初中数学北师大版九年级下学期 第三章 单元测试卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2020九上·重庆月考）下列说法，正确的是（ ）
A．等弦所对的圆周角相等
B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
C．切线垂直于圆的半径
D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，故A选项错误；
弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，故B选项正确；
切线垂直于过切点的圆的半径，故C选项错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理，切线的判定，圆心角、弧、弦的关系分别判断即可求解.
2．（2020九上·上思月考）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为6，则直线AB于⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=6, r=5,
∴d>r ,
∴ 直线AB于⊙O的位置关系是相离；
故答案为：C.
【分析】根据直线与圆的位置关系可知，当d=r时，相切；当dr时，相离；据此解答即可.
3．（2020九上·广饶期中）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】①直径是弦，符合题意；②弦不一定是直径，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，不符合题意；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，符合题意；
正确的有3个，
故答案为：C．
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
4．（2020九上·民勤月考）已知正六角形的边心距为 ，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C．6 D．12
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OG= ，∠AOG=30°，
∴cos30°=OG/AO，
∴OA=OG÷cos 30°=2.
这个正六边形的周长=12.
故答案为：B.
【分析】根据圆内接正六边形的中心角=可得中心角，根据边心距为3可得半径=÷sin 60°，故正六边形的边长等于半径，可得周长.
5．（2020九上·杭州月考）如图， 是圆O的直径，点C是半圆O上不同于 的一点，点D为弧 的中点，连结 ，设 ，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解析 如图，设 与 交点为E，连接 ，
，
，
，
又 为 中点， 为 直径，
，
，
，
即： .
故答案为：C.
【分析】 如图，设AC与DO交点为E，连接BC，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠DOA=∠OBD+∠BDO，由垂径定理可得OD⊥AC，BC⊥AC，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解.
6．（2020九上·民勤月考）如图，⊙O的直径长10，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： 的直径为10，半径为5，当 时， 最小，根据勾股定理可得 ， 与 重合时， 最大，此时 ，所以线段的 的长的取值范围为 ，
故答案为：A.
【分析】根据点到直线的所有连线中，垂线段最短可得当 时， 最小，根据勾股定理和垂径定理可得OM的最小值，再根据直径为10可得OM的最大值为半径，即可得结果.
7．（2020九上·永城期中）如图，已知C、D在以AB为直径的⊙O上，若∠CAB=30°，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．70° C．75° D．60°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 为 的直径，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】由 为 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得 ，又由 ，即可求得 的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得 的度数.
8．（2021九上·南宁期末）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）米
A．5 B．8 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：因为跨度AB=24m，拱的半径为13m，延长CD到O，使得OC=OB，则O为圆心，则BD= ，
又∵OB=13，
在Rt△BOD中，DO=
∴拱高CD=CO-DO=13-5=8米.
故答案为：B.
【分析】如图，延长CD到O，使得OC=OB，则O为圆心，根据垂径定理可得BD= ，在Rt△BOD中，利用勾股定理求出DO的长，由拱高CD=CO-DO计算即得结论.
9．（2021九上·舞阳期末）如图， 是 的直径， 切 于点 ， 交 于点 ；连接 ，若 ，则 等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】 切 于点 ，
故答案为：B.
【分析】由圆的切线的性质“圆的切线垂直于过切点的半径”可得∠PAO=90°，结合已知根据直角三角形两锐角互余可求得∠POA的度数，再根据圆周角定理即可求解.
10．（2021九上·舞阳期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴ 的长为：
故答案为：B.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得∠BOC的度数，再根据弧长公式l=可求解.
二、填空题
11．（2021九上·杭州期末）如图，AB是半圆的直径，O是圆心， ，则∠ABC＝ °.
【答案】30
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
因为∠AOC+∠BOC=180°，
所以 ，
所以 .
故答案为：30.
【分析】根据弧、圆心角的关系可得∠BOC=2∠AOC=120°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案.
12．（2020九上·民勤月考）扇形的半径为9，圆心角为120°，则它的弧长为 .
【答案】6π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 弧长 .
故答案为： 6π .
【分析】将n=120，r=9代入弧长公式计算即可.
13．（2020九上·石家庄期中）如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于
【答案】100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角等于圆周角度数的2倍.根据题意可得：∠AOC=2∠ABC=2×50°=100°.
【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
14．（2020九上·柯桥期中）如图， 、 、 是半径为3的 上的三点，已知 ，则劣弧 的长为 .
【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠C=30°，∴∠O=60°，
∴劣弧 AB 的长为： ，
故答案为：π.
【分析】根据同弧所对圆心角为所对圆周角的二倍可得∠AOB=60°，再将n=60°，r=3代入弧长公式即可算出答案.
15．（2020九上·无锡期中）AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是 上的点，若∠BOC=50°，则∠D的度数为 .
【答案】115°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】连接BD，如图，利用直径所对的圆周角等于90°得到 ， 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出 ，然后计算 即可.
16．（2020九上·南京月考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且 ，连接AC、AD，则∠CAD的度数是 °.
【答案】30
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，OD，
∵ ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∴∠CAD= ∠COD=30°，
故答案为：30°.
【分析】连接OC，OD，根据 可求出∠COD，然后根据圆周角定理得出答案.
17．（2020九上·保山月考）如图， 、 、 分别切 于点 、 、 ， 交 、 于点 、 ，已知 长 ，则 的周长为 .
【答案】 cm
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16cm；
∴△PDE的周长为16cm.
故答案为16cm.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，DA=DC，EC=EB，由C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB即可求出结论.
18．（2020九上·扬州期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为 .
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H.
∵AQ=QP
∴OQ⊥PA
∴∠AQO=90°
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在 中，∵∠COH=60°，OC=1
∴OH= ，
在 中，
∴CQ的最大值为 .
故答案为： .
【分析】连接OQ，作CH⊥AB于H，首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
三、解答题
19．（2020九上·越秀期中）已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ，求证：AC=BD．
【答案】证明：∵
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先根据 可得 ，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得．
20．（2019九上·慈溪期中）如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．
【答案】证明：∵AD=BC，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴AB=CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】 根据同圆中，相等的弦所对的弧相等得出 ，进而根据等式的性质得出 ，最后根据等弧所对的弦相等即可得出AB=CD.
21．（2020九上·南京月考）如图， 是 的弦，半径 ，点 在 上，且 .求 的度数.
【答案】解：∵ ， 为半径，
∴ ，
∴ .
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】先根据垂径定理得到 ，然后根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解.
22．（2020九上·东阿期中）如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交与点E，∠ADC=26°，求∠CAB的度数．
【答案】解：连接 ，
是 直径，
，
∵ ，
∴ ，
．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接 BC ，根据圆周角定理即可得到结论．
23．（2020九上·宜春期中）如图， 内接于 ， ， ，则 的直径等于多少？
【答案】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故答案为：12．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OB、OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝6．
24．（2020九上·同安期中）如图，直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA＝OB，CA＝CB，求证：直线AB是⊙O的切线．
【答案】证明：连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴△OAB是等腰三角形，
又OC是底边AB上的中线，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质，可得，因为C时圆上一点，即可得AB时圆O的切线。
25．（2020·温州模拟）如图，锐角三角形ABC内接于圆O，过圆心O且垂直于半径OA的直线分别交AB、AC于点E、F. 设圆O在B、C两点处的切线交于点P.
证明：直线AP平分线段EF.
【答案】证明：过点P作EF的平行线，分别于AB、AC的延长线交于点M、N.则 因为PB为 的切线，所以， ∠PMB=∠ACB=∠PBM 于是，PM=PB.同理，PN=PC.因为PB=PC，所以PM=PN，即AP平分线段MN.而EF∥MN，故直线AP平分线段EF.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】如下图，过点P作EF的平行线，分别于AB、AC的延长线交于点M、N. 整体思路是：证明AP平分线段MN，即可证明直线AP平分线段EF. 具体为：由∠OAE==90°-=90°-∠ACB，以及∠PMB=∠AEO=90°-∠OAE=90°-（90°-∠ACB）=∠ACB，即：∠PMB=∠ACB. 再根据PB是切线，等量代换得到∠PMB=∠PBM，于是PM=PB，同理PN=PC，即PM=PN，即AP平分线段MN，进而AP平分线段EF. 本题主要考查圆内接三角形、切线的性质，准确运用切线的性质解题是此题关键.
26．（人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积（一） 同步练习）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C=90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB=60°，AB=6，求 的长．
【答案】（1）解：相切．理由如下：连接OD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠ABD，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥CB，
∴∠ODC=∠C=90°，
∴CD与⊙O相切；
（2）解：若∠CDB=60°，可得∠ODB=30°，
∴∠AOD=60°，
又∵AB=6，
∴AO=3，
∴ = =π．
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据BD是∠ABC的平分线可得出∠ODC=∠C=90°，可得出CD与圆相切。
（2）根据弧长公式可得出弧长AD。
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 单元测试卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2020九上·重庆月考）下列说法，正确的是（ ）
A．等弦所对的圆周角相等
B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
C．切线垂直于圆的半径
D．平分弦的直径垂直于弦
2．（2020九上·上思月考）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为6，则直线AB于⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．（2020九上·广饶期中）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2020九上·民勤月考）已知正六角形的边心距为 ，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C．6 D．12
5．（2020九上·杭州月考）如图， 是圆O的直径，点C是半圆O上不同于 的一点，点D为弧 的中点，连结 ，设 ，则（ ）.
A． B． C． D．
6．（2020九上·民勤月考）如图，⊙O的直径长10，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
7．（2020九上·永城期中）如图，已知C、D在以AB为直径的⊙O上，若∠CAB=30°，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．70° C．75° D．60°
8．（2021九上·南宁期末）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）米
A．5 B．8 C．12 D．13
9．（2021九上·舞阳期末）如图， 是 的直径， 切 于点 ， 交 于点 ；连接 ，若 ，则 等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
10．（2021九上·舞阳期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·杭州期末）如图，AB是半圆的直径，O是圆心， ，则∠ABC＝ °.
12．（2020九上·民勤月考）扇形的半径为9，圆心角为120°，则它的弧长为 .
13．（2020九上·石家庄期中）如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于
14．（2020九上·柯桥期中）如图， 、 、 是半径为3的 上的三点，已知 ，则劣弧 的长为 .
15．（2020九上·无锡期中）AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是 上的点，若∠BOC=50°，则∠D的度数为 .
16．（2020九上·南京月考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且 ，连接AC、AD，则∠CAD的度数是 °.
17．（2020九上·保山月考）如图， 、 、 分别切 于点 、 、 ， 交 、 于点 、 ，已知 长 ，则 的周长为 .
18．（2020九上·扬州期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为 .
三、解答题
19．（2020九上·越秀期中）已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ，求证：AC=BD．
20．（2019九上·慈溪期中）如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．
21．（2020九上·南京月考）如图， 是 的弦，半径 ，点 在 上，且 .求 的度数.
22．（2020九上·东阿期中）如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交与点E，∠ADC=26°，求∠CAB的度数．
23．（2020九上·宜春期中）如图， 内接于 ， ， ，则 的直径等于多少？
24．（2020九上·同安期中）如图，直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA＝OB，CA＝CB，求证：直线AB是⊙O的切线．
25．（2020·温州模拟）如图，锐角三角形ABC内接于圆O，过圆心O且垂直于半径OA的直线分别交AB、AC于点E、F. 设圆O在B、C两点处的切线交于点P.
证明：直线AP平分线段EF.
26．（人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积（一） 同步练习）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C=90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB=60°，AB=6，求 的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，故A选项错误；
弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，故B选项正确；
切线垂直于过切点的圆的半径，故C选项错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理，切线的判定，圆心角、弧、弦的关系分别判断即可求解.
2．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=6, r=5,
∴d>r ,
∴ 直线AB于⊙O的位置关系是相离；
故答案为：C.
【分析】根据直线与圆的位置关系可知，当d=r时，相切；当dr时，相离；据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】①直径是弦，符合题意；②弦不一定是直径，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，不符合题意；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，符合题意；
正确的有3个，
故答案为：C．
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
4．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OG= ，∠AOG=30°，
∴cos30°=OG/AO，
∴OA=OG÷cos 30°=2.
这个正六边形的周长=12.
故答案为：B.
【分析】根据圆内接正六边形的中心角=可得中心角，根据边心距为3可得半径=÷sin 60°，故正六边形的边长等于半径，可得周长.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解析 如图，设 与 交点为E，连接 ，
，
，
，
又 为 中点， 为 直径，
，
，
，
即： .
故答案为：C.
【分析】 如图，设AC与DO交点为E，连接BC，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠DOA=∠OBD+∠BDO，由垂径定理可得OD⊥AC，BC⊥AC，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解.
6．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： 的直径为10，半径为5，当 时， 最小，根据勾股定理可得 ， 与 重合时， 最大，此时 ，所以线段的 的长的取值范围为 ，
故答案为：A.
【分析】根据点到直线的所有连线中，垂线段最短可得当 时， 最小，根据勾股定理和垂径定理可得OM的最小值，再根据直径为10可得OM的最大值为半径，即可得结果.
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 为 的直径，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】由 为 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得 ，又由 ，即可求得 的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得 的度数.
8．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：因为跨度AB=24m，拱的半径为13m，延长CD到O，使得OC=OB，则O为圆心，则BD= ，
又∵OB=13，
在Rt△BOD中，DO=
∴拱高CD=CO-DO=13-5=8米.
故答案为：B.
【分析】如图，延长CD到O，使得OC=OB，则O为圆心，根据垂径定理可得BD= ，在Rt△BOD中，利用勾股定理求出DO的长，由拱高CD=CO-DO计算即得结论.
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】 切 于点 ，
故答案为：B.
【分析】由圆的切线的性质“圆的切线垂直于过切点的半径”可得∠PAO=90°，结合已知根据直角三角形两锐角互余可求得∠POA的度数，再根据圆周角定理即可求解.
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴ 的长为：
故答案为：B.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得∠BOC的度数，再根据弧长公式l=可求解.
11．【答案】30
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
因为∠AOC+∠BOC=180°，
所以 ，
所以 .
故答案为：30.
【分析】根据弧、圆心角的关系可得∠BOC=2∠AOC=120°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案.
12．【答案】6π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 弧长 .
故答案为： 6π .
【分析】将n=120，r=9代入弧长公式计算即可.
13．【答案】100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角等于圆周角度数的2倍.根据题意可得：∠AOC=2∠ABC=2×50°=100°.
【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
14．【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠C=30°，∴∠O=60°，
∴劣弧 AB 的长为： ，
故答案为：π.
【分析】根据同弧所对圆心角为所对圆周角的二倍可得∠AOB=60°，再将n=60°，r=3代入弧长公式即可算出答案.
15．【答案】115°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】连接BD，如图，利用直径所对的圆周角等于90°得到 ， 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出 ，然后计算 即可.
16．【答案】30
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，OD，
∵ ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∴∠CAD= ∠COD=30°，
故答案为：30°.
【分析】连接OC，OD，根据 可求出∠COD，然后根据圆周角定理得出答案.
17．【答案】 cm
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16cm；
∴△PDE的周长为16cm.
故答案为16cm.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，DA=DC，EC=EB，由C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB即可求出结论.
18．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H.
∵AQ=QP
∴OQ⊥PA
∴∠AQO=90°
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在 中，∵∠COH=60°，OC=1
∴OH= ，
在 中，
∴CQ的最大值为 .
故答案为： .
【分析】连接OQ，作CH⊥AB于H，首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
19．【答案】证明：∵
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先根据 可得 ，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得．
20．【答案】证明：∵AD=BC，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴AB=CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】 根据同圆中，相等的弦所对的弧相等得出 ，进而根据等式的性质得出 ，最后根据等弧所对的弦相等即可得出AB=CD.
21．【答案】解：∵ ， 为半径，
∴ ，
∴ .
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】先根据垂径定理得到 ，然后根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解.
22．【答案】解：连接 ，
是 直径，
，
∵ ，
∴ ，
．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接 BC ，根据圆周角定理即可得到结论．
23．【答案】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故答案为：12．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OB、OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝6．
24．【答案】证明：连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴△OAB是等腰三角形，
又OC是底边AB上的中线，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质，可得，因为C时圆上一点，即可得AB时圆O的切线。
25．【答案】证明：过点P作EF的平行线，分别于AB、AC的延长线交于点M、N.则 因为PB为 的切线，所以， ∠PMB=∠ACB=∠PBM 于是，PM=PB.同理，PN=PC.因为PB=PC，所以PM=PN，即AP平分线段MN.而EF∥MN，故直线AP平分线段EF.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】如下图，过点P作EF的平行线，分别于AB、AC的延长线交于点M、N. 整体思路是：证明AP平分线段MN，即可证明直线AP平分线段EF. 具体为：由∠OAE==90°-=90°-∠ACB，以及∠PMB=∠AEO=90°-∠OAE=90°-（90°-∠ACB）=∠ACB，即：∠PMB=∠ACB. 再根据PB是切线，等量代换得到∠PMB=∠PBM，于是PM=PB，同理PN=PC，即PM=PN，即AP平分线段MN，进而AP平分线段EF. 本题主要考查圆内接三角形、切线的性质，准确运用切线的性质解题是此题关键.
26．【答案】（1）解：相切．理由如下：连接OD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠ABD，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥CB，
∴∠ODC=∠C=90°，
∴CD与⊙O相切；
（2）解：若∠CDB=60°，可得∠ODB=30°，
∴∠AOD=60°，
又∵AB=6，
∴AO=3，
∴ = =π．
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据BD是∠ABC的平分线可得出∠ODC=∠C=90°，可得出CD与圆相切。
（2）根据弧长公式可得出弧长AD。
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