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初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.1.2 垂直于弦的直径
一、基础巩固
1．（2019·茂南模拟）如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若B点为弧AD中点，则说法错误的是（ ）
A．AD⊥BC B．弧AC=弧CD C．AE＝DE D．OE＝BE
2．（2019·电白模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则DE＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2019·嘉兴模拟）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径为 .
4．（2019九下·三原月考）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）
二、强化提升
5．如图，⊙O过点B，C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（ ）
A． B．2 C．3 D．
6．（2019·海珠模拟）已知⊙O的半径为26cm，弦AB∥CD，AB＝48cm，CD＝20cm，则AB、CD之间的距离为 .
7．（2019·江北模拟）如图，圆弧形拱桥的跨径 米，拱高 米，则拱桥的半径为 米.
8．（2019·下城模拟）已知C是优弧AB的中点，若 ，则AB= .
9．（2019·葫芦岛模拟）一个学生荡秋千，秋千链子的长度为 ，当秋千向两边摆动时，摆角（指摆到最高位置时的秋千与铅垂线的夹角）恰好是 ，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差为 m.（结果可以保留根号）
三、真题演练
10．（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ）
A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm
11．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
12．（2019·资阳）给出以下命题：
①平分弦的直径垂直于这条弦；②已知点 、 、 均在反比例函数 的图象上，则 ；③若关于x的不等式组 无解，则 ；④将点 向左平移3个单位到点 ，再将 绕原点逆时针旋转90°到点 ，则 的坐标为 ．其中所有真命题的序号是 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵BC为⊙O直径，交弦AD于点E，B点为 中点
∴AD⊥BC，故A不符合题意；
∵BC为⊙O直径，B点为 中点，
∴ ＝ ，AE＝DE，故B、C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，平分弦，且平分弦所对的另一条弧，据此作出判断即可.
2．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，CD＝6，
∴
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得DE=CD可求解。
3．【答案】
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5 R，
∵直径EF⊥CD,垂足为M,CD=2，
∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中,由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=(5 R)2+12，
解得R= .
故答案为 .
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，可表示出OC，OM，利用垂径定理求出CM的长，再利用勾股定理求出圆的半径。
4．【答案】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，
所以作出两弦的垂直平分线即可．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】
在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可。
5．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D
∴AD⊥BC
∴BD=BC=×6=3，
∵等腰直角△ABC，OD垂直平分BC
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴点A、O、D三点共线
∴∠ABD=45°
△ADB是等腰直角三角形，
∴BD=AD=3
∴OD=AD-AO=3-1=2
∴OB=
∴圆的半径为
故答案为：D
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质及圆的对称性，可证得点A、O、D三点共线，利用垂径定理求出BD的长，再证明△ADB是等腰直角三角形，就可求出OD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。
6．【答案】34或14cm
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理
【解析】【解答】解：有两种情况.如图.过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E.
∴EF就是AB、CD间的距离.
∵AB＝48cm，CD＝20cm，根据垂径定理，得 CE＝DE＝10cm，AF＝BF＝24cm，
∵OD＝OB＝26cm，
∴在直角三角形OED和直角三角形OBF中，
∴OE＝24cm，OF＝10cm（勾股定理），
∴①EF＝24+10＝34cm②EF＝24﹣10＝14cm.
故答案是：34或14cm.
【分析】因为圆中的两条弦可以在圆心的同侧，也可在圆心的两旁，所以可分两种情况讨论求解：
①当AB、CD在圆心的同旁，过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E，EF就是AB、CD间的距离，由垂径定理可得 CE＝DE＝CD，AF＝BF=AB，在直角三角形OED和直角三角形OBF中，用勾股定理可求得OE和OF的值，则EF=OE-OF可求解；
②当AB、CD在圆心的两旁，过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E，EF就是AB、CD间的距离，同理可求得OE和OF的值，则EF=OE+OF可求解。
7．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
设圆心为O，半径长为r米，
可知AD=BD=6米，OD=(r-4)米
在Rt△AOD中，根据勾股定理得： ，
解得r=6.5米，即半径长为6.5米.
故答案为：6.5。
【分析】设圆心为O，半径长为r米，由题意可知OD=(r-4)米，根据垂径定理得出AD=BD=6米，Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程，求解即可。
8．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【解答】如图，连接CO，延长CO交AB于H.
∵ ，∴CH⊥AB，AH=BH，∴∠AHO=90°.
∵OA=OB，∴∠A=∠B.
∵∠AOC=90°+∠A=4∠B，∴∠A=30°.
∵OA=OC=4，∴OH OA=2，∴AH= ，∴AB= .
故答案为： .
【分析】如图，连接CO，延长CO交AB于H，根据垂径定理可得CH⊥AB，AH=BH，∠AHO=90°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求出∠A的度数，利用直角三角形的性质求出OH，AH的长，利用垂径定理求出AB的长.
9．【答案】
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】如图，设秋千摆至最低点时的位置为C，连结AB，交OC于D．
∵点C为弧AB的中点，O为圆心，
∴AB⊥OC，AD=BD，弧AC=弧BC，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOC=30°．
∵OA=OB=OC=3，
∴AD= OA= ，OD= ，
∴DC=OC-OD= ，
即它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为（ ）m．
故答案为（ ）m．
【分析】根据题意画出图形，利用垂径定理可证AD=BD，易证△AOB是等边三角形，就可得到OC的长，再求出OD的长，然后根据DC=OC-OD，即可解答此题。
10．【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，
∵AB=8，CD⊥AB，
∴AD=4，点O、D、C三点共线，
∵CD=2，
∴OD=r-2，
在Rt△ADO中，
∵AO2=AD2+OD2，
即r2=42+（r-2）2，
解得：r=5，
故答案为：B.
【分析】连结OD，OA，设半径为r，根据垂径定理得AD=4，OD=r-2，在Rt△ADO中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.
11．【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OD
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，O、D、C在同一条直线上，
∴AD=AB=20
设圆O的半径为r，则OD=r-10
在Rt△AOD中，
AO2=OD2+AD2
∴r2=202+（r-10）2
解之：r=25
故答案为：A
【分析】利用垂径定理证明OC⊥AB，由点C是弧AB的中点，可知O、D、C在同一条直线上，可求出AD的长，设圆的半径为r，表示出OD的长，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。
12．【答案】②③④
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质；垂径定理；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：①平分弦的直径垂直于这条弦，应该为：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误；
②反比例函数 在二、四象限，当 时， ； 时， ，且x增大，y增大，故 ，故正确；
③若关于x的不等式组 无解， ，正确；
④将点 向左平移3个单位到点 ，则 ，将 绕原点逆时针旋转90°到点 ， 的坐标为 ，正确．
以上正确的都为真命题，故答案为：②③④．
【分析】①平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，据此判断即可；②由于k＜0，反比例函数位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此判断即可；③根据不等式组无解可求出a的范围；④先根据平移的性质求出A1坐标，再根据旋转的性质求出A2的坐标，据此判断即可.
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初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.1.2 垂直于弦的直径
一、基础巩固
1．（2019·茂南模拟）如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若B点为弧AD中点，则说法错误的是（ ）
A．AD⊥BC B．弧AC=弧CD C．AE＝DE D．OE＝BE
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵BC为⊙O直径，交弦AD于点E，B点为 中点
∴AD⊥BC，故A不符合题意；
∵BC为⊙O直径，B点为 中点，
∴ ＝ ，AE＝DE，故B、C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，平分弦，且平分弦所对的另一条弧，据此作出判断即可.
2．（2019·电白模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则DE＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，CD＝6，
∴
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得DE=CD可求解。
3．（2019·嘉兴模拟）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径为 .
【答案】
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5 R，
∵直径EF⊥CD,垂足为M,CD=2，
∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中,由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=(5 R)2+12，
解得R= .
故答案为 .
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，可表示出OC，OM，利用垂径定理求出CM的长，再利用勾股定理求出圆的半径。
4．（2019九下·三原月考）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）
【答案】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，
所以作出两弦的垂直平分线即可．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】
在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可。
二、强化提升
5．如图，⊙O过点B，C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D
∴AD⊥BC
∴BD=BC=×6=3，
∵等腰直角△ABC，OD垂直平分BC
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴点A、O、D三点共线
∴∠ABD=45°
△ADB是等腰直角三角形，
∴BD=AD=3
∴OD=AD-AO=3-1=2
∴OB=
∴圆的半径为
故答案为：D
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质及圆的对称性，可证得点A、O、D三点共线，利用垂径定理求出BD的长，再证明△ADB是等腰直角三角形，就可求出OD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。
6．（2019·海珠模拟）已知⊙O的半径为26cm，弦AB∥CD，AB＝48cm，CD＝20cm，则AB、CD之间的距离为 .
【答案】34或14cm
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理
【解析】【解答】解：有两种情况.如图.过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E.
∴EF就是AB、CD间的距离.
∵AB＝48cm，CD＝20cm，根据垂径定理，得 CE＝DE＝10cm，AF＝BF＝24cm，
∵OD＝OB＝26cm，
∴在直角三角形OED和直角三角形OBF中，
∴OE＝24cm，OF＝10cm（勾股定理），
∴①EF＝24+10＝34cm②EF＝24﹣10＝14cm.
故答案是：34或14cm.
【分析】因为圆中的两条弦可以在圆心的同侧，也可在圆心的两旁，所以可分两种情况讨论求解：
①当AB、CD在圆心的同旁，过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E，EF就是AB、CD间的距离，由垂径定理可得 CE＝DE＝CD，AF＝BF=AB，在直角三角形OED和直角三角形OBF中，用勾股定理可求得OE和OF的值，则EF=OE-OF可求解；
②当AB、CD在圆心的两旁，过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E，EF就是AB、CD间的距离，同理可求得OE和OF的值，则EF=OE+OF可求解。
7．（2019·江北模拟）如图，圆弧形拱桥的跨径 米，拱高 米，则拱桥的半径为 米.
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
设圆心为O，半径长为r米，
可知AD=BD=6米，OD=(r-4)米
在Rt△AOD中，根据勾股定理得： ，
解得r=6.5米，即半径长为6.5米.
故答案为：6.5。
【分析】设圆心为O，半径长为r米，由题意可知OD=(r-4)米，根据垂径定理得出AD=BD=6米，Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程，求解即可。
8．（2019·下城模拟）已知C是优弧AB的中点，若 ，则AB= .
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【解答】如图，连接CO，延长CO交AB于H.
∵ ，∴CH⊥AB，AH=BH，∴∠AHO=90°.
∵OA=OB，∴∠A=∠B.
∵∠AOC=90°+∠A=4∠B，∴∠A=30°.
∵OA=OC=4，∴OH OA=2，∴AH= ，∴AB= .
故答案为： .
【分析】如图，连接CO，延长CO交AB于H，根据垂径定理可得CH⊥AB，AH=BH，∠AHO=90°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求出∠A的度数，利用直角三角形的性质求出OH，AH的长，利用垂径定理求出AB的长.
9．（2019·葫芦岛模拟）一个学生荡秋千，秋千链子的长度为 ，当秋千向两边摆动时，摆角（指摆到最高位置时的秋千与铅垂线的夹角）恰好是 ，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差为 m.（结果可以保留根号）
【答案】
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】如图，设秋千摆至最低点时的位置为C，连结AB，交OC于D．
∵点C为弧AB的中点，O为圆心，
∴AB⊥OC，AD=BD，弧AC=弧BC，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOC=30°．
∵OA=OB=OC=3，
∴AD= OA= ，OD= ，
∴DC=OC-OD= ，
即它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为（ ）m．
故答案为（ ）m．
【分析】根据题意画出图形，利用垂径定理可证AD=BD，易证△AOB是等边三角形，就可得到OC的长，再求出OD的长，然后根据DC=OC-OD，即可解答此题。
三、真题演练
10．（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ）
A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，
∵AB=8，CD⊥AB，
∴AD=4，点O、D、C三点共线，
∵CD=2，
∴OD=r-2，
在Rt△ADO中，
∵AO2=AD2+OD2，
即r2=42+（r-2）2，
解得：r=5，
故答案为：B.
【分析】连结OD，OA，设半径为r，根据垂径定理得AD=4，OD=r-2，在Rt△ADO中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.
11．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OD
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，O、D、C在同一条直线上，
∴AD=AB=20
设圆O的半径为r，则OD=r-10
在Rt△AOD中，
AO2=OD2+AD2
∴r2=202+（r-10）2
解之：r=25
故答案为：A
【分析】利用垂径定理证明OC⊥AB，由点C是弧AB的中点，可知O、D、C在同一条直线上，可求出AD的长，设圆的半径为r，表示出OD的长，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。
12．（2019·资阳）给出以下命题：
①平分弦的直径垂直于这条弦；②已知点 、 、 均在反比例函数 的图象上，则 ；③若关于x的不等式组 无解，则 ；④将点 向左平移3个单位到点 ，再将 绕原点逆时针旋转90°到点 ，则 的坐标为 ．其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③④
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质；垂径定理；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：①平分弦的直径垂直于这条弦，应该为：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误；
②反比例函数 在二、四象限，当 时， ； 时， ，且x增大，y增大，故 ，故正确；
③若关于x的不等式组 无解， ，正确；
④将点 向左平移3个单位到点 ，则 ，将 绕原点逆时针旋转90°到点 ， 的坐标为 ，正确．
以上正确的都为真命题，故答案为：②③④．
【分析】①平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，据此判断即可；②由于k＜0，反比例函数位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此判断即可；③根据不等式组无解可求出a的范围；④先根据平移的性质求出A1坐标，再根据旋转的性质求出A2的坐标，据此判断即可.
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