初中数学华师大版九年级上学期 第24章测试卷
一、单选题
1．（2019八下·义乌期末）已知平行四边形ABCD，对角线AC=6、BD=8，则该平行四边形四条边中最长边a的取值范围是（ ）
A． ≤a<7 B．5≤a<7 C．1
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、BD，AC与BD相交于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA=3， OB=OD=4，
则另一边的长度范围是4-3即1又∵a为平行四边形最长边，当AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，四边相等，a=5，
当AC和BD不垂直时，有一组对边较大，这组对边对应的对角线的夹角大于90°，
则a2>OA2+OB2，即a2>32+42，
得a>5，
综上， 5≤a<7 .
故答案为：B
【分析】先根据平行四边形对角线互相平分得两条对角线的一半是3和4，由三角形两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边得12．（2019·黄石）如图，在 中， ， 于点 ， 和 的角平分线相较于点 ， 为边 的中点， ，则 （ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DF
∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF＝CF=AF，∠BDC=90°
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE＝（∠BCD+∠BDC）=×130°=65°，
∴∠CED＝180°-（∠DCE+∠CDE）=180°-65°=115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，
故答案为：C．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易证DF＝CF=AF，∠BDC=90°，结合已知可证得△CDF是等边三角形，就可求出∠ACD的度数，从而可求出∠BCD+∠BDC的值，利用角平分线的定义，求出∠DCE+∠CDE，再利用三角形内角和定理求出∠CED，然后就可求出∠ACD+∠CED的值。
3．（2019·金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形三边长分别为：a，3，5，
∴a的取值范围为：2＜a＜8，
∴a的所有可能取值为：3，4，5，6，7.
故答案为：C.
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出a的取值范围，从而可得答案.
4．（2019·安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN,且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE.则下列说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE
C．若AB＝4，则BE＝ D．sin∠CBE＝
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；
∵AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；
作EH⊥BC于H，如图，
若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，∴CH=CE=1,EH=,
在Rt△BEH中，利用勾股定理得：BE=，所以C选项的说法错误；
sin∠CBE=,所以D选项的说法正确.
故答案为:C.
【分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系的逆用得出∠DAE=30°，进而根据三角形的内角和得出∠D=60°，根据菱形的对角相等得出∠ABC=60°；利用平行线间的距离相等，由同高三角形的面积之间的关系等于两底之间的关系，由AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，根据含30°直角三角形的边之间的关系计算出CH，EH，进而根据勾股定理算出BE的长，最后根据锐角三角函数的定义，由sin∠CBE=即可算出答案 sin∠CBE 的值，从而一一判断得出答案。
5．（2019·山西模拟）在 中，∠C=90°， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinA= = ，设BC=3x，则AB=5x，
∵BC2+AC2=AB2∴AC=4x．
∴tanB= ＝ ＝ ．
故答案为：D．
【分析】直角三角形中三角函数的应用。根据已知条件，可知道BC，AB的比例，设某一边长的长度，利用勾股定理，即可求出三边的长度。即可求出 的值 。
二、填空题
6．（2019·萍乡模拟）小明家的客厅有一张直径BC为1.2米，高0.8米的圆桌，在距地面2米的A处有一盏灯，BC的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0)，则点E的坐标是 。
【答案】（4，0）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，OA=2米，OD=2米
△ABC中BC边上的高为2-0.8=1.2米，△ADE中DE边上的高为2米，
∵BC∥DE，BC=1.2米，
∴△ABC∽△ADE，
∴，即，
∴DE=2米，
∴OE=OD+DE=4米，
∴E（4,0）
故答案为：（4,0）
【分析】根据平行线可证△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应高的比等于相似比，可得，从而求出DE的长，即得OE的长，从而求出点E的坐标.
7．（2019·西岗模拟）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时标杆旁边一棵杨树的影长为10.5米，则这棵杨树高为 米.
【答案】7.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设这棵杨树高度为xm，
由题意得， ＝ ，
解得：x＝7.5，
经检验，x＝7.5是原方程的解，
即这棵杨树高为7.5m.
故答案为：7.5.
【分析】设这棵杨树高度为xm，利用同一时刻的物高与影长成比例列出方程。解方程即可求出这棵杨树的高（别忘记检验哦） .
8．（2019·百色）四边形具有不稳定性.如图，矩形 按箭头方向变形成平行四边形 ，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则 .
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，作D′H⊥A′B′，垂足为H，
∵ ，
∴A′B′ D′H= ，
∵A′B′=AB，A′D′=AD，
∴D′H= A′D′，
在Rt△A′D′H中，sin∠A′= ，
∴ ，
故答案为： 。
【分析】如图，作D′H⊥A′B′，垂足为H，根据矩形及平行四边形的面积计算方法，由列出方程，根据题意A′B′=AB，A′D′=AD，从而得出D′H= A′D′，进而根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值即可求出∠A'的度数。
9．（2019·龙湖模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝ ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝5，
∴sinB＝ ．
故答案为： .
【分析】根据勾股定理求得AB，在直角三角形ACB中，求 sinB 列出公式代数即可。
10．（2019·咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB=30°，点D处测得∠ADB=60°，CD=80m，则河宽AB约为 m（结果保留整数， ）.
【答案】69
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∠ACB=30°
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD
∴∠CAD=60°-30°=30°=∠ACB
∴CD=AD=80
在Rt△ADB中
AB=ADsin∠ADB=
故答案为：69
【分析】利用三角形外角的性质，可证∠CAD的度数，可证得∠CAD=∠ACB，利用等角对等边易证CD=AD，即可求出AD的长，然后在Rt△ADB中，利用解直角三角形求出AB的长。
三、计算题
11．（2019·玉林）计算：| ﹣1|﹣（﹣2）3﹣ +（π﹣cos60°）0.
【答案】解：原式＝ ﹣1+8﹣ +1
＝8.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的意义、乘方的意义、二次根式的性质、0指数的意义分别化简，再根据实数的加减法法则算出结果。
四、综合题
12．（2019·扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10.
（1）求证：∠BEC=90°；
（2）求cos∠DAE.
【答案】（1） 证明：∵四ABCD是平行四边形
∴CD∥BA ∴∠AED=∠EAB
∵AE平分∠DAB∴∠DAE=∠EAB
∴∠AED=∠DAE
∴AD=DE=10∴BC=10
∵BE=8 CE=6 ∴BE2+CE2=BC2
∴△BEC为直角三角形∴∠BEC=90°；
（2）解：∵ DE=10 CE=6
∴AB=16
∵∠BEC=90°
∴AE=
∴cos∠EAB=
∵∠DAE=∠EAB
∴cos∠DAE==
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 DC∥BA，根据二直线平行，内错角相等得出 ∠AED=∠EAB ，根据角平分线的定义得出 ∠DAE=∠EAB ，故 ∠AED=∠DAE ，根据等角对等边得出 AD=DE=10 ，根据平行四边形的对边相等得出BC=10，从而根据勾股定理的逆定理即可判断出 △BEC为直角三角形∴∠BEC=90° ；
（2））根据平行四边形的性质得出 DC∥BA，根据二直线平行，内错角相等得出 ∠BEC=∠EBA=90° ，在Rt△ABE中，根据勾股定理算出AE的长，然后根据等角的同名三角函数值相等及锐角三角函数的定义由 cos∠DAE= cos∠EAB 即可得出答案。
13．（2019·梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝ .
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值.
【答案】（1）解:∵tanB＝ ，可设AC＝3x，得BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，
∴CD＝3，
∴AD＝ ；
（2）解:过点作DE⊥AB于点E，
∵tanB＝ ，可设DE＝3y，则BE＝4y，
∵AE2+DE2＝BD2，
∴（3y）2+（4y）2＝12，
解得，y＝﹣ （舍），或y＝ ，
∴ ，
∴sinα＝ .
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，由 tanB＝ ，可设AC＝3x，得BC＝4x， 然后根据勾股定理建立方程，求解并检验得出x的值，从而求出AC,BC的长，根据线段的和差算出CD的长，进而在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD；
（2） 过点作DE⊥AB于点E，根据正切函数的定义，由 tanB＝ ，可设 DE＝3y，则BE＝4y， 然后根据勾股定理建立方程，求解并检验得出y的值，从而求出DE的长，进而根据正弦函数的定义，即可得出答案。
14．（2019·天水）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 的坡度为 ，文化墙 在天桥底部正前方8米处( 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 .(参考数据： ， )
（1）若新坡面坡角为 ，求坡角 度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 是否需要拆除？请说明理由.
【答案】（1）解：∵新坡面坡角为 ，新坡面的坡度为 ，
∴ ，
∴
（2）解：该文化墙 不需要拆除，
理由：作 于点 ，
则 米，
∵新坡面的坡度为 ，
∴ ，
解得， 米，
∵坡面 的坡度为 ， 米，
∴ 米，
∴ 米，
又∵ 米，
∴ 米 米，
∴该文化墙 不需要拆除.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据坡度的概念及特殊锐角三角函数值即可算出 ；
（2） 该文化墙 不需要拆除， 理由如下：作 于点 ， 根据坡度的概念即可算出AD的长，BD的长，进而根据AB=AD-BD算出AB的长， 最后利用PA=PB-AB算出PA的长，再与3比大小即可得出结论。
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期 第24章测试卷
一、单选题
1．（2019八下·义乌期末）已知平行四边形ABCD，对角线AC=6、BD=8，则该平行四边形四条边中最长边a的取值范围是（ ）
A． ≤a<7 B．5≤a<7 C．12．（2019·黄石）如图，在 中， ， 于点 ， 和 的角平分线相较于点 ， 为边 的中点， ，则 （ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
3．（2019·金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
4．（2019·安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN,且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE.则下列说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE
C．若AB＝4，则BE＝ D．sin∠CBE＝
5．（2019·山西模拟）在 中，∠C=90°， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2019·萍乡模拟）小明家的客厅有一张直径BC为1.2米，高0.8米的圆桌，在距地面2米的A处有一盏灯，BC的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0)，则点E的坐标是 。
7．（2019·西岗模拟）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时标杆旁边一棵杨树的影长为10.5米，则这棵杨树高为 米.
8．（2019·百色）四边形具有不稳定性.如图，矩形 按箭头方向变形成平行四边形 ，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则 .
9．（2019·龙湖模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝ ．
10．（2019·咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB=30°，点D处测得∠ADB=60°，CD=80m，则河宽AB约为 m（结果保留整数， ）.
三、计算题
11．（2019·玉林）计算：| ﹣1|﹣（﹣2）3﹣ +（π﹣cos60°）0.
四、综合题
12．（2019·扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10.
（1）求证：∠BEC=90°；
（2）求cos∠DAE.
13．（2019·梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝ .
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值.
14．（2019·天水）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 的坡度为 ，文化墙 在天桥底部正前方8米处( 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 .(参考数据： ， )
（1）若新坡面坡角为 ，求坡角 度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 是否需要拆除？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、BD，AC与BD相交于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA=3， OB=OD=4，
则另一边的长度范围是4-3即1又∵a为平行四边形最长边，当AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，四边相等，a=5，
当AC和BD不垂直时，有一组对边较大，这组对边对应的对角线的夹角大于90°，
则a2>OA2+OB2，即a2>32+42，
得a>5，
综上， 5≤a<7 .
故答案为：B
【分析】先根据平行四边形对角线互相平分得两条对角线的一半是3和4，由三角形两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边得12．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DF
∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF＝CF=AF，∠BDC=90°
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE＝（∠BCD+∠BDC）=×130°=65°，
∴∠CED＝180°-（∠DCE+∠CDE）=180°-65°=115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，
故答案为：C．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易证DF＝CF=AF，∠BDC=90°，结合已知可证得△CDF是等边三角形，就可求出∠ACD的度数，从而可求出∠BCD+∠BDC的值，利用角平分线的定义，求出∠DCE+∠CDE，再利用三角形内角和定理求出∠CED，然后就可求出∠ACD+∠CED的值。
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形三边长分别为：a，3，5，
∴a的取值范围为：2＜a＜8，
∴a的所有可能取值为：3，4，5，6，7.
故答案为：C.
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出a的取值范围，从而可得答案.
4．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；
∵AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；
作EH⊥BC于H，如图，
若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，∴CH=CE=1,EH=,
在Rt△BEH中，利用勾股定理得：BE=，所以C选项的说法错误；
sin∠CBE=,所以D选项的说法正确.
故答案为:C.
【分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系的逆用得出∠DAE=30°，进而根据三角形的内角和得出∠D=60°，根据菱形的对角相等得出∠ABC=60°；利用平行线间的距离相等，由同高三角形的面积之间的关系等于两底之间的关系，由AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，根据含30°直角三角形的边之间的关系计算出CH，EH，进而根据勾股定理算出BE的长，最后根据锐角三角函数的定义，由sin∠CBE=即可算出答案 sin∠CBE 的值，从而一一判断得出答案。
5．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinA= = ，设BC=3x，则AB=5x，
∵BC2+AC2=AB2∴AC=4x．
∴tanB= ＝ ＝ ．
故答案为：D．
【分析】直角三角形中三角函数的应用。根据已知条件，可知道BC，AB的比例，设某一边长的长度，利用勾股定理，即可求出三边的长度。即可求出 的值 。
6．【答案】（4，0）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，OA=2米，OD=2米
△ABC中BC边上的高为2-0.8=1.2米，△ADE中DE边上的高为2米，
∵BC∥DE，BC=1.2米，
∴△ABC∽△ADE，
∴，即，
∴DE=2米，
∴OE=OD+DE=4米，
∴E（4,0）
故答案为：（4,0）
【分析】根据平行线可证△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应高的比等于相似比，可得，从而求出DE的长，即得OE的长，从而求出点E的坐标.
7．【答案】7.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设这棵杨树高度为xm，
由题意得， ＝ ，
解得：x＝7.5，
经检验，x＝7.5是原方程的解，
即这棵杨树高为7.5m.
故答案为：7.5.
【分析】设这棵杨树高度为xm，利用同一时刻的物高与影长成比例列出方程。解方程即可求出这棵杨树的高（别忘记检验哦） .
8．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，作D′H⊥A′B′，垂足为H，
∵ ，
∴A′B′ D′H= ，
∵A′B′=AB，A′D′=AD，
∴D′H= A′D′，
在Rt△A′D′H中，sin∠A′= ，
∴ ，
故答案为： 。
【分析】如图，作D′H⊥A′B′，垂足为H，根据矩形及平行四边形的面积计算方法，由列出方程，根据题意A′B′=AB，A′D′=AD，从而得出D′H= A′D′，进而根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值即可求出∠A'的度数。
9．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝5，
∴sinB＝ ．
故答案为： .
【分析】根据勾股定理求得AB，在直角三角形ACB中，求 sinB 列出公式代数即可。
10．【答案】69
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∠ACB=30°
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD
∴∠CAD=60°-30°=30°=∠ACB
∴CD=AD=80
在Rt△ADB中
AB=ADsin∠ADB=
故答案为：69
【分析】利用三角形外角的性质，可证∠CAD的度数，可证得∠CAD=∠ACB，利用等角对等边易证CD=AD，即可求出AD的长，然后在Rt△ADB中，利用解直角三角形求出AB的长。
11．【答案】解：原式＝ ﹣1+8﹣ +1
＝8.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的意义、乘方的意义、二次根式的性质、0指数的意义分别化简，再根据实数的加减法法则算出结果。
12．【答案】（1） 证明：∵四ABCD是平行四边形
∴CD∥BA ∴∠AED=∠EAB
∵AE平分∠DAB∴∠DAE=∠EAB
∴∠AED=∠DAE
∴AD=DE=10∴BC=10
∵BE=8 CE=6 ∴BE2+CE2=BC2
∴△BEC为直角三角形∴∠BEC=90°；
（2）解：∵ DE=10 CE=6
∴AB=16
∵∠BEC=90°
∴AE=
∴cos∠EAB=
∵∠DAE=∠EAB
∴cos∠DAE==
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 DC∥BA，根据二直线平行，内错角相等得出 ∠AED=∠EAB ，根据角平分线的定义得出 ∠DAE=∠EAB ，故 ∠AED=∠DAE ，根据等角对等边得出 AD=DE=10 ，根据平行四边形的对边相等得出BC=10，从而根据勾股定理的逆定理即可判断出 △BEC为直角三角形∴∠BEC=90° ；
（2））根据平行四边形的性质得出 DC∥BA，根据二直线平行，内错角相等得出 ∠BEC=∠EBA=90° ，在Rt△ABE中，根据勾股定理算出AE的长，然后根据等角的同名三角函数值相等及锐角三角函数的定义由 cos∠DAE= cos∠EAB 即可得出答案。
13．【答案】（1）解:∵tanB＝ ，可设AC＝3x，得BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，
∴CD＝3，
∴AD＝ ；
（2）解:过点作DE⊥AB于点E，
∵tanB＝ ，可设DE＝3y，则BE＝4y，
∵AE2+DE2＝BD2，
∴（3y）2+（4y）2＝12，
解得，y＝﹣ （舍），或y＝ ，
∴ ，
∴sinα＝ .
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，由 tanB＝ ，可设AC＝3x，得BC＝4x， 然后根据勾股定理建立方程，求解并检验得出x的值，从而求出AC,BC的长，根据线段的和差算出CD的长，进而在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD；
（2） 过点作DE⊥AB于点E，根据正切函数的定义，由 tanB＝ ，可设 DE＝3y，则BE＝4y， 然后根据勾股定理建立方程，求解并检验得出y的值，从而求出DE的长，进而根据正弦函数的定义，即可得出答案。
14．【答案】（1）解：∵新坡面坡角为 ，新坡面的坡度为 ，
∴ ，
∴
（2）解：该文化墙 不需要拆除，
理由：作 于点 ，
则 米，
∵新坡面的坡度为 ，
∴ ，
解得， 米，
∵坡面 的坡度为 ， 米，
∴ 米，
∴ 米，
又∵ 米，
∴ 米 米，
∴该文化墙 不需要拆除.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据坡度的概念及特殊锐角三角函数值即可算出 ；
（2） 该文化墙 不需要拆除， 理由如下：作 于点 ， 根据坡度的概念即可算出AD的长，BD的长，进而根据AB=AD-BD算出AB的长， 最后利用PA=PB-AB算出PA的长，再与3比大小即可得出结论。
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