初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.9 弧长与扇形的面积
一、单选题
1．（2020七上·青岛期末）在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6cm，则扇形AOB的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019九上·萧山月考）已知圆心角为 的弧长为 ，则扇形的半径为（ ）
A．6 B． C． 4 D．
3．（2019九上·瑞安月考）已知一个扇形的半径为3，弧长为2π，那么它所对的圆心角度数为（ ）
A．240° B．120° C．90° D．60°
4．（2019七上·兰州月考）如图，圆的四条半径分别是OA，OB，OC，OD，其中点O，A，B在同一条直线上，若∠AOD=90°，∠AOC=3∠BOC，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（ ）
A．1：2：2：3 B．3：2：2：3 C．4：2：2：3 D．1：2：2：1
5．（2019九上·慈溪期中）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A，B，C，D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E，F，G，H，则图中阴影部分的外围周长为 ．
7．（2019七上·禅城期末）在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对的扇形面积等于 cm2（结果保留π）．
8．（2019九上·宜兴月考）将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= cm2.
9．（2019九上·秀洲期中）已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则该扇形所在圆的半径为 ．
10．（2019九上·交城期中）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为 ．(答案用根号表示)
三、综合题
11．（2019九上·松滋期末）有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示.
（1）求被剪掉阴影部分的面积：
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
12．（2018九上·下城期中）如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm，P是直径AB上的任意一点.
（1）求 的长；
（2）求阴影部分的面积.
13．△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，则点A1、B1的坐标分别是.
（2）将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形；
（3）求出线段AC在（2）的条件下所扫过的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】直接根据扇形面积公式计算即可： .
故答案为：C．
【分析】利用扇形面积公式可知其面积。
2．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为r，由题意
得 ，
解得 r=.
故答案为：.
【分析】根据弧长的计算公式列出方程，求解即可.
3．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设圆心角的度数为n
由题意得：
解之：n=120°
故答案为：B.
【分析】直接利用弧长公式：，建立方程，即可求出n的值。
4．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵点O，A，B在同一条直线上，∠AOD=90°，
∴∠BOD=90°，
∵∠AOC=3∠BOC，
∴∠BOC= ×180°=45°，∠AOC=3×45°=135°，
∴S扇形BOC：S扇形BOD：S扇形AOD：S扇形AOC=45：90：90：135=1：2：2：3.
故答案为：A.
【分析】先求出各角的度数，再得出其比值即可.
5．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】根据题意，可知从9点到9点15分，分针在钟面上转动的度数为90°
故答案为：B
【分析】根据题意，可知从9点到9点15分，分针在钟面上转动的度数为90°，再利用扇形面积公式即可解答.
6．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接DF，AF，AE
∵分别以顶点A，B，C，D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E，F，G，H，
∴AD=DF=AF=AE，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠FAD=60°，
∵正方形ABCD，
∴∠BAD=90°
∴∠BAF=90°-60°=30°，
同理可证∠DAE=30°
∴∠EAF=30°
∴弧EF的圆心角的度数为30°
∴弧EF的长为：
∴图中阴影部分的外围周长为.
故答案为：.
【分析】连接DF，AF，AE，利用等圆的半径相等，可证得AD=DF=AF=AE，从而可证得△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质和正方形的性质，即可求出∠EAF=30°，然后利用弧长公式求出弧EF的长，根据阴影部分的外围周长等于弧EF的长乘以4，列式计算可求解。
7．【答案】6π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】 （cm2）.
故答案是：6π．
【分析】直接利用扇形面积公式计算即可．
8．【答案】4
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】由题意知，弧长=8-2×2=4cm，
扇形的面积是 ×4×2=4cm2，故答案为：4.
【分析】根据扇形的面积公式：S扇形= ×弧长×半径，即可求出面积.
9．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解： 扇形的圆心角为 ，面积为 ，
由 得： ，
故答案为诶：
【分析】直接利用扇形的面积公式求得扇形所在圆的半径即可
10．【答案】6π﹣
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OD，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，OD＝2OC＝6，
∴
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝
∴阴影部分的面积为6π﹣ ，
故答案为：6π﹣ ．
【分析】连接OD，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，根据勾股定理求出CD=3 ，从而得到∠CDO=30°，∠COD=60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-S△COD，进行计算即可．
11．【答案】（1）解：∵∠BAC=90°
∴弦BC为直径
∴AB=AC
∴AB=AC=BC·sin45°=
∴S阴影=S⊙O-S扇形ABC= ；
答：被剪掉的阴影部分的面积为 ；
（2）解：设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，由题意得
2 r= ，解得r=
答：该圆锥的底面圆半径是 .
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理可得弦BC为直径，即可得到AB=AC，根据特殊角的锐角三角函数值可求得AB的长，最后根据扇形的面积公式即可求得结果；（2）设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，根据弧长公式及圆的周长公式即可求得结果.
12．【答案】（1）解：如图，连接OC、OD.
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝8，
∴ 的长＝ ＝ cm
（2）解：∵∠OCD＝∠AOC＝60°
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∴S阴影＝S扇形OCD＝ ＝
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，由等边三角形的性质得OC=CD，再根据弧长公式l=可求解；
（2）由题意易得CD∥AB，于是根据同底等高的两个三角形的面积相等可得 S△ACD＝S△OCD，则S阴影＝S扇形OCD ，根据扇形面积=可求解。
13．【答案】（1）解：∵点A坐标为（6，8），点B坐标为（4，5），
∴平移后的横坐标加4，纵坐标不变为：A1（10，8）B1（8，5）
（2）解：
△A′B′C′就是所求的三角形
（3）解：∵SC= = ，SA= = ，
∴扫过的面积为： =
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）把A，B两点的横坐标加4，纵坐标不变即可得到平移后的坐标；（2）以点S为旋转中心，按顺时针方向作∠ASA′=90°，且A′S=AS，得到点A的对应点A′，同法得到其余各点的对应点，顺次连接得到的各点即为旋转后的图形；（3）线段AC在（2）的条件下所扫过的面积为圆心角为90°，两个半径分别为 和 的扇环的面积．
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.9 弧长与扇形的面积
一、单选题
1．（2020七上·青岛期末）在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6cm，则扇形AOB的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】直接根据扇形面积公式计算即可： .
故答案为：C．
【分析】利用扇形面积公式可知其面积。
2．（2019九上·萧山月考）已知圆心角为 的弧长为 ，则扇形的半径为（ ）
A．6 B． C． 4 D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为r，由题意
得 ，
解得 r=.
故答案为：.
【分析】根据弧长的计算公式列出方程，求解即可.
3．（2019九上·瑞安月考）已知一个扇形的半径为3，弧长为2π，那么它所对的圆心角度数为（ ）
A．240° B．120° C．90° D．60°
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设圆心角的度数为n
由题意得：
解之：n=120°
故答案为：B.
【分析】直接利用弧长公式：，建立方程，即可求出n的值。
4．（2019七上·兰州月考）如图，圆的四条半径分别是OA，OB，OC，OD，其中点O，A，B在同一条直线上，若∠AOD=90°，∠AOC=3∠BOC，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（ ）
A．1：2：2：3 B．3：2：2：3 C．4：2：2：3 D．1：2：2：1
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵点O，A，B在同一条直线上，∠AOD=90°，
∴∠BOD=90°，
∵∠AOC=3∠BOC，
∴∠BOC= ×180°=45°，∠AOC=3×45°=135°，
∴S扇形BOC：S扇形BOD：S扇形AOD：S扇形AOC=45：90：90：135=1：2：2：3.
故答案为：A.
【分析】先求出各角的度数，再得出其比值即可.
5．（2019九上·慈溪期中）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】根据题意，可知从9点到9点15分，分针在钟面上转动的度数为90°
故答案为：B
【分析】根据题意，可知从9点到9点15分，分针在钟面上转动的度数为90°，再利用扇形面积公式即可解答.
二、填空题
6．如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A，B，C，D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E，F，G，H，则图中阴影部分的外围周长为 ．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接DF，AF，AE
∵分别以顶点A，B，C，D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E，F，G，H，
∴AD=DF=AF=AE，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠FAD=60°，
∵正方形ABCD，
∴∠BAD=90°
∴∠BAF=90°-60°=30°，
同理可证∠DAE=30°
∴∠EAF=30°
∴弧EF的圆心角的度数为30°
∴弧EF的长为：
∴图中阴影部分的外围周长为.
故答案为：.
【分析】连接DF，AF，AE，利用等圆的半径相等，可证得AD=DF=AF=AE，从而可证得△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质和正方形的性质，即可求出∠EAF=30°，然后利用弧长公式求出弧EF的长，根据阴影部分的外围周长等于弧EF的长乘以4，列式计算可求解。
7．（2019七上·禅城期末）在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对的扇形面积等于 cm2（结果保留π）．
【答案】6π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】 （cm2）.
故答案是：6π．
【分析】直接利用扇形面积公式计算即可．
8．（2019九上·宜兴月考）将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= cm2.
【答案】4
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】由题意知，弧长=8-2×2=4cm，
扇形的面积是 ×4×2=4cm2，故答案为：4.
【分析】根据扇形的面积公式：S扇形= ×弧长×半径，即可求出面积.
9．（2019九上·秀洲期中）已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则该扇形所在圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解： 扇形的圆心角为 ，面积为 ，
由 得： ，
故答案为诶：
【分析】直接利用扇形的面积公式求得扇形所在圆的半径即可
10．（2019九上·交城期中）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为 ．(答案用根号表示)
【答案】6π﹣
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OD，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，OD＝2OC＝6，
∴
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝
∴阴影部分的面积为6π﹣ ，
故答案为：6π﹣ ．
【分析】连接OD，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，根据勾股定理求出CD=3 ，从而得到∠CDO=30°，∠COD=60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-S△COD，进行计算即可．
三、综合题
11．（2019九上·松滋期末）有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示.
（1）求被剪掉阴影部分的面积：
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°
∴弦BC为直径
∴AB=AC
∴AB=AC=BC·sin45°=
∴S阴影=S⊙O-S扇形ABC= ；
答：被剪掉的阴影部分的面积为 ；
（2）解：设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，由题意得
2 r= ，解得r=
答：该圆锥的底面圆半径是 .
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理可得弦BC为直径，即可得到AB=AC，根据特殊角的锐角三角函数值可求得AB的长，最后根据扇形的面积公式即可求得结果；（2）设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，根据弧长公式及圆的周长公式即可求得结果.
12．（2018九上·下城期中）如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm，P是直径AB上的任意一点.
（1）求 的长；
（2）求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：如图，连接OC、OD.
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝8，
∴ 的长＝ ＝ cm
（2）解：∵∠OCD＝∠AOC＝60°
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∴S阴影＝S扇形OCD＝ ＝
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，由等边三角形的性质得OC=CD，再根据弧长公式l=可求解；
（2）由题意易得CD∥AB，于是根据同底等高的两个三角形的面积相等可得 S△ACD＝S△OCD，则S阴影＝S扇形OCD ，根据扇形面积=可求解。
13．△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，则点A1、B1的坐标分别是.
（2）将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形；
（3）求出线段AC在（2）的条件下所扫过的面积．
【答案】（1）解：∵点A坐标为（6，8），点B坐标为（4，5），
∴平移后的横坐标加4，纵坐标不变为：A1（10，8）B1（8，5）
（2）解：
△A′B′C′就是所求的三角形
（3）解：∵SC= = ，SA= = ，
∴扫过的面积为： =
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）把A，B两点的横坐标加4，纵坐标不变即可得到平移后的坐标；（2）以点S为旋转中心，按顺时针方向作∠ASA′=90°，且A′S=AS，得到点A的对应点A′，同法得到其余各点的对应点，顺次连接得到的各点即为旋转后的图形；（3）线段AC在（2）的条件下所扫过的面积为圆心角为90°，两个半径分别为 和 的扇环的面积．
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