初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.3 正多边形和圆
一、基础巩固
1．（2019·兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=40°，则∠C=（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
2．（2019·曲靖模拟）半径为r的圆的内接正六边形边长为
A． B． C．r D．2r
3．（2019·辽阳）已知正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是 .
4．（2018八上·路南期中）
（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．
（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．
二、强化提升
5．（2019·温州模拟）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转.在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（ ）
A．0.5 B．0.7 C． ﹣1 D． ﹣1
6．（2019·无棣模拟）已知圆的半径是 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·诸暨模拟）如图，五边形ABCDE是正五边形.若l1∥l2，则∠1－∠2＝ °.
8．（2019·南充模拟）如图，在正方形ABCD中，画一个最大的正六边形EFGHLJ，则∠BGF的度数是 ．
9．（2019·香洲模拟）如图，作半径为2的⊙O的内接正四边形ABCD，然后作正四边形ABCD的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正四边形A1B1C1D1，又作正四边形A1B1C1D1的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第六个圆的半径为 ．
10．如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．
（1）求证：△ABF≌△BCG；
（2）求∠AHG的度数．
三、真题演练
11．（2019·梧州）正九边形的一个内角的度数是（ ）
A．108° B．120° C．135° D．140°
12．（2019·绥化）下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形两边的和大于第三边
B．正六边形的每个中心角都等于60°
C．半径为R的圆内接正方形的边长等于 R
D．只有正方形的外角和等于360°
13．（2019·河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC=2 ，则它的边长是（ ）
A．1 B． C． D．2
14．（2019·柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为 .
15．（2019·台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为 .
16．（2019·滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＋∠C=180°,
∵∠A=40°,
∴∠C=180°－40°=140°.
故答案为：D。
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补即可算出答案。
2．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】如图，
六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，则三角形AOB是等边三角形，所以AB=OA=r.
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质可知∠AOB=60°，根据同圆的半径相等得出OA=OB，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出：三角形AOB是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AB=OA=r.
3．【答案】5
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：这个正多边形的边数： 。
故答案为：5。
【分析】由于任何正多边形的外角和都是360°，且所有外角都相等，故用外角的总度数除以每一个外角的度数即可算出该多边形的边数。
4．【答案】（1）解：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，
则x+2x+3x=180，
6x=180，
x=30，
则三个内角分别为30°、60°、90°，
相应的三个外角分别为150°、120°、90°
（2）解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2） 180°=1800°，
解得n=12．
故这个多边形的边数为12
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和为180°，以及各角比例，即可求出各内角，即而求出外角。
（2）根据正多边形的性质，设出多边形的边数是n 。列出关系式，求解n。
5．【答案】D
【知识点】旋转的性质；探索图形规律；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或 ﹣1。
故答案为：D。
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，从而即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴∠AOB=×360°=60°
又∵OA=OB
∴△AOB是等边三角形
∴AB=OA=OB=2 ∠BAO=60°
作OG⊥AB于G,则OG=OA×sin∠BAO=2×=3
∴S△OAB=·AB·OG=×2×3=3
∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×3=18.
故答案为：C.
【分析】先求出正六边形的中心角∠AOB，进而判定△OAB是等边三角形，得AB=OA=OB=2 ∠BAO=60°，继而得高OG，从而得S△OAB，而S正六边形ABCDEF=6S△OAB。
7．【答案】72
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：过B点作BF∥l1，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=108°，
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠3=180°-∠1，∠4=∠2，
∴180°-∠1+∠2=∠ABC=108°，
∴∠1-∠2=72°.
故答案为：72.
【分析】过B点作BF∥l1，利用正五边形的性质可求出∠ABC=108°，根据平行线的传递性可得BF∥l2，利用平行线的性质可得∠3=180°-∠1，∠4=∠2，由∠3+∠4=∠ABC=108°，即可求出∠1-∠2的度数.
8．【答案】15°
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BD，OG．
则点O是正方形和正六边形的中心，F，I在BD上．
∴∠1=45°，∠2=60°，∠3=60°． ∴∠BGO=75°．
∴∠BGF=∠4=∠BGO-∠3=15°．
故答案为：15°.
【分析】连接AC，BD，OG．根据正方形、正六边形的性质，可得∠1=45°，∠2=60°，∠3=60°． ∴∠BGO=75°，从而求出∠BGF的度数.
9．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意第一个圆的半径为2，
第二个圆的半径为 ，
第三个圆的半径为 ，
，
第六个圆的半径为 ．
故答案为： ．
【分析】找规律的题目，先求出1-3个圆的半径，从而发现规律：， 然后再根据规律求出第6个圆的半径即可。
10．【答案】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，
∵F、G分别是BC、CD的中点，
∴BF=CG，
在△ABF和BCG中，
AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，
∴△ABF≌△BCG；
（2）解：由（1）知∠GBC=∠FAB，
∵∠AHG=∠FAB+∠ABH=∠GBC+∠ABH=∠ABC
∵正五边形的内角为108°，
∴∠AHG=108°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）根据正多边形的性质，可证得AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD， 再证明BF=CG，然后利用SAS证明△ABF≌△BCG。
（2）利用全等三角形的性质，易证∠GBC=∠FAB，再利用三角形的外角的性质，可证得∠AHG=∠ABC，然后求出正五边形的一个内角的度数，即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝ 。
故答案为：D。
【分析】根据正多边形的内角和公式（n-2）180°算出该正多边形的内角和，由于正多边形的每一个内角都相等，故用该多边形的内角和除以内角的个数，即可算出每一个内角的度数。
12．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解:A、三角形两边的和大于第三边，据此判断即可.
B、正六边形的每个中心角都等于60°，据此判断即可.
C、半径为R的圆内接正方形的边长等于R，据此判断即可.
D、多边形的外角和都等于360°，据此判断即可.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的三边关系、正多边形的中心角、边长的计算及多边形的外角和，逐一选项分析即可.
13．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BG⊥AC于点G.
正六边形ABCDEF中，每个内角为（6-2）×180°÷6=120°，
∴∠ABC=120°，∠BAC=∠BCA=30°，
∴AG= AC= ，
∴GB=1，AB=2，
即边长为2。
故答案为：D。
【分析】如图，过点B作BG⊥AC于点G，根据正六边形的性质得出∠ABC=120°，AB=AC，从而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠BAC=∠BCA=30°，AG= AC= ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB的长，从而得出答案。
14．【答案】5
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB、OC，
∵OB=OC=5，∠BOC=90°，
∴BC=5 。
故答案为：5 。
【分析】如图所示，连接OB、OC，根据正方形的性质及勾股定理得出BC=5 。
15．【答案】52°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=64°,
∴∠ADC=116°，
又∵点D关于AC对称的点E在BC上，
∴∠AEC=∠ADC=116°，
∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，
∴∠BAE=116°-64°=52°.
故答案为：52°.
【分析】由圆内接四边形性质及对称性质得∠AEC=∠ADC=116°，再由三角形外角性质即可求得∠BAE度数.
16．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】
解：如图，连接 、 ，作 于 ；
则 ，
∵六边形 正六边形，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为 ．
故答案为： ．
【分析】如图，连接 、 ，作 于 ，可得OG=2，根据正方形的性质，可得△OAB是正三角形，可得∠OAB=60°，利用解直角三角形可求出OA的长，即是外接圆半径，
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一、基础巩固
1．（2019·兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=40°，则∠C=（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＋∠C=180°,
∵∠A=40°,
∴∠C=180°－40°=140°.
故答案为：D。
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补即可算出答案。
2．（2019·曲靖模拟）半径为r的圆的内接正六边形边长为
A． B． C．r D．2r
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】如图，
六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，则三角形AOB是等边三角形，所以AB=OA=r.
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质可知∠AOB=60°，根据同圆的半径相等得出OA=OB，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出：三角形AOB是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AB=OA=r.
3．（2019·辽阳）已知正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是 .
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：这个正多边形的边数： 。
故答案为：5。
【分析】由于任何正多边形的外角和都是360°，且所有外角都相等，故用外角的总度数除以每一个外角的度数即可算出该多边形的边数。
4．（2018八上·路南期中）
（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．
（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．
【答案】（1）解：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，
则x+2x+3x=180，
6x=180，
x=30，
则三个内角分别为30°、60°、90°，
相应的三个外角分别为150°、120°、90°
（2）解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2） 180°=1800°，
解得n=12．
故这个多边形的边数为12
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和为180°，以及各角比例，即可求出各内角，即而求出外角。
（2）根据正多边形的性质，设出多边形的边数是n 。列出关系式，求解n。
二、强化提升
5．（2019·温州模拟）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转.在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（ ）
A．0.5 B．0.7 C． ﹣1 D． ﹣1
【答案】D
【知识点】旋转的性质；探索图形规律；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或 ﹣1。
故答案为：D。
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，从而即可得出答案。
6．（2019·无棣模拟）已知圆的半径是 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴∠AOB=×360°=60°
又∵OA=OB
∴△AOB是等边三角形
∴AB=OA=OB=2 ∠BAO=60°
作OG⊥AB于G,则OG=OA×sin∠BAO=2×=3
∴S△OAB=·AB·OG=×2×3=3
∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×3=18.
故答案为：C.
【分析】先求出正六边形的中心角∠AOB，进而判定△OAB是等边三角形，得AB=OA=OB=2 ∠BAO=60°，继而得高OG，从而得S△OAB，而S正六边形ABCDEF=6S△OAB。
7．（2019·诸暨模拟）如图，五边形ABCDE是正五边形.若l1∥l2，则∠1－∠2＝ °.
【答案】72
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：过B点作BF∥l1，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=108°，
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠3=180°-∠1，∠4=∠2，
∴180°-∠1+∠2=∠ABC=108°，
∴∠1-∠2=72°.
故答案为：72.
【分析】过B点作BF∥l1，利用正五边形的性质可求出∠ABC=108°，根据平行线的传递性可得BF∥l2，利用平行线的性质可得∠3=180°-∠1，∠4=∠2，由∠3+∠4=∠ABC=108°，即可求出∠1-∠2的度数.
8．（2019·南充模拟）如图，在正方形ABCD中，画一个最大的正六边形EFGHLJ，则∠BGF的度数是 ．
【答案】15°
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BD，OG．
则点O是正方形和正六边形的中心，F，I在BD上．
∴∠1=45°，∠2=60°，∠3=60°． ∴∠BGO=75°．
∴∠BGF=∠4=∠BGO-∠3=15°．
故答案为：15°.
【分析】连接AC，BD，OG．根据正方形、正六边形的性质，可得∠1=45°，∠2=60°，∠3=60°． ∴∠BGO=75°，从而求出∠BGF的度数.
9．（2019·香洲模拟）如图，作半径为2的⊙O的内接正四边形ABCD，然后作正四边形ABCD的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正四边形A1B1C1D1，又作正四边形A1B1C1D1的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第六个圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意第一个圆的半径为2，
第二个圆的半径为 ，
第三个圆的半径为 ，
，
第六个圆的半径为 ．
故答案为： ．
【分析】找规律的题目，先求出1-3个圆的半径，从而发现规律：， 然后再根据规律求出第6个圆的半径即可。
10．如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．
（1）求证：△ABF≌△BCG；
（2）求∠AHG的度数．
【答案】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，
∵F、G分别是BC、CD的中点，
∴BF=CG，
在△ABF和BCG中，
AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，
∴△ABF≌△BCG；
（2）解：由（1）知∠GBC=∠FAB，
∵∠AHG=∠FAB+∠ABH=∠GBC+∠ABH=∠ABC
∵正五边形的内角为108°，
∴∠AHG=108°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）根据正多边形的性质，可证得AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD， 再证明BF=CG，然后利用SAS证明△ABF≌△BCG。
（2）利用全等三角形的性质，易证∠GBC=∠FAB，再利用三角形的外角的性质，可证得∠AHG=∠ABC，然后求出正五边形的一个内角的度数，即可得出答案。
三、真题演练
11．（2019·梧州）正九边形的一个内角的度数是（ ）
A．108° B．120° C．135° D．140°
【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝ 。
故答案为：D。
【分析】根据正多边形的内角和公式（n-2）180°算出该正多边形的内角和，由于正多边形的每一个内角都相等，故用该多边形的内角和除以内角的个数，即可算出每一个内角的度数。
12．（2019·绥化）下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形两边的和大于第三边
B．正六边形的每个中心角都等于60°
C．半径为R的圆内接正方形的边长等于 R
D．只有正方形的外角和等于360°
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解:A、三角形两边的和大于第三边，据此判断即可.
B、正六边形的每个中心角都等于60°，据此判断即可.
C、半径为R的圆内接正方形的边长等于R，据此判断即可.
D、多边形的外角和都等于360°，据此判断即可.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的三边关系、正多边形的中心角、边长的计算及多边形的外角和，逐一选项分析即可.
13．（2019·河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC=2 ，则它的边长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BG⊥AC于点G.
正六边形ABCDEF中，每个内角为（6-2）×180°÷6=120°，
∴∠ABC=120°，∠BAC=∠BCA=30°，
∴AG= AC= ，
∴GB=1，AB=2，
即边长为2。
故答案为：D。
【分析】如图，过点B作BG⊥AC于点G，根据正六边形的性质得出∠ABC=120°，AB=AC，从而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠BAC=∠BCA=30°，AG= AC= ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB的长，从而得出答案。
14．（2019·柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为 .
【答案】5
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB、OC，
∵OB=OC=5，∠BOC=90°，
∴BC=5 。
故答案为：5 。
【分析】如图所示，连接OB、OC，根据正方形的性质及勾股定理得出BC=5 。
15．（2019·台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为 .
【答案】52°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=64°,
∴∠ADC=116°，
又∵点D关于AC对称的点E在BC上，
∴∠AEC=∠ADC=116°，
∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，
∴∠BAE=116°-64°=52°.
故答案为：52°.
【分析】由圆内接四边形性质及对称性质得∠AEC=∠ADC=116°，再由三角形外角性质即可求得∠BAE度数.
16．（2019·滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】
解：如图，连接 、 ，作 于 ；
则 ，
∵六边形 正六边形，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为 ．
故答案为： ．
【分析】如图，连接 、 ，作 于 ，可得OG=2，根据正方形的性质，可得△OAB是正三角形，可得∠OAB=60°，利用解直角三角形可求出OA的长，即是外接圆半径，
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