初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.3 垂径定理
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
2．（2019九上·宁波月考）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了1.4m，则此时排水管水面宽为（ ）
A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m
3．（2019九上·秀洲期中）嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽 为 ，桥顶 到水面 的距离为 ，则这座桥桥拱半径为
A． B． C． D．
4．（2019九上·泰州月考）如图2，在平面直角坐标系中，点 的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、 ），则 外接圆的圆心坐标是
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
5．（2019九上·杭州月考）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为( ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
7．（2019·新华模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．（1+2 ）
二、填空题
8．（2020九上·北仑期末）如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为 。
9．如图，AB为圆O的弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2 ，AB=8 ，则圆O的半径为 ．
10．（2019九上·西岗期末）如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为 .
11．（2019九上·江山期中）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽度，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，则这个小孔的宽度AB是 毫米。
12．（2019九上·阳信开学考）已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为
三、综合题
13．（2019九上·江山期中）好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径。
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由。
14．（2019九上·贾汪月考）一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求：
（1）桥拱半径.
（2）若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，求水面涨高了多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CD=2CE，
∵AB=8，AE=1，
∴OC=OA=4，OE=OA-AE=4-1=3
在Rt△OCE中，
，
∴CD=.
故答案为：B.
【分析】连接OC，利用垂径定理可证得CD=2CE，再利用已知条件求出OC，OE的长，然后利用勾股定理求出CE的长，即可求出CD。
2．【答案】C
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：过O作OH垂直AB交圆于G，
∴AH=AB=0.6m，
∴OH=
∴GH=OG-OH=1-0.8=0.2m，
当水面上升到CD时，GE=HE+HG=1.4+0.2=1.6m，
∴OE=GE-OG=1.6-1=0.6m，
CE=
∴CD=2CE=2×0.8=1.6m.
故答案为：C.
【分析】过O作OH垂直AB交圆于G，根据垂径定理得出AH的长，利用勾股定理求出OH的长，则初始水深GH可求，当水面上升1.4米，到达CD时，利用垂径定理和勾股定理求出CE的长，则CD的长，即水面宽可求.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接 ，
由题意可得： ，设 半径 ，
则 ，
由勾股定理可得： ，
解得： ．
故选：
【分析】连接 ，设 ，则 ，根据垂径定理得出 ，然后根据勾股定理得出关于 的方程，解方程即可得出答案
4．【答案】D
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）.
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线一定经过圆心”，故作出弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，根据点的坐标与图形的性质借助方格纸的特点即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵CD=CE+DE=2+8=10
∴
OE=OC-CE=5-2=3，
在Rt△BOE中，
.
∵CD⊥AB，
∴AB=2BE=2×4=8.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件求出圆的半径及OE的长，再根据勾股定理求出BE的长，然后利用垂径定理求出AB的长。
6．【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OD
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，O、D、C在同一条直线上，
∴AD=AB=20
设圆O的半径为r，则OD=r-10
在Rt△AOD中，
AO2=OD2+AD2
∴r2=202+（r-10）2
解之：r=25
故答案为：A
【分析】利用垂径定理证明OC⊥AB，由点C是弧AB的中点，可知O、D、C在同一条直线上，可求出AD的长，设圆的半径为r，表示出OD的长，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。
7．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于C，交圆O于点D，连接OA.
∴AB=2AC
由折叠可得：OC=CD=1
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC===
∴AB=2AC=2.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理可得AB=2AC；由折叠可得OC=CD=1，然后利用勾股定理求得AC的长，继而求得AB的长。
8．【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接OD，
∴∠DCO=90 ，
∴CD=
当OC的值最小时，CD的值最大，
OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合，
∴CD=CB=AB=2，
即CD的最大值为2.
故答案为：2.
【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可.
9．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA；
设OA=OC=x，则OE=OC-CE=x-2 ；
∵OC⊥AB，
∴AE=BE= ；
在Rt△AOE中： ，
解得：
故答案为： ．
【分析】连接OA，设圆的半径为x，借助垂径定理求出AE的长度，然后利用勾股定理列方程即可解决问题．
10．【答案】8
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD＝ AB，
在Rt△AOD中，OA＝5，OD＝3，
根据勾股定理得：AD＝ ＝4，
则AB＝2AD＝8.
故答案为：8.
【分析】由OC与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，由OA与OD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB＝2AD即可求出AB的长.
11．【答案】
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：过点O作CD⊥AB于点D，交圆O于点C，连接OA
∴AB=2AD，
∵圆的直径为12，CD=9
∴OA=6，OD=CD-OC=9-6=3,
在Rt△AOD中，
,
∴.
故答案为：
【分析】过点O作CD⊥AB于点D，交圆O于点C，连接OA，根据垂径定理可得到AB=2AD，利用已知条件可求出OA，OD的长，再利用勾股定理求出AD的长，继而可求出AB的长。
12．【答案】5
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：根据垂径定理，即可得到弦长的一半为4，在直角三角形中，根据勾股定理可得
半径==5
【分析】根据垂径定理，结合勾股定理在直角三角形中计算得到圆的半径即可。
13．【答案】（1）解：连接OA，
由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴,
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图
∵EF=12
∴FG=12÷2=6
∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）连接OA，题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，利用垂径定理求出AD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。
（2）如图可求出FG的长，再利用勾股定理求出OG的长，然后根据DG=OG-OD求出DG的长与3比较大小，即可作出判断。
14．【答案】（1）解：∵拱桥的跨度AB=16m，∴AD=8m，因为拱高CD=4m，利用勾股定理可得：AO2-（OC-CD）2=82，解得OA=10（m）.所以桥拱半径为10m
（2）解：设河水上涨到EF位置（如图所示），
这时EF=12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M），∴EM= EF=6m，连接OE，则有OE=10m，OM2=OE2-EM2=102-62=64，所以OM=8（m）OD=OC-CD=10-4=6（m），OM-OD=8-6=2（m）.即水面涨高了2m.
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出 AD=8m ，在Rt△ADO中利用勾股定理建立方程求解即可求出OA的长，得出答案；
（2）根据垂径定理得出 EM= EF=6m ， 连接OE ，在Rt△OEM中，利用勾股定理建立方程求解算出OM的长，进而根据MD=OM-OD即可算出答案。
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.3 垂径定理
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CD=2CE，
∵AB=8，AE=1，
∴OC=OA=4，OE=OA-AE=4-1=3
在Rt△OCE中，
，
∴CD=.
故答案为：B.
【分析】连接OC，利用垂径定理可证得CD=2CE，再利用已知条件求出OC，OE的长，然后利用勾股定理求出CE的长，即可求出CD。
2．（2019九上·宁波月考）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了1.4m，则此时排水管水面宽为（ ）
A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m
【答案】C
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：过O作OH垂直AB交圆于G，
∴AH=AB=0.6m，
∴OH=
∴GH=OG-OH=1-0.8=0.2m，
当水面上升到CD时，GE=HE+HG=1.4+0.2=1.6m，
∴OE=GE-OG=1.6-1=0.6m，
CE=
∴CD=2CE=2×0.8=1.6m.
故答案为：C.
【分析】过O作OH垂直AB交圆于G，根据垂径定理得出AH的长，利用勾股定理求出OH的长，则初始水深GH可求，当水面上升1.4米，到达CD时，利用垂径定理和勾股定理求出CE的长，则CD的长，即水面宽可求.
3．（2019九上·秀洲期中）嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽 为 ，桥顶 到水面 的距离为 ，则这座桥桥拱半径为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接 ，
由题意可得： ，设 半径 ，
则 ，
由勾股定理可得： ，
解得： ．
故选：
【分析】连接 ，设 ，则 ，根据垂径定理得出 ，然后根据勾股定理得出关于 的方程，解方程即可得出答案
4．（2019九上·泰州月考）如图2，在平面直角坐标系中，点 的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、 ），则 外接圆的圆心坐标是
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
【答案】D
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）.
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线一定经过圆心”，故作出弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，根据点的坐标与图形的性质借助方格纸的特点即可得出答案.
5．（2019九上·杭州月考）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为( ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵CD=CE+DE=2+8=10
∴
OE=OC-CE=5-2=3，
在Rt△BOE中，
.
∵CD⊥AB，
∴AB=2BE=2×4=8.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件求出圆的半径及OE的长，再根据勾股定理求出BE的长，然后利用垂径定理求出AB的长。
6．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OD
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，O、D、C在同一条直线上，
∴AD=AB=20
设圆O的半径为r，则OD=r-10
在Rt△AOD中，
AO2=OD2+AD2
∴r2=202+（r-10）2
解之：r=25
故答案为：A
【分析】利用垂径定理证明OC⊥AB，由点C是弧AB的中点，可知O、D、C在同一条直线上，可求出AD的长，设圆的半径为r，表示出OD的长，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。
7．（2019·新华模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．（1+2 ）
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于C，交圆O于点D，连接OA.
∴AB=2AC
由折叠可得：OC=CD=1
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC===
∴AB=2AC=2.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理可得AB=2AC；由折叠可得OC=CD=1，然后利用勾股定理求得AC的长，继而求得AB的长。
二、填空题
8．（2020九上·北仑期末）如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为 。
【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接OD，
∴∠DCO=90 ，
∴CD=
当OC的值最小时，CD的值最大，
OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合，
∴CD=CB=AB=2，
即CD的最大值为2.
故答案为：2.
【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可.
9．如图，AB为圆O的弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2 ，AB=8 ，则圆O的半径为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA；
设OA=OC=x，则OE=OC-CE=x-2 ；
∵OC⊥AB，
∴AE=BE= ；
在Rt△AOE中： ，
解得：
故答案为： ．
【分析】连接OA，设圆的半径为x，借助垂径定理求出AE的长度，然后利用勾股定理列方程即可解决问题．
10．（2019九上·西岗期末）如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为 .
【答案】8
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD＝ AB，
在Rt△AOD中，OA＝5，OD＝3，
根据勾股定理得：AD＝ ＝4，
则AB＝2AD＝8.
故答案为：8.
【分析】由OC与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，由OA与OD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB＝2AD即可求出AB的长.
11．（2019九上·江山期中）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽度，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，则这个小孔的宽度AB是 毫米。
【答案】
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：过点O作CD⊥AB于点D，交圆O于点C，连接OA
∴AB=2AD，
∵圆的直径为12，CD=9
∴OA=6，OD=CD-OC=9-6=3,
在Rt△AOD中，
,
∴.
故答案为：
【分析】过点O作CD⊥AB于点D，交圆O于点C，连接OA，根据垂径定理可得到AB=2AD，利用已知条件可求出OA，OD的长，再利用勾股定理求出AD的长，继而可求出AB的长。
12．（2019九上·阳信开学考）已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为
【答案】5
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：根据垂径定理，即可得到弦长的一半为4，在直角三角形中，根据勾股定理可得
半径==5
【分析】根据垂径定理，结合勾股定理在直角三角形中计算得到圆的半径即可。
三、综合题
13．（2019九上·江山期中）好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径。
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由。
【答案】（1）解：连接OA，
由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴,
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图
∵EF=12
∴FG=12÷2=6
∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）连接OA，题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，利用垂径定理求出AD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。
（2）如图可求出FG的长，再利用勾股定理求出OG的长，然后根据DG=OG-OD求出DG的长与3比较大小，即可作出判断。
14．（2019九上·贾汪月考）一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求：
（1）桥拱半径.
（2）若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，求水面涨高了多少？
【答案】（1）解：∵拱桥的跨度AB=16m，∴AD=8m，因为拱高CD=4m，利用勾股定理可得：AO2-（OC-CD）2=82，解得OA=10（m）.所以桥拱半径为10m
（2）解：设河水上涨到EF位置（如图所示），
这时EF=12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M），∴EM= EF=6m，连接OE，则有OE=10m，OM2=OE2-EM2=102-62=64，所以OM=8（m）OD=OC-CD=10-4=6（m），OM-OD=8-6=2（m）.即水面涨高了2m.
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出 AD=8m ，在Rt△ADO中利用勾股定理建立方程求解即可求出OA的长，得出答案；
（2）根据垂径定理得出 EM= EF=6m ， 连接OE ，在Rt△OEM中，利用勾股定理建立方程求解算出OM的长，进而根据MD=OM-OD即可算出答案。
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