【精品解析】初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.4 解直角三角形

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名称 【精品解析】初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.4 解直角三角形
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2020-01-06 17:59:23

文档简介

初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.4 解直角三角形
一、单选题
1.(2019九上·长春月考)如图,已知 中, , , ,则 的值为(  )
A. B. C. D.
2.(2019·柯桥模拟)如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tan∠BAC的值为(  )
A.2 B. C. D.
3.(2019·昆明模拟)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,CD⊥AB于D,则tan∠BCD的值为(  )
A. B. C. D.
4.(2019九下·杭州期中)如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,且点E是AB的中点,则tan∠BFE的值是(  )
A. B. C.2 D.
5.(2019九上·吴兴期末)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,tanA= ,则AB的长是(  )
A. B. C.12 D.6
二、填空题
6.(2019·杭州)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC=   .
7.(2019·哈尔滨模拟)在△ABC中,AB=6,AC=8,S△ABC=12 ,则∠A=   .
8.(2019·拱墅模拟)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时,梯子顶端距离地面2 米,若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右端时,与地面成45°,则小巷的宽度为   米(结果保留根号).
三、综合题
9.(2019·莘县模拟)如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米,坡度为1: ,高为DE,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中A、C、E在同一直线上.
(1)求斜坡CD的高度DE;
(2)求大楼AB的高度;(参考数据:sin64°≈0.9,tan64°≈2).
10.(2019九上·许昌期末)某游乐场部分平面图如图所示,C,E,A在同一直线上,D、E、B在同一直线上,∠BAE=30°,∠C=90°,∠ABE=90°,测得A处与C处的距离为100米,B处与D处的距离为80米,求海洋球D处到过山车C处的距离.(结果精确到0.1米)
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,
∴BC= =3,
∴cosB= .
故答案为:A.
【分析】本题首先用勾股定理求出BC的长度,再用三角函数求出∠B的余弦值即可。
2.【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图所示,连接BD,
则BD2=12+12=2,AD2=22+22=8,AB2=12+32=10,
∴BD2+AD2=AB2,
∴△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°,
则tan∠BAC= ,
故答案为:B.
【分析】连接BD,根据网格图的特征和勾股定理可求得BD2、AB2,再用勾股定理的逆定理可判断△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°,根据tan∠BAC=可求解。
3.【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=5,AC=4,
∴BC=3,
在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°.
∴∠A=∠BCD.
∴tan∠BCD=tanA= = ,
故答案为:D.
【分析】在直角三角形ABC中,用勾股定理可求得BC的值,根据同角的余角相等可得∠A=∠BCD,于是tan∠BCD=tanA= 可求解。
4.【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=BA,∠ABD=∠CBD,
∵CE⊥AB, E是AB的中点 ,
∴BC=2BE,
∴∠BCE=30°,∠BCA=60°,
∴△ACB是等边三角形,
∴∠ABC=60°,∠ABD=30°,
∴∠BFE=60°,
在Rt△BEF中,
∴tan∠BFE=tan60°=.
故答案为:D.
【分析】由菱形性质得BC=BA,∠ABD=∠CBD,根据直角三角形性质得BC=2BE,∠BCE=30°,∠BCA=60°,从而可得△ACB是等边三角形,根据等边三角形性质和三角形内角和定理得∠BFE=60°,在Rt△BEF中,根据正切锐角三角函数定义即可求得答案.
5.【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】由题意可知,在 中, ,则 ,
.
故答案为:A.
【分析】在直角三角形ABC中,由∠A的正切即tanA=可求得BC的值,然后用勾股定理可求得AB的长。
6.【答案】 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解:①若∠B=90°,
∵AC=2AB,
∴BC= AB,
∴cosC= = = ,
②若∠A=90°,
∵AC=2AB,
∴BC= AB,
∴cosC= = = ,
综上所述:cosC的值为 或 .
故答案为: , .
【分析】根据题意分情况讨论:①若∠B=90°,②若∠A=90°,根据勾股定理分别求得BC,再由锐角三角函数余弦定义即可求得答案.
7.【答案】60°或120°
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解:过点C作CD⊥AB于点D,
如图1,当△ABC为锐角三角形时,
∵S△ABC= AB CD,且AB=6、S△ABC=12 ,
∴CD= = =4 ,
在Rt△ACD中,∵sinA= = = ,
∴∠A=60°;
如图2,当△ABC为钝角三角形时,
由①知,CD=4 ,
∵sin∠DAC= = = ,
∴∠DAC=60°,
则∠BAC=120°,
故答案为:60°或120°.
【分析】此题没有告诉我们三角形的形状,故要分情况讨论。
①若∠A为90°,则S△ABC=,与题意不符,故∠A只能是锐角或钝角。
②当∠A为锐角时,如图1,根据S△ABC的计算公式反求出CD,在Rt△ACD中,解直角三角形可得∠A=60°。
③当∠A为钝角时,如图2,同理②可得∠DAC=60°,根据补角的定义可得∠BAC=180°-∠DAC=120°。
8.【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解:如图所示:
AB=2 米,∠ACB=60°,∠DCE=45°,AC=CE.
则在直角三角形ABC中,
=tan∠ACB=tan60°= ,
=sin∠ACB=sin60°= ,
∴BC= = =2,AC= = =4,
∴直角三角形DCE中,CE=AC=4,
∴ =cos45°= ,
∴CD=CE× =4× =2 ,
∴BD=2+2 ,
故答案为:2+2 .
【分析】AB=2 米,∠ACB=60°,∠DCE=45°,AC=CE,利用解直角三角形分别求出BC,AC的长;再在Rt△DCE中,利用解直角三角形求出CD,然后求出BD的长。
9.【答案】(1)解:解:在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米,坡度为1: ,
设DE=5x米,则EC=12x米,(5x)2+(12x)2=132,
解得,x=1
5x=5,12x=12,
即DE=5米,EC=12米,
故斜坡CD的高度DE是5米;
(2)解:tan64°= ,tan45°= ,DE=5米,CE=12米,
2= ,1=
解得,AB=34米,AC=17米,
即大楼AB的高度是34米.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】(1)利用勾股定理,可求出斜坡的长度。
(2)解直角三角形可得出大楼AB的高度。
10.【答案】解:由题意知,∠D=∠BAE=30°
设CE=x米,
在Rt△DCE中,DE= =2x,
∴BE=BD-DE=80-2x,
在 中, ,
∵AC=100米,
∴x+2(80-2x)=100,解得x=20,
∴在Rt△DCE中, 34.6(米)
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】设CE=x米,在Rt△DCE中,利用三角函数求得DE的长,则BE=BD-DE=80-2x,再根据三角函数得到 ,由题意解得x=20,根据三角函数得到 ,计算即可得到答案.
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一、单选题
1.(2019九上·长春月考)如图,已知 中, , , ,则 的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,
∴BC= =3,
∴cosB= .
故答案为:A.
【分析】本题首先用勾股定理求出BC的长度,再用三角函数求出∠B的余弦值即可。
2.(2019·柯桥模拟)如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tan∠BAC的值为(  )
A.2 B. C. D.
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图所示,连接BD,
则BD2=12+12=2,AD2=22+22=8,AB2=12+32=10,
∴BD2+AD2=AB2,
∴△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°,
则tan∠BAC= ,
故答案为:B.
【分析】连接BD,根据网格图的特征和勾股定理可求得BD2、AB2,再用勾股定理的逆定理可判断△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°,根据tan∠BAC=可求解。
3.(2019·昆明模拟)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,CD⊥AB于D,则tan∠BCD的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=5,AC=4,
∴BC=3,
在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°.
∴∠A=∠BCD.
∴tan∠BCD=tanA= = ,
故答案为:D.
【分析】在直角三角形ABC中,用勾股定理可求得BC的值,根据同角的余角相等可得∠A=∠BCD,于是tan∠BCD=tanA= 可求解。
4.(2019九下·杭州期中)如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,且点E是AB的中点,则tan∠BFE的值是(  )
A. B. C.2 D.
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=BA,∠ABD=∠CBD,
∵CE⊥AB, E是AB的中点 ,
∴BC=2BE,
∴∠BCE=30°,∠BCA=60°,
∴△ACB是等边三角形,
∴∠ABC=60°,∠ABD=30°,
∴∠BFE=60°,
在Rt△BEF中,
∴tan∠BFE=tan60°=.
故答案为:D.
【分析】由菱形性质得BC=BA,∠ABD=∠CBD,根据直角三角形性质得BC=2BE,∠BCE=30°,∠BCA=60°,从而可得△ACB是等边三角形,根据等边三角形性质和三角形内角和定理得∠BFE=60°,在Rt△BEF中,根据正切锐角三角函数定义即可求得答案.
5.(2019九上·吴兴期末)如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,tanA= ,则AB的长是(  )
A. B. C.12 D.6
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】由题意可知,在 中, ,则 ,
.
故答案为:A.
【分析】在直角三角形ABC中,由∠A的正切即tanA=可求得BC的值,然后用勾股定理可求得AB的长。
二、填空题
6.(2019·杭州)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC=   .
【答案】 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解:①若∠B=90°,
∵AC=2AB,
∴BC= AB,
∴cosC= = = ,
②若∠A=90°,
∵AC=2AB,
∴BC= AB,
∴cosC= = = ,
综上所述:cosC的值为 或 .
故答案为: , .
【分析】根据题意分情况讨论:①若∠B=90°,②若∠A=90°,根据勾股定理分别求得BC,再由锐角三角函数余弦定义即可求得答案.
7.(2019·哈尔滨模拟)在△ABC中,AB=6,AC=8,S△ABC=12 ,则∠A=   .
【答案】60°或120°
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解:过点C作CD⊥AB于点D,
如图1,当△ABC为锐角三角形时,
∵S△ABC= AB CD,且AB=6、S△ABC=12 ,
∴CD= = =4 ,
在Rt△ACD中,∵sinA= = = ,
∴∠A=60°;
如图2,当△ABC为钝角三角形时,
由①知,CD=4 ,
∵sin∠DAC= = = ,
∴∠DAC=60°,
则∠BAC=120°,
故答案为:60°或120°.
【分析】此题没有告诉我们三角形的形状,故要分情况讨论。
①若∠A为90°,则S△ABC=,与题意不符,故∠A只能是锐角或钝角。
②当∠A为锐角时,如图1,根据S△ABC的计算公式反求出CD,在Rt△ACD中,解直角三角形可得∠A=60°。
③当∠A为钝角时,如图2,同理②可得∠DAC=60°,根据补角的定义可得∠BAC=180°-∠DAC=120°。
8.(2019·拱墅模拟)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时,梯子顶端距离地面2 米,若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右端时,与地面成45°,则小巷的宽度为   米(结果保留根号).
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解:如图所示:
AB=2 米,∠ACB=60°,∠DCE=45°,AC=CE.
则在直角三角形ABC中,
=tan∠ACB=tan60°= ,
=sin∠ACB=sin60°= ,
∴BC= = =2,AC= = =4,
∴直角三角形DCE中,CE=AC=4,
∴ =cos45°= ,
∴CD=CE× =4× =2 ,
∴BD=2+2 ,
故答案为:2+2 .
【分析】AB=2 米,∠ACB=60°,∠DCE=45°,AC=CE,利用解直角三角形分别求出BC,AC的长;再在Rt△DCE中,利用解直角三角形求出CD,然后求出BD的长。
三、综合题
9.(2019·莘县模拟)如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米,坡度为1: ,高为DE,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中A、C、E在同一直线上.
(1)求斜坡CD的高度DE;
(2)求大楼AB的高度;(参考数据:sin64°≈0.9,tan64°≈2).
【答案】(1)解:解:在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米,坡度为1: ,
设DE=5x米,则EC=12x米,(5x)2+(12x)2=132,
解得,x=1
5x=5,12x=12,
即DE=5米,EC=12米,
故斜坡CD的高度DE是5米;
(2)解:tan64°= ,tan45°= ,DE=5米,CE=12米,
2= ,1=
解得,AB=34米,AC=17米,
即大楼AB的高度是34米.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】(1)利用勾股定理,可求出斜坡的长度。
(2)解直角三角形可得出大楼AB的高度。
10.(2019九上·许昌期末)某游乐场部分平面图如图所示,C,E,A在同一直线上,D、E、B在同一直线上,∠BAE=30°,∠C=90°,∠ABE=90°,测得A处与C处的距离为100米,B处与D处的距离为80米,求海洋球D处到过山车C处的距离.(结果精确到0.1米)
【答案】解:由题意知,∠D=∠BAE=30°
设CE=x米,
在Rt△DCE中,DE= =2x,
∴BE=BD-DE=80-2x,
在 中, ,
∵AC=100米,
∴x+2(80-2x)=100,解得x=20,
∴在Rt△DCE中, 34.6(米)
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】设CE=x米,在Rt△DCE中,利用三角函数求得DE的长,则BE=BD-DE=80-2x,再根据三角函数得到 ,由题意解得x=20,根据三角函数得到 ,计算即可得到答案.
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