初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.3.2 等腰三角形的判定
一、单选题
1．（2019八下·福田期末） 中， ，则 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．（2019·北京模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的 距离为
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
3．（2019八上·椒江期末）已知a、b、c为△ 的三边，且满足 ，则△ 是
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
二、填空题
4．（2019·黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是 .
5．（2019八上·阳信开学考）等腰三角形一个角为50°，它的另外两个角分别为 ．
6．（2019·广西模拟）如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠a= °。(填一个即可).
三、解答题
7．（2019八下·织金期中）已知：如图，在△BAC中，AB=AC,，D,E分别为AB,AC边上的点，且DE∥BC，求证: △ADE是等腰三角形.
四、综合题
8．（2019八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线AC段于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °，∠DEC= °；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
9．（2019·河池模拟）如图，AB⊥EF，DC⊥EF，垂足分别为B、C，且AB＝CD，BE＝CF.AF、DE相交于点O，AF、DC相交于点N，DE、AB相交于点M.
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：△ABF≌△DCE.
10．在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB长为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判定△ABC的形状．
11．（2019八上·永登期中）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E.
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】根据在三角形中“等角对等边”，可知，选项B符合题意.
【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形判断即可.
2．【答案】D
【知识点】钟面角、方位角；等腰三角形的判定
【解析】【解答】依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，
∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，
∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°。∴∠M＝∠MPN＝70°。
∴NP＝NM＝80海里。
故答案为：D。
【分析】 先计算出MN的长，再根据方向角的意义平行线的性质求出∠M，∠N的度数，然后根据三角形内角和求出∠NPM的度数，可得∠M＝∠MPN，最后根据等腰三角形的判定求得NP＝NM即可得出答案
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵a2+bc=b2+ac
∴a2-b2+bc-ac=（a+b）（a-b）+c（a-b）=0
∴（a-b）（a-b+c）=0
∵a-b+c＞0，即a-b+c≠0
∴a-b=0即a=b
∴△ABC是等腰三角形。
【分析】将a2+bc=b2+ac转化为（a-b）（a-b+c）=0，利用三角形三边关系定理，可证得a=b，即可判断得出△ABC的形状。
4．【答案】14
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE
∵点M为AB的中点，AB=8
∴AM=BM=4
∴△ACM≌△CMN
∴AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN
同理可证：BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD
∵∠CMD=120°
∴∠AMC+∠BMD=180°-120°=60°
∴∠CMN+∠EMD=60°
∴∠NME=180°-60°-60°=60°
∴△MNE是等边三角形
∴NE=ME=4
∵CD≤CE+NE+DE
∴当点C、N、E、D共线时，CD的值最大
∴CD的最大值为CE+NE+DE=2+4+8=14
【分析】 作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE，利用轴对称的性质易证AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN ，BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD，再由∠CMD=120°，去证明∠NME=60°，就可得到△MNE是等边三角形，求出NE的长，再由CD≤CE+NE+DE，可知当点C、N、E、D共线时，CD的值最大，然后就可求出CD的最大值。
5．【答案】70°
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】当该角为等腰三角形的顶角时，另外两个角分别为65°，65°；当该角为等腰三角形的底角时，两外两个角的为50°，80°。
【分析】根据等腰三角形的性质分别进行判断即可得到答案。
6．【答案】130(答案不唯一)
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解： 如图
△ABC是等腰三角形
当∠ABC=∠ACB时，
∵∠ABC=50°
∴∠ACB=50°
∴∠BAC=180°-50°-50°=80°
∵a∥b
∠DAB=∠ABC=50°
∵∠a=∠DAB+∠BAC=50°+80°=130°；
当∠ABC=∠BAC=50°时
∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+50°=100°；
当∠BAC=∠ACB时
∠BAC=
∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+65°=115°；
故答案为：130°或100°或115°
【分析】利用平行线的性质，可求出∠DAB的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当∠ABC=∠ACB时；当∠ABC=∠BAC=50°时；当∠BAC=∠ACB时，再由∠a=∠DAB+∠BAC，可求解。
7．【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边对等角得出 ∠B=∠C， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠B=∠ADE，∠C=∠AED， 故 ∠ADE=∠AED， 根据等角对等边得出 AD=AE， 从而得出结论.
8．【答案】（1）25；115
（2）解： 当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＋∠EDC＝180°-∠C=140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB＋∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
∵AB=AC=2
∴AB＝DC＝2，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）
∴当DC＝2时，△ABD≌△DCE.
（3） 可以；
理由：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵当∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180° 70° 40°＝70°
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝180°-∠BDA=100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝180°-∠ADC-∠C=180°-100°-40°=40°，
∴∠DAE＝∠ADE
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）在△ABD中，利用三角形内角和定理求出∠BAD的度数；再利用平角的定义求出∠EDC的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠DEC的度数.
（2）利用三角形内角和定理可证得∠DEC＋∠EDC=140°，利用平角的定义可证得∠ADB＋∠EDC＝140°，就可推出∠ADB＝∠DEC，当DC=2时，可证AB=DC，因此利用AAS可证得△ABD≌△DCE.
（3）分情况讨论：当∠BDA＝110°时；当∠BDA的度数为80°时，分别利用三角形的内角和定理及等腰三角形的判断方法，可证得结论.
9．【答案】（1）解：△EOF，△AOM，△DON
（2）证明：∵AB⊥EF于点B，DC⊥EF于点C，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵CF＝BE，
∴CF+BC＝BE+BC，
即BF＝CE…
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE，
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）首先利用SAS判断出△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应角相等可得∠A＝∠D，∠DEC＝∠AFB，所以△EOF是等腰三角形，再根据等角的余角相等可得∠A＝∠AMO，∠D＝∠DNO，从而得到△AOM与△DON也都是等腰三角形；
（2）根据等式的性质，由BE＝CF，得出EC＝BF，然后利用SAS判断出△ABF≌△DCE。
10．【答案】（1）解：由题意得：5﹣2＜AB＜5+2，
即：3＜AB＜7，
∵AB为奇数，
∴AB=5，
∴△ABC的周长为5+5+2=12
（2）解：∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用三角形三边关系定理求出AB的取值范围，再根据AB长为奇数，确定出AB的值，然后求出△ABC的周长。
（2）由（1）可知AB=AC，即可判定出△ABC的形状。
11．【答案】（1）解：△BDE是等腰三角形.
由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形
（2）解：设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
所以S△BDE= DE×AB= ×5×4=10.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质，可知∠CBD=∠EBD，再利用矩形的性质及平行线的性质，可证得∠CBD=∠EDB，从而可推出∠EBD=∠EDB，然后利用等角对等边，可证得结论。
（2）设DE=x，用含x的代数式表示出BE，AE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到DE的长，然后利用三角形的面积公式可求解。
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.3.2 等腰三角形的判定
一、单选题
1．（2019八下·福田期末） 中， ，则 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】根据在三角形中“等角对等边”，可知，选项B符合题意.
【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形判断即可.
2．（2019·北京模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的 距离为
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
【答案】D
【知识点】钟面角、方位角；等腰三角形的判定
【解析】【解答】依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，
∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，
∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°。∴∠M＝∠MPN＝70°。
∴NP＝NM＝80海里。
故答案为：D。
【分析】 先计算出MN的长，再根据方向角的意义平行线的性质求出∠M，∠N的度数，然后根据三角形内角和求出∠NPM的度数，可得∠M＝∠MPN，最后根据等腰三角形的判定求得NP＝NM即可得出答案
3．（2019八上·椒江期末）已知a、b、c为△ 的三边，且满足 ，则△ 是
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵a2+bc=b2+ac
∴a2-b2+bc-ac=（a+b）（a-b）+c（a-b）=0
∴（a-b）（a-b+c）=0
∵a-b+c＞0，即a-b+c≠0
∴a-b=0即a=b
∴△ABC是等腰三角形。
【分析】将a2+bc=b2+ac转化为（a-b）（a-b+c）=0，利用三角形三边关系定理，可证得a=b，即可判断得出△ABC的形状。
二、填空题
4．（2019·黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是 .
【答案】14
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE
∵点M为AB的中点，AB=8
∴AM=BM=4
∴△ACM≌△CMN
∴AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN
同理可证：BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD
∵∠CMD=120°
∴∠AMC+∠BMD=180°-120°=60°
∴∠CMN+∠EMD=60°
∴∠NME=180°-60°-60°=60°
∴△MNE是等边三角形
∴NE=ME=4
∵CD≤CE+NE+DE
∴当点C、N、E、D共线时，CD的值最大
∴CD的最大值为CE+NE+DE=2+4+8=14
【分析】 作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE，利用轴对称的性质易证AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN ，BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD，再由∠CMD=120°，去证明∠NME=60°，就可得到△MNE是等边三角形，求出NE的长，再由CD≤CE+NE+DE，可知当点C、N、E、D共线时，CD的值最大，然后就可求出CD的最大值。
5．（2019八上·阳信开学考）等腰三角形一个角为50°，它的另外两个角分别为 ．
【答案】70°
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】当该角为等腰三角形的顶角时，另外两个角分别为65°，65°；当该角为等腰三角形的底角时，两外两个角的为50°，80°。
【分析】根据等腰三角形的性质分别进行判断即可得到答案。
6．（2019·广西模拟）如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠a= °。(填一个即可).
【答案】130(答案不唯一)
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解： 如图
△ABC是等腰三角形
当∠ABC=∠ACB时，
∵∠ABC=50°
∴∠ACB=50°
∴∠BAC=180°-50°-50°=80°
∵a∥b
∠DAB=∠ABC=50°
∵∠a=∠DAB+∠BAC=50°+80°=130°；
当∠ABC=∠BAC=50°时
∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+50°=100°；
当∠BAC=∠ACB时
∠BAC=
∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+65°=115°；
故答案为：130°或100°或115°
【分析】利用平行线的性质，可求出∠DAB的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当∠ABC=∠ACB时；当∠ABC=∠BAC=50°时；当∠BAC=∠ACB时，再由∠a=∠DAB+∠BAC，可求解。
三、解答题
7．（2019八下·织金期中）已知：如图，在△BAC中，AB=AC,，D,E分别为AB,AC边上的点，且DE∥BC，求证: △ADE是等腰三角形.
【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边对等角得出 ∠B=∠C， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠B=∠ADE，∠C=∠AED， 故 ∠ADE=∠AED， 根据等角对等边得出 AD=AE， 从而得出结论.
四、综合题
8．（2019八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线AC段于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °，∠DEC= °；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25；115
（2）解： 当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＋∠EDC＝180°-∠C=140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB＋∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
∵AB=AC=2
∴AB＝DC＝2，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）
∴当DC＝2时，△ABD≌△DCE.
（3） 可以；
理由：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵当∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180° 70° 40°＝70°
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝180°-∠BDA=100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝180°-∠ADC-∠C=180°-100°-40°=40°，
∴∠DAE＝∠ADE
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）在△ABD中，利用三角形内角和定理求出∠BAD的度数；再利用平角的定义求出∠EDC的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠DEC的度数.
（2）利用三角形内角和定理可证得∠DEC＋∠EDC=140°，利用平角的定义可证得∠ADB＋∠EDC＝140°，就可推出∠ADB＝∠DEC，当DC=2时，可证AB=DC，因此利用AAS可证得△ABD≌△DCE.
（3）分情况讨论：当∠BDA＝110°时；当∠BDA的度数为80°时，分别利用三角形的内角和定理及等腰三角形的判断方法，可证得结论.
9．（2019·河池模拟）如图，AB⊥EF，DC⊥EF，垂足分别为B、C，且AB＝CD，BE＝CF.AF、DE相交于点O，AF、DC相交于点N，DE、AB相交于点M.
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：△ABF≌△DCE.
【答案】（1）解：△EOF，△AOM，△DON
（2）证明：∵AB⊥EF于点B，DC⊥EF于点C，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵CF＝BE，
∴CF+BC＝BE+BC，
即BF＝CE…
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE，
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）首先利用SAS判断出△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应角相等可得∠A＝∠D，∠DEC＝∠AFB，所以△EOF是等腰三角形，再根据等角的余角相等可得∠A＝∠AMO，∠D＝∠DNO，从而得到△AOM与△DON也都是等腰三角形；
（2）根据等式的性质，由BE＝CF，得出EC＝BF，然后利用SAS判断出△ABF≌△DCE。
10．在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB长为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判定△ABC的形状．
【答案】（1）解：由题意得：5﹣2＜AB＜5+2，
即：3＜AB＜7，
∵AB为奇数，
∴AB=5，
∴△ABC的周长为5+5+2=12
（2）解：∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用三角形三边关系定理求出AB的取值范围，再根据AB长为奇数，确定出AB的值，然后求出△ABC的周长。
（2）由（1）可知AB=AC，即可判定出△ABC的形状。
11．（2019八上·永登期中）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E.
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积.
【答案】（1）解：△BDE是等腰三角形.
由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形
（2）解：设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
所以S△BDE= DE×AB= ×5×4=10.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质，可知∠CBD=∠EBD，再利用矩形的性质及平行线的性质，可证得∠CBD=∠EDB，从而可推出∠EBD=∠EDB，然后利用等角对等边，可证得结论。
（2）设DE=x，用含x的代数式表示出BE，AE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到DE的长，然后利用三角形的面积公式可求解。
1 / 1
