初中数学苏科版八年级下册 9.4 菱形的性质 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·永城期末）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直；故B符合题意；
C、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故C不符合题意；
D、两组对角分别相等是平行四边形的基本性质，两者都具有，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】菱形与矩形都是平行四边i形，故平行四边形的性质二者都具有，菱形的对角线互相垂直 ，矩形的对角线相等，逐项进行判断，即可求解.
2．（2020八下·横县期末）如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC ⊥BD D．OA=OC
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形；
∴AB∥DC，故A正确，不合题意；
无法得出AC=BD，故B错误，符合题意；
AC⊥BD，故C正确，不合题意；
OA=OC，故D正确，不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质，菱形具有平行四边形的性质，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，可以判断出AC=BD不一定成立。
3．（2020八下·北仑期末）在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点的坐标A，B，C分别为（﹣2，0），（0，1），（2，0），则顶点D的坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（0，﹣2）
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，A、B、C分别为（﹣2，0），（0，1），（2，0），
∴D（0，﹣1）.
故答案为：A.
【分析】根据题意画出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分即可得出结论.
4．（2020八下·崆峒期末）已知某菱形的周长为 ，高为 ，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的边长： .
菱形的面积： .
故答案为：A.
【分析】先利用菱形的四边相等及菱形周长的计算方法求出菱形的边长为2，再利用菱形的面积=底× 高即可算出答案.
5．（浙教版备考2020年中考数学一轮专题8 四边形）如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB=4：5，则下列结论：①DE=8cm；②BE=4cm；③BD= cm；④AC= cm；⑤S菱形ABCD=80cm，正确的有（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解： ① 、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=40÷4=10cm， ∴DE=AB=8cm，正确；
② ，∵DE⊥AB，∴AE= ， ∴BE=AB-AE=10-6=4cm，正确；
③BD==， 正确；
④∵OB=BD=2，∴AC=2AO=2=2=8cm， 正确；
⑤S菱形ABCD=AB×DE=10×8=80cm2 ≠ 80cm ，错误.
综上， ①②③④正确.
故答案为：B.
【分析】 ①根据菱形的四条边相等可求AB的长，代入 DE：AB=4：5可求DE的长；② 先利用勾股定理求出AE，则BE的长可知；③利用勾股定理直接可求BD的长；④ 因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可求OA的长，则AC可知； ⑤ 菱形的面积等于底乘高，但cm是长度单位，不是面积单位.
6．（2019八下·丹江口期末）在菱形 中 ， ， 边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO⊥BO，且AC=2AO，BD=2BO.
在Rt△AOB中利用勾股定理可得BO= =4.
∴BD=2BO=8.
∴菱形的面积为 BD×AC= ×6×8=24.
设BC变上的高为h，则BC×h=24，即5h=24，h=4.8.
故答案为：C.
【分析】先求出对角线BD长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高求解BC边上的高.
7．（2020八下·青羊期末）如图，菱形ABCD边长为5cm，P为对角线BD上一点，PH⊥AB于点H，且PH＝2cm，则△PBC的面积为（ ）cm2．
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】如图，过点P作PM⊥BC于点M．
∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，
∴直线BD平分∠ABC．
又∵PH⊥AB，
∴PH＝PM＝2cm．
∴S△PBC＝ BC PH＝ ×5×2＝5（cm2）．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的对角线平分对角和角平分线的性质得到点P到BC边的距离等于PH，然后由三角形的面积公式解答．
8．（2020八下·萧山期末）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，
当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，
在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B.
【分析】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，利用垂线段最短可知当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用勾股定理求出CQ的长，设设AB=BC=x，则BQ=16-x，在Rt△ABQ中利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可。
9．（2020八下·新城期末）如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为8，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝ ∠BCD，AB＝5，OA＝ AC＝4，AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠BCD＝∠CBE，OB＝ ＝ ＝3，
∴△ABC的面积＝ AC×OB＝ ×8×3＝12，
∵BF平分∠CBE，
∴∠CBF＝ ∠CBE，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴AC∥BF，
∴△ACG的面积＝△ABC的面积＝12，
故答案为：B.
【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质和勾股定理求出OB＝3，得出△ABC的面积＝12，依据∠ACB＝∠CBF，得出AC∥BF，进而得出△ACG的面积＝△ABC的面积＝12.
10．（2020八下·湘桥期末）在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点E为AB边的中点，DE是线段AP的垂直平分线，连接DP、BP、CP，下列结论：①DP=CD；②AP2+BP2=CD2；③∠DCP=75°；④∠CPA=150°，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵DE为线段AP的垂直平分线
∴DA=DP
∵四边形ABCD为菱形
∴DA=CD
∴DP=CD，即①正确；
∵AE=EB，AO=OP
∴OE∥PB，
∴∠APB=90°，即AP2+BP2=AB2，②正确；
若∠DCP=75°，则∠CDP=30°
∵∠ADC=60°
∴DP平分∠ADC，③错误；
∵∠ADC=60°，DA=DP=DC
∴∠DAP=∠DPA，∠DCP=∠DPC
∴∠CPA=（360°-60°）=150°，即④正确
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质，结合线段垂直平分线的性质，角平分线的性质进行证明得到答案即可。
二、填空题
11．（2020八下·淮安期末）已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=8，则菱形ABCD的面积为 .
【答案】40
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形 的对角线
∴菱形的面积
故答案为：40.
【分析】利用菱形对角线互相垂直，所以菱形的面积等于对角线乘积的一半，来求菱形 的面积即可.
12．（2020八下·三台期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，则DH等于 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝ ＝10，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 10＝ ×12×16，
∴DH＝ ．
故答案为 ．
【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝10，然后根据菱形的面积公式得到 AC BD＝DH AB，再解关于DH的方程即可．
13．（2020八上·黄陂开学考）如图，在菱形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，沿 CE 折叠△BEC，点 B 恰好落在对角线 AC上的 处.若∠DAB=56°，则 的度数为 .
【答案】96°
【知识点】三角形的外角性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=56°，
∴∠B=124°，∠CAB=28°，
∵沿CE折叠△BEC，点B恰好落在对角线AC上的B′处，
∴∠CB'E=∠B=124°，
∴∠AEB'=∠CB'E -∠CAB =124°-28°=96°，
故答案为：96°.
【分析】根据菱形的性质得出∠DAB=∠DCB=56°，∠B=124°，再利用翻折的性质和三角形的外角性质解答即可.
14．（2020八下·玄武期末）如图，菱形纸片ABCD，AB＝4，∠B＝60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边的中点B′处，折痕与边BC、BA分别交于点M、N.则BM的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点B′作B′E⊥BC，与BC的延长线交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，
∵B′是CD的中点，
∴B′C=2，
∵∠B=60°，
∴∠B′CE=∠B=60°，
∴CE= B′C=1，B′E=B′C sin60°= ，
设BM=x，则ME=BC+CE-BM=4+1-x=5-x，
由折叠性质知，B′M=BM=x，
∵B′M2-ME2=B′E2，
∴x2 (5 x)2＝( )2，
解得，x= ，
故答案为： .
【分析】过点B′作B′E⊥BC，与BC的延长线交于点E，解直角三角形B′CE得B′E，CE，设BM=x，用x表示ME，MB′，再用勾股定理列出x的方程进行解答.
15．（2020八下·咸安期末）如图，菱形 的边长为2， ，点Q是 的中点，点P是对角线 上一动点，则 最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接 ， ，
点P是菱形对角线 上一动点，
，
，
当D，P，Q在同一直线上时， 的最小值等于线段 的长，
四边形 是菱形， ，
， ，
是等边三角形，
又 是 的中点，
，
中， ，
，
，
最小值为 ，
故答案为： .
【分析】连接 ， ，当D，P，Q在同一直线上时， 的最小值等于线段 的长，依据勾股定理求得 的长，即可得出 最小值.
16．（2020八下·济南期末）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连结DE交AC于点O，连结BO，且∠AED＝50°，则∠CBO＝ 度．
【答案】50
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO=∠CDO=50°．
故答案为50．
【分析】根据两直线平行，内错角相等∠CDO=∠AED，再根据菱形的性质CD=CB，∠BCO=∠DCO，所以△BCO与△DCO全等，根据全等三角形对应角相等即可求出∠CBO的度数．
17．（2020八下·余干期末）蜜蜂采蜜时，如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”，告诉同伴蜜源的方向．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蜜蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，飞行2020厘米后停下，则这只蜜蜂停在 点．
【答案】E
【知识点】菱形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵两个全等菱形的边长为1厘米，
∴蜜蜂沿沿菱形的边飞行一周走过的路程为8×1=8cm，
∵2020÷8=252…4，
∴飞行2020厘米后停下的点与飞行4cm后停下的点相同，
由图可知，飞行4cm后停在点E，
∴这只蜜蜂停在E点，
故答案为：E．
【分析】根据菱形的四条边都相等可知，蜜蜂飞行一周的路程为8，用2020除以8，再根据余数确定停靠的点即可．
18．（2019八下·辉期末）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为 .
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°
∴AB=AD，∠A=60°，
∵BM=AE，
∴AD=ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，
∴∠MEF=∠ADE，
∴△DAE≌△EMF（SAS），
∴AE=MF，∠M=∠A=60°，
又∵BM=AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t，
∴BC=CF+BF=2t+t=3t，
∵BC=4，
∴3t=4，
∴t= .
故答案为：.
【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌△EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值.
三、解答题
19．（2019八下·左贡期中）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，求菱形ABCD的面积.
【答案】解：∵菱形ABCD
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO
∵∠ABD=30°
∴在Rt△AOB中，
∴AC=2AO=6，BD=2BO=
∴ .
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质，可得
AC⊥BD，AO=CO，BO=DO.利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AO=
AB=3，利用勾股定理可求出BO的长，从而求出AC、BD的长.根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可.
20．（2020八下·永春月考）如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．
【答案】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝8．
∴菱形ABCD的周长＝4×8＝32，
∵BO＝ ＝4 ，
∴BD＝2BO＝8 ，
∴菱形ABCD的面积＝ ×8× ＝32 ．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】由在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，可得△ABC是等边三角形，又由对角线AC＝8，即可求得此菱形的边长，进而可求出菱形的周长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的的一半即可求出其面积．
21．（2019八下·宁都期中）已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD＝∠CBE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCE＝∠DCE，BC＝CD，AB∥CD，
∴∠AFD＝∠CDE，
在△BCE和△DCE中
，
∴△BCE≌△DCE，
∴∠CBE＝∠CDE，
∵∠AFD＝∠CDE，
∴∠AFD＝∠CBE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质得出∠BCE＝∠DCE，BC＝CD，AB∥CD，推出∠AFD＝∠CDE，证△BCE≌△DCE，推出∠CBE＝∠CDE即可．
22．用一张长12cm宽5cm的矩形纸片折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（方案一），小丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（方案二）.谁折出的菱形面积更大？请你通过计算说明.
【答案】解：方案一：
S菱形=×12×5=30（cm2） ，
方案二：设AE=EC=则BE=12-X
在Rt△ABE中， ，
，解得= ，
S菱形==×5≈35.21（cm2）
答：小丰折出的菱形面积更大．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大.
23．（2019八下·贵州期中）菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC=8，BD=6，求AB边上的高.
【答案】解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，∠AOB=90°，
∴AB=5，
∴ ×6×8=DE×AB，即 ×6×8=DE×5，
解得：DE= ，
即AB边上的高为： .
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】首先利用菱形的性质得出AB的长，再利用菱形面积求法得出DE的长.
24．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.1菱形的性质同步练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC．
【答案】解答：解：延长PF交AB的延长线于点G，在△BGF与△CPF中， ，∴△BGF≌△CPF，∴GF＝PF，∴F为PG中点．又∵EP⊥CD，∴∠BEP＝90°，∴EF＝ PG，∵PF＝ PG（中点定义），∴EF＝PF，∴∠FEP＝∠EPF，∵∠BEP＝∠EPC＝90°，∴∠BEP－∠FEP＝∠EPC－∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°－∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝ （180°－70°）＝55°，∴∠FPC＝55°．
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠ABC，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．
25．（2020八下·文水期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF，已知BF＝8，DF＝4，求CD的长．
【答案】解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴ AB=CD=BC，
AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
又∵BE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴∠F=∠AEB=90°，
设CD的长为 ，则BC的长为 ，CF的长为8- ，
在Rt△CDF中，
CF2+DF2=CD2 即(8- )2+42= 2 ，
解得： =5．
答：CD的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】易证得△ABE≌△DCF(SAS)，推出∠F=90°，设CD的长为 ，则BC的长为 ，CF的长为8- ，根据勾股定理即可得到结论．
26．（2020八下·柳州期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作 ，且 ，连接 ，连接 交 于点F.
（1）求证： ；
（2）若菱形ABCD的边长为4， ，求 的长.
【答案】（1）证明：在菱形ABCD中
OC= AC，AC⊥BD，
∵DE= AC，
∴DE=OC，
∵DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴ OCED是矩形，
∴OE=CD.
（2）解：在菱形ABCD中，AB=BC=4，
∵∠ABC=60 ，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，OA= AC=2，
在Rt△AOB中， ，
∵四边形OCED是矩形，
∴OD=CE=OB= ，
在Rt△ACE中， .
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.
27．（2020八下·涪陵期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为菱形ABCD内对角线BD左侧一点，连接BE、CE、DE.
（1）若AB＝6，求菱形ABCD的面积；
（2）若∠BED＝2∠A，求证：CE＝BE+DE.
【答案】（1）解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝6，
∵∠A＝60°，BH⊥AD，
∴∠ABH＝30°，
∴AH＝ AB＝3，BH＝ AH＝3 ，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BH＝6×3 ＝18 ；
（2）解：如图，延长DE至M，ME＝BE，连接MB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝60°＝∠BCD，
∴△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝∠ABD＝60°，AB＝BD＝BC，
∵∠BED＝2∠A＝120°，
∴∠BEM＝60°，
又∵BE＝ME，
∴△BEM是等边三角形，
∴BM＝BE，∠MBE＝∠DBC＝60°，
∴∠MBD＝∠EBC，
∴△MBD≌△EBC（SAS），
∴MD＝EC，
∴CE＝BE+DE.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）过点B作BH⊥AD于H，由直角三角形的性质可求BH的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE至M，使ME＝BE，连接MB，由题意可证△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，△BEM是等边三角形，可得∠CBD＝∠ABD＝60°＝∠MBE，AB＝BD＝BC，BM＝BE，由“SAS”可证∴△MBD≌△EBC，可得MD＝EC，即可得结论.
28．（2020八下·醴陵期末）如图，在矩形ABCD中，AC＝60 cm，∠BAC＝60°，点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点E，F运动的时间是t秒(0（1）求证：AE＝OF；
（2）四边形AEOF能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△OEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90
在Rt△ABC中，∠ACB=90 -∠BAC=30
∵AE=2t，CF=4t
又∵Rt△COF中，∠ACB=30
∴OF= CF=2t
∴AE=OF
（2）∵OF∥AB，AE=OF
∴四边形AEOF是平行四边形
当AE=AF时，平行四边形AEOF是菱形
即：2t=60－4t
解得：t=10
∴当t=10时，平行四边形AEOF是菱形
（3）①当∠OFE=90 时，
则有：EF∥BC
∴∠AFE=∠ACB=30 ，∠AEF=∠B=90
在Rt△AEF中，∠AFE=30
∴AF=2AE
即：60－4t=2 2t
解得：t=
②当∠OEF=90 时，四边形AEOF是平行四边形
则有：OE∥AC
∴∠AFE=∠OEF=90
在Rt△AEF中，∠BAC=60 ，∠AEF=30
∴AE=2AF
即：2t=2 （60－4t）
解得：t=12
∴当t= 或t=12时，△OEF为直角三角形．
【知识点】菱形的性质；直角三角形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和直角三角形中 所对应的直角边是斜边的一半进行作答；（2）证明平行四边形是菱形，分情况进行讨论，得到等式；（3）分别讨论若四边形AEOF是平行四边形时，则①∠OFE=90 或②∠OEF=90 ，分情况讨论列等式．
1 / 1初中数学苏科版八年级下册 9.4 菱形的性质 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·永城期末）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2．（2020八下·横县期末）如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC ⊥BD D．OA=OC
3．（2020八下·北仑期末）在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点的坐标A，B，C分别为（﹣2，0），（0，1），（2，0），则顶点D的坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（0，﹣2）
4．（2020八下·崆峒期末）已知某菱形的周长为 ，高为 ，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（浙教版备考2020年中考数学一轮专题8 四边形）如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB=4：5，则下列结论：①DE=8cm；②BE=4cm；③BD= cm；④AC= cm；⑤S菱形ABCD=80cm，正确的有（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤
6．（2019八下·丹江口期末）在菱形 中 ， ， 边上的高为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020八下·青羊期末）如图，菱形ABCD边长为5cm，P为对角线BD上一点，PH⊥AB于点H，且PH＝2cm，则△PBC的面积为（ ）cm2．
A．8 B．7 C．6 D．5
8．（2020八下·萧山期末）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
9．（2020八下·新城期末）如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为8，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
10．（2020八下·湘桥期末）在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点E为AB边的中点，DE是线段AP的垂直平分线，连接DP、BP、CP，下列结论：①DP=CD；②AP2+BP2=CD2；③∠DCP=75°；④∠CPA=150°，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
11．（2020八下·淮安期末）已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=8，则菱形ABCD的面积为 .
12．（2020八下·三台期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，则DH等于 ．
13．（2020八上·黄陂开学考）如图，在菱形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，沿 CE 折叠△BEC，点 B 恰好落在对角线 AC上的 处.若∠DAB=56°，则 的度数为 .
14．（2020八下·玄武期末）如图，菱形纸片ABCD，AB＝4，∠B＝60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边的中点B′处，折痕与边BC、BA分别交于点M、N.则BM的长为 .
15．（2020八下·咸安期末）如图，菱形 的边长为2， ，点Q是 的中点，点P是对角线 上一动点，则 最小值为 .
16．（2020八下·济南期末）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连结DE交AC于点O，连结BO，且∠AED＝50°，则∠CBO＝ 度．
17．（2020八下·余干期末）蜜蜂采蜜时，如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”，告诉同伴蜜源的方向．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蜜蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，飞行2020厘米后停下，则这只蜜蜂停在 点．
18．（2019八下·辉期末）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为 .
三、解答题
19．（2019八下·左贡期中）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，求菱形ABCD的面积.
20．（2020八下·永春月考）如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．
21．（2019八下·宁都期中）已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD＝∠CBE．
22．用一张长12cm宽5cm的矩形纸片折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（方案一），小丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（方案二）.谁折出的菱形面积更大？请你通过计算说明.
23．（2019八下·贵州期中）菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC=8，BD=6，求AB边上的高.
24．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.1菱形的性质同步练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC．
25．（2020八下·文水期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF，已知BF＝8，DF＝4，求CD的长．
26．（2020八下·柳州期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作 ，且 ，连接 ，连接 交 于点F.
（1）求证： ；
（2）若菱形ABCD的边长为4， ，求 的长.
27．（2020八下·涪陵期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为菱形ABCD内对角线BD左侧一点，连接BE、CE、DE.
（1）若AB＝6，求菱形ABCD的面积；
（2）若∠BED＝2∠A，求证：CE＝BE+DE.
28．（2020八下·醴陵期末）如图，在矩形ABCD中，AC＝60 cm，∠BAC＝60°，点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点E，F运动的时间是t秒(0（1）求证：AE＝OF；
（2）四边形AEOF能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△OEF为直角三角形？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直；故B符合题意；
C、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故C不符合题意；
D、两组对角分别相等是平行四边形的基本性质，两者都具有，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】菱形与矩形都是平行四边i形，故平行四边形的性质二者都具有，菱形的对角线互相垂直 ，矩形的对角线相等，逐项进行判断，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形；
∴AB∥DC，故A正确，不合题意；
无法得出AC=BD，故B错误，符合题意；
AC⊥BD，故C正确，不合题意；
OA=OC，故D正确，不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质，菱形具有平行四边形的性质，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，可以判断出AC=BD不一定成立。
3．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，A、B、C分别为（﹣2，0），（0，1），（2，0），
∴D（0，﹣1）.
故答案为：A.
【分析】根据题意画出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分即可得出结论.
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的边长： .
菱形的面积： .
故答案为：A.
【分析】先利用菱形的四边相等及菱形周长的计算方法求出菱形的边长为2，再利用菱形的面积=底× 高即可算出答案.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解： ① 、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=40÷4=10cm， ∴DE=AB=8cm，正确；
② ，∵DE⊥AB，∴AE= ， ∴BE=AB-AE=10-6=4cm，正确；
③BD==， 正确；
④∵OB=BD=2，∴AC=2AO=2=2=8cm， 正确；
⑤S菱形ABCD=AB×DE=10×8=80cm2 ≠ 80cm ，错误.
综上， ①②③④正确.
故答案为：B.
【分析】 ①根据菱形的四条边相等可求AB的长，代入 DE：AB=4：5可求DE的长；② 先利用勾股定理求出AE，则BE的长可知；③利用勾股定理直接可求BD的长；④ 因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可求OA的长，则AC可知； ⑤ 菱形的面积等于底乘高，但cm是长度单位，不是面积单位.
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO⊥BO，且AC=2AO，BD=2BO.
在Rt△AOB中利用勾股定理可得BO= =4.
∴BD=2BO=8.
∴菱形的面积为 BD×AC= ×6×8=24.
设BC变上的高为h，则BC×h=24，即5h=24，h=4.8.
故答案为：C.
【分析】先求出对角线BD长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高求解BC边上的高.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】如图，过点P作PM⊥BC于点M．
∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，
∴直线BD平分∠ABC．
又∵PH⊥AB，
∴PH＝PM＝2cm．
∴S△PBC＝ BC PH＝ ×5×2＝5（cm2）．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的对角线平分对角和角平分线的性质得到点P到BC边的距离等于PH，然后由三角形的面积公式解答．
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，
当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，
在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B.
【分析】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，利用垂线段最短可知当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用勾股定理求出CQ的长，设设AB=BC=x，则BQ=16-x，在Rt△ABQ中利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝ ∠BCD，AB＝5，OA＝ AC＝4，AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠BCD＝∠CBE，OB＝ ＝ ＝3，
∴△ABC的面积＝ AC×OB＝ ×8×3＝12，
∵BF平分∠CBE，
∴∠CBF＝ ∠CBE，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴AC∥BF，
∴△ACG的面积＝△ABC的面积＝12，
故答案为：B.
【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质和勾股定理求出OB＝3，得出△ABC的面积＝12，依据∠ACB＝∠CBF，得出AC∥BF，进而得出△ACG的面积＝△ABC的面积＝12.
10．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵DE为线段AP的垂直平分线
∴DA=DP
∵四边形ABCD为菱形
∴DA=CD
∴DP=CD，即①正确；
∵AE=EB，AO=OP
∴OE∥PB，
∴∠APB=90°，即AP2+BP2=AB2，②正确；
若∠DCP=75°，则∠CDP=30°
∵∠ADC=60°
∴DP平分∠ADC，③错误；
∵∠ADC=60°，DA=DP=DC
∴∠DAP=∠DPA，∠DCP=∠DPC
∴∠CPA=（360°-60°）=150°，即④正确
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质，结合线段垂直平分线的性质，角平分线的性质进行证明得到答案即可。
11．【答案】40
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形 的对角线
∴菱形的面积
故答案为：40.
【分析】利用菱形对角线互相垂直，所以菱形的面积等于对角线乘积的一半，来求菱形 的面积即可.
12．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝ ＝10，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 10＝ ×12×16，
∴DH＝ ．
故答案为 ．
【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝10，然后根据菱形的面积公式得到 AC BD＝DH AB，再解关于DH的方程即可．
13．【答案】96°
【知识点】三角形的外角性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=56°，
∴∠B=124°，∠CAB=28°，
∵沿CE折叠△BEC，点B恰好落在对角线AC上的B′处，
∴∠CB'E=∠B=124°，
∴∠AEB'=∠CB'E -∠CAB =124°-28°=96°，
故答案为：96°.
【分析】根据菱形的性质得出∠DAB=∠DCB=56°，∠B=124°，再利用翻折的性质和三角形的外角性质解答即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点B′作B′E⊥BC，与BC的延长线交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，
∵B′是CD的中点，
∴B′C=2，
∵∠B=60°，
∴∠B′CE=∠B=60°，
∴CE= B′C=1，B′E=B′C sin60°= ，
设BM=x，则ME=BC+CE-BM=4+1-x=5-x，
由折叠性质知，B′M=BM=x，
∵B′M2-ME2=B′E2，
∴x2 (5 x)2＝( )2，
解得，x= ，
故答案为： .
【分析】过点B′作B′E⊥BC，与BC的延长线交于点E，解直角三角形B′CE得B′E，CE，设BM=x，用x表示ME，MB′，再用勾股定理列出x的方程进行解答.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接 ， ，
点P是菱形对角线 上一动点，
，
，
当D，P，Q在同一直线上时， 的最小值等于线段 的长，
四边形 是菱形， ，
， ，
是等边三角形，
又 是 的中点，
，
中， ，
，
，
最小值为 ，
故答案为： .
【分析】连接 ， ，当D，P，Q在同一直线上时， 的最小值等于线段 的长，依据勾股定理求得 的长，即可得出 最小值.
16．【答案】50
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO=∠CDO=50°．
故答案为50．
【分析】根据两直线平行，内错角相等∠CDO=∠AED，再根据菱形的性质CD=CB，∠BCO=∠DCO，所以△BCO与△DCO全等，根据全等三角形对应角相等即可求出∠CBO的度数．
17．【答案】E
【知识点】菱形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵两个全等菱形的边长为1厘米，
∴蜜蜂沿沿菱形的边飞行一周走过的路程为8×1=8cm，
∵2020÷8=252…4，
∴飞行2020厘米后停下的点与飞行4cm后停下的点相同，
由图可知，飞行4cm后停在点E，
∴这只蜜蜂停在E点，
故答案为：E．
【分析】根据菱形的四条边都相等可知，蜜蜂飞行一周的路程为8，用2020除以8，再根据余数确定停靠的点即可．
18．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°
∴AB=AD，∠A=60°，
∵BM=AE，
∴AD=ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，
∴∠MEF=∠ADE，
∴△DAE≌△EMF（SAS），
∴AE=MF，∠M=∠A=60°，
又∵BM=AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t，
∴BC=CF+BF=2t+t=3t，
∵BC=4，
∴3t=4，
∴t= .
故答案为：.
【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌△EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值.
19．【答案】解：∵菱形ABCD
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO
∵∠ABD=30°
∴在Rt△AOB中，
∴AC=2AO=6，BD=2BO=
∴ .
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质，可得
AC⊥BD，AO=CO，BO=DO.利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AO=
AB=3，利用勾股定理可求出BO的长，从而求出AC、BD的长.根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可.
20．【答案】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝8．
∴菱形ABCD的周长＝4×8＝32，
∵BO＝ ＝4 ，
∴BD＝2BO＝8 ，
∴菱形ABCD的面积＝ ×8× ＝32 ．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】由在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，可得△ABC是等边三角形，又由对角线AC＝8，即可求得此菱形的边长，进而可求出菱形的周长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的的一半即可求出其面积．
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCE＝∠DCE，BC＝CD，AB∥CD，
∴∠AFD＝∠CDE，
在△BCE和△DCE中
，
∴△BCE≌△DCE，
∴∠CBE＝∠CDE，
∵∠AFD＝∠CDE，
∴∠AFD＝∠CBE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质得出∠BCE＝∠DCE，BC＝CD，AB∥CD，推出∠AFD＝∠CDE，证△BCE≌△DCE，推出∠CBE＝∠CDE即可．
22．【答案】解：方案一：
S菱形=×12×5=30（cm2） ，
方案二：设AE=EC=则BE=12-X
在Rt△ABE中， ，
，解得= ，
S菱形==×5≈35.21（cm2）
答：小丰折出的菱形面积更大．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大.
23．【答案】解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，∠AOB=90°，
∴AB=5，
∴ ×6×8=DE×AB，即 ×6×8=DE×5，
解得：DE= ，
即AB边上的高为： .
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】首先利用菱形的性质得出AB的长，再利用菱形面积求法得出DE的长.
24．【答案】解答：解：延长PF交AB的延长线于点G，在△BGF与△CPF中， ，∴△BGF≌△CPF，∴GF＝PF，∴F为PG中点．又∵EP⊥CD，∴∠BEP＝90°，∴EF＝ PG，∵PF＝ PG（中点定义），∴EF＝PF，∴∠FEP＝∠EPF，∵∠BEP＝∠EPC＝90°，∴∠BEP－∠FEP＝∠EPC－∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°－∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝ （180°－70°）＝55°，∴∠FPC＝55°．
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠ABC，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．
25．【答案】解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴ AB=CD=BC，
AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
又∵BE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴∠F=∠AEB=90°，
设CD的长为 ，则BC的长为 ，CF的长为8- ，
在Rt△CDF中，
CF2+DF2=CD2 即(8- )2+42= 2 ，
解得： =5．
答：CD的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】易证得△ABE≌△DCF(SAS)，推出∠F=90°，设CD的长为 ，则BC的长为 ，CF的长为8- ，根据勾股定理即可得到结论．
26．【答案】（1）证明：在菱形ABCD中
OC= AC，AC⊥BD，
∵DE= AC，
∴DE=OC，
∵DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴ OCED是矩形，
∴OE=CD.
（2）解：在菱形ABCD中，AB=BC=4，
∵∠ABC=60 ，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，OA= AC=2，
在Rt△AOB中， ，
∵四边形OCED是矩形，
∴OD=CE=OB= ，
在Rt△ACE中， .
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.
27．【答案】（1）解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝6，
∵∠A＝60°，BH⊥AD，
∴∠ABH＝30°，
∴AH＝ AB＝3，BH＝ AH＝3 ，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BH＝6×3 ＝18 ；
（2）解：如图，延长DE至M，ME＝BE，连接MB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝60°＝∠BCD，
∴△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝∠ABD＝60°，AB＝BD＝BC，
∵∠BED＝2∠A＝120°，
∴∠BEM＝60°，
又∵BE＝ME，
∴△BEM是等边三角形，
∴BM＝BE，∠MBE＝∠DBC＝60°，
∴∠MBD＝∠EBC，
∴△MBD≌△EBC（SAS），
∴MD＝EC，
∴CE＝BE+DE.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）过点B作BH⊥AD于H，由直角三角形的性质可求BH的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE至M，使ME＝BE，连接MB，由题意可证△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，△BEM是等边三角形，可得∠CBD＝∠ABD＝60°＝∠MBE，AB＝BD＝BC，BM＝BE，由“SAS”可证∴△MBD≌△EBC，可得MD＝EC，即可得结论.
28．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90
在Rt△ABC中，∠ACB=90 -∠BAC=30
∵AE=2t，CF=4t
又∵Rt△COF中，∠ACB=30
∴OF= CF=2t
∴AE=OF
（2）∵OF∥AB，AE=OF
∴四边形AEOF是平行四边形
当AE=AF时，平行四边形AEOF是菱形
即：2t=60－4t
解得：t=10
∴当t=10时，平行四边形AEOF是菱形
（3）①当∠OFE=90 时，
则有：EF∥BC
∴∠AFE=∠ACB=30 ，∠AEF=∠B=90
在Rt△AEF中，∠AFE=30
∴AF=2AE
即：60－4t=2 2t
解得：t=
②当∠OEF=90 时，四边形AEOF是平行四边形
则有：OE∥AC
∴∠AFE=∠OEF=90
在Rt△AEF中，∠BAC=60 ，∠AEF=30
∴AE=2AF
即：2t=2 （60－4t）
解得：t=12
∴当t= 或t=12时，△OEF为直角三角形．
【知识点】菱形的性质；直角三角形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和直角三角形中 所对应的直角边是斜边的一半进行作答；（2）证明平行四边形是菱形，分情况进行讨论，得到等式；（3）分别讨论若四边形AEOF是平行四边形时，则①∠OFE=90 或②∠OEF=90 ，分情况讨论列等式．
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