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初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.4 圆周角和圆心角的关系
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的点，若∠D＝20°，则 ∠BAC的值（ ）
A．20° B．60° C．70° D．80°
2．（2020九上·泰兴期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．40° C．80° D．50°
3．（2020九上·莘县期末）右图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点c恰好在半圆上，过C作CD上AB交AB于D，已知cos∠ACD= ，BC=4，则AC的长为（ ）
A．1 B． C．3 D．
4．（2020九上·苏州期末）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠A＝∠C＝35o，则∠B的度数等于（ ）
A．65° B．70° C．55° D．60°
5．（2019九上·萧山月考）已知A，B，C在⊙O上，△ABO为正三角形，则 （ ）
A．150° B．120°
C．150°或 30° D．120°或 60°
6．（2019九上·孝南月考）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是弧AC上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
7．（2019九上·秀洲期中）如图， 是 的外接圆， ，则 的度数为
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2019九上·鄞州月考）如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧 的中点，则∠ADC=
9．（2019九上·马山月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=130°，求∠BOD= °.
10．（2019九上·武汉月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，若∠D＝130°，则∠CAB＝ 度
11．（2019九上·兴化月考）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，则∠D的度数为 ．
12．（2019九上·秀洲期中）若 为 的一条弦， ，点 为该 上异于 ， 的一点，则 度数是 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠B=∠D=20°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-20°=70°.
故答案为：C.
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，可得到△ABC是直角三角形，再利用同弧所对的圆周角相等，求出∠B的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余即可求解。
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】
故答案是50°
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半，求出∠AOB的度数，即可求出∠ACB的度数.
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B=90°
∴∠B=∠ACD
∵cos∠ACD=，∴cos∠B=
∴tan∠B=
∵BC=4，
∴tan∠B=
∴
∴AC=
故答案为：D
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，即可得到∠ACB=90°，由CD⊥AB可以得到∠ACD=∠B，由cos∠ACD=，即可得到答案。
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵，
∴∠AOB=2∠AOC=2×35°=70°，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠OCA=35°，∠B=∠OCB，
∴∠AOC=180°-∠A-∠OCA=180°-35°-35°=110°，
∴∠COB=∠AOC-∠AOB=110°-70°=40°，
∴∠B=（180°-40°）÷2=70°.
故答案为：B.
【分析】连接OC，利用圆周角定理可求出∠AOB的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOC的度数，再求出∠BOC的度数，从而可求出∠B的度数。
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵△ABO为正三角形，∴∠AOB=60°，当点C在优弧上的时候，∠ACB=∠AOB=30°，当点C在劣弧AB上的时候，∠ACB=180°-30°=150°，∴∠ACB的度数为 150°或 30° .
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得出∠AOB的度数，然后分当点C在优弧上的时候与当点C在劣弧AB上的时候两种情况，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,
∴∠BOC+∠AOB=220°,
∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
， ，
，
，
．
故选：
【分析】先根据 ， 可得出 ，故可得出 的度数，再由圆周角定理即可得出结论
8．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵ A为半圆弧 的中点，
∴∠AOC=90°，
∴∠B=∠AOC=90°×=45°,
∵四边形ABCD内接于圆O,
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-45°=135°.
故答案为：135°.
【分析】连接OA，利用已知条件可求出∠AOC的度数，再利用圆周角定理求出∠B的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补，可求解。
9．【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】根据圆内接四边形的性质可得：∠A=180°－130°=50°，根据圆周角和圆心角的关系可得：∠BOD=2∠A=100°.
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠A=180°－∠C=50°，根据圆周角定理可得∠BOD=2∠A，据此求出结论.
10．【答案】40
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°
∵∠ADC＝130°，
∴∠CDB=∠ADC－∠ADB=40°
∴∠CAB＝∠CDB＝40°
故答案为：40
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ADB=90°，从而求出∠CDB，然后根据圆周角定理可得：∠CAB＝∠CDB，从而求出∠CAB的度数.
11．【答案】80°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，
∴∠D=180°-100°=80°
故答案为：80°.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可求出答案.
12．【答案】 或
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：当点 在优弧 上，如图，
，
所以 ，
所以当点 在弧 上时， ，
即 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】讨论：当点 在优弧 上，如图，利用圆周角定理得到 ，则根据圆内接四边形的性质得 ，所以当点 在弧 上时，
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初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.4 圆周角和圆心角的关系
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的点，若∠D＝20°，则 ∠BAC的值（ ）
A．20° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠B=∠D=20°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-20°=70°.
故答案为：C.
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，可得到△ABC是直角三角形，再利用同弧所对的圆周角相等，求出∠B的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余即可求解。
2．（2020九上·泰兴期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．40° C．80° D．50°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】
故答案是50°
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半，求出∠AOB的度数，即可求出∠ACB的度数.
3．（2020九上·莘县期末）右图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点c恰好在半圆上，过C作CD上AB交AB于D，已知cos∠ACD= ，BC=4，则AC的长为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B=90°
∴∠B=∠ACD
∵cos∠ACD=，∴cos∠B=
∴tan∠B=
∵BC=4，
∴tan∠B=
∴
∴AC=
故答案为：D
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，即可得到∠ACB=90°，由CD⊥AB可以得到∠ACD=∠B，由cos∠ACD=，即可得到答案。
4．（2020九上·苏州期末）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠A＝∠C＝35o，则∠B的度数等于（ ）
A．65° B．70° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵，
∴∠AOB=2∠AOC=2×35°=70°，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠OCA=35°，∠B=∠OCB，
∴∠AOC=180°-∠A-∠OCA=180°-35°-35°=110°，
∴∠COB=∠AOC-∠AOB=110°-70°=40°，
∴∠B=（180°-40°）÷2=70°.
故答案为：B.
【分析】连接OC，利用圆周角定理可求出∠AOB的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOC的度数，再求出∠BOC的度数，从而可求出∠B的度数。
5．（2019九上·萧山月考）已知A，B，C在⊙O上，△ABO为正三角形，则 （ ）
A．150° B．120°
C．150°或 30° D．120°或 60°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵△ABO为正三角形，∴∠AOB=60°，当点C在优弧上的时候，∠ACB=∠AOB=30°，当点C在劣弧AB上的时候，∠ACB=180°-30°=150°，∴∠ACB的度数为 150°或 30° .
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得出∠AOB的度数，然后分当点C在优弧上的时候与当点C在劣弧AB上的时候两种情况，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案.
6．（2019九上·孝南月考）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是弧AC上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,
∴∠BOC+∠AOB=220°,
∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.
7．（2019九上·秀洲期中）如图， 是 的外接圆， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
， ，
，
，
．
故选：
【分析】先根据 ， 可得出 ，故可得出 的度数，再由圆周角定理即可得出结论
二、填空题
8．（2019九上·鄞州月考）如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧 的中点，则∠ADC=
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵ A为半圆弧 的中点，
∴∠AOC=90°，
∴∠B=∠AOC=90°×=45°,
∵四边形ABCD内接于圆O,
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-45°=135°.
故答案为：135°.
【分析】连接OA，利用已知条件可求出∠AOC的度数，再利用圆周角定理求出∠B的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补，可求解。
9．（2019九上·马山月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=130°，求∠BOD= °.
【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】根据圆内接四边形的性质可得：∠A=180°－130°=50°，根据圆周角和圆心角的关系可得：∠BOD=2∠A=100°.
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠A=180°－∠C=50°，根据圆周角定理可得∠BOD=2∠A，据此求出结论.
10．（2019九上·武汉月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，若∠D＝130°，则∠CAB＝ 度
【答案】40
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°
∵∠ADC＝130°，
∴∠CDB=∠ADC－∠ADB=40°
∴∠CAB＝∠CDB＝40°
故答案为：40
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ADB=90°，从而求出∠CDB，然后根据圆周角定理可得：∠CAB＝∠CDB，从而求出∠CAB的度数.
11．（2019九上·兴化月考）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，则∠D的度数为 ．
【答案】80°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，
∴∠D=180°-100°=80°
故答案为：80°.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可求出答案.
12．（2019九上·秀洲期中）若 为 的一条弦， ，点 为该 上异于 ， 的一点，则 度数是 ．
【答案】 或
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：当点 在优弧 上，如图，
，
所以 ，
所以当点 在弧 上时， ，
即 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】讨论：当点 在优弧 上，如图，利用圆周角定理得到 ，则根据圆内接四边形的性质得 ，所以当点 在弧 上时，
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