初中数学北师大版九年级上学期 第五章 5.1 投影
一、单选题
1．（2019·昭平模拟）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
2．（2019九上·简阳期末）如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（ ）
A．越大 B．越小 C．不变 D．无法确定
3．下面属于中心投影的是( )
A．太阳光下的树影 B．皮影戏
C．月光下房屋的影子 D．海上日出
4．（2019九上·未央期末）矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是王老师展示的他昨天画的一幅写生画，他让四个学生猜测他画这幅画的时间．根据王老师标出的方向，下列给出的时间比较接近的是（ ）
A．小丽说：“早上8点” B．小强说：“中午12点”
C．小刚说：“下午3点” D．小明说：“哪个时间段都行”
6．如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1)
C．(4)(3)(1)(2) D．(2)(3)(4)(1)
二、填空题
7．下图右边是一个三棱柱，它的正投影是下图中的 （填序号）．
8．（2019·宁江模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.已知CD=20m，DE=30m，小明和小华的身高都是1.5m，同一时刻，小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2m.小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1m，则塔高AB是 m.
9．小明的身高是 米，他的影长是 米，同一时刻古塔的影长是 米，则古塔的高是 米．
10．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高13米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了侧得电线杆的高度，数学兴趣小组的同学进行了如下测量 某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为3米，落在地面上的影子BF的长为8米，而电信杆落在围墙上的影子GH的长度为 米，落在地面上的银子DH的长为6米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度是 米
11．某校九年级科技小组，利用日晷原理，设计制造了一台简易的“日晷”，并在一个阳光明媚的日子里记录了不同时刻晷针的影长，其中10：00时的影长被墨水污染．请根据规律，判断10：00时，该晷针的影长是 cm.
时间 7:00 8：00 9:00 10:00 11:00 12:00
影长 10cm 7.5cm 5.5cm ●cm 3cm 2.5cm
三、作图题
12．（2019九上·靖远期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
13．（2018九上·高碑店月考）作图题： 如图所示：大王站在墙前，小明站在墙后，小明不能让大王看见，请你画出小明的活动区域.
四、综合题
14．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段 表示站立在广场上的小亮，线段 表示直立在广场上的灯杆，点 表示照明灯的位置．
（1）在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度越来越 （用“长”或“短”填空）；请你在图中画出小亮站在 处的影子 ；
（2）当小亮离开灯杆的距离 时，身高为 的小亮的影长为 ，
①灯杆的高度为多少 ？
②当小亮离开灯杆的距离 时，小亮的影长变为多少 ？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长.
故答案为：B.
【分析】根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源越近的物体它的影子越短，离点光源越远的物体它的影子越长，据此判断即可.
2．【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】∵白炽灯相对于乒乓球是中心投影
∴当乒乓球接近于中心投影的中心时，阴影变大
故答案为：A
【分析】由同一点发出的光线所形成的投影为中心投影，白炽灯相当于中心投影的中心，乒乓球与其投影面是平行的，所以乒乓球与其投影面是位似的关系，即乒乓球离位似中心越近，其投影面就越大。
3．【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有B选项得到的投影为中心投影．
故答案为：B．
【分析】把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，根据定义即可判断出答案。
4．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：矩形木框再阳光的照射下形成的投影是平行四边形或一条线段，即相对的边平行或重合
故A不可能，不会是梯形
故答案为：C
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析即可。
5．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据题意：影子在物体的东方，根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，可得应该是下午．
故答案为：C．
【分析】由图可知：影子在物体的东方，故时间应该是在中午以后，从而判断出答案。
6．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的规律知：顺序为（4）（3）（1）（2）．
故答案为：C。
【分析】根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，即可得出答案。
7．【答案】②
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据投影的性质可得，该物体为三棱柱，则正投影应为矩形．故答案为：②．
【分析】如图所示的正投影就是三棱柱的主视图，三棱柱的主视图应该是一个矩形，从而得出答案。
8．【答案】37.5
【知识点】相似三角形的性质；平行投影
【解析】【解答】如图，由题意可得，DI=22.5，
，DH=15，
BH==10+15=25，
，
AB=37.5。
【分析】由同一时刻太阳光下不同物体的长度跟影长的比例相等可先求出DI，继而求出DH，即可求出塔AB的影长。再根据比例即可求出塔高AB长。
9．【答案】
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设古塔的高为x米．由题意得： ，解得：x=14.4．故答案为：14.4．
【分析】根据同一时刻，同一地点，同一平面，不同物体的长度与影长成比例即可建立方程，求解即可。
10．【答案】11
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：过点E作 于M，过点G作 于N．
则 ， ， ， ．
所以 ，
由平行投影可知， ，
即 ，
解得 ，
即电线杆的高度为11米．
故答案为：11．
【分析】过点E作 于M，过点G作 于N．根据矩形的性质得出 ， ， ， ，根据平行投影的性质得出，根据比例式建立方程，求解即可。
11．【答案】4
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可知，在10：00时，晷针的影长为5.5－1.5=4cm.
故答案为4.
【分析】通过观察发现：晷针的影长在7：00至12：00之间逐渐缩短，且每小时缩短的幅度递减0.5cm，从而得出答案。
12．【答案】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得， ，∴ ，∴OD=4m，∴灯泡的高为4m．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）连接CB并延长交DE于一点O，即为灯泡的位置.连接OG并延长交地面于点H，线段FH即为小亮在灯光下的影子.
（2）根据平行线可得△CAB∽△CDO，利用相似三角形对应边成比例可得 ，代入数据计算即可求出OD的长.
13．【答案】解：如图，小明的活动区域是A、B、C三个阴影部分区域．
【知识点】中心投影
【解析】【分析】根据题意，分别将大王所在的点与墙的两侧作连线，将其延长即可得到活动区域。
14．【答案】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示， 即为所求；
（2）解：①先设 米，则当 米时， 米，
∵AB//PO，
∴△AEB∽△PEO，
∴ ，即 ，
∴ ；
②当 时，设小亮的影长是 米，
∵CD//OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即小亮的影长是 米
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1） 在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中， 投影线与地面的夹角越来越大， 他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 连接PA并延长交地面于点E，BE就是小亮的影子；
（2） ①先设 米，则当 米时， 米， 根据中心投影的性质得出 △AEB∽△PEO， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式建立方程，求解即可； ②当 时，设小亮的影长是 米， 根据中心投影的性质得出 △FCD∽△FPO， 根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可。
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第五章 5.1 投影
一、单选题
1．（2019·昭平模拟）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长.
故答案为：B.
【分析】根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源越近的物体它的影子越短，离点光源越远的物体它的影子越长，据此判断即可.
2．（2019九上·简阳期末）如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（ ）
A．越大 B．越小 C．不变 D．无法确定
【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】∵白炽灯相对于乒乓球是中心投影
∴当乒乓球接近于中心投影的中心时，阴影变大
故答案为：A
【分析】由同一点发出的光线所形成的投影为中心投影，白炽灯相当于中心投影的中心，乒乓球与其投影面是平行的，所以乒乓球与其投影面是位似的关系，即乒乓球离位似中心越近，其投影面就越大。
3．下面属于中心投影的是( )
A．太阳光下的树影 B．皮影戏
C．月光下房屋的影子 D．海上日出
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有B选项得到的投影为中心投影．
故答案为：B．
【分析】把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，根据定义即可判断出答案。
4．（2019九上·未央期末）矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：矩形木框再阳光的照射下形成的投影是平行四边形或一条线段，即相对的边平行或重合
故A不可能，不会是梯形
故答案为：C
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析即可。
5．如图是王老师展示的他昨天画的一幅写生画，他让四个学生猜测他画这幅画的时间．根据王老师标出的方向，下列给出的时间比较接近的是（ ）
A．小丽说：“早上8点” B．小强说：“中午12点”
C．小刚说：“下午3点” D．小明说：“哪个时间段都行”
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据题意：影子在物体的东方，根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，可得应该是下午．
故答案为：C．
【分析】由图可知：影子在物体的东方，故时间应该是在中午以后，从而判断出答案。
6．如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1)
C．(4)(3)(1)(2) D．(2)(3)(4)(1)
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的规律知：顺序为（4）（3）（1）（2）．
故答案为：C。
【分析】根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，即可得出答案。
二、填空题
7．下图右边是一个三棱柱，它的正投影是下图中的 （填序号）．
【答案】②
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据投影的性质可得，该物体为三棱柱，则正投影应为矩形．故答案为：②．
【分析】如图所示的正投影就是三棱柱的主视图，三棱柱的主视图应该是一个矩形，从而得出答案。
8．（2019·宁江模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.已知CD=20m，DE=30m，小明和小华的身高都是1.5m，同一时刻，小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2m.小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1m，则塔高AB是 m.
【答案】37.5
【知识点】相似三角形的性质；平行投影
【解析】【解答】如图，由题意可得，DI=22.5，
，DH=15，
BH==10+15=25，
，
AB=37.5。
【分析】由同一时刻太阳光下不同物体的长度跟影长的比例相等可先求出DI，继而求出DH，即可求出塔AB的影长。再根据比例即可求出塔高AB长。
9．小明的身高是 米，他的影长是 米，同一时刻古塔的影长是 米，则古塔的高是 米．
【答案】
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设古塔的高为x米．由题意得： ，解得：x=14.4．故答案为：14.4．
【分析】根据同一时刻，同一地点，同一平面，不同物体的长度与影长成比例即可建立方程，求解即可。
10．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高13米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了侧得电线杆的高度，数学兴趣小组的同学进行了如下测量 某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为3米，落在地面上的影子BF的长为8米，而电信杆落在围墙上的影子GH的长度为 米，落在地面上的银子DH的长为6米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度是 米
【答案】11
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：过点E作 于M，过点G作 于N．
则 ， ， ， ．
所以 ，
由平行投影可知， ，
即 ，
解得 ，
即电线杆的高度为11米．
故答案为：11．
【分析】过点E作 于M，过点G作 于N．根据矩形的性质得出 ， ， ， ，根据平行投影的性质得出，根据比例式建立方程，求解即可。
11．某校九年级科技小组，利用日晷原理，设计制造了一台简易的“日晷”，并在一个阳光明媚的日子里记录了不同时刻晷针的影长，其中10：00时的影长被墨水污染．请根据规律，判断10：00时，该晷针的影长是 cm.
时间 7:00 8：00 9:00 10:00 11:00 12:00
影长 10cm 7.5cm 5.5cm ●cm 3cm 2.5cm
【答案】4
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可知，在10：00时，晷针的影长为5.5－1.5=4cm.
故答案为4.
【分析】通过观察发现：晷针的影长在7：00至12：00之间逐渐缩短，且每小时缩短的幅度递减0.5cm，从而得出答案。
三、作图题
12．（2019九上·靖远期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
【答案】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得， ，∴ ，∴OD=4m，∴灯泡的高为4m．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）连接CB并延长交DE于一点O，即为灯泡的位置.连接OG并延长交地面于点H，线段FH即为小亮在灯光下的影子.
（2）根据平行线可得△CAB∽△CDO，利用相似三角形对应边成比例可得 ，代入数据计算即可求出OD的长.
13．（2018九上·高碑店月考）作图题： 如图所示：大王站在墙前，小明站在墙后，小明不能让大王看见，请你画出小明的活动区域.
【答案】解：如图，小明的活动区域是A、B、C三个阴影部分区域．
【知识点】中心投影
【解析】【分析】根据题意，分别将大王所在的点与墙的两侧作连线，将其延长即可得到活动区域。
四、综合题
14．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段 表示站立在广场上的小亮，线段 表示直立在广场上的灯杆，点 表示照明灯的位置．
（1）在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度越来越 （用“长”或“短”填空）；请你在图中画出小亮站在 处的影子 ；
（2）当小亮离开灯杆的距离 时，身高为 的小亮的影长为 ，
①灯杆的高度为多少 ？
②当小亮离开灯杆的距离 时，小亮的影长变为多少 ？
【答案】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示， 即为所求；
（2）解：①先设 米，则当 米时， 米，
∵AB//PO，
∴△AEB∽△PEO，
∴ ，即 ，
∴ ；
②当 时，设小亮的影长是 米，
∵CD//OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即小亮的影长是 米
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1） 在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中， 投影线与地面的夹角越来越大， 他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 连接PA并延长交地面于点E，BE就是小亮的影子；
（2） ①先设 米，则当 米时， 米， 根据中心投影的性质得出 △AEB∽△PEO， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式建立方程，求解即可； ②当 时，设小亮的影长是 米， 根据中心投影的性质得出 △FCD∽△FPO， 根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可。
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