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初中数学北师大版八年级下学期 第四章 4.3 公式法
一、单选题
1．（2021八上·方城期末）分解因式 结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式
故答案为：D
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.原式提取x，再利用平方差公式分解即可.
2．（2020八上·红桥期末）下列分解因式正确的是（ ）
A．xy﹣2y2＝x（y﹣2x） B．m3n﹣mn＝mn（m2﹣1）
C．4x2﹣24x+36＝（2x﹣6）2 D．4x2﹣9y2＝（2x﹣3y）（2x+3y）
【答案】D
【考点】因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】A、xy﹣2y2＝y（x﹣2y），故该项不符合题意；
B、m3n﹣mn＝mn（m2﹣1）=mn（m+1）（m-1），故该项不符合题意；
C、4x2﹣24x+36＝4（x﹣3）2，故该项不符合题意；
D、4x2﹣9y2＝（2x﹣3y）（2x+3y），故该项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式计算判断．
3．（2021八上·台州期末）已知 ，则 的值为（ ）
A．32 B．25 C．10 D．64
【答案】B
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解： ，
，
，
原式 .
故答案为：B.
【分析】对所求的式子进行变形处理，得到含 的式子，再代入 即可.
4．（2020八上·钦南月考）若x2-y2=100，x+y=-25，则x-y的值是（ ）
A．5 B．4 C．-4 D．以上都不对
【答案】C
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝100，
将x＋y＝－25代入，解得x－y＝－4.
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式法将第一个方程的左边分解因式，然后整体代入即可求出答案.
5．（2020八上·南丹月考）将 因式分解，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：xn+1 xn-1=xn-1(x2-1)=xn 1(x+1)(x 1).
故答案为：D.
【分析】先提公因式xn-1，再用平方差公式进行分解即可.
二、填空题
6．（2021九下·玉门月考）分解因式：x3﹣25x＝ .
【答案】x（x+5）（x﹣5）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】x3﹣25x
＝
＝
故答案为x（x+5）（x﹣5）.
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解.
7．（2021九上·昆明期末）因式分解：-mb2+2mb-m＝ .
【答案】
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】先提取公因式-m，再利用完全平方公式分解即可.
8．（2020八上·松江期末）写出 的一个有理化因式 ．
【答案】
【考点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】∵ ，
∴ 是 的一个有理化因式，
故答案是： ．
【分析】利用实数范围内因式分解分解因式即可求出答案。
9．已知 ，则 .
【答案】4
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
把 代入，
，
故答案为：4.
【分析】先把多项式利用完全平方差公式分解因式，再把 整体代入即可.
10．（2020八上·射洪期中）已知 是△ABC的三边的长，且满足 ，则此三角形的形状是 .
【答案】等边三角形
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴a－b=0且b－c=0，
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
故答案为等边三角形.
【分析】根据题意，对式子进行因式分解，将式子变形后，根据非负数的性质即可得到a=b=c，得到答案即可。
11．（2020九上·保山月考）分解因式 .
【答案】7(x+3)(x-3)
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式= ，
=7(x+3)(x-3)，
故答案为：7(x+3)(x-3)
【分析】先提取公因式7，然后利用平方差公式分解即可.
三、计算题
12．（2021八上·抚顺期末）因式分解：
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【考点】因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可.
13．（2021八上·陇县期末）分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2；
（2）（x+1）2﹣2（x+5）.
【答案】（1）解：3ax2﹣6axy+3ay2
=3a（x2﹣2xy+y2）
=3a（x﹣y）2；
（2）解：（x+1）2﹣2（x+5）
=x2+2x+1﹣2x﹣10
=x2﹣9
=（x﹣3）（x+3）.
【考点】因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式化简，去括号合并同类项后利用平方差公式分解即可.
14．（2020八上·长沙月考）把下列各式因式分解：
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：9m2-4n2
=（3m+2n）（3m-2n）
（2）解：-4x3+8x2-4x
=-4x（x2-2x+1）
=-4x（x-1）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式-4x，再利用完全平方公式因式分解即可。
四、解答题
15．（2021八上·南阳期末）已知 是多项式 的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解.
【答案】解：设 ，
则 ，
所以 ， ， ，
解得 ， ， .
所以 .
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好.由题意可假设多项式 ，则将其展开、合并同类项，并与 式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定.
16．（2020八下·太原月考）利用因式分解证明：365-68能被210整除。
【答案】证明：365-68
=（62）5-68
=610-68
=68×(62-1)
=68×35
=67×6×35
=67×210
∴365-68能被210整除
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】根据因式分解的定义，可利用公式法进行证明。
17．
已知关于x的多项式3x2＋x＋m因式分解后有一个因式是3x－2，求m的值．
【答案】解： ∵x的多项式3x2＋x＋m分解因式后有一个因式是3x－2，
∴当x＝ 时，多项式的值为0，
即3× ＋ ＋m＝0，∴2＋m＝0，∴m＝－2
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】因为有一个因式为3x－2 ，可得当3x－2=0，即x=时，多项式3x2＋x＋m也等于0，据此列式求出m即可.
18．（2019七上·徐汇月考）已知 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么符合条件的整数k是多少？
【答案】解：当-12=1×（-12）时，k=-11，
当-12=2×（-6）时，k=-4，
当-12=3×（-4）时，k=-1，
当-12=4×（-3）时，k=1，
当-12=6×（-2）时，k=4，
当-12=12×（-1）时，k=11．
∴符合条件的整数k是：-1，-4，-11，1，4，11.
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】把-12分解成两个整数的积，可以是-12=1×（-12）=2×（-6）=3×（-4）=4×（-3）=6×（-2）=12×（-1），确定有6个符合条件的整数．
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初中数学北师大版八年级下学期 第四章 4.3 公式法
一、单选题
1．（2021八上·方城期末）分解因式 结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020八上·红桥期末）下列分解因式正确的是（ ）
A．xy﹣2y2＝x（y﹣2x） B．m3n﹣mn＝mn（m2﹣1）
C．4x2﹣24x+36＝（2x﹣6）2 D．4x2﹣9y2＝（2x﹣3y）（2x+3y）
3．（2021八上·台州期末）已知 ，则 的值为（ ）
A．32 B．25 C．10 D．64
4．（2020八上·钦南月考）若x2-y2=100，x+y=-25，则x-y的值是（ ）
A．5 B．4 C．-4 D．以上都不对
5．（2020八上·南丹月考）将 因式分解，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2021九下·玉门月考）分解因式：x3﹣25x＝ .
7．（2021九上·昆明期末）因式分解：-mb2+2mb-m＝ .
8．（2020八上·松江期末）写出 的一个有理化因式 ．
9．已知 ，则 .
10．（2020八上·射洪期中）已知 是△ABC的三边的长，且满足 ，则此三角形的形状是 .
11．（2020九上·保山月考）分解因式 .
三、计算题
12．（2021八上·抚顺期末）因式分解：
（1） ；
（2）
13．（2021八上·陇县期末）分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2；
（2）（x+1）2﹣2（x+5）.
14．（2020八上·长沙月考）把下列各式因式分解：
（1） ；
（2）
四、解答题
15．（2021八上·南阳期末）已知 是多项式 的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解.
16．（2020八下·太原月考）利用因式分解证明：365-68能被210整除。
17．
已知关于x的多项式3x2＋x＋m因式分解后有一个因式是3x－2，求m的值．
18．（2019七上·徐汇月考）已知 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么符合条件的整数k是多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式
故答案为：D
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.原式提取x，再利用平方差公式分解即可.
2．【答案】D
【考点】因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】A、xy﹣2y2＝y（x﹣2y），故该项不符合题意；
B、m3n﹣mn＝mn（m2﹣1）=mn（m+1）（m-1），故该项不符合题意；
C、4x2﹣24x+36＝4（x﹣3）2，故该项不符合题意；
D、4x2﹣9y2＝（2x﹣3y）（2x+3y），故该项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式计算判断．
3．【答案】B
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解： ，
，
，
原式 .
故答案为：B.
【分析】对所求的式子进行变形处理，得到含 的式子，再代入 即可.
4．【答案】C
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝100，
将x＋y＝－25代入，解得x－y＝－4.
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式法将第一个方程的左边分解因式，然后整体代入即可求出答案.
5．【答案】D
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：xn+1 xn-1=xn-1(x2-1)=xn 1(x+1)(x 1).
故答案为：D.
【分析】先提公因式xn-1，再用平方差公式进行分解即可.
6．【答案】x（x+5）（x﹣5）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】x3﹣25x
＝
＝
故答案为x（x+5）（x﹣5）.
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解.
7．【答案】
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】先提取公因式-m，再利用完全平方公式分解即可.
8．【答案】
【考点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】∵ ，
∴ 是 的一个有理化因式，
故答案是： ．
【分析】利用实数范围内因式分解分解因式即可求出答案。
9．【答案】4
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
把 代入，
，
故答案为：4.
【分析】先把多项式利用完全平方差公式分解因式，再把 整体代入即可.
10．【答案】等边三角形
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴a－b=0且b－c=0，
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
故答案为等边三角形.
【分析】根据题意，对式子进行因式分解，将式子变形后，根据非负数的性质即可得到a=b=c，得到答案即可。
11．【答案】7(x+3)(x-3)
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式= ，
=7(x+3)(x-3)，
故答案为：7(x+3)(x-3)
【分析】先提取公因式7，然后利用平方差公式分解即可.
12．【答案】（1）解：
（2）解：
【考点】因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可.
13．【答案】（1）解：3ax2﹣6axy+3ay2
=3a（x2﹣2xy+y2）
=3a（x﹣y）2；
（2）解：（x+1）2﹣2（x+5）
=x2+2x+1﹣2x﹣10
=x2﹣9
=（x﹣3）（x+3）.
【考点】因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式化简，去括号合并同类项后利用平方差公式分解即可.
14．【答案】（1）解：9m2-4n2
=（3m+2n）（3m-2n）
（2）解：-4x3+8x2-4x
=-4x（x2-2x+1）
=-4x（x-1）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式-4x，再利用完全平方公式因式分解即可。
15．【答案】解：设 ，
则 ，
所以 ， ， ，
解得 ， ， .
所以 .
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好.由题意可假设多项式 ，则将其展开、合并同类项，并与 式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定.
16．【答案】证明：365-68
=（62）5-68
=610-68
=68×(62-1)
=68×35
=67×6×35
=67×210
∴365-68能被210整除
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】根据因式分解的定义，可利用公式法进行证明。
17．【答案】解： ∵x的多项式3x2＋x＋m分解因式后有一个因式是3x－2，
∴当x＝ 时，多项式的值为0，
即3× ＋ ＋m＝0，∴2＋m＝0，∴m＝－2
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】因为有一个因式为3x－2 ，可得当3x－2=0，即x=时，多项式3x2＋x＋m也等于0，据此列式求出m即可.
18．【答案】解：当-12=1×（-12）时，k=-11，
当-12=2×（-6）时，k=-4，
当-12=3×（-4）时，k=-1，
当-12=4×（-3）时，k=1，
当-12=6×（-2）时，k=4，
当-12=12×（-1）时，k=11．
∴符合条件的整数k是：-1，-4，-11，1，4，11.
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】把-12分解成两个整数的积，可以是-12=1×（-12）=2×（-6）=3×（-4）=4×（-3）=6×（-2）=12×（-1），确定有6个符合条件的整数．
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