初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.3.2 相似三角形的判定
一、单选题
1．（2019·玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽△CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA。
故答案为：C。
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，从而即可得出答案。
2．（2019·连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”，“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为 ；
“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为 ，“车”②之间的距离为2 ，
∵
∴马应该落在②的位置，
故答案为：B
【分析】根据方格纸的特点及勾股定理可以算出“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长及马走到②位置后， “马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形三边的长，根据三边对应成比例的三角形是相似三角形即可判断这两个三角形相似。
3．（2019·雅安）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故答案为：B．
【分析】利用网格的特点知∠A1B1C1=135°，B选项中有一个角为135°，利用勾股定理分别求出135°角的两邻边的长，可得两邻边之比相等，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可.
4．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE~△ECH；其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD
∴AB=BC，∠B=90°
∵AG=CE
∴AB-AG=BC-CE，即BG=BE，
∴△BEG是等腰直角三角形，
在Rt△BGE中，GE＞BE，故①错误；
∵AE⊥EF
∴∠AEF=90°
∴∠EAG+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠EAG=∠CEF，
在△AGE和△ECF中
∴ △AGE≌△ECF（ASA），故②正确；
∴∠AGE=∠ECF=90°+∠FCD
∵△BEG是等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°
∴∠AGE=180°-45°=135°
∴∠ECF=90°+∠FCD=135°
∴∠FCD=135°-90°=45°，故③正确；
∵∠FEC=∠BAE
∵∠BGE=45°＞∠BAE，即∠CEF＜∠BGE
△ECH不是等腰直角三角形，
∴△GBE与△ECH不相似，故④错误；
∴正确的序号为②③，
故答案为：B
【分析】利用正方形的性质，可知AB=BC，∠B=90°，结合已知条件可证得BE=CE，可对①作出判断；再证明∠EAG=∠CEF，利用SAS可证得△AGE≌△ECF，可对②作出判断；利用全等三角形的性质，可证∠AGE=∠ECF=90°+∠FCD，再由△BGE是等腰直角三角形，可求出∠AGE的度数，即可求出∠FCD的度数，可对③作出判断；然后根据∠EAG=∠CEF，而∠BGE＞∠EAG，即∠CEF＜∠BGE，因此△ECH不是等腰直角三角形，因此△GBE与△ECH不相似，可对④作出判断，综上所述可得出正确结论的个数。
5．（2019·杭州模拟）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED
C． ＝ D． ＝
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∠BAD=∠CAE，
A，B，D都可判定 ，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件可证得∠BAC=∠DAE，要证△ABC∽△ADE，因此可以添加另外的两组角对应相等，可对A，C作出判断；还可以添加∠BAC和∠DAE的两边对应成比例，可对C，D作出判断。
6．（2019·长春模拟）在 中， ，用直尺和圆规在 上确定点 ，使 ，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；作图-垂线；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是AB边上的中线，不符合题意；
B选项中，CD与AB垂直，符合题意；
C选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故答案为：B。
【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA=∠BDC=90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹即可一一判断得出答案。
7．（2019·徐汇模拟）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B．
C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD AB
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B.由 不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C.由∠ACD=∠B，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D.由AC2=AD AB，即 ，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析 △ACD与△ABC中有一公共角A与公共边AC，根据两个三角形相似的判定定理将选项带进去即可排除，选出答案。
8．（2019·广西模拟）如图，下列条件不能判定△ADB~△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD·AC D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵图形中隐含条件为∠B=∠B
∵∠B=∠B， ∠ABD=∠ACB
∴ △ADB~△ABC，故A不符合题意；
∵∠B=∠B， ∠ADB=∠ABC
∴ △ADB~△ABC，故B不符合题意；
∵ AB2=AD·AC ，∠B=∠B
∴ △ADB~△ABC，故C不符合题意；
∵∠B=∠B， ，不能证明△ADB~△ABC，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】抓住图形中的隐含条件：∠B=∠B，因此可添加其它两组角中的任意一组角，可证△ADB~△ABC，可对A、B作出判断；再根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C作出判断，故可得出不能判定△ADB~△ABC的选项。
二、填空题
9．（2019·湖州模拟）如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
【答案】③④⑤
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：②△CDB中CD:BC:BD=1: :2 ;
③△DEB中DE：BD：BE=2： ： =1： ： ;
④△FBG中，FB：FG：BG= ： ：5=1： ： ;
⑤△HGF中，HG：HF：FG= ：2： =1： ： ；
⑥△EKF中，KE:EF:FK= : :3.
其它两个三角形的三边之比不符合，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】利用勾股定理可求出△ABC的三边之比为：1： ： ;再利用勾股定理分别求出△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF的三边之比，从而可得到与△ABC相似的三角形的序号。
10．（2019·广西模拟）如图，在△ABC和△ADE中， = ，要使△ABC 和 △ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是
【答案】∠B=∠E(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ = ，∠B=∠E
∴ △ABC ∽△ADE
故答案为：∠B=∠E
【分析】根据已知条件，两边对应成比例，因此添加这两边的夹角相等即可证得△ABC ∽△ADE。
三、综合题
11．（2019八下·罗湖期末）由边长为1的小正方形组成的格点中,建立如图平面直角坐标系,△ABC的三个顶点坐标分别为A( 2,1),B( 4,5),C( 5,2).
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C ；
（3）请你判断△AA A 与△CC C 的相似比;若不相似,请直接写出△AA A 的面积.
【答案】（1）解：如图所示：△A B C ，即为所求；
（2）解：如图所示：△A B C ，即为所求
（3）解：∵ ，
∴△AA A 与△CC C 不相似，
S = ×2×4=4.
【知识点】作图﹣轴对称；相似三角形的判定；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）如图，根据关于y轴对称点的性质分别确定点A、B、C关于y轴对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即得△A1B1C1；
（2）如图，根据关于原点对称点的性质分别确定点A1、B1、C1关于原点对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即得△A2B2C2；
（3）根据两组对应边不成比例，可△AA A 与△CC C 不相似.根据网格特点及三角形的面积公式直接求出面积即可.
12．（2019·顺德模拟）如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；
（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝ED
（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，
∴BC＝2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由于 ∠EBC＝∠ECB ，ABCD是矩形，故∠DEC=∠AEB，根据“两个角对应相等且一角所对的边对应相等的两个三角形全等”这一定理可推出△ABE≌△DCE，则AE=DE；
（2）由于AD//BC，BD与CE相交于F，可推出△DEF∽△BCF，那么根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质可得S△BCF：S△DEF=（DE：CB）2。
13．（2019·封开模拟）已知，如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：
（1）AQ⊥QP；
（2）△ADQ∽△AQP．
【答案】（1）证明：设正方形ABCD的边长为4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠C＝∠D＝90°，
∵BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴PC＝a，DQ＝CQ＝2a，BP＝3a，
∴AQ＝ ＝ ＝2 a，
PQ＝ ＝ ＝ a，
AP＝ ＝ ＝5a，
∵AQ2+PQ2＝25a2，AP2＝25a2，
∴AQ2+PQ2＝AP2，
∴△APQ是直角三角形，∠AQP＝90°，
∴AQ⊥QP；
（2）证明：∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ，
又∵∠D＝∠AQP＝90°，
∴△ADQ∽△AQP．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）
设正方形ABCD的边长为4a，利用正方形的四条边相等，四个角都是90°，可得AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠C＝∠D＝90° ，由"
BP＝3PC，Q是CD的中点"可得PC＝a，DQ＝CQ＝2a，BP＝3a，利用勾股定理分别求出AQ、PQ、AP的长，再利用勾股定理的逆定理可证△APQ是直角三角形且∠AQP＝90°，即可得出结论.
（2）根据两边成比例夹角相等，可证
△ADQ∽△AQP.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.3.2 相似三角形的判定
一、单选题
1．（2019·玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
2．（2019·连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”，“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
3．（2019·雅安）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE~△ECH；其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2019·杭州模拟）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED
C． ＝ D． ＝
6．（2019·长春模拟）在 中， ，用直尺和圆规在 上确定点 ，使 ，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019·徐汇模拟）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B．
C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD AB
8．（2019·广西模拟）如图，下列条件不能判定△ADB~△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD·AC D．
二、填空题
9．（2019·湖州模拟）如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
10．（2019·广西模拟）如图，在△ABC和△ADE中， = ，要使△ABC 和 △ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是
三、综合题
11．（2019八下·罗湖期末）由边长为1的小正方形组成的格点中,建立如图平面直角坐标系,△ABC的三个顶点坐标分别为A( 2,1),B( 4,5),C( 5,2).
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C ；
（3）请你判断△AA A 与△CC C 的相似比;若不相似,请直接写出△AA A 的面积.
12．（2019·顺德模拟）如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；
（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
13．（2019·封开模拟）已知，如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：
（1）AQ⊥QP；
（2）△ADQ∽△AQP．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽△CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA。
故答案为：C。
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，从而即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为 ；
“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为 ，“车”②之间的距离为2 ，
∵
∴马应该落在②的位置，
故答案为：B
【分析】根据方格纸的特点及勾股定理可以算出“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长及马走到②位置后， “马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形三边的长，根据三边对应成比例的三角形是相似三角形即可判断这两个三角形相似。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故答案为：B．
【分析】利用网格的特点知∠A1B1C1=135°，B选项中有一个角为135°，利用勾股定理分别求出135°角的两邻边的长，可得两邻边之比相等，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可.
4．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD
∴AB=BC，∠B=90°
∵AG=CE
∴AB-AG=BC-CE，即BG=BE，
∴△BEG是等腰直角三角形，
在Rt△BGE中，GE＞BE，故①错误；
∵AE⊥EF
∴∠AEF=90°
∴∠EAG+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠EAG=∠CEF，
在△AGE和△ECF中
∴ △AGE≌△ECF（ASA），故②正确；
∴∠AGE=∠ECF=90°+∠FCD
∵△BEG是等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°
∴∠AGE=180°-45°=135°
∴∠ECF=90°+∠FCD=135°
∴∠FCD=135°-90°=45°，故③正确；
∵∠FEC=∠BAE
∵∠BGE=45°＞∠BAE，即∠CEF＜∠BGE
△ECH不是等腰直角三角形，
∴△GBE与△ECH不相似，故④错误；
∴正确的序号为②③，
故答案为：B
【分析】利用正方形的性质，可知AB=BC，∠B=90°，结合已知条件可证得BE=CE，可对①作出判断；再证明∠EAG=∠CEF，利用SAS可证得△AGE≌△ECF，可对②作出判断；利用全等三角形的性质，可证∠AGE=∠ECF=90°+∠FCD，再由△BGE是等腰直角三角形，可求出∠AGE的度数，即可求出∠FCD的度数，可对③作出判断；然后根据∠EAG=∠CEF，而∠BGE＞∠EAG，即∠CEF＜∠BGE，因此△ECH不是等腰直角三角形，因此△GBE与△ECH不相似，可对④作出判断，综上所述可得出正确结论的个数。
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∠BAD=∠CAE，
A，B，D都可判定 ，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件可证得∠BAC=∠DAE，要证△ABC∽△ADE，因此可以添加另外的两组角对应相等，可对A，C作出判断；还可以添加∠BAC和∠DAE的两边对应成比例，可对C，D作出判断。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；作图-垂线；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是AB边上的中线，不符合题意；
B选项中，CD与AB垂直，符合题意；
C选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故答案为：B。
【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA=∠BDC=90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹即可一一判断得出答案。
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B.由 不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C.由∠ACD=∠B，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D.由AC2=AD AB，即 ，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析 △ACD与△ABC中有一公共角A与公共边AC，根据两个三角形相似的判定定理将选项带进去即可排除，选出答案。
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵图形中隐含条件为∠B=∠B
∵∠B=∠B， ∠ABD=∠ACB
∴ △ADB~△ABC，故A不符合题意；
∵∠B=∠B， ∠ADB=∠ABC
∴ △ADB~△ABC，故B不符合题意；
∵ AB2=AD·AC ，∠B=∠B
∴ △ADB~△ABC，故C不符合题意；
∵∠B=∠B， ，不能证明△ADB~△ABC，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】抓住图形中的隐含条件：∠B=∠B，因此可添加其它两组角中的任意一组角，可证△ADB~△ABC，可对A、B作出判断；再根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C作出判断，故可得出不能判定△ADB~△ABC的选项。
9．【答案】③④⑤
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：②△CDB中CD:BC:BD=1: :2 ;
③△DEB中DE：BD：BE=2： ： =1： ： ;
④△FBG中，FB：FG：BG= ： ：5=1： ： ;
⑤△HGF中，HG：HF：FG= ：2： =1： ： ；
⑥△EKF中，KE:EF:FK= : :3.
其它两个三角形的三边之比不符合，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】利用勾股定理可求出△ABC的三边之比为：1： ： ;再利用勾股定理分别求出△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF的三边之比，从而可得到与△ABC相似的三角形的序号。
10．【答案】∠B=∠E(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ = ，∠B=∠E
∴ △ABC ∽△ADE
故答案为：∠B=∠E
【分析】根据已知条件，两边对应成比例，因此添加这两边的夹角相等即可证得△ABC ∽△ADE。
11．【答案】（1）解：如图所示：△A B C ，即为所求；
（2）解：如图所示：△A B C ，即为所求
（3）解：∵ ，
∴△AA A 与△CC C 不相似，
S = ×2×4=4.
【知识点】作图﹣轴对称；相似三角形的判定；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）如图，根据关于y轴对称点的性质分别确定点A、B、C关于y轴对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即得△A1B1C1；
（2）如图，根据关于原点对称点的性质分别确定点A1、B1、C1关于原点对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即得△A2B2C2；
（3）根据两组对应边不成比例，可△AA A 与△CC C 不相似.根据网格特点及三角形的面积公式直接求出面积即可.
12．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝ED
（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，
∴BC＝2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由于 ∠EBC＝∠ECB ，ABCD是矩形，故∠DEC=∠AEB，根据“两个角对应相等且一角所对的边对应相等的两个三角形全等”这一定理可推出△ABE≌△DCE，则AE=DE；
（2）由于AD//BC，BD与CE相交于F，可推出△DEF∽△BCF，那么根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质可得S△BCF：S△DEF=（DE：CB）2。
13．【答案】（1）证明：设正方形ABCD的边长为4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠C＝∠D＝90°，
∵BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴PC＝a，DQ＝CQ＝2a，BP＝3a，
∴AQ＝ ＝ ＝2 a，
PQ＝ ＝ ＝ a，
AP＝ ＝ ＝5a，
∵AQ2+PQ2＝25a2，AP2＝25a2，
∴AQ2+PQ2＝AP2，
∴△APQ是直角三角形，∠AQP＝90°，
∴AQ⊥QP；
（2）证明：∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ，
又∵∠D＝∠AQP＝90°，
∴△ADQ∽△AQP．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）
设正方形ABCD的边长为4a，利用正方形的四条边相等，四个角都是90°，可得AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠C＝∠D＝90° ，由"
BP＝3PC，Q是CD的中点"可得PC＝a，DQ＝CQ＝2a，BP＝3a，利用勾股定理分别求出AQ、PQ、AP的长，再利用勾股定理的逆定理可证△APQ是直角三角形且∠AQP＝90°，即可得出结论.
（2）根据两边成比例夹角相等，可证
△ADQ∽△AQP.
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