求得：QG= .
综上， QG= 时，△ABQ为等腰三角形.
【知识点】勾股定理的应用；圆的认识；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）①由题意作辅助线， 过A点作AE⊥BD于E， 在直角三角形ABE中，用勾股定理可求得AB的值；
②过 作 H⊥BD于H，在直角三角形 HB中，用勾股定理可求得 B的值；再比较AB和 B的大小即可判断求解；
（2）①过A点以AB为半径作圆交CD于E和F点， 用勾股定理可求解；
②过B点为圆心以AB为半径作圆，交CD于G、H.，用勾股定理可求解；
③作AB的垂直平分线交CD于Q， 由线段中点的定义即可求解。
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