初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.4 尺规作图
一、单选题
1．（2019·北部湾）如图.在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
2．（2019·烟台）要作∠A′O′B′等于已知角∠AOB，应先作一条射线O′B′，再以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．然后（ ）
A．以点O′为圆心，任意长为半径画弧
B．以点O′为圆心，OB长为半径画弧
C．以点O′为圆心，CD长为半径画弧
D．以点O′为圆心，OD长为半径画弧
3．（2019·浙江模拟）如图，已知△ABC(AB＜BC＜AC)，用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019·永康模拟）甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线.则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的画法正确 B．只有乙的画法正确
C．甲，乙的画法都正确 D．甲，乙的画法都不正确
5．（2019·上城模拟）过线段AB外一点C，用直尺和圆规作AB的垂线段CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019·温岭模拟）小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（ ）
A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
7．（2019·朝阳模拟）在数学课上，老师提出如下问题：
已知：直线l和直线外的一点P.
求作：过点P作直线 于点Q.
已知：直线l和直线外的一点P.
求作：过点P作直线 于点Q.
小华的作法如下：
如图，第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；
第二步：连接PA、PB，作 的平分线，交直线l于点Q.直线PQ即为所求作.
如图，第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；
第二步：连接PA、PB，作 的平分线，交直线l于点Q.直线PQ即为所求作.
老师说：“小华的作法正确”.
请回答：小华第二步作图的依据是 .
三、作图题
8．（2019·青岛）已知：
∠α，直线 及 上两点 A， B．
求作： Rt△ABC ，使点 C 在直线 的上方，且∠ABC=90°， ∠BAC=∠α．
9．（2019·余姚会考）6×6的方格图中，按要求作格点三角形ABC．
（1）在图1中，作等腰直角△MABC，使得∠BAC=45°；(画出一个即可)
（2）在图2中，作钝角△ABC，使得∠BAC=45°．
10．（2019·贵港模拟）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
如图，已知∠a和线段a、b
求作：
①△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b.
②在①的条件下，作AB边上的中线CD.
四、综合题
11．（2019七下·盐田期末）如图
（1）如图1，学校A，B在道路MN的异侧.在MN上建公交站P，使得P到A，B的距离相等。利用尺规作图确定P的位置.
（2）如图2，学校C，D在道路MN的同侧，在MN上建公交站Q，使得Q到C，D的距离的和最短.利用网格确定Q的位置.
12．（2019·绍兴模拟）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BM=EM．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：由作法可知：
CG⊥AB
∵AC=BC，
∴CG平分∠ACB，∠A=∠B=40°
∴∠ACB=180°-40°-40°=100°
∴∠BCG=∠ACB=×100°=50°
故答案为：C
【分析】利用等腰三角形的性质和作图可知CG⊥AB，CG平分∠ACB，∠A=∠B，再利用三角形内角和定理求出∠ACB，然后求出∠BCG的度数。
2．【答案】D
【知识点】作图-角
【解析】【解答】要作∠A′O′B′等于已知角∠AOB，
应先作一条射线O′B′，再以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．
然后以点O′为圆心，OD长为半径画弧，再进行画图，
故答案为：D.
【分析】根据尺规作图画角.
3．【答案】C
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】因为点P在AC上，所以PA+PC=AC，根据题意要在AC上求作一点P，使得PB+PC=AC，即在AC上求作一点P使得PA=PB，根据线段垂直平分线的性质可知：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此分别以A和B为圆心，以大于 单位长度为半径分别画两条圆弧，然后将圆弧两交点连接，即为线段AB的垂直平分线，
故答案为：C.
【分析】由AP+PC=AC及PB+PC＝AC可知， PB=PC，根据到一条线段两端点距离相等的点在这条相等的垂直平分线上可知，线段BC的垂直平分线与线段AC的交点即为所求.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：∵CD＝CE，
∴∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C，
∴甲，乙的画法都正确.
故答案为：C.
【分析】利用线段垂直平分线的作法及等腰三角形三线合一的性质，可以作出判断。
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；作图-垂线
【解析】【解答】解：A、根据过直线外一点作已知直线的尺规作图可知此选项不符合题意；
B、无法证明CD是AB上的垂线，符合题意.
C、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是AB上的垂线段，不符合题意；
D、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是AB上的垂线段，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接判断A；根据直径所对的圆周角是直角，据此判断C；根据相交两圆的公共弦的性质，可得CD⊥AB，据此判断D，从而求出答案.
6．【答案】A
【知识点】作图-垂线；作图-角；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确.
故答案为：A。
【分析】根据尺规作图法，由作一个角等于已知角、作角的角平分线、线段的垂直平分线、 过直线外一点作已知直线的垂线 的方法即可一一判断得出结论。
7．【答案】等腰三角形三线合一
【知识点】等腰三角形的性质；作图-三角形；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：△APB是等腰三角形，根据三角形三线合一的性质可知， 的平分线也是AB边上的高线，所以小华的作法正确，
故答案为：等腰三角形三线合一.
【分析】由作图可得AP=PB，根据等腰三角形的“三线合一”性质即得PQ⊥AB.
8．【答案】解：如图，△ABC为所作．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】先以AB为一边作∠DAB=∠α，再过点B作BE⊥AB，交射线AD于点C，即可得所求三角形。
9．【答案】（1）解： 如图1，∠BAC=∠ABC=45°
或
△ABC就是所求作的等腰直角三角形
（2）解： 如图2，∠BAC=45°，∠ABC＞90°
△ABC就是所求作的钝角三角形且∠BAC=45°
【知识点】等腰直角三角形；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用正方形的对角线平分一组对角及等腰直角三角形的性质，就可确定出顶点C的位置，然后画出△ABC。
（2）利用正方形的对角线平分一组对角及钝角三角形的定义，画出符合题意的△ABC。
10．【答案】解：如图，△ABC、CD为所作；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】①先作∠BAC=∠α，再在∠BAC的两边上分别截取AB＝a，AC＝b，然后连接BC即可。
②作AB的垂直平分线，垂足为D，连接CD即可。
11．【答案】（1）
（2）
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线，交直线MN于点P，则点P即为所求。
（2）过点D作其关于MN对称的点E，连接CE与MN交于一点Q，Q点即为所求。
【分析】（1）到两个点的距离相等的点，在这两个点所在的线段的垂直平分线上，进行作图即可。
（2）利用MN作D点的对称点，连接C与对称点，与MN交于一点，即为所求。
12．【答案】（1）解：作图如下
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点
∴BD平分∠ABC（三线合一）
∴∠ABC=2∠DBE
∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE
∴∠ACB=2∠E
又∵∠ABC=∠ACB
∴2∠DBC=2∠E
∴∠DBC=∠E
∴BD=DE
又∵DM⊥BE
∴BM=EM
【知识点】等腰三角形的性质；作图-垂线
【解析】【分析】（1）以点D为圆心，大于BD一半的长度为半径画弧，交BE于两点，分别以这两点为圆心，大于这两交点间距离的一半的长度为半径画弧，两弧相较于一点，过这点及点D作直线，交BE于点M，根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，而且过两点有一条而且只有一条直线即可得出该线就是所求的线；
（2）根据度等腰三角形的三线合一得出 BD平分∠ABC ，故 ∠ABC=2∠DBE 根据等边对等角得出 ∠CED=∠CDE ，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出 ∠ACB=∠CED+∠CDE ，即 ∠ACB=2∠E ，根据等边三角形的三个内角都相等得出 ∠ABC=∠ACB ，故 ∠DBC=∠E 根据等角对等边得出 BD=DE ，从而根据等腰三角形的三线合一得出 BM=EM 。
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一、单选题
1．（2019·北部湾）如图.在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：由作法可知：
CG⊥AB
∵AC=BC，
∴CG平分∠ACB，∠A=∠B=40°
∴∠ACB=180°-40°-40°=100°
∴∠BCG=∠ACB=×100°=50°
故答案为：C
【分析】利用等腰三角形的性质和作图可知CG⊥AB，CG平分∠ACB，∠A=∠B，再利用三角形内角和定理求出∠ACB，然后求出∠BCG的度数。
2．（2019·烟台）要作∠A′O′B′等于已知角∠AOB，应先作一条射线O′B′，再以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．然后（ ）
A．以点O′为圆心，任意长为半径画弧
B．以点O′为圆心，OB长为半径画弧
C．以点O′为圆心，CD长为半径画弧
D．以点O′为圆心，OD长为半径画弧
【答案】D
【知识点】作图-角
【解析】【解答】要作∠A′O′B′等于已知角∠AOB，
应先作一条射线O′B′，再以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．
然后以点O′为圆心，OD长为半径画弧，再进行画图，
故答案为：D.
【分析】根据尺规作图画角.
3．（2019·浙江模拟）如图，已知△ABC(AB＜BC＜AC)，用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】因为点P在AC上，所以PA+PC=AC，根据题意要在AC上求作一点P，使得PB+PC=AC，即在AC上求作一点P使得PA=PB，根据线段垂直平分线的性质可知：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此分别以A和B为圆心，以大于 单位长度为半径分别画两条圆弧，然后将圆弧两交点连接，即为线段AB的垂直平分线，
故答案为：C.
【分析】由AP+PC=AC及PB+PC＝AC可知， PB=PC，根据到一条线段两端点距离相等的点在这条相等的垂直平分线上可知，线段BC的垂直平分线与线段AC的交点即为所求.
4．（2019·永康模拟）甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线.则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的画法正确 B．只有乙的画法正确
C．甲，乙的画法都正确 D．甲，乙的画法都不正确
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：∵CD＝CE，
∴∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C，
∴甲，乙的画法都正确.
故答案为：C.
【分析】利用线段垂直平分线的作法及等腰三角形三线合一的性质，可以作出判断。
5．（2019·上城模拟）过线段AB外一点C，用直尺和圆规作AB的垂线段CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；作图-垂线
【解析】【解答】解：A、根据过直线外一点作已知直线的尺规作图可知此选项不符合题意；
B、无法证明CD是AB上的垂线，符合题意.
C、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是AB上的垂线段，不符合题意；
D、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是AB上的垂线段，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接判断A；根据直径所对的圆周角是直角，据此判断C；根据相交两圆的公共弦的性质，可得CD⊥AB，据此判断D，从而求出答案.
6．（2019·温岭模拟）小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（ ）
A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】作图-垂线；作图-角；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确.
故答案为：A。
【分析】根据尺规作图法，由作一个角等于已知角、作角的角平分线、线段的垂直平分线、 过直线外一点作已知直线的垂线 的方法即可一一判断得出结论。
二、填空题
7．（2019·朝阳模拟）在数学课上，老师提出如下问题：
已知：直线l和直线外的一点P.
求作：过点P作直线 于点Q.
已知：直线l和直线外的一点P.
求作：过点P作直线 于点Q.
小华的作法如下：
如图，第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；
第二步：连接PA、PB，作 的平分线，交直线l于点Q.直线PQ即为所求作.
如图，第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；
第二步：连接PA、PB，作 的平分线，交直线l于点Q.直线PQ即为所求作.
老师说：“小华的作法正确”.
请回答：小华第二步作图的依据是 .
【答案】等腰三角形三线合一
【知识点】等腰三角形的性质；作图-三角形；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：△APB是等腰三角形，根据三角形三线合一的性质可知， 的平分线也是AB边上的高线，所以小华的作法正确，
故答案为：等腰三角形三线合一.
【分析】由作图可得AP=PB，根据等腰三角形的“三线合一”性质即得PQ⊥AB.
三、作图题
8．（2019·青岛）已知：
∠α，直线 及 上两点 A， B．
求作： Rt△ABC ，使点 C 在直线 的上方，且∠ABC=90°， ∠BAC=∠α．
【答案】解：如图，△ABC为所作．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】先以AB为一边作∠DAB=∠α，再过点B作BE⊥AB，交射线AD于点C，即可得所求三角形。
9．（2019·余姚会考）6×6的方格图中，按要求作格点三角形ABC．
（1）在图1中，作等腰直角△MABC，使得∠BAC=45°；(画出一个即可)
（2）在图2中，作钝角△ABC，使得∠BAC=45°．
【答案】（1）解： 如图1，∠BAC=∠ABC=45°
或
△ABC就是所求作的等腰直角三角形
（2）解： 如图2，∠BAC=45°，∠ABC＞90°
△ABC就是所求作的钝角三角形且∠BAC=45°
【知识点】等腰直角三角形；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用正方形的对角线平分一组对角及等腰直角三角形的性质，就可确定出顶点C的位置，然后画出△ABC。
（2）利用正方形的对角线平分一组对角及钝角三角形的定义，画出符合题意的△ABC。
10．（2019·贵港模拟）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
如图，已知∠a和线段a、b
求作：
①△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b.
②在①的条件下，作AB边上的中线CD.
【答案】解：如图，△ABC、CD为所作；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】①先作∠BAC=∠α，再在∠BAC的两边上分别截取AB＝a，AC＝b，然后连接BC即可。
②作AB的垂直平分线，垂足为D，连接CD即可。
四、综合题
11．（2019七下·盐田期末）如图
（1）如图1，学校A，B在道路MN的异侧.在MN上建公交站P，使得P到A，B的距离相等。利用尺规作图确定P的位置.
（2）如图2，学校C，D在道路MN的同侧，在MN上建公交站Q，使得Q到C，D的距离的和最短.利用网格确定Q的位置.
【答案】（1）
（2）
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线，交直线MN于点P，则点P即为所求。
（2）过点D作其关于MN对称的点E，连接CE与MN交于一点Q，Q点即为所求。
【分析】（1）到两个点的距离相等的点，在这两个点所在的线段的垂直平分线上，进行作图即可。
（2）利用MN作D点的对称点，连接C与对称点，与MN交于一点，即为所求。
12．（2019·绍兴模拟）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BM=EM．
【答案】（1）解：作图如下
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点
∴BD平分∠ABC（三线合一）
∴∠ABC=2∠DBE
∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE
∴∠ACB=2∠E
又∵∠ABC=∠ACB
∴2∠DBC=2∠E
∴∠DBC=∠E
∴BD=DE
又∵DM⊥BE
∴BM=EM
【知识点】等腰三角形的性质；作图-垂线
【解析】【分析】（1）以点D为圆心，大于BD一半的长度为半径画弧，交BE于两点，分别以这两点为圆心，大于这两交点间距离的一半的长度为半径画弧，两弧相较于一点，过这点及点D作直线，交BE于点M，根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，而且过两点有一条而且只有一条直线即可得出该线就是所求的线；
（2）根据度等腰三角形的三线合一得出 BD平分∠ABC ，故 ∠ABC=2∠DBE 根据等边对等角得出 ∠CED=∠CDE ，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出 ∠ACB=∠CED+∠CDE ，即 ∠ACB=2∠E ，根据等边三角形的三个内角都相等得出 ∠ABC=∠ACB ，故 ∠DBC=∠E 根据等角对等边得出 BD=DE ，从而根据等腰三角形的三线合一得出 BM=EM 。
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