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初中数学人教版八年级下学期 第十七章 17.1 勾股定理
一、单选题
1．（2020八上·青岛期末）一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为（ ）
A．13 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】 解：∵两直角边长分别为5和12
∴斜边=
∵S三角形= 斜边上的高
∴斜边上的高=
故答案为：C
【分析】根据勾股定理，先求出斜边的长，再根据等面积法，进而求解得出答案
2．如图所示，用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a，b的4个直角三角形，恰好能拼成一个新的大正方形，其中a，b，c满足等式c2=a2+b2，由此可验证的乘法公式是（ ）
A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a-b)2=a2-2ab+b2
C．(a+b)(a-b)=a2-b2 D．(a+b)2=a2+b2
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：4个直角三角形的面积为：ab=2ab，小正方形的面积为c2,
∵c2=a2+b2，
新的大正方形的面积为（a+b）2，
∴（a+b）2=2ab+c2=2ab+a2+b2，
故选A.
【分析】根据新的大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积进行解答即可.
3．（2020八上·广元期末）我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( )
A．13 B．19 C．25 D．169
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：小正方形面积开方，得边长1，则有b-a=1
大正方形边长的平方为其面积即13，则在三角形中有 =13
将b-a=1两边平方，得 =1
将 =13代入，得13-2ab=1
故ab=6
由 =13与2ab=12两式相加，得
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的证明方法，结合正方形的面积即可得到答案.
4．（2020八上·西安期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．18 B．114 C．194 D．324
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图
根据勾股定理的几何意义可得A. B的面积和为S1，C. D的面积和为S2，
∴S1=42+92=16+81=97，S2=12+42=1+16=17，
再根据勾股定理的几何意义可得E=S1+S2=97+17=114.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的几何意义即可解决问题.
二、填空题
5．（2019八上·建湖月考）一直角三角形两边分别为5，12，则这个直角三角形第三边的长 .
【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】当12是斜边时，第三边长= = cm；
当12是直角边时，第三边长= =13cm；
故答案为： cm或13cm.
【分析】分两种情况讨论，当12是斜边时或当12是直角边时，利用勾股定理分别计算即可.
6．（2020八上·昌平期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2 ，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，则CD=
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2 ，
则由勾股定理得到：AC2=AB2+BC2=（2 ）2+（2 ）2=16．
在Rt△ACD中，∠D=90°，AD=2，由勾股定理得到：CD2=AC2-AD2=16-22=12．
所以CD=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长度，然后在直角△ADC中，再次利用勾股定理求得CD 的长度即可．
7．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AO于点F，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF，
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3.
故答案为：3.
【分析】过点C作CF⊥AO于点F，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边距离相等可得CF=CM，进而可得答案.
8．（2020八上·甘州期末）如图，则阴影小长方形的面积S＝ ．
【答案】30
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得： =10，
∴阴影小长方形的面积S=3×10=30；
故答案是：30．
【分析】由勾股定理求出小长方形的长，再由长方形的面积公式进行计算．
9．（2019八上·顺德月考） 16.如图1是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 ．
【答案】76
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，可以假设直角三角形的斜边为x，AC=y
∴x2=4y2+52
∵△BCD的周长=30
∴x+2y+5=30
∴x=13，y=6
∴风车的外围周长=4×（x+y）=4×19=76.
【分析】根据题意可知，∠ACB为直角，可以由勾股定理计算得到外围中的一条边，求出风车的一个轮子，继续计算得到4个轮子即可得到答案。
三、作图题
10．（2019八上·泰州月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2， ， .
【答案】（1）解：如图1所示：正方形ABCD即为所求
（2）解：如图2所示：三角形ABC即为所求.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案；（2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案
四、综合题
11．（2020八上·遂宁期末）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【答案】（1）解：村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米
∴村庄能听到宣传
（2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米
∴BP＝BQ＝ 米
∴PQ＝1600米
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
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初中数学人教版八年级下学期 第十七章 17.1 勾股定理
一、单选题
1．（2020八上·青岛期末）一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为（ ）
A．13 B． C． D．
2．如图所示，用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a，b的4个直角三角形，恰好能拼成一个新的大正方形，其中a，b，c满足等式c2=a2+b2，由此可验证的乘法公式是（ ）
A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a-b)2=a2-2ab+b2
C．(a+b)(a-b)=a2-b2 D．(a+b)2=a2+b2
3．（2020八上·广元期末）我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( )
A．13 B．19 C．25 D．169
4．（2020八上·西安期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．18 B．114 C．194 D．324
二、填空题
5．（2019八上·建湖月考）一直角三角形两边分别为5，12，则这个直角三角形第三边的长 .
6．（2020八上·昌平期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2 ，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，则CD=
7．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为 ．
8．（2020八上·甘州期末）如图，则阴影小长方形的面积S＝ ．
9．（2019八上·顺德月考） 16.如图1是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 ．
三、作图题
10．（2019八上·泰州月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2， ， .
四、综合题
11．（2020八上·遂宁期末）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】 解：∵两直角边长分别为5和12
∴斜边=
∵S三角形= 斜边上的高
∴斜边上的高=
故答案为：C
【分析】根据勾股定理，先求出斜边的长，再根据等面积法，进而求解得出答案
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：4个直角三角形的面积为：ab=2ab，小正方形的面积为c2,
∵c2=a2+b2，
新的大正方形的面积为（a+b）2，
∴（a+b）2=2ab+c2=2ab+a2+b2，
故选A.
【分析】根据新的大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积进行解答即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：小正方形面积开方，得边长1，则有b-a=1
大正方形边长的平方为其面积即13，则在三角形中有 =13
将b-a=1两边平方，得 =1
将 =13代入，得13-2ab=1
故ab=6
由 =13与2ab=12两式相加，得
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的证明方法，结合正方形的面积即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图
根据勾股定理的几何意义可得A. B的面积和为S1，C. D的面积和为S2，
∴S1=42+92=16+81=97，S2=12+42=1+16=17，
再根据勾股定理的几何意义可得E=S1+S2=97+17=114.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的几何意义即可解决问题.
5．【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】当12是斜边时，第三边长= = cm；
当12是直角边时，第三边长= =13cm；
故答案为： cm或13cm.
【分析】分两种情况讨论，当12是斜边时或当12是直角边时，利用勾股定理分别计算即可.
6．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2 ，
则由勾股定理得到：AC2=AB2+BC2=（2 ）2+（2 ）2=16．
在Rt△ACD中，∠D=90°，AD=2，由勾股定理得到：CD2=AC2-AD2=16-22=12．
所以CD=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长度，然后在直角△ADC中，再次利用勾股定理求得CD 的长度即可．
7．【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AO于点F，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF，
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3.
故答案为：3.
【分析】过点C作CF⊥AO于点F，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边距离相等可得CF=CM，进而可得答案.
8．【答案】30
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得： =10，
∴阴影小长方形的面积S=3×10=30；
故答案是：30．
【分析】由勾股定理求出小长方形的长，再由长方形的面积公式进行计算．
9．【答案】76
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，可以假设直角三角形的斜边为x，AC=y
∴x2=4y2+52
∵△BCD的周长=30
∴x+2y+5=30
∴x=13，y=6
∴风车的外围周长=4×（x+y）=4×19=76.
【分析】根据题意可知，∠ACB为直角，可以由勾股定理计算得到外围中的一条边，求出风车的一个轮子，继续计算得到4个轮子即可得到答案。
10．【答案】（1）解：如图1所示：正方形ABCD即为所求
（2）解：如图2所示：三角形ABC即为所求.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案；（2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案
11．【答案】（1）解：村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米
∴村庄能听到宣传
（2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米
∴BP＝BQ＝ 米
∴PQ＝1600米
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
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