初中数学人教版八年级下学期 第十八章 18.2.1 矩形
一、单选题
1．（2020七上·嘉陵期末）在长、宽分别为a，b(a，b均大于或等于2的正整数，单位：m)的长方形房间内，沿墙壁四周摆满边长为1m的止方形桌子，那么正方形桌子的数量是（ ）
A．2a+2b-4 B．2a+2b-2 C．2a+2b D．2a+2b+2
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：2a+2b-4
故答案为：A.
【分析】先求出在房间的两面长墙上可摆的张数与两面短墙上可摆的张数的和，由于四个角上桌子都加了两次，则减去4即为所求。
2．（初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习）矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成2和3两部分，则该矩形的周长是（ ）.
A．12 B．14 C．16 D．14或16
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，BE平分∠ABC交AD于点E，
∴∠ABE=∠EBC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴AB=AE，
当AE=2，DE=3时，
∴AD=AE+DE=5，AB=AE=2，
∴矩形的周长为2（AD+AB）=2（5+2）=14，
当AE=3，DE=2时，AD=AE+DE=5，AB=AE=3，
矩形的周长为2（AD+AB）=2（5+3）=16，
故答案为：14或16.
【分析】分两种情况讨论，①当AE=2，DE=3时，②当AE=3，DE=2时，分别求出AD与AB的长，利用矩形的周长=（长+宽）×2即可求出结论.
3．（2020·郑州模拟）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=AD B．OA=OB C．AC=BD D．DC⊥BC
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、不能判定四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
B、由AO＝BO可证明AC＝BD，能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C、AC＝BD能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D、DC⊥BC能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
4．（2019九上·大田期中）在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角线是否垂直 D．测量其内角是否有三个直角
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A．对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B．两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C．一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D．其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
逐个分析可得答案.
5．（2019八下·天台期末）矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的性质是对角线互相平分且相等，但不一定互相垂直，只有正方形对角线互相垂直平分且相等，矩形也是轴对称图形，对称轴有两条，即矩形每边的中垂线。
故答案为：B
【分析】根据矩形的性质分析判断，矩形对角线互相平分且相等，其对称轴有两条，即矩形每边的中垂线。
二、填空题
6．（初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习）如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM， CN，MN，若AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AB，CD的中点 ，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=3，
∴阴影部分的面积=×2×3=3.
故答案为：3.
【分析】根据矩形的中心对称可得阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，利用矩形的面积=长×宽计算即可.
7．（2019八上·吴兴期中）Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC=10cm，D为斜边上的中点，斜边上的中线BD= .
【答案】5cm
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ABC=90°，
且∵D为AC的中点
∴BD=AC=5.
故答案为：5cm.
【分析】因为△ABC为直角三角形，AC为斜边，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可求得BD的长度.
8．（2019九上·昌平期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果斜边AB上的中线CD=4cm，那么斜边AB= cm.
【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，斜边上的中线CD=4cm，
∴AB=8cm，
故答案为：8．
【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解.
9．（2019九上·渠县月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
【答案】4
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：设ts后，四边形ABPQ成为矩形。此时BP=3t cm，DQ=2t cm，则AQ=（20-2t） cm .
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AQ∥BP
∴当AQ=BP时，四边形ABPQ成为矩形。
所以有20-2t=3t
解得t=4
∴最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．
【分析】先利用”路程=速度×时间“表示出线段BP、DQ，进而表示出线段AQ；然后利用矩形的判定可得当AQ=BP时，四边形ABPQ成为矩形，由此列出方程解出t值即可。
10．（2019八上·扬州月考）如果直角三角形斜边上的中线长为5cm，则斜边长是 。
【答案】10
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得斜边长是
【分析】由题意根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求解.
三、解答题
11．（2019九上·定边期中）如图， ，点 是 的中点，且 ， .求证：四边形 是矩形.
【答案】证明：∵ ，点 是 的中点，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形.
又∵ ，
∴四边形 是矩形.
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据三线合一，即可得到AB⊥EC，再根据且 ， ，即可证出四边形 是平行四边形，即可证出四边形 是矩形.
12．（2019九上·渠县月考）如图，已知 ， ， ，且 ，求证：四边形BCED是矩形．
【答案】证明：连接BE、CD.
在△ABD和△ACE中
∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
∵DE=BC
∴四边形BCED为平行四边形
∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠CAB=∠CAE+∠CAB
即∠CAD=∠BAE
在△ACD和△ABE中，
∵AC=AB，AD=AE，∠CAD=∠BAE
∴△ADC≌△AEB（SAS）
∴CD=BE
∴四边形BCED为矩形。
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先利用已知条件证出△ABD≌△ACE，从而得BD=CE，加上DE=BC，可证地四边形BCED为平行四边形；然后再证得△ADC≌△AEB，从而得CD=BE，故利用矩形的判定方法得证。
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一、单选题
1．（2020七上·嘉陵期末）在长、宽分别为a，b(a，b均大于或等于2的正整数，单位：m)的长方形房间内，沿墙壁四周摆满边长为1m的止方形桌子，那么正方形桌子的数量是（ ）
A．2a+2b-4 B．2a+2b-2 C．2a+2b D．2a+2b+2
2．（初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习）矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成2和3两部分，则该矩形的周长是（ ）.
A．12 B．14 C．16 D．14或16
3．（2020·郑州模拟）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=AD B．OA=OB C．AC=BD D．DC⊥BC
4．（2019九上·大田期中）在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角线是否垂直 D．测量其内角是否有三个直角
5．（2019八下·天台期末）矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
二、填空题
6．（初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习）如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM， CN，MN，若AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 .
7．（2019八上·吴兴期中）Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC=10cm，D为斜边上的中点，斜边上的中线BD= .
8．（2019九上·昌平期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果斜边AB上的中线CD=4cm，那么斜边AB= cm.
9．（2019九上·渠县月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
10．（2019八上·扬州月考）如果直角三角形斜边上的中线长为5cm，则斜边长是 。
三、解答题
11．（2019九上·定边期中）如图， ，点 是 的中点，且 ， .求证：四边形 是矩形.
12．（2019九上·渠县月考）如图，已知 ， ， ，且 ，求证：四边形BCED是矩形．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：2a+2b-4
故答案为：A.
【分析】先求出在房间的两面长墙上可摆的张数与两面短墙上可摆的张数的和，由于四个角上桌子都加了两次，则减去4即为所求。
2．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，BE平分∠ABC交AD于点E，
∴∠ABE=∠EBC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴AB=AE，
当AE=2，DE=3时，
∴AD=AE+DE=5，AB=AE=2，
∴矩形的周长为2（AD+AB）=2（5+2）=14，
当AE=3，DE=2时，AD=AE+DE=5，AB=AE=3，
矩形的周长为2（AD+AB）=2（5+3）=16，
故答案为：14或16.
【分析】分两种情况讨论，①当AE=2，DE=3时，②当AE=3，DE=2时，分别求出AD与AB的长，利用矩形的周长=（长+宽）×2即可求出结论.
3．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、不能判定四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
B、由AO＝BO可证明AC＝BD，能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C、AC＝BD能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D、DC⊥BC能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
4．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A．对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B．两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C．一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D．其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
逐个分析可得答案.
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的性质是对角线互相平分且相等，但不一定互相垂直，只有正方形对角线互相垂直平分且相等，矩形也是轴对称图形，对称轴有两条，即矩形每边的中垂线。
故答案为：B
【分析】根据矩形的性质分析判断，矩形对角线互相平分且相等，其对称轴有两条，即矩形每边的中垂线。
6．【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AB，CD的中点 ，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=3，
∴阴影部分的面积=×2×3=3.
故答案为：3.
【分析】根据矩形的中心对称可得阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，利用矩形的面积=长×宽计算即可.
7．【答案】5cm
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ABC=90°，
且∵D为AC的中点
∴BD=AC=5.
故答案为：5cm.
【分析】因为△ABC为直角三角形，AC为斜边，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可求得BD的长度.
8．【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，斜边上的中线CD=4cm，
∴AB=8cm，
故答案为：8．
【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解.
9．【答案】4
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：设ts后，四边形ABPQ成为矩形。此时BP=3t cm，DQ=2t cm，则AQ=（20-2t） cm .
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AQ∥BP
∴当AQ=BP时，四边形ABPQ成为矩形。
所以有20-2t=3t
解得t=4
∴最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．
【分析】先利用”路程=速度×时间“表示出线段BP、DQ，进而表示出线段AQ；然后利用矩形的判定可得当AQ=BP时，四边形ABPQ成为矩形，由此列出方程解出t值即可。
10．【答案】10
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得斜边长是
【分析】由题意根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求解.
11．【答案】证明：∵ ，点 是 的中点，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形.
又∵ ，
∴四边形 是矩形.
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据三线合一，即可得到AB⊥EC，再根据且 ， ，即可证出四边形 是平行四边形，即可证出四边形 是矩形.
12．【答案】证明：连接BE、CD.
在△ABD和△ACE中
∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
∵DE=BC
∴四边形BCED为平行四边形
∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠CAB=∠CAE+∠CAB
即∠CAD=∠BAE
在△ACD和△ABE中，
∵AC=AB，AD=AE，∠CAD=∠BAE
∴△ADC≌△AEB（SAS）
∴CD=BE
∴四边形BCED为矩形。
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先利用已知条件证出△ABD≌△ACE，从而得BD=CE，加上DE=BC，可证地四边形BCED为平行四边形；然后再证得△ADC≌△AEB，从而得CD=BE，故利用矩形的判定方法得证。
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