登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
初中数学人教版九年级下学期 第二十八章 28.1 锐角三角函数
一、单选题
1.(2020九上·北仑期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解: ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,
∴ sinB=.
故答案为:D.
【分析】根据正弦函数的定义sinB=即可直接得出答案.
2.如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使C点落在E处,BE与AD相交于点F,下列结论:①BD=AD2+AB2;②△ABF≌△EDF;③ =
④AD=BD cos45°.其中正确的一组是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;翻折变换(折叠问题);锐角三角函数的定义
【解析】【解答】①∵△ABD为直角三角形,
∴BD2=AD2+AB2 ,
∴BD≠AD2+AB2 ,错误;
②根据折叠性质可知:DE=CD=AB,∠A=∠E,∠AFB=∠EFD,∴△ABF≌△EDF(AAS),正确;
③根据②可以得到△ABF≌△EDF,∴ = =1,正确;
④在Rt△ABD中,∠ADB≠45°,∴AD≠BD cos45°,错误.
综上,正确的有 ②③ .
故答案为:B.
【分析】①由于△ABD为直角三角形,由勾股定理可得BD2=AD2+AB2;②根据矩形的性质结合折叠的性质DE=CD=AB,利用角角边定理可证△ABF≌△EDF;③由于△ABF≌△EDF,对应边之比等于1;④用三角函数的定义可得AD≠BD cos45°.
3.如图, AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,已知cos∠CDB= ,BD=5,则OH的长度为( )
A. B. C.1 D.
【答案】D
【知识点】垂径定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:如解图,连接OD,
∵AB是⊙O的直径,点H是弦CD的中点,
∴由垂径定理可知AB⊥CD,
在Rt△BDH中,
∵cos∠CDB= ,BD=5,
∴DH=4,∴BH= = =3,
设OH=x,则OD=OB=x+3,
在Rt△ODH中,OD2=OH2+DH2,
∴(x+3)2=x2+42,
解得x= ,即OH= .
故答案为:D.
【分析】连接OD,利用垂径定理可证得AB⊥CD,在Rt△BDH中,利用锐角三角函数的定义及勾股定理求出DH,BH的长,设OH=x,用含x的代数式表示出OD,再利用勾股定理建立关于x的方程,解方程求出x的值,即可得到OH的长。
4.(2020九上·建湖期末)在 中, , , ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,
∴AB= =13,
则cosB= = ,
故答案为:A.
【分析】利用锐角三角函数定义求出cosB的值即可.
5.(2020九上·东台期末)已知△ABC中,∠C=90°,若AC= ,BC=1,则sinA的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在直角△ABC中,AB= =
则sinA= .
故答案为:C.
【分析】在直角△ABC中首先利用勾股定理求得AB的长,然后利用正弦函数的定义求解.
6.(2020九上·遂宁期末)已知:△ABC中,∠BCA=90°,CD⊥AB于D,若AD=1,AB=3,那么 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】勾股定理;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:∵CD⊥AB,
∴∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠BAC,
又∵∠CAD=∠BAC,
∴△ACD∽△ABC,
∴ ,
即 ,
解得AC= ,
在Rt△ABC中,由勾股定理得, ,
所以,cosB= .
故答案为:D.
【分析】先证明△ACD与△ABC相似,根据相似三角形对应边成比例求出AC,再利用勾股定理列式求出BC,然后根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可.
二、填空题
7.(2020九上·莘县期末)计算sin60°tan60°- cos45°cos60°的结果为 。
【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解:原式=×-××
=-
=1
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可得到答案。
8.如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα= .
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:过D作DF⊥l1, 交i2于点E,
∵∠ADF+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠ADF=∠DCE,
∵∠AFD=∠CED,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,
∴△AFD≌△DEC(AAS),
∴∴AF=DE=2,
∴AD=,
∴sin α ==.
故答案为:.
【分析】过D作DF⊥l1, 交i2于点E,由同角的余角相等推得∠ADF=∠DCE,结合正方形的边长相等,利用角角边定理可证△AFD≌△DEC,则对应边AF=DE=2,于是在Rt△AFD中利用勾股定理即可求出AD的长,则sin α可求.
9.(2020九上·沈河期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D是边AC的中点,点E,F在边AB上,当△DEF是等腰三角形,且底角的正切值是 时,△DEF腰长的值是 .
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB= =5,
∵点D是边AC的中点,
∴AD= AC=2,作DM⊥AB于M,如图1所示:
∵sinA= = ,
即 = ,
∴DM= ,
分三种情况:
①当DE=DF时,
∵tan∠DFE= = ,
∴FM= DM= × = ,
∴DE=DF= = = ;
②当ED=EF时,作EN⊥DF于N,如图2所示:
由①得:DM= ,FM= ,DF= ;
∵EN⊥DF,∴FN=DN= DF= ,
∵tan∠EFD= = ,
∴EN= FN= ,
∴ED=EF= = ;
③当FE=FD时,作FG⊥DE于G,如图3所示:
则EG=DG,
同①得:EM= ,DE= ,
∴EG= ,
∵tan∠DEF= = ,
∴GF= EG= ,
∴EF= = ;
综上所述,当△DEF是等腰三角形,且底角的正切值是 时,△DEF腰长的值是 或 ;
故答案为: 或 .
【分析】由勾股定理得出AB= =5,作DM⊥AB于M,由三角函数得出DM= ,分三种情况:①当DE=DF时,②当ED=EF时,作EN⊥DF于N,③当FE=FD时,作FG⊥DE于G;由等腰三角形的性质、三角函数定义和勾股定理即可得出答案.
三、计算题
10.(2020九上·沈河期末)2sin60° tan45°+4cos230°﹣tan60°
【答案】解:2sin60° tan45°+4cos230°﹣tan60°
=2× ×1+4×( )2﹣
= +3﹣
=3.
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案.
11.(2020九上·松北期末)先化简,再求代数式 ÷(1+ )的值,其中a=3tan30°+1.
【答案】解:原式=
=
= ,
当a=3tan30°+1=3× +1= +1时,原式= .
【知识点】代数式求值;分式的混合运算;特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把a=3tan30°+1化简后代入进行计算即可.
四、解答题
12.(2020九上·平度期末)太阳能光伏建筑是太阳能光伏系统与现代绿色环保住宅的完美结合,老刘准备把自家屋顶改建成光伏瓦面,改建前屋顶截面△ABC如图2所示,BC=10米,∠ABC=∠ACB=36°,改建后顶点D在BA的延长线上,且∠BDC=90°.求改建后南屋面边沿增加部分AD的长,(结果精确到0.1米)
(参考数据:sin18°≈031,cos18°≈0.95,tan18v≈0.32,sin36°≈0.59)
【答案】解:∵∠BDC=90°,BC=10, ,
∴ = ,
∵在Rt△BCD中,
∴ ,
∴在Rt△ACD中, ,
∴ = (米).
答:改建后南屋面边沿增加部分 的长约为1.9米。
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据锐角三角函数的性质计算得到CD的长度,在直角三角形ACD中,根据锐角三角形函数的性质,即可得到AD的长度。
五、综合题
13.(2020九上·建湖期末)如图,在等腰 中, , , 是 上一点,若 .
(1)求 的长;
(2)求 的值.
【答案】(1)解:过点 作 于点 ,
等腰三角形 , ,
,
设
,
由勾股定理可知: .
由勾股定理可知:
(2)解:由于 , ,
由勾股定理可知:
【知识点】勾股定理;特殊角的三角函数值
【解析】【分析】(1) 过点 作 于点 ,求出AB的长,设 ,根据勾股定理即可求解.(2)由(1)得AD=4,由勾股定理求出DB的长,再根据三角函数的定义求解即可.
14.(2020九上·泰兴期末)对钝角α,定义三角函数值如下:
sinα=sin(180°-α),cosα=-cos(180°-α).
(1)求sin120°,cos120°的值;
(2)若一个钝角三角形的三个内角比是1:1:4,点A,B是这个三角形的两个顶点,sinA,cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的度数.
【答案】(1)解:
(2)解:三角形的三个内角的比是1:1:4,三个内角分别为30°,30°,120°,
①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为 ,
将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 是方程 的根,m=0符合题意;
②当∠A=120°,∠B=30°时,两根为 ,不符合题意;
③当∠A=30°,∠B=30°时,两根为 ,将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 不是方程4x2-1=0的根.
综上所述:m=0,∠A=30°,∠B=120°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;特殊角的三角函数值
【解析】【分析】(1)按照题目所给的信息求解即可;(2)分三种情况进行分析:①当∠A=30°,∠B=120°时;②当∠A=120°,∠B=30°时;③当∠A=30°,∠B=30°时,根据题意分别求出m的值即可.
15.(2020九上·醴陵期末)如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点, 沿BE折叠为 ,点F落在AD上
(1)求证: ;
(2)若 ,求 的值.
【答案】(1)证明:∠A=∠D=900
在△
∴
∴∠ABF=∠DFE
∴
(2)解:在Rt△ ,
设
由折叠的性质知EF=EC,则AB=DC=5
由 ,得
故
【知识点】矩形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的性质;相似三角形的判定;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°,△BCE沿BE折叠为△BFE,得出∠BFE=∠C=90°,再根据三角形的内角和为180°,可知∠AFB+∠ABF=90°,得出∠ABF=∠DFE,即可证明△ABF∽△DFE;(2)已知 ,设DE=2a,EF=3a,DF= a,由折叠的性质知EF=EC,则BC=DC= 由 ,得 即可得到 .
二一教育在线组卷平台(zujuan.21cnjy.com)自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
初中数学人教版九年级下学期 第二十八章 28.1 锐角三角函数
一、单选题
1.(2020九上·北仑期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
2.如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使C点落在E处,BE与AD相交于点F,下列结论:①BD=AD2+AB2;②△ABF≌△EDF;③ =
④AD=BD cos45°.其中正确的一组是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
3.如图, AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,已知cos∠CDB= ,BD=5,则OH的长度为( )
A. B. C.1 D.
4.(2020九上·建湖期末)在 中, , , ,则 的值为( )
A. B. C. D.
5.(2020九上·东台期末)已知△ABC中,∠C=90°,若AC= ,BC=1,则sinA的值是( )
A. B. C. D.
6.(2020九上·遂宁期末)已知:△ABC中,∠BCA=90°,CD⊥AB于D,若AD=1,AB=3,那么 的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.(2020九上·莘县期末)计算sin60°tan60°- cos45°cos60°的结果为 。
8.如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα= .
9.(2020九上·沈河期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D是边AC的中点,点E,F在边AB上,当△DEF是等腰三角形,且底角的正切值是 时,△DEF腰长的值是 .
三、计算题
10.(2020九上·沈河期末)2sin60° tan45°+4cos230°﹣tan60°
11.(2020九上·松北期末)先化简,再求代数式 ÷(1+ )的值,其中a=3tan30°+1.
四、解答题
12.(2020九上·平度期末)太阳能光伏建筑是太阳能光伏系统与现代绿色环保住宅的完美结合,老刘准备把自家屋顶改建成光伏瓦面,改建前屋顶截面△ABC如图2所示,BC=10米,∠ABC=∠ACB=36°,改建后顶点D在BA的延长线上,且∠BDC=90°.求改建后南屋面边沿增加部分AD的长,(结果精确到0.1米)
(参考数据:sin18°≈031,cos18°≈0.95,tan18v≈0.32,sin36°≈0.59)
五、综合题
13.(2020九上·建湖期末)如图,在等腰 中, , , 是 上一点,若 .
(1)求 的长;
(2)求 的值.
14.(2020九上·泰兴期末)对钝角α,定义三角函数值如下:
sinα=sin(180°-α),cosα=-cos(180°-α).
(1)求sin120°,cos120°的值;
(2)若一个钝角三角形的三个内角比是1:1:4,点A,B是这个三角形的两个顶点,sinA,cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的度数.
15.(2020九上·醴陵期末)如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点, 沿BE折叠为 ,点F落在AD上
(1)求证: ;
(2)若 ,求 的值.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解: ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,
∴ sinB=.
故答案为:D.
【分析】根据正弦函数的定义sinB=即可直接得出答案.
2.【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;翻折变换(折叠问题);锐角三角函数的定义
【解析】【解答】①∵△ABD为直角三角形,
∴BD2=AD2+AB2 ,
∴BD≠AD2+AB2 ,错误;
②根据折叠性质可知:DE=CD=AB,∠A=∠E,∠AFB=∠EFD,∴△ABF≌△EDF(AAS),正确;
③根据②可以得到△ABF≌△EDF,∴ = =1,正确;
④在Rt△ABD中,∠ADB≠45°,∴AD≠BD cos45°,错误.
综上,正确的有 ②③ .
故答案为:B.
【分析】①由于△ABD为直角三角形,由勾股定理可得BD2=AD2+AB2;②根据矩形的性质结合折叠的性质DE=CD=AB,利用角角边定理可证△ABF≌△EDF;③由于△ABF≌△EDF,对应边之比等于1;④用三角函数的定义可得AD≠BD cos45°.
3.【答案】D
【知识点】垂径定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:如解图,连接OD,
∵AB是⊙O的直径,点H是弦CD的中点,
∴由垂径定理可知AB⊥CD,
在Rt△BDH中,
∵cos∠CDB= ,BD=5,
∴DH=4,∴BH= = =3,
设OH=x,则OD=OB=x+3,
在Rt△ODH中,OD2=OH2+DH2,
∴(x+3)2=x2+42,
解得x= ,即OH= .
故答案为:D.
【分析】连接OD,利用垂径定理可证得AB⊥CD,在Rt△BDH中,利用锐角三角函数的定义及勾股定理求出DH,BH的长,设OH=x,用含x的代数式表示出OD,再利用勾股定理建立关于x的方程,解方程求出x的值,即可得到OH的长。
4.【答案】A
【知识点】勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,
∴AB= =13,
则cosB= = ,
故答案为:A.
【分析】利用锐角三角函数定义求出cosB的值即可.
5.【答案】C
【知识点】勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在直角△ABC中,AB= =
则sinA= .
故答案为:C.
【分析】在直角△ABC中首先利用勾股定理求得AB的长,然后利用正弦函数的定义求解.
6.【答案】D
【知识点】勾股定理;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:∵CD⊥AB,
∴∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠BAC,
又∵∠CAD=∠BAC,
∴△ACD∽△ABC,
∴ ,
即 ,
解得AC= ,
在Rt△ABC中,由勾股定理得, ,
所以,cosB= .
故答案为:D.
【分析】先证明△ACD与△ABC相似,根据相似三角形对应边成比例求出AC,再利用勾股定理列式求出BC,然后根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可.
7.【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解:原式=×-××
=-
=1
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可得到答案。
8.【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:过D作DF⊥l1, 交i2于点E,
∵∠ADF+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠ADF=∠DCE,
∵∠AFD=∠CED,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,
∴△AFD≌△DEC(AAS),
∴∴AF=DE=2,
∴AD=,
∴sin α ==.
故答案为:.
【分析】过D作DF⊥l1, 交i2于点E,由同角的余角相等推得∠ADF=∠DCE,结合正方形的边长相等,利用角角边定理可证△AFD≌△DEC,则对应边AF=DE=2,于是在Rt△AFD中利用勾股定理即可求出AD的长,则sin α可求.
9.【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB= =5,
∵点D是边AC的中点,
∴AD= AC=2,作DM⊥AB于M,如图1所示:
∵sinA= = ,
即 = ,
∴DM= ,
分三种情况:
①当DE=DF时,
∵tan∠DFE= = ,
∴FM= DM= × = ,
∴DE=DF= = = ;
②当ED=EF时,作EN⊥DF于N,如图2所示:
由①得:DM= ,FM= ,DF= ;
∵EN⊥DF,∴FN=DN= DF= ,
∵tan∠EFD= = ,
∴EN= FN= ,
∴ED=EF= = ;
③当FE=FD时,作FG⊥DE于G,如图3所示:
则EG=DG,
同①得:EM= ,DE= ,
∴EG= ,
∵tan∠DEF= = ,
∴GF= EG= ,
∴EF= = ;
综上所述,当△DEF是等腰三角形,且底角的正切值是 时,△DEF腰长的值是 或 ;
故答案为: 或 .
【分析】由勾股定理得出AB= =5,作DM⊥AB于M,由三角函数得出DM= ,分三种情况:①当DE=DF时,②当ED=EF时,作EN⊥DF于N,③当FE=FD时,作FG⊥DE于G;由等腰三角形的性质、三角函数定义和勾股定理即可得出答案.
10.【答案】解:2sin60° tan45°+4cos230°﹣tan60°
=2× ×1+4×( )2﹣
= +3﹣
=3.
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案.
11.【答案】解:原式=
=
= ,
当a=3tan30°+1=3× +1= +1时,原式= .
【知识点】代数式求值;分式的混合运算;特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把a=3tan30°+1化简后代入进行计算即可.
12.【答案】解:∵∠BDC=90°,BC=10, ,
∴ = ,
∵在Rt△BCD中,
∴ ,
∴在Rt△ACD中, ,
∴ = (米).
答:改建后南屋面边沿增加部分 的长约为1.9米。
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据锐角三角函数的性质计算得到CD的长度,在直角三角形ACD中,根据锐角三角形函数的性质,即可得到AD的长度。
13.【答案】(1)解:过点 作 于点 ,
等腰三角形 , ,
,
设
,
由勾股定理可知: .
由勾股定理可知:
(2)解:由于 , ,
由勾股定理可知:
【知识点】勾股定理;特殊角的三角函数值
【解析】【分析】(1) 过点 作 于点 ,求出AB的长,设 ,根据勾股定理即可求解.(2)由(1)得AD=4,由勾股定理求出DB的长,再根据三角函数的定义求解即可.
14.【答案】(1)解:
(2)解:三角形的三个内角的比是1:1:4,三个内角分别为30°,30°,120°,
①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为 ,
将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 是方程 的根,m=0符合题意;
②当∠A=120°,∠B=30°时,两根为 ,不符合题意;
③当∠A=30°,∠B=30°时,两根为 ,将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 不是方程4x2-1=0的根.
综上所述:m=0,∠A=30°,∠B=120°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;特殊角的三角函数值
【解析】【分析】(1)按照题目所给的信息求解即可;(2)分三种情况进行分析:①当∠A=30°,∠B=120°时;②当∠A=120°,∠B=30°时;③当∠A=30°,∠B=30°时,根据题意分别求出m的值即可.
15.【答案】(1)证明:∠A=∠D=900
在△
∴
∴∠ABF=∠DFE
∴
(2)解:在Rt△ ,
设
由折叠的性质知EF=EC,则AB=DC=5
由 ,得
故
【知识点】矩形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的性质;相似三角形的判定;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°,△BCE沿BE折叠为△BFE,得出∠BFE=∠C=90°,再根据三角形的内角和为180°,可知∠AFB+∠ABF=90°,得出∠ABF=∠DFE,即可证明△ABF∽△DFE;(2)已知 ,设DE=2a,EF=3a,DF= a,由折叠的性质知EF=EC,则BC=DC= 由 ,得 即可得到 .
二一教育在线组卷平台(zujuan.21cnjy.com)自动生成 1 / 1