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初中数学人教版八年级下学期 第十九章 19.2.3 一次函数与方程、不等式
一、单选题
1．（2020八上·长丰期末）函数 的图像与函数 =- +3的图像平行,且与y轴的交点为M（0，2）,则函数表达式为（ ）
A． = +3 B． = +2
C． =- +3 D． =- +2
2．（2019八上·西安月考）如图，已知一次函数 的图象为直线，则关于x的方程 的解为 （ ）
A． B． C． D．
3．（2019八上·辽阳期中）一次函数y＝﹣2x+3的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（m，1），则关于x，y的二元一次方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八下·番禺期末）直线y＝2x﹣6与x轴的交点坐标是（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（0，﹣6） D．（﹣3，0）
5．（2019·锦州）如图，一次函数y＝2x+1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
二、填空题
6．（2020八上·甘州期末）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
7．（2019八上·靖远月考）已知一次函数 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为12，则 的值为 .
8．（2019八上·靖远月考）一次函数 的图象与x轴的交点坐标是 ,与y轴的交点坐标是 .
9．（2019八下·天河期末）如图，直线y＝kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ．
三、综合题
10．（2020九上·松北期末）如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A、C，直线y＝mx+ 分别与x轴、y轴交于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b）
（1）不等式x+3≤mx+ 的解集为 ．
（2）求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．
11．（2019八上·顺德月考）张庄甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，“春节期间”，两家采摘园将推出优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为y甲（元），在乙园所需总费用为y乙（元），y甲、y乙与x之间的函数关系如图所示，折线OAB表示y乙与x之间的函数关系．
（1）甲采摘园的门票是 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克 元；
（2）当x＞10时，求y乙与x之间的函数关系式；
（3）游客在“春节期间”采摘多少千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同．
12．（2019九上·萧山开学考）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
A地区 1800元 1600元
B地区 1600元 1200元
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围：
（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，为农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】根据题意得：k=-
把（0，2）代入y=- x+b得：b=2
则函数的解析式是：y=- x+2
故答案为：D．
【分析】两条直线平行，则一次函数的一次项系数相等，则k=- ．把（0，2）代入函数解析式即可求得b的值，得到函数解析式．
2．【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据图象可得，一次函数y＝ax＋b的图象经过（5，1）点，
因此关于x的方程ax＋b＝1的解为x＝5，
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图象经过（5，1）点，可得方程的解.
3．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+3的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（m，1），
∴1＝﹣2m+3，
解得：m＝1，
∴A（1，1），
∴二元一次方程 的解为： ，
故答案为：C.
【分析】首先利用函数解析式y＝﹣2x+3计算出a点坐标中m的值，进而可得a的坐标，然后可得二元一次方程 的解.
4．【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】当y＝0时，2x－6＝0，解得：x＝3，
所以，与x轴的交点坐标是（3,0），
故答案为：B。
【分析】根据x轴上点的纵坐标等于0，可令y＝0时，可得2x－6＝0，求出x的值即可.
5．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数y＝2x+1中，
当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣0.5；
∴A（﹣0.5，0），B（0，1）
∴OA＝0.5，OB＝1
∴△AOB的面积
故答案为：A.
【分析】根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出点A,B的坐标，从而得出OA,OB的长度，进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案.
6．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】根据函数图可知：
函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P的坐标是（-3，1），
所以 的解为 ，
故答案是： .
【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
7．【答案】±
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数y=kx+4与x轴的交点为（- ，0），与y轴的交点为（0，4）.
∵y=kx+4和两坐标轴围成的三角形的面积是12，
∴ ×4×|- |=12，
∴k=± .
故答案为：± .
【分析】先求出一次函数y=kx+4与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值.
8．【答案】（4，0）；（0，-2）
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】当y=0时，
，
∴x=4，
∴图象与x轴的交点坐标是（4，0）；
当x=0时，
，
∴与y轴的交点坐标是（0，-2）.
【分析】令y=0可求出与x轴的交点坐标，令x=0可求出与y轴的交点坐标.
9．【答案】x＜﹣2
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线y＝kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），
∴y随x的增大而增大，
当x＜﹣2时，y＜0，
即kx+b＜0．
故答案为：x＜﹣2．
【分析】观察图象可得当x＜-2时，直线y＝kx+b的图象在x轴下方，据此求出不等式kx+b＜0的解集.
10．【答案】（1）x≤﹣1
（2）解：∵直线y＝x+3过点M（﹣1，b），
∴b＝﹣1+3＝2，M（﹣1，2），
将M（﹣1，2）代入y＝mx+ ，
得2＝﹣m+ ，解得m＝﹣ ，
∴直线BD的解析式为y＝﹣ x+ ，
∴当y＝0时，x＝2，∴B（2，0）．
∵直线AC的解析式为y＝x+3，
∴当y＝时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0）．
∴AB＝5， ∴S△ABM＝ ×5×2＝5．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（1）∵直线y＝x+3与直线y＝mx+ 相交于点M（﹣1，b），
∴不等式x+3≤mx+ 的解集为x≤﹣1．
故答案为x≤﹣1；
【分析】（1）直线y=x+3落在直线y=mx+ 下方的部分对应的x的取值范围即为所求；（2）先将点M（-1，b）代入y=x+3，求出b，得到M（-1，2），把M（-1，2）代入y=mx+ ，求出直线BD的解析式，得到B（2，0）．再求出A（-3，0），那么AB=5，然后根据三角形面积公式即可求解．
11．【答案】（1）60；30
（2）解：当x＞10时，设y乙与x的函数表达式是y乙＝kx+b，将（10，300），（25，480）代入y乙＝kx+b得 ，解得 ，
即当x＞10时，y乙与x的函数表达式是y乙＝12x+180
（3）解：由题意可得， y甲＝60+30×0.6x＝18x+60，
当0＜x＜10时，令18x+60＝30x，得x＝5，
当x＞10时，令12x+180＝18x+60，得x＝20，
答：采摘5千克或20千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同
【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，
甲采摘园的门票是60元，两个采摘园优惠前的草莓单价是：300÷10＝30（元/千克），
故答案为：60，30；
【分析】（1）可以根据函数图象以及图象中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以求得x＞10时的函数关系式；
（3）根据函数图象，进行分类讨论得到答案即可。
12．【答案】（1）解：由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30-x）台，派往A，B地区的甲型收割机分别为（30-x）台和（x-10）台．
∴y=1600x+1200（30-x）+1800（30-x）+1600（x-10）=200x+74000（10≤x≤30）
（2）解：由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，
∵10≤x≤30，x是正整数，∴x=28、29、30
∴有3种不同分派方案：
①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；
②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；
③当x=30时，派往A地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B地区；∵y=200x+74000中，
∴y随x的增大而增大，∴当x=30时，y取得最大值，
此时，y=200×30+74000=80000，
∴农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y关于x的函数关系式；
（2） 根据所获租金不低于79600元列相应的不等式，求出x的范围，在这范围内取正整数，列出可选方案，根据所求的函数解析式结合一次函数的性质，求出最高租金即可.
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初中数学人教版八年级下学期 第十九章 19.2.3 一次函数与方程、不等式
一、单选题
1．（2020八上·长丰期末）函数 的图像与函数 =- +3的图像平行,且与y轴的交点为M（0，2）,则函数表达式为（ ）
A． = +3 B． = +2
C． =- +3 D． =- +2
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】根据题意得：k=-
把（0，2）代入y=- x+b得：b=2
则函数的解析式是：y=- x+2
故答案为：D．
【分析】两条直线平行，则一次函数的一次项系数相等，则k=- ．把（0，2）代入函数解析式即可求得b的值，得到函数解析式．
2．（2019八上·西安月考）如图，已知一次函数 的图象为直线，则关于x的方程 的解为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据图象可得，一次函数y＝ax＋b的图象经过（5，1）点，
因此关于x的方程ax＋b＝1的解为x＝5，
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图象经过（5，1）点，可得方程的解.
3．（2019八上·辽阳期中）一次函数y＝﹣2x+3的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（m，1），则关于x，y的二元一次方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+3的图象和y＝kx﹣b的图象相交于点A（m，1），
∴1＝﹣2m+3，
解得：m＝1，
∴A（1，1），
∴二元一次方程 的解为： ，
故答案为：C.
【分析】首先利用函数解析式y＝﹣2x+3计算出a点坐标中m的值，进而可得a的坐标，然后可得二元一次方程 的解.
4．（2019八下·番禺期末）直线y＝2x﹣6与x轴的交点坐标是（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（0，﹣6） D．（﹣3，0）
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】当y＝0时，2x－6＝0，解得：x＝3，
所以，与x轴的交点坐标是（3,0），
故答案为：B。
【分析】根据x轴上点的纵坐标等于0，可令y＝0时，可得2x－6＝0，求出x的值即可.
5．（2019·锦州）如图，一次函数y＝2x+1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数y＝2x+1中，
当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣0.5；
∴A（﹣0.5，0），B（0，1）
∴OA＝0.5，OB＝1
∴△AOB的面积
故答案为：A.
【分析】根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出点A,B的坐标，从而得出OA,OB的长度，进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案.
二、填空题
6．（2020八上·甘州期末）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】根据函数图可知：
函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P的坐标是（-3，1），
所以 的解为 ，
故答案是： .
【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
7．（2019八上·靖远月考）已知一次函数 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为12，则 的值为 .
【答案】±
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数y=kx+4与x轴的交点为（- ，0），与y轴的交点为（0，4）.
∵y=kx+4和两坐标轴围成的三角形的面积是12，
∴ ×4×|- |=12，
∴k=± .
故答案为：± .
【分析】先求出一次函数y=kx+4与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值.
8．（2019八上·靖远月考）一次函数 的图象与x轴的交点坐标是 ,与y轴的交点坐标是 .
【答案】（4，0）；（0，-2）
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】当y=0时，
，
∴x=4，
∴图象与x轴的交点坐标是（4，0）；
当x=0时，
，
∴与y轴的交点坐标是（0，-2）.
【分析】令y=0可求出与x轴的交点坐标，令x=0可求出与y轴的交点坐标.
9．（2019八下·天河期末）如图，直线y＝kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ．
【答案】x＜﹣2
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线y＝kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），
∴y随x的增大而增大，
当x＜﹣2时，y＜0，
即kx+b＜0．
故答案为：x＜﹣2．
【分析】观察图象可得当x＜-2时，直线y＝kx+b的图象在x轴下方，据此求出不等式kx+b＜0的解集.
三、综合题
10．（2020九上·松北期末）如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A、C，直线y＝mx+ 分别与x轴、y轴交于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b）
（1）不等式x+3≤mx+ 的解集为 ．
（2）求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．
【答案】（1）x≤﹣1
（2）解：∵直线y＝x+3过点M（﹣1，b），
∴b＝﹣1+3＝2，M（﹣1，2），
将M（﹣1，2）代入y＝mx+ ，
得2＝﹣m+ ，解得m＝﹣ ，
∴直线BD的解析式为y＝﹣ x+ ，
∴当y＝0时，x＝2，∴B（2，0）．
∵直线AC的解析式为y＝x+3，
∴当y＝时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0）．
∴AB＝5， ∴S△ABM＝ ×5×2＝5．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（1）∵直线y＝x+3与直线y＝mx+ 相交于点M（﹣1，b），
∴不等式x+3≤mx+ 的解集为x≤﹣1．
故答案为x≤﹣1；
【分析】（1）直线y=x+3落在直线y=mx+ 下方的部分对应的x的取值范围即为所求；（2）先将点M（-1，b）代入y=x+3，求出b，得到M（-1，2），把M（-1，2）代入y=mx+ ，求出直线BD的解析式，得到B（2，0）．再求出A（-3，0），那么AB=5，然后根据三角形面积公式即可求解．
11．（2019八上·顺德月考）张庄甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，“春节期间”，两家采摘园将推出优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为y甲（元），在乙园所需总费用为y乙（元），y甲、y乙与x之间的函数关系如图所示，折线OAB表示y乙与x之间的函数关系．
（1）甲采摘园的门票是 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克 元；
（2）当x＞10时，求y乙与x之间的函数关系式；
（3）游客在“春节期间”采摘多少千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同．
【答案】（1）60；30
（2）解：当x＞10时，设y乙与x的函数表达式是y乙＝kx+b，将（10，300），（25，480）代入y乙＝kx+b得 ，解得 ，
即当x＞10时，y乙与x的函数表达式是y乙＝12x+180
（3）解：由题意可得， y甲＝60+30×0.6x＝18x+60，
当0＜x＜10时，令18x+60＝30x，得x＝5，
当x＞10时，令12x+180＝18x+60，得x＝20，
答：采摘5千克或20千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同
【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，
甲采摘园的门票是60元，两个采摘园优惠前的草莓单价是：300÷10＝30（元/千克），
故答案为：60，30；
【分析】（1）可以根据函数图象以及图象中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以求得x＞10时的函数关系式；
（3）根据函数图象，进行分类讨论得到答案即可。
12．（2019九上·萧山开学考）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
A地区 1800元 1600元
B地区 1600元 1200元
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围：
（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，为农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由.
【答案】（1）解：由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30-x）台，派往A，B地区的甲型收割机分别为（30-x）台和（x-10）台．
∴y=1600x+1200（30-x）+1800（30-x）+1600（x-10）=200x+74000（10≤x≤30）
（2）解：由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，
∵10≤x≤30，x是正整数，∴x=28、29、30
∴有3种不同分派方案：
①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；
②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；
③当x=30时，派往A地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B地区；∵y=200x+74000中，
∴y随x的增大而增大，∴当x=30时，y取得最大值，
此时，y=200×30+74000=80000，
∴农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y关于x的函数关系式；
（2） 根据所获租金不低于79600元列相应的不等式，求出x的范围，在这范围内取正整数，列出可选方案，根据所求的函数解析式结合一次函数的性质，求出最高租金即可.
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