初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.4 应用二元一次方程组-增收节支
一、单选题
1．（2019八上·深圳开学考）甲乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】根据题意可知，
故答案为：C。
【分析】根据题目中两种商品的原价以及调整后的价格之间的关系，列出二元一次方程组即可得到答案。
2．（2019七下·十堰期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列正确的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
。
故答案为：D。
【分析】 设木长为x尺，绳子长为y尺 ，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺可知绳子比木棍长4.5尺；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺 可知绳子的一半比木棍短一尺，从而列出方程组。
3．（2019·新昌模拟）某校在配备现代化教学设备时，计划购买多媒体教学一体机和学生电脑共120台.已知多媒体教学一体机每8000元，学生电脑每台2500元，若购买这两种设备共花费52万元，求学校购买多媒体教学一体机和学生电脑各多少台？设购买多媒体教学一体机x台、学生电脑y台，根据题意列出的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】设购买多媒体教学一体机x台，学生电脑y台，
依题意，得： .
故答案为：B.
【分析】由题意可得两个相等关系： 教学一体机的台数+学生电脑的台数=120；教学一体机的总价+学生电脑的总价=52；根据这两个相等关系列方程组即可。
4．（2019·杭州模拟）如图为某商店的宣传单，小胜到此店同时购买了一件标价为x元的衣服和一条标价为y元的裤子，共节省500元，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．0.6x+0.4y+100＝500 B．0.6x+0.4y﹣100＝500
C．0.4x+0.6y+100＝500 D．0.4x+0.6y﹣100＝500
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设衣服一件标价为x元，裤子一条标价为y元，
由题意得，0.6x+0.4y+100＝500．
故答案为：A．
【分析】此题的等量关系为：一件衣服的标价×（1-0.4）+一件裤子的标价×（1-0.6）+100=500，列方程即可。
二、填空题
5．（2019·宿迁）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 .
【答案】10
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设“△”的质量为 ，“□”的质量为 ，
由题意得： ，
解得： ，
∴第三个天平右盘中砝码的质量 ；
故答案为：10.
【分析】设“△”的质量为 ，“□”的质量为 ，根据前两个天平处于平衡状态，得出等量关系，列出方程组，求解算出x,y的值，进而即可算出第三个天平左边托盘物体的质量，从而得出答案。
6．（2019·随州） 2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力.在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力.如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 和 .
【答案】2；9
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 ，
∵外圆两直径上的四个数字之和相等，
∴①，
∵内、外两个圆周上的四个数字之和相等，
∴②，
联立①②解得： ， ，
∴图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9。
故答案为：2；9。
【分析】设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 ，根据外圆两直径上的四个数字之和相等及内、外两个圆周上的四个数字之和相等，列出方程组，求解即可。
三、解答题
7．（2019七下·中山期末）李老师第一次去商场买了2件A商品和1件B商品，共用26元；第二次去商场时A商品打八折出售，B商品打九折出售，李老师买5件A商品和2件B商品共用50元．求两种商品打折前的单价分别是多少元？
【答案】解：设A、B两种商品打折前的单价分别是x元、y元， ∴ ， 解得， ， 答：A、B两种商品打折前的单价分别是8元、10元。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A，B两种商品打折前的单价分别是x元，y元，利用2件A商品和1件B商品及5件A商品和2件B商品共用50元，列出方程组，解出方程组即可.
8．（2019七下·吴江期末）小张大学毕业后回乡创办企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同.当生产6天后剩余原材料41吨;当生产10天后剩余原材料35吨.求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数.
【答案】解：设初期购得的原材料x吨，每天耗费原材料y吨，
依题意，得： ，
解得：
答：初期购得的原材料50吨，每天耗费原材料1.5吨。
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 设初期购得的原材料x吨，每天耗费原材料y吨， 根据初期购进的原材料-6天耗费的原材料=41及初期购进的原材料-10天耗费的原材料=35列出方程组，求解即可。
9．（2019七下·越城期末）师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？
【答案】解：设老师的年龄是x岁，学生的年龄是y岁，由题意得：根据题意列方程组得：
，
解得 ．
答：老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】此题抓住老师和学生的年龄差不变，可得等量关系，再设未知数，列方程组。然后解方程组就求出结果。
10．（2019·三亚模拟）某厂准备生产甲、乙两种商品销往“一带一路”沿线国家和地区.已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.求甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？
【答案】解：设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件，
依题意，得： ，
解得： .
答：甲种商品的销售单价为900元/件，乙种商品的销售单价为600元/件。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】由题意可得两个相等关系： 2件甲种商品的销售额=3件乙种商品的销售额，3件甲种商品的销售额-2件乙种商品的销售额=1500元，根据这两个相等关系列方程组即可求解.
四、综合题
11．（2019·北部湾模拟）学校为奖励在艺术节系列活动中表现优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共1800件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】（1）解：设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得： ，
解得： ．
答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件
（2）解：设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（1800﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，
∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，
∴1800﹣m≤2m，
∴m≥600．
依题意，得：w＝40m+30（1800﹣m）＝10m+54000，
∵10＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学习购买600件甲种奖品、1200件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是60000元
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件 ，根据 购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元及购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元．即可列出方程组，求解即可；
（2） 设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（1800﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w， 根据 购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍， 列出不等式，求解得出m的取值范围；根据购买甲种奖品的钱数+购买乙种奖品的钱数等于总花费，即可建立出W与m的函数关系，然后根据所得函数性质即可解决问题。
12．（2019·铁西模拟）某商场用2700元购进甲、乙两种商品共100件，这两种商品的进价、标价如下表所示：
（1）求购进两种商品各多少件？
（2）商品将两种商品全部卖出后，获得的利润是多少元？
【答案】（1）解：设甲、乙两种商品分别为 件、 件.
则： ； 解出
（2）解：40×（20- 15）+60×（45- 35）=40×5+60×10=800（元）
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设甲、乙两种商品分别为 件、 件. 根据甲的件数+乙的件数=100，购甲商品的钱数+购乙商品的钱数=2700列出方程组，解方程组即可求出购进两种商品的件数.（2） 根据利润=（售价-进价）×数量，分别求出甲乙两种商品的利润，再求和即可得出答案.
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.4 应用二元一次方程组-增收节支
一、单选题
1．（2019八上·深圳开学考）甲乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
2．（2019七下·十堰期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列正确的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·新昌模拟）某校在配备现代化教学设备时，计划购买多媒体教学一体机和学生电脑共120台.已知多媒体教学一体机每8000元，学生电脑每台2500元，若购买这两种设备共花费52万元，求学校购买多媒体教学一体机和学生电脑各多少台？设购买多媒体教学一体机x台、学生电脑y台，根据题意列出的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019·杭州模拟）如图为某商店的宣传单，小胜到此店同时购买了一件标价为x元的衣服和一条标价为y元的裤子，共节省500元，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．0.6x+0.4y+100＝500 B．0.6x+0.4y﹣100＝500
C．0.4x+0.6y+100＝500 D．0.4x+0.6y﹣100＝500
二、填空题
5．（2019·宿迁）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 .
6．（2019·随州） 2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力.在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力.如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 和 .
三、解答题
7．（2019七下·中山期末）李老师第一次去商场买了2件A商品和1件B商品，共用26元；第二次去商场时A商品打八折出售，B商品打九折出售，李老师买5件A商品和2件B商品共用50元．求两种商品打折前的单价分别是多少元？
8．（2019七下·吴江期末）小张大学毕业后回乡创办企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同.当生产6天后剩余原材料41吨;当生产10天后剩余原材料35吨.求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数.
9．（2019七下·越城期末）师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？
10．（2019·三亚模拟）某厂准备生产甲、乙两种商品销往“一带一路”沿线国家和地区.已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.求甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？
四、综合题
11．（2019·北部湾模拟）学校为奖励在艺术节系列活动中表现优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共1800件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最小？最小费用是多少元？
12．（2019·铁西模拟）某商场用2700元购进甲、乙两种商品共100件，这两种商品的进价、标价如下表所示：
（1）求购进两种商品各多少件？
（2）商品将两种商品全部卖出后，获得的利润是多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】根据题意可知，
故答案为：C。
【分析】根据题目中两种商品的原价以及调整后的价格之间的关系，列出二元一次方程组即可得到答案。
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
。
故答案为：D。
【分析】 设木长为x尺，绳子长为y尺 ，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺可知绳子比木棍长4.5尺；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺 可知绳子的一半比木棍短一尺，从而列出方程组。
3．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】设购买多媒体教学一体机x台，学生电脑y台，
依题意，得： .
故答案为：B.
【分析】由题意可得两个相等关系： 教学一体机的台数+学生电脑的台数=120；教学一体机的总价+学生电脑的总价=52；根据这两个相等关系列方程组即可。
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设衣服一件标价为x元，裤子一条标价为y元，
由题意得，0.6x+0.4y+100＝500．
故答案为：A．
【分析】此题的等量关系为：一件衣服的标价×（1-0.4）+一件裤子的标价×（1-0.6）+100=500，列方程即可。
5．【答案】10
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设“△”的质量为 ，“□”的质量为 ，
由题意得： ，
解得： ，
∴第三个天平右盘中砝码的质量 ；
故答案为：10.
【分析】设“△”的质量为 ，“□”的质量为 ，根据前两个天平处于平衡状态，得出等量关系，列出方程组，求解算出x,y的值，进而即可算出第三个天平左边托盘物体的质量，从而得出答案。
6．【答案】2；9
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 ，
∵外圆两直径上的四个数字之和相等，
∴①，
∵内、外两个圆周上的四个数字之和相等，
∴②，
联立①②解得： ， ，
∴图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9。
故答案为：2；9。
【分析】设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 ，根据外圆两直径上的四个数字之和相等及内、外两个圆周上的四个数字之和相等，列出方程组，求解即可。
7．【答案】解：设A、B两种商品打折前的单价分别是x元、y元， ∴ ， 解得， ， 答：A、B两种商品打折前的单价分别是8元、10元。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A，B两种商品打折前的单价分别是x元，y元，利用2件A商品和1件B商品及5件A商品和2件B商品共用50元，列出方程组，解出方程组即可.
8．【答案】解：设初期购得的原材料x吨，每天耗费原材料y吨，
依题意，得： ，
解得：
答：初期购得的原材料50吨，每天耗费原材料1.5吨。
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 设初期购得的原材料x吨，每天耗费原材料y吨， 根据初期购进的原材料-6天耗费的原材料=41及初期购进的原材料-10天耗费的原材料=35列出方程组，求解即可。
9．【答案】解：设老师的年龄是x岁，学生的年龄是y岁，由题意得：根据题意列方程组得：
，
解得 ．
答：老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】此题抓住老师和学生的年龄差不变，可得等量关系，再设未知数，列方程组。然后解方程组就求出结果。
10．【答案】解：设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件，
依题意，得： ，
解得： .
答：甲种商品的销售单价为900元/件，乙种商品的销售单价为600元/件。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】由题意可得两个相等关系： 2件甲种商品的销售额=3件乙种商品的销售额，3件甲种商品的销售额-2件乙种商品的销售额=1500元，根据这两个相等关系列方程组即可求解.
11．【答案】（1）解：设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得： ，
解得： ．
答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件
（2）解：设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（1800﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，
∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，
∴1800﹣m≤2m，
∴m≥600．
依题意，得：w＝40m+30（1800﹣m）＝10m+54000，
∵10＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学习购买600件甲种奖品、1200件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是60000元
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件 ，根据 购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元及购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元．即可列出方程组，求解即可；
（2） 设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（1800﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w， 根据 购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍， 列出不等式，求解得出m的取值范围；根据购买甲种奖品的钱数+购买乙种奖品的钱数等于总花费，即可建立出W与m的函数关系，然后根据所得函数性质即可解决问题。
12．【答案】（1）解：设甲、乙两种商品分别为 件、 件.
则： ； 解出
（2）解：40×（20- 15）+60×（45- 35）=40×5+60×10=800（元）
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设甲、乙两种商品分别为 件、 件. 根据甲的件数+乙的件数=100，购甲商品的钱数+购乙商品的钱数=2700列出方程组，解方程组即可求出购进两种商品的件数.（2） 根据利润=（售价-进价）×数量，分别求出甲乙两种商品的利润，再求和即可得出答案.
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