初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.6 直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2019九上·武汉月考）圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则．（ ）
A．当d=8cm，直线与圆相交． B．当d=4.5cm时，直线与圆相离．
C．当d=6.5cm时，直线与圆相切． D．当d=13cm时，直线与圆相切．
2．（2019九上·洛阳期中）如图,以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆
3．（2019·广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
4．（2019九上·无锡月考）如图，已知 是 的内接三角形， 是 的切线，点 为切点， ，则 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．（2019九上·盐城月考）在平面直角坐标系 中，以点 为圆心，4为半径的圆（ ）
A．与 轴相交，与 轴相切 B．与 轴相离，与 轴相交
C．与 轴相切，与 轴相交 D．与 轴相切，与 轴相离
6．（2019·重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°.
7．（2019·淮安模拟）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A． . B． C． D．
二、填空题
8．（2020九上·泰兴期末）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则⊙O与直线l的位置关系为
9．（2019·吴兴模拟）如图，∠APB＝30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP＝3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与射线PA相切时，圆心O平移的距离为 .cm．
三、解答题
10．（2019九上·宜兴期末）如图，AB是 的直径，AC是 的弦过点C的切线交AB的延长线于点D，若 ，试求 的度数.
11．（2019·无棣模拟）AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．
①求证：DC为⊙O切线；
②若AD OC＝8，求⊙O半径r．
四、综合题
12．（2019·临沂）如图， 是 的直径， 是 上一点，过点 作 ，交 的延长线于 ，交 于点 ， 是 的中点，连接 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ，求证： .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵圆的直径为13cm，∴圆的半径为6.5cm
A. 当d=8cm时，因为6.5cm＜8cm，所以直线与圆相离，故A错误；
B. 当d=4.5cm时，因为6.5cm＞4.5cm，所以直线与圆相交，故B错误；
C. 当d=6.5cm时，因为6.5cm＝6.5cm，所以直线与圆相切，故C正确；
D. 当d=13cm时，因为6.5cm＜13cm，所以直线与圆相离，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据圆与直线的位置关系与半径和圆心与直线的距离d的大小关系逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵PB⊥l于B，
∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切.
故答案为：B.
【分析】直线与圆的位置关系可以通过比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小来判别，①当d=r时，直线与圆相切；②当d＞r时，直线与圆相离；③当d＜r时，直线与圆相交.再结合题意即可判断求解.
3．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，
所以，过点P可作⊙O的切线有2条；
故答案为：C.
【分析】根据过一个点可作出两条圆的切线，可求解。
4．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是⊙O的切线，∴∠DAB=∠ACB=60°.
故答案为：C.
【分析】根据圆的弦切角等于其所夹弧所对的圆周角即可直接得出答案.
5．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3<4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故答案为：C.
【分析】根据点（3,4），可得圆心到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，利用直线与圆的位置关系进行判断即可.
6．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵ AC是⊙O的切线 ，
∴∠BAC=90°，
又∵ ∠C=40°，
∴∠B=90°－∠C=90°－40°=50°.
故答案为：B。
【分析】根据切线的性质得出∠BAC=90°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B的度数。
7．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】如图，
当直线与圆相切时，A(0， )，B(0，- )，易得D选项正确.
【分析】先求出直线y=－x+b与⊙O相切时的b值，根据直线与圆相交即可求出结论.
8．【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交 d＜r；②直线l和⊙O相切 d=r；③直线l和⊙O相离 d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）.因此，
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为34，
∵5＞4，即：d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交.
故答案是：相交
【分析】根据直线与圆的位置关系，比较半径r与直线到圆的距离d,即可解决.
9．【答案】1
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，∵PC为切线，则O'C=1,PC⊥O'C,PO'=2O'C=2, ∴OO'=PO-PO'=3-2=1, 即圆心O平移的距离。
【分析】先作图，根据切线的性质定理得PC垂直O'C，由∠APB=30°，得PO'=2, 于是可求OO'的长，即是圆心O平移的距离。
10．【答案】解：连结OC，
为 的切线
又
又 ，
，
而 ，
.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出 ，推出 ，即 ，由AO=CO，推出 ，推出 ，可得 =90°，推出 ，即可解决问题
11．【答案】解：①连接OD．∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO．∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC，∠ADO＝∠COD，∴∠BOC＝∠COD．∵在△OBC与△ODC中，OB＝OD∠BOC＝∠DOCOC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SAS），∴∠OBC＝∠ODC，又∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴DC是⊙O的切线；② 连接BD。∵AB是直径∴∠ADB=90°∵∠ODC=90°∴∠ADB=∠ODC又∵△OBC≌△ODC∴∠BOC＝∠DOC∵∠A＝∠BOC∴∠A＝∠DOC∴△ADB∽△ODC∴,即∴2r2=AD·OC=8 解得r=2.
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD.由半径相等，证得∠A＝∠ADO；再根据平行线的性质证得∠A＝∠BOC，∠ADO＝∠COD，等量代换得∠BOC＝∠COD．加上OB=OD和公共边OC，证△OBC≌△ODC，∠OBC＝∠ODC；然后由切线的性质得∠OBC＝90°，则∠ODC＝90°，从而得DC是⊙O的切线；
（2）连接BD，易证△ADB∽△ODC，根据相似三角形的性质可得,即，继而可得r的值。
12．【答案】（1）证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 与 相切
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意，可求证得出 ，利用圆的切线的性质，可得出结论。
（2）根据 ， ，可利用角度的关系，得出AC=CD。
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.6 直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2019九上·武汉月考）圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则．（ ）
A．当d=8cm，直线与圆相交． B．当d=4.5cm时，直线与圆相离．
C．当d=6.5cm时，直线与圆相切． D．当d=13cm时，直线与圆相切．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵圆的直径为13cm，∴圆的半径为6.5cm
A. 当d=8cm时，因为6.5cm＜8cm，所以直线与圆相离，故A错误；
B. 当d=4.5cm时，因为6.5cm＞4.5cm，所以直线与圆相交，故B错误；
C. 当d=6.5cm时，因为6.5cm＝6.5cm，所以直线与圆相切，故C正确；
D. 当d=13cm时，因为6.5cm＜13cm，所以直线与圆相离，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据圆与直线的位置关系与半径和圆心与直线的距离d的大小关系逐一判断即可.
2．（2019九上·洛阳期中）如图,以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵PB⊥l于B，
∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切.
故答案为：B.
【分析】直线与圆的位置关系可以通过比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小来判别，①当d=r时，直线与圆相切；②当d＞r时，直线与圆相离；③当d＜r时，直线与圆相交.再结合题意即可判断求解.
3．（2019·广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，
所以，过点P可作⊙O的切线有2条；
故答案为：C.
【分析】根据过一个点可作出两条圆的切线，可求解。
4．（2019九上·无锡月考）如图，已知 是 的内接三角形， 是 的切线，点 为切点， ，则 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是⊙O的切线，∴∠DAB=∠ACB=60°.
故答案为：C.
【分析】根据圆的弦切角等于其所夹弧所对的圆周角即可直接得出答案.
5．（2019九上·盐城月考）在平面直角坐标系 中，以点 为圆心，4为半径的圆（ ）
A．与 轴相交，与 轴相切 B．与 轴相离，与 轴相交
C．与 轴相切，与 轴相交 D．与 轴相切，与 轴相离
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3<4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故答案为：C.
【分析】根据点（3,4），可得圆心到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，利用直线与圆的位置关系进行判断即可.
6．（2019·重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°.
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵ AC是⊙O的切线 ，
∴∠BAC=90°，
又∵ ∠C=40°，
∴∠B=90°－∠C=90°－40°=50°.
故答案为：B。
【分析】根据切线的性质得出∠BAC=90°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B的度数。
7．（2019·淮安模拟）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A． . B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】如图，
当直线与圆相切时，A(0， )，B(0，- )，易得D选项正确.
【分析】先求出直线y=－x+b与⊙O相切时的b值，根据直线与圆相交即可求出结论.
二、填空题
8．（2020九上·泰兴期末）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则⊙O与直线l的位置关系为
【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交 d＜r；②直线l和⊙O相切 d=r；③直线l和⊙O相离 d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）.因此，
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为34，
∵5＞4，即：d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交.
故答案是：相交
【分析】根据直线与圆的位置关系，比较半径r与直线到圆的距离d,即可解决.
9．（2019·吴兴模拟）如图，∠APB＝30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP＝3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与射线PA相切时，圆心O平移的距离为 .cm．
【答案】1
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，∵PC为切线，则O'C=1,PC⊥O'C,PO'=2O'C=2, ∴OO'=PO-PO'=3-2=1, 即圆心O平移的距离。
【分析】先作图，根据切线的性质定理得PC垂直O'C，由∠APB=30°，得PO'=2, 于是可求OO'的长，即是圆心O平移的距离。
三、解答题
10．（2019九上·宜兴期末）如图，AB是 的直径，AC是 的弦过点C的切线交AB的延长线于点D，若 ，试求 的度数.
【答案】解：连结OC，
为 的切线
又
又 ，
，
而 ，
.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出 ，推出 ，即 ，由AO=CO，推出 ，推出 ，可得 =90°，推出 ，即可解决问题
11．（2019·无棣模拟）AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．
①求证：DC为⊙O切线；
②若AD OC＝8，求⊙O半径r．
【答案】解：①连接OD．∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO．∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC，∠ADO＝∠COD，∴∠BOC＝∠COD．∵在△OBC与△ODC中，OB＝OD∠BOC＝∠DOCOC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SAS），∴∠OBC＝∠ODC，又∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴DC是⊙O的切线；② 连接BD。∵AB是直径∴∠ADB=90°∵∠ODC=90°∴∠ADB=∠ODC又∵△OBC≌△ODC∴∠BOC＝∠DOC∵∠A＝∠BOC∴∠A＝∠DOC∴△ADB∽△ODC∴,即∴2r2=AD·OC=8 解得r=2.
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD.由半径相等，证得∠A＝∠ADO；再根据平行线的性质证得∠A＝∠BOC，∠ADO＝∠COD，等量代换得∠BOC＝∠COD．加上OB=OD和公共边OC，证△OBC≌△ODC，∠OBC＝∠ODC；然后由切线的性质得∠OBC＝90°，则∠ODC＝90°，从而得DC是⊙O的切线；
（2）连接BD，易证△ADB∽△ODC，根据相似三角形的性质可得,即，继而可得r的值。
四、综合题
12．（2019·临沂）如图， 是 的直径， 是 上一点，过点 作 ，交 的延长线于 ，交 于点 ， 是 的中点，连接 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 与 相切
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意，可求证得出 ，利用圆的切线的性质，可得出结论。
（2）根据 ， ，可利用角度的关系，得出AC=CD。
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