初中数学北师大版九年级上学期 第三章 3.1 用树状图或表格求概率
一、单选题
1．（2019·北部湾）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择—个参加活动，两人恰好选择同—场馆的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的有3种情况，
∴两人恰好选择同一场馆的概率=
故答案为：A
【分析】由题意可知，此事件是抽取放回，列出树状图，根据树状图求出所有等可能的结果数及两人恰好选择同一场馆的可能数，然后利用概率公式求解。
2．（2019·柳州）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如图，
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
∴小李获胜的概率为 。
故答案为：A。
【分析】根据题意画出树状图，由图可知：共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，根据概率公式即可算出答案。
3．（2019·绍兴模拟）从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
由列表可知：共有3×4=12种可能，卡片上的数字之和为奇数的有8种．
所以卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．
故答案为：C．
【分析】利用列表法得出 从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张 的所有等可能的结果，由列表可知：共有12种可能的情况，卡片上的数字之和为奇数的有8种，从而根据概率公式即可算出卡片上的数字之和为奇数的概率。
4．（2019·防城模拟）如图，有一电路AB是由图示的开关控制,闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路，则使电路形成通路的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】共有5个开关，任意闭合2个，共有5×4÷2=10种情况；在闭合a的情况下，有3种情况出现通路，同理，在闭合b的情况下，也出现3种通路.共有6种通路.∴使电路形成通路的概率是 ，
故答案为：C.
【分析】 找出闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关的所有情况， 再作出只有闭合两条线路里的两个才能形成通路的所有情况，代入概率的计算公式即可求出使电路形成通路的概率 .
二、综合题
5．（2019·贺州）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶.
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.
【答案】（1）解：设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，
画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果；
（2）解：由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为 ＝ .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1） 设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A， 根据题意画出树状图， 由图可知，共有12种等可能结果；
（2） 由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果， 根据概率公式即可算出答案。
6．（2019·百色）九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：
编号 一 二 三 四 五
人数 15 20 10
已知前面两个小组的人数之比是 .
解答下列问题：
（1） .
（2）补全条形统计图：
（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率.（用树状图或列表把所有可能都列出来）
【答案】（1）5
（2）解：补全图形如下：
（3）解：∵a：15=1：5，
∴ ，
∴ =2，
即第一组有3名同学，第五组有2名同学，
设第一组3位同学分别为 ，设第五组2位同学分别为 ，
由上图可知，一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：
【知识点】统计表；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】(1)由题意知 ，
故答案为：5；
【分析】（1）用 九年级（1）班 的总人数减去第二、三、四组的人数和即可算出第一组与第五组的人数和，即a+b的值；
（2）根据统计表提供的数据，由第三组的人数即可补全条形统计图；
（3）根据第一组与第二组的人数之比为1∶5即可列出方程，求解算出第一组的人数，进而即可算出第5组的人数， 设第一组3位同学分别为 ，设第五组2位同学分别为 ， 根据题意画出树状图，由图可知： 一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种 ，根据概率公式即可算出答案。
7．（2019·宿迁）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.
男、女生所选类别人数统计表
类别 男生（人） 女生（人）
文学类 12 8
史学类 5
科学类 6 5
哲学类 2
根据以上信息解决下列问题
（1） ， ；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 ；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率.
【答案】（1）10；2
（2）79.2
（3）解：列表得：
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，
∴所选取的两名学生都是男生的概率为
【知识点】统计表；扇形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】（1）抽查的总学生数是： （人），
， ；
故答案为：10，2；
（ 2 ）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 ；
故答案为：79.2；
【分析】（1）根据统计图提供的信息可知：喜欢文学类的人数是20人，其所占的百分比是，用喜欢文学类书籍的人数除以其所占的百分比即可算出本次调查的总人数；用本次调查的总人数乘以喜欢史学类书籍的人数所占的百分比即可算出喜欢史学类的学生人数，用这个人数再减去喜欢史学类书籍的女生人数即可算出m值；用本次调查的总人数分别减去“喜欢文学类的人数”、“喜欢史学类的人数”、“喜欢科学类的人数”再减去“喜欢哲学类的男生人数”就可算出n的值；
（2）用360°乘以样本中“喜欢科学类”人数所占的百分比即可算出扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数 ；
（3）根据题意列出表格， 由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能， 根据宫公式即可算出所选取的两名学生都是男生的概率 。
8．（2019·连云港）现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同.现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球.
（1）从A盒中摸出红球的概率为；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率.
【答案】（1）解：根据概率公式，从 盒子中摸出红球的概率为
（2）解：列出树状图如图所示：
由图可知，共有12种等可能结果，其中至少有一个红球的结果有10种.
所以， （摸出的三个球中至少有一个红球） .
答：摸出的三个球中至少有一个红球的概率是 .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1） A盒中装有除颜色以外都相同的红球、黄球、蓝球各1个，故从中摸出一个小球，共有3种等可能的结果，而能摸到红色小球的机会只有一个，根据概率公式即可算出 从 盒子中摸出红球的概率 ；
（2）根据题意列出树状图，由图可知： 共有12种等可能结果，其中至少有一个红球的结果有10种，根据概率公式就可算出 从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球 中至少有一个红球的概率。
9．（2019·潍坊模拟）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
数字 3 5 2 3 3 4 3 5
（1）求前8次的指针所指数字的平均数．
（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．）
【答案】（1）解：前8次的指针所指数字的平均数为
（2）解：∵这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，
∴后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，
所以此结果的概率为 .
【知识点】列表法与树状图法；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）利用前8次的数字和除以8即得；
（2）根据“ 这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5 ”可得后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7， 利用树状图列举出由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果， 然后利用概率公式计算即可.
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第三章 3.1 用树状图或表格求概率
一、单选题
1．（2019·北部湾）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择—个参加活动，两人恰好选择同—场馆的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·柳州）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·绍兴模拟）从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·防城模拟）如图，有一电路AB是由图示的开关控制,闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路，则使电路形成通路的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、综合题
5．（2019·贺州）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶.
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.
6．（2019·百色）九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：
编号 一 二 三 四 五
人数 15 20 10
已知前面两个小组的人数之比是 .
解答下列问题：
（1） .
（2）补全条形统计图：
（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率.（用树状图或列表把所有可能都列出来）
7．（2019·宿迁）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.
男、女生所选类别人数统计表
类别 男生（人） 女生（人）
文学类 12 8
史学类 5
科学类 6 5
哲学类 2
根据以上信息解决下列问题
（1） ， ；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 ；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率.
8．（2019·连云港）现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同.现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球.
（1）从A盒中摸出红球的概率为；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率.
9．（2019·潍坊模拟）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
数字 3 5 2 3 3 4 3 5
（1）求前8次的指针所指数字的平均数．
（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的有3种情况，
∴两人恰好选择同一场馆的概率=
故答案为：A
【分析】由题意可知，此事件是抽取放回，列出树状图，根据树状图求出所有等可能的结果数及两人恰好选择同一场馆的可能数，然后利用概率公式求解。
2．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如图，
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
∴小李获胜的概率为 。
故答案为：A。
【分析】根据题意画出树状图，由图可知：共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，根据概率公式即可算出答案。
3．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
由列表可知：共有3×4=12种可能，卡片上的数字之和为奇数的有8种．
所以卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．
故答案为：C．
【分析】利用列表法得出 从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张 的所有等可能的结果，由列表可知：共有12种可能的情况，卡片上的数字之和为奇数的有8种，从而根据概率公式即可算出卡片上的数字之和为奇数的概率。
4．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】共有5个开关，任意闭合2个，共有5×4÷2=10种情况；在闭合a的情况下，有3种情况出现通路，同理，在闭合b的情况下，也出现3种通路.共有6种通路.∴使电路形成通路的概率是 ，
故答案为：C.
【分析】 找出闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关的所有情况， 再作出只有闭合两条线路里的两个才能形成通路的所有情况，代入概率的计算公式即可求出使电路形成通路的概率 .
5．【答案】（1）解：设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，
画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果；
（2）解：由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为 ＝ .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1） 设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A， 根据题意画出树状图， 由图可知，共有12种等可能结果；
（2） 由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果， 根据概率公式即可算出答案。
6．【答案】（1）5
（2）解：补全图形如下：
（3）解：∵a：15=1：5，
∴ ，
∴ =2，
即第一组有3名同学，第五组有2名同学，
设第一组3位同学分别为 ，设第五组2位同学分别为 ，
由上图可知，一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：
【知识点】统计表；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】(1)由题意知 ，
故答案为：5；
【分析】（1）用 九年级（1）班 的总人数减去第二、三、四组的人数和即可算出第一组与第五组的人数和，即a+b的值；
（2）根据统计表提供的数据，由第三组的人数即可补全条形统计图；
（3）根据第一组与第二组的人数之比为1∶5即可列出方程，求解算出第一组的人数，进而即可算出第5组的人数， 设第一组3位同学分别为 ，设第五组2位同学分别为 ， 根据题意画出树状图，由图可知： 一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种 ，根据概率公式即可算出答案。
7．【答案】（1）10；2
（2）79.2
（3）解：列表得：
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，
∴所选取的两名学生都是男生的概率为
【知识点】统计表；扇形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】（1）抽查的总学生数是： （人），
， ；
故答案为：10，2；
（ 2 ）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 ；
故答案为：79.2；
【分析】（1）根据统计图提供的信息可知：喜欢文学类的人数是20人，其所占的百分比是，用喜欢文学类书籍的人数除以其所占的百分比即可算出本次调查的总人数；用本次调查的总人数乘以喜欢史学类书籍的人数所占的百分比即可算出喜欢史学类的学生人数，用这个人数再减去喜欢史学类书籍的女生人数即可算出m值；用本次调查的总人数分别减去“喜欢文学类的人数”、“喜欢史学类的人数”、“喜欢科学类的人数”再减去“喜欢哲学类的男生人数”就可算出n的值；
（2）用360°乘以样本中“喜欢科学类”人数所占的百分比即可算出扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数 ；
（3）根据题意列出表格， 由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能， 根据宫公式即可算出所选取的两名学生都是男生的概率 。
8．【答案】（1）解：根据概率公式，从 盒子中摸出红球的概率为
（2）解：列出树状图如图所示：
由图可知，共有12种等可能结果，其中至少有一个红球的结果有10种.
所以， （摸出的三个球中至少有一个红球） .
答：摸出的三个球中至少有一个红球的概率是 .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1） A盒中装有除颜色以外都相同的红球、黄球、蓝球各1个，故从中摸出一个小球，共有3种等可能的结果，而能摸到红色小球的机会只有一个，根据概率公式即可算出 从 盒子中摸出红球的概率 ；
（2）根据题意列出树状图，由图可知： 共有12种等可能结果，其中至少有一个红球的结果有10种，根据概率公式就可算出 从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球 中至少有一个红球的概率。
9．【答案】（1）解：前8次的指针所指数字的平均数为
（2）解：∵这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，
∴后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，
所以此结果的概率为 .
【知识点】列表法与树状图法；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）利用前8次的数字和除以8即得；
（2）根据“ 这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5 ”可得后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7， 利用树状图列举出由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果， 然后利用概率公式计算即可.
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