初中数学华师大版七年级上学期 第5章 5.2.3 平行线的性质
一、单选题
1．（2019八上·吉木乃月考）如图，AB//CD，∠CDE=140°，则∠A的度数为（ ）
A．140° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】∵∠CDE=140°，∴∠CDA＝180°－140°＝40°。
∵AB//CD，∴根据两直线平行，内错角相等，得：∠A＝∠CDA＝40°。
故答案为：D。
【分析】根据邻补角的定义可得∠CDA=40度，根据两直线平行，内错角相等，可得∠A＝∠CDA，据此即可求出结论.
2．（2019七下·香洲期末）如图，两条平行线a，b被直线c所截，若∠2=2∠1，则∠2等于（ ）
A．60° B．110° C．120° D．150°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠3=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+∠1=180°，
∴∠1=60°，
即∠2=2∠1=120°．
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行同位角相等，可得∠1=∠3，利用邻补角定义结合已知可求出∠1=60°，从而求出∠2的度数.
3．（2019七下·中山期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．垂线最短
B．同位角相等
C．相等的角是对顶角
D．同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行
【答案】D
【知识点】垂线；垂线段最短；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、垂线段最短，故不符合题意，是假命题；
B、两直线平行，同位角相等，故不符合题意，是假命题；
C、相等的角不一定是对顶角，故不符合题意，是假命题，
D、同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，符合题意，是真命题，
故答案为：D．
【分析】A、垂线段最短，据此判断即可；
B、两直线平行，同位角相等，据此判断即可；
C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，据此判断即可；
D、同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，据此判断即可.
4．（2019七上·顺德期末）直角 、 被 、 所截.若 ， ，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A,因为 ， ，则∠1+∠2=180°，所以a∥b，故A不符合题意;
B,因为∠3和∠4是同位角，且a∥b，所以 ，故B符合题意；
C,因为∠3和∠4是同位角，且a∥b，所以 ，故C不符合题意；
D，因为∠1和∠5是内错角，且a∥b，所以 =80°，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】A、根据同旁内角互补两直线平行可得a∥b，据此判断即可；
B，C、由A知a∥b，根据两直线平行同位角相等，可得∠3=∠4，据此判断即可.
D、由A知a∥b，根据两直线平行内错角相等，可得∠5=∠1=80°，据此判断即可.
5．（2019·西藏）如图， ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】如图，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠3=180°-∠2，根据对顶角相等即可得出答案.
二、填空题
6．（2019八上·深圳开学考）如图，直线 ，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为 。
【答案】20 °
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】过点B作直线n∥l
∵l∥m
∴n∥m
∴由内错角相等，即可得到∠1+∠2=∠B=45°
∵∠1=25°
∴∠2=20°
【分析】过点B作直线n∥l，根据直线平行的判定以及性质即可得到两个角的和，根据两个角的和计算得到∠2的度数即可。
7．（2019七下·韶关期末）如图，∠1＝∠2，∠2＝∠C，则图中互相平行的直线有 ．
【答案】EF∥CG，AB∥CD
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】
2
【分析】根据同位角相等，两直线平行进行判断即可.
8．（2019七下·韶关期末）如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P点射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是
【答案】80°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵QR∥OB，
∴∠AOB＝∠AQR＝40°，
∴∠PQR=180°-2∠AQR＝100°，
∴∠QPB=180°-∠PQR=80°.
【分析】已知反射光线QR恰好与OB平行，根据平行线的性质可得∠AOB＝∠AQR＝40°，根据平角的定义可得∠PQR＝100°，再由两直线平行，同旁内角互补互补可得∠QPB=80°.
三、解答题
9．（2019八上·武汉月考）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠D，OE∥AC，且OE平分∠BOC.求证：AC∥BD.
【答案】证明：∵OE∥AC
∴∠A＝∠1（两直线平行同位角相等）
∵OE平分∠BOC
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）
又∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝∠2（等量代换）
∴OE∥BD（同位角相等两直线平行）
∴AC∥BD（平行于同一直线的两条直线平行）
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】根据二直线平行，同位角相等得出 ∠A＝∠1 ，根据角平分线的定义得出 ∠1＝∠2 ，又 ∠A＝∠D ，故 ∠D＝∠2 ，根据同位角相等二直线平行得出 OE∥BD ，根据同一平面内平行于同一直线的两条直线互相平行得出 AC∥BD .
10．（2019八下·东莞期末）如图，E、F分别为 ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2．求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠EAF，
∵∠1=∠2，
∴∠EAF=∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，结合直线平行的性质即可得到答案，判定四边形AECF为平行四边形。
四、综合题
11．（2019七下·鄞州期末）如图，AD⊥BE，BC⊥BE．∠A=∠C，点C，D，E在同一条直线上。
（1）请说明AB与CD平行．
（2）若∠ABC=120°，求∠E的度数．
【答案】（1）解： ∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴ AD∥BC （两条直线同时垂直于一条直线，则这两条直线平行），
∴∠C+∠ADC=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠ADC=180°，
∴AB∥CD.
（2）解： ∵∠ABC=120°，
则∠ABE=∠ABC-∠EBC=120°-90°=30°，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠E=30°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两条直线同时垂直于一条直线则这两条直线平行得AD∥BC，则同旁内角互补得∠C+∠ADC=180°，结合∠A=∠C，得∠A+∠ADC=180°，于是同旁内角互补两直线平行，得AB∥CD.
（2）由∠ABC=120°和∠EBC=90°，求得∠ABC的度数，结合AB∥CD，内错角相等求得∠E的等于30°.
12．（2019八上·萧山月考）如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB点F．
（1）直接写出图中与∠BAC构成的同旁内角．
（2）请说明∠A与∠EDF相等的理由．
（3）若∠BDE +∠CDF＝234°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）解： 与∠BAC构成的同旁内角是∠AED和∠ACB.
（2）解： ∵ DE∥AB， 则∠A=∠DEC，
∵FD∥AC，则∠DEC=∠EDF，
∴∠A=∠EDF.
（3）解： ∵ ∠BDE +∠CDF＝234° ，即∠BDF+∠EDF+∠EDC+∠EDF=234°，
∵∠BDF+∠FDE+∠EDC=180°，
则∠EDF=234°-180°=54°，
∴∠BAC=∠EDF=54°.
【知识点】平行线的性质；同旁内角
【解析】【分析】（1） 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，据此解答即可；
（2）由DE∥AB， 两直线平行同位角相等得∠A=∠DEC，结合FD∥AC，两直线平行内错角相等得∠DEC=∠EDF，故等量代换得∠A=∠EDF；
（3）由 ∠BDE +∠CDF＝234°，把∠BDE 和∠CDF分成几个小角相加，结合平角的定义，即可得出∠EDF=54°，从而求出∠A的度数.
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一、单选题
1．（2019八上·吉木乃月考）如图，AB//CD，∠CDE=140°，则∠A的度数为（ ）
A．140° B．60° C．50° D．40°
2．（2019七下·香洲期末）如图，两条平行线a，b被直线c所截，若∠2=2∠1，则∠2等于（ ）
A．60° B．110° C．120° D．150°
3．（2019七下·中山期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．垂线最短
B．同位角相等
C．相等的角是对顶角
D．同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行
4．（2019七上·顺德期末）直角 、 被 、 所截.若 ， ，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019·西藏）如图， ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2019八上·深圳开学考）如图，直线 ，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为 。
7．（2019七下·韶关期末）如图，∠1＝∠2，∠2＝∠C，则图中互相平行的直线有 ．
8．（2019七下·韶关期末）如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P点射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是
三、解答题
9．（2019八上·武汉月考）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠D，OE∥AC，且OE平分∠BOC.求证：AC∥BD.
10．（2019八下·东莞期末）如图，E、F分别为 ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2．求证：四边形AECF是平行四边形．
四、综合题
11．（2019七下·鄞州期末）如图，AD⊥BE，BC⊥BE．∠A=∠C，点C，D，E在同一条直线上。
（1）请说明AB与CD平行．
（2）若∠ABC=120°，求∠E的度数．
12．（2019八上·萧山月考）如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB点F．
（1）直接写出图中与∠BAC构成的同旁内角．
（2）请说明∠A与∠EDF相等的理由．
（3）若∠BDE +∠CDF＝234°，求∠BAC的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】∵∠CDE=140°，∴∠CDA＝180°－140°＝40°。
∵AB//CD，∴根据两直线平行，内错角相等，得：∠A＝∠CDA＝40°。
故答案为：D。
【分析】根据邻补角的定义可得∠CDA=40度，根据两直线平行，内错角相等，可得∠A＝∠CDA，据此即可求出结论.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠3=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+∠1=180°，
∴∠1=60°，
即∠2=2∠1=120°．
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行同位角相等，可得∠1=∠3，利用邻补角定义结合已知可求出∠1=60°，从而求出∠2的度数.
3．【答案】D
【知识点】垂线；垂线段最短；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、垂线段最短，故不符合题意，是假命题；
B、两直线平行，同位角相等，故不符合题意，是假命题；
C、相等的角不一定是对顶角，故不符合题意，是假命题，
D、同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，符合题意，是真命题，
故答案为：D．
【分析】A、垂线段最短，据此判断即可；
B、两直线平行，同位角相等，据此判断即可；
C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，据此判断即可；
D、同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，据此判断即可.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A,因为 ， ，则∠1+∠2=180°，所以a∥b，故A不符合题意;
B,因为∠3和∠4是同位角，且a∥b，所以 ，故B符合题意；
C,因为∠3和∠4是同位角，且a∥b，所以 ，故C不符合题意；
D，因为∠1和∠5是内错角，且a∥b，所以 =80°，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】A、根据同旁内角互补两直线平行可得a∥b，据此判断即可；
B，C、由A知a∥b，根据两直线平行同位角相等，可得∠3=∠4，据此判断即可.
D、由A知a∥b，根据两直线平行内错角相等，可得∠5=∠1=80°，据此判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】如图，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠3=180°-∠2，根据对顶角相等即可得出答案.
6．【答案】20 °
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】过点B作直线n∥l
∵l∥m
∴n∥m
∴由内错角相等，即可得到∠1+∠2=∠B=45°
∵∠1=25°
∴∠2=20°
【分析】过点B作直线n∥l，根据直线平行的判定以及性质即可得到两个角的和，根据两个角的和计算得到∠2的度数即可。
7．【答案】EF∥CG，AB∥CD
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】
2
【分析】根据同位角相等，两直线平行进行判断即可.
8．【答案】80°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵QR∥OB，
∴∠AOB＝∠AQR＝40°，
∴∠PQR=180°-2∠AQR＝100°，
∴∠QPB=180°-∠PQR=80°.
【分析】已知反射光线QR恰好与OB平行，根据平行线的性质可得∠AOB＝∠AQR＝40°，根据平角的定义可得∠PQR＝100°，再由两直线平行，同旁内角互补互补可得∠QPB=80°.
9．【答案】证明：∵OE∥AC
∴∠A＝∠1（两直线平行同位角相等）
∵OE平分∠BOC
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）
又∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝∠2（等量代换）
∴OE∥BD（同位角相等两直线平行）
∴AC∥BD（平行于同一直线的两条直线平行）
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】根据二直线平行，同位角相等得出 ∠A＝∠1 ，根据角平分线的定义得出 ∠1＝∠2 ，又 ∠A＝∠D ，故 ∠D＝∠2 ，根据同位角相等二直线平行得出 OE∥BD ，根据同一平面内平行于同一直线的两条直线互相平行得出 AC∥BD .
10．【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠EAF，
∵∠1=∠2，
∴∠EAF=∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，结合直线平行的性质即可得到答案，判定四边形AECF为平行四边形。
11．【答案】（1）解： ∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴ AD∥BC （两条直线同时垂直于一条直线，则这两条直线平行），
∴∠C+∠ADC=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠ADC=180°，
∴AB∥CD.
（2）解： ∵∠ABC=120°，
则∠ABE=∠ABC-∠EBC=120°-90°=30°，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠E=30°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两条直线同时垂直于一条直线则这两条直线平行得AD∥BC，则同旁内角互补得∠C+∠ADC=180°，结合∠A=∠C，得∠A+∠ADC=180°，于是同旁内角互补两直线平行，得AB∥CD.
（2）由∠ABC=120°和∠EBC=90°，求得∠ABC的度数，结合AB∥CD，内错角相等求得∠E的等于30°.
12．【答案】（1）解： 与∠BAC构成的同旁内角是∠AED和∠ACB.
（2）解： ∵ DE∥AB， 则∠A=∠DEC，
∵FD∥AC，则∠DEC=∠EDF，
∴∠A=∠EDF.
（3）解： ∵ ∠BDE +∠CDF＝234° ，即∠BDF+∠EDF+∠EDC+∠EDF=234°，
∵∠BDF+∠FDE+∠EDC=180°，
则∠EDF=234°-180°=54°，
∴∠BAC=∠EDF=54°.
【知识点】平行线的性质；同旁内角
【解析】【分析】（1） 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，据此解答即可；
（2）由DE∥AB， 两直线平行同位角相等得∠A=∠DEC，结合FD∥AC，两直线平行内错角相等得∠DEC=∠EDF，故等量代换得∠A=∠EDF；
（3）由 ∠BDE +∠CDF＝234°，把∠BDE 和∠CDF分成几个小角相加，结合平角的定义，即可得出∠EDF=54°，从而求出∠A的度数.
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