人教A版（2019） 必修一 3.2 函数的性质——奇偶性

人教A版（2019） 必修一 3.2 函数的性质——奇偶性
一、单选题
1．（2020·天津）函数 的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；
当 时， ，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
2．（2020高二下·宝坻月考）定义在R上的偶函数 满足对任意的 ，有 ．则满足 的 取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为对任意的 ，有 ．
即当 时，有 ，所以 在 上单调递增，
因为 是偶函数， ，所以 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】由条件可得出 在 上单调递增，然后结合 是偶函数可将 转化为 ，然后解出即可.
3．（2020高二下·北京期中）已知 是定义在R上的偶函数，并满足 ，当 时， ，则 （　　）
A．4.5 B．-4.5 C．0.5 D．-0.5
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】由题意得出 ，结合偶函数的性质，即可得出 的值.
4．（2020高二下·北京期中）下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（　　）
A． B．y=x﹣1 C．y=x3 D．y=2x
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具有奇偶性；y=x﹣1为（0，+∞）上减函数；对于y=2x，是指数函数，不具有奇偶性；y=x3是幂函数，指数大于零为增函数，
又f（﹣x）=f（x）所以是奇函数。
故答案为：C
【分析】利用奇函数的判断方法和增函数的判断方法，从而推出既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的函数。
5．（2020高二下·金华月考）已知函数 ，则（　　）
A． 是偶函数，且在 上是增函数
B． 是偶函数，且在 上是减函数
C． 是奇函数，且在 上是增函数
D． 是奇函数，且在 上是减函数
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 ，则
为奇函数
又 在 上单调递增，则 在 上单调递减
故答案为：D
【分析】根据奇偶性定义判断出奇偶性，在结合幂函数单调性求得单调性.
6．（2020·福建模拟）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若 ，则 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数
【解析】【解答】 为定义在 上的奇函数， .
当 时， ， ，
为奇函数， ，
由 得： 或 ；
综上所述：若 ，则 的解集为 .
故选： .
【分析】利用函数奇偶性可求得 在 时的解析式和 ，进而构造出不等式求得结果.
7．（2020高一下·宜宾月考）奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数式奇函数，在 上单调递减，
根据奇函数的性质得到在 上函数仍是减函数，
再根据 可画出函数在 上的图像，
根据对称性画出在 上的图像．
根据图像得到 的解集是： ．
故选A．
【分析】由已知利用奇函数的性质，得到函数 在 上函数是减函数，画出函数图象，利用图象即可求出 的解集.
8．（2020高二下·阳春月考）已知定义域为R的函数 在 单调递增，且 为偶函数，若 ，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，且在[1，+∞）上单调递增，
所以不等式f（2x+1）＜1=f（3） |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|，
即|2x|＜2 |x|＜1，解得-1
所以所求不等式的解集为： .
故答案为：A．
【分析】由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集．
9．（2020·长沙模拟）关于函数 的下列判断，其中正确的是（　　）
A．函数的图象是轴对称图形 B．函数的图象是中心对称图形
C．函数有最大值 D．当 时， 是减函数
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】 定义域为： ，
函数为偶函数，故A正确，B错误
当 且 时， ，C错误
，不满足 是减函数，D错误
故选：A
【分析】判断函数为偶函数得到A正确，B错误 ，取特殊值，排除C和D得到答案.
10．（2020·阜阳模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，且在 上是增函数，不等式 对于 恒成立，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 为定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称
又 在 上是增函数 在 上是减函数
，即
对于 恒成立 在 上恒成立
，即 的取值范围为：
本题正确选项：
【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在 上是减函数，由此可将不等式化为 ；利用分离变量法可得 ，求得 的最大值和 的最小值即可得到结果.
11．（2020·肇庆模拟）已知函数 为定义城为 的偶函数，且满足 ，当 时， ，则函数 在区间 上零点的个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 是偶函数，
，
所以
的周期为 ，
作出 的函数图象如图所示：
由图象可知 的图象关于点 ， 对称．
令 可得 ，
令 ，显然 的函数图象关于点 ， 对称．
作出 在 ， 上的函数图象如图所示：
由图象可知 与 在 ， 上有5个交点，根据对称性可知在 ， 上也有5个交点，
在 ， 上的所有零点个数为10.
故选：A
【分析】作出 与 的函数图象，根据图象的对称性得出结论．
12．（2019高一上·邵阳月考）下列函数 是 上的偶函数，且在 上单调递减，则下列各式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为 是 上的偶函数，所以 ，而 在 上单调递减，所以
．
故答案为：A．
【分析】根据函数 在 上单调递减，将各函数值转化到定义在 上的函数值，由偶函数的定义可得 ，即可由单调性比较得出．
二、填空题
13．（2020·哈尔滨模拟）已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则当 时， 　 　．
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设 ，则 ，有 ，
又由 为偶函数，则 ，
即 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意，设 ，则 ，由函数的解析式可得 ，结合函数的奇偶性分析可得答案．
14．（2020高二下·北京期中）已知 是R上的奇函数，当 时， ，则 的值为　 　．
【答案】2
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】由题意，函数 是R上的奇函数，当 时， ，
可得 ，
即 的值为 .
故答案为：2.
【分析】结合函数的奇偶性，得到 ，代入即可求解.
15．（2020高一下·易县期中）已知函数 在R上是奇函数，且当 时， ，则 时， 的解析式为　 　.
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数 在R上是奇函数,
所以 ,
因为 时， ,
所以 时, , ,所以
所以 时， 的解析式为 .
故答案为:
【分析】当 时, ,利用已知可求得 ,再根据奇函数的性质,可求得 .
16．（2020高一上·天津期末）已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，则f（x﹣1）＞f（x）的解集为　 　．
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】当 时， ，所以 ，
又f（x）是R上的奇函数，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
做出 和 的图像如下图所示，
不等式 的解集可以理解为将 的图象向右平移一个单位长度后所得函数 的图象在函数 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，
由 得 所以 ，
由 得 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
【分析】根据函数f（x）是R上的奇函数和已知条件得出函数 和 的解析式，在同一坐标系中做出 和 的图像，求出交点的坐标，根据不等式 的解集可以理解为将 的图象向右平移一个单位长度后所得函数 的图象在函数 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.
三、解答题
17．（2020高二下·宁波月考）已知函数 是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）若函数 在区间 上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）求不等式 的解集.
【答案】（1）解：设 ，则 ，所以
因为 是奇函数，所以
所以
（2）解： 的图像为
因为函数 在区间 上单调递增
所以
所以
（3）解：由 可得 ，即
当 时 ，由图像可得
当 时 ，由图像可得
综上：
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象
【解析】【分析】（1）利用 即可求出 ；（2）画出图像，观察图像即可建立不等式求解；（3）由 可得 ，然后分 和 两种情况讨论，每种情况结合图像即可得到答案.
18．（2020高一下·大同月考）已知
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由.
（2）判断函数 在 单调性，并证明你的判断.
【答案】（1）解： 为奇函数.
理由：因为 的定义域为
又 ，所以 为奇函数.
（2）解： 在 为单调递减，在 单调递增.
证明：任取 ，所以 ，所以 ，
所以 在 为单调递减
当 ，所以 ，所以 ，
所以 在 为单调递增
综上： 在 为单调递减，在 单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由 ，结合函数的定义域可得 为奇函数；（2）任取 ，所以 ，得 ，可得 在 为单调递减，同理可得 在 为单调递增.
19．（2019高一上·辽源月考）已知定义在R上的函数 满足：① 对任意 ， ，有 .②当 时， 且 .
（1）求证： 是奇函数；
（2）解不等式 .
【答案】（1）证明：令 ， ，
，
令 ，
.
函数 是奇函数.
（2）解：设 ，则 ，
为 上减函数.
， .
即 .
不等式 的解集为 .
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）赋值法，令x＝y＝0可证得f（0）＝0；令y＝﹣x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；（2）设x1＜x2，由条件构造f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）由x＜0时f（x）＞0可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集．
20．（2019高一上·田阳月考）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）求函数 在 上的解析式；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： 是定义在 上的奇函数 且
当 时，
又 满足
（2）解：由（1）可得 图象如下图所示：
在区间 上单调递增 ，解得：
的取值范围为：
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性可得 且 ；当 时， ，根据 可求得 ，又 满足 ，可得分段函数解析式；（2）由解析式可得函数的图象，根据图象可得不等式，解不等式求得取值范围.
21．（2019高一上·新乡月考）已知函数 ，且 是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数 的单调性，并用定义证明；
（3）解关于t的不等式 ．
【答案】（1）解： ；
因为 是奇函数，
所以 ，解得 ．
经检验：当 时， 显然为奇函数，
故
（2）解： 在 上是增函数，证明如下：
任取 ， ，且 ，
则
即
由 ，得 ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上是增函数
（3）解：
等价于 ，
等价于 ，
得 ．
而 是定义在 上的奇函数，
所以 ．
显然 与 的定义域和单调性都相同，
所以 ，
得 ，则 ．
故不等式的解集是
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得 ，可得结果.（2）通过做差变形，可得 ，然后判断符号，可得结果.（3）利用函数 的单调性以及奇偶性，可得 ，然后计算可得结果.
22．（2019高一上·新乡月考）已知函数 的定义域为R，对任意的x， 有 ，当 时， ，且 ．
（1）证明： ；
（2）探讨函数 的奇偶性；
（3）当 时，求函数 的最小值．
【答案】（1）解：由题可知 ，
∴当 ， 时， ，
∴
（2）解：函数 定义域为 ，当 时，
有 ．
由（1）知， ，
∴ ，即 ．
∴函数 为奇函数
（3）解：设 ， ，且 ，则 ．
又∵当 时， ，
∴ ．
又对任意的 ， 有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴函数 为定义域是 的减函数．
∴当 时， ．
又 ，
∴ ．
即当 时， 的最小值为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）对 进行取值，可得结果.（2）令 ，根据（1）的结论，可得结果.（3）利用定义法证明函数的单调性，通过在定义域中，假设 ，然后根据条件计算，可得 ，可得单调性，最后可得结果.
1 / 1人教A版（2019） 必修一 3.2 函数的性质——奇偶性
一、单选题
1．（2020·天津）函数 的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020高二下·宝坻月考）定义在R上的偶函数 满足对任意的 ，有 ．则满足 的 取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高二下·北京期中）已知 是定义在R上的偶函数，并满足 ，当 时， ，则 （　　）
A．4.5 B．-4.5 C．0.5 D．-0.5
4．（2020高二下·北京期中）下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（　　）
A． B．y=x﹣1 C．y=x3 D．y=2x
5．（2020高二下·金华月考）已知函数 ，则（　　）
A． 是偶函数，且在 上是增函数
B． 是偶函数，且在 上是减函数
C． 是奇函数，且在 上是增函数
D． 是奇函数，且在 上是减函数
6．（2020·福建模拟）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若 ，则 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020高一下·宜宾月考）奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集是（　　）．
A． B．
C． D．
8．（2020高二下·阳春月考）已知定义域为R的函数 在 单调递增，且 为偶函数，若 ，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2020·长沙模拟）关于函数 的下列判断，其中正确的是（　　）
A．函数的图象是轴对称图形 B．函数的图象是中心对称图形
C．函数有最大值 D．当 时， 是减函数
10．（2020·阜阳模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，且在 上是增函数，不等式 对于 恒成立，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2020·肇庆模拟）已知函数 为定义城为 的偶函数，且满足 ，当 时， ，则函数 在区间 上零点的个数为（　　）
A． B． C． D．
12．（2019高一上·邵阳月考）下列函数 是 上的偶函数，且在 上单调递减，则下列各式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2020·哈尔滨模拟）已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则当 时， 　 　．
14．（2020高二下·北京期中）已知 是R上的奇函数，当 时， ，则 的值为　 　．
15．（2020高一下·易县期中）已知函数 在R上是奇函数，且当 时， ，则 时， 的解析式为　 　.
16．（2020高一上·天津期末）已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，则f（x﹣1）＞f（x）的解集为　 　．
三、解答题
17．（2020高二下·宁波月考）已知函数 是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）若函数 在区间 上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）求不等式 的解集.
18．（2020高一下·大同月考）已知
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由.
（2）判断函数 在 单调性，并证明你的判断.
19．（2019高一上·辽源月考）已知定义在R上的函数 满足：① 对任意 ， ，有 .②当 时， 且 .
（1）求证： 是奇函数；
（2）解不等式 .
20．（2019高一上·田阳月考）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）求函数 在 上的解析式；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围.
21．（2019高一上·新乡月考）已知函数 ，且 是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数 的单调性，并用定义证明；
（3）解关于t的不等式 ．
22．（2019高一上·新乡月考）已知函数 的定义域为R，对任意的x， 有 ，当 时， ，且 ．
（1）证明： ；
（2）探讨函数 的奇偶性；
（3）当 时，求函数 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；
当 时， ，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
2．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为对任意的 ，有 ．
即当 时，有 ，所以 在 上单调递增，
因为 是偶函数， ，所以 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】由条件可得出 在 上单调递增，然后结合 是偶函数可将 转化为 ，然后解出即可.
3．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】由题意得出 ，结合偶函数的性质，即可得出 的值.
4．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具有奇偶性；y=x﹣1为（0，+∞）上减函数；对于y=2x，是指数函数，不具有奇偶性；y=x3是幂函数，指数大于零为增函数，
又f（﹣x）=f（x）所以是奇函数。
故答案为：C
【分析】利用奇函数的判断方法和增函数的判断方法，从而推出既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的函数。
5．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 ，则
为奇函数
又 在 上单调递增，则 在 上单调递减
故答案为：D
【分析】根据奇偶性定义判断出奇偶性，在结合幂函数单调性求得单调性.
6．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数
【解析】【解答】 为定义在 上的奇函数， .
当 时， ， ，
为奇函数， ，
由 得： 或 ；
综上所述：若 ，则 的解集为 .
故选： .
【分析】利用函数奇偶性可求得 在 时的解析式和 ，进而构造出不等式求得结果.
7．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数式奇函数，在 上单调递减，
根据奇函数的性质得到在 上函数仍是减函数，
再根据 可画出函数在 上的图像，
根据对称性画出在 上的图像．
根据图像得到 的解集是： ．
故选A．
【分析】由已知利用奇函数的性质，得到函数 在 上函数是减函数，画出函数图象，利用图象即可求出 的解集.
8．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，且在[1，+∞）上单调递增，
所以不等式f（2x+1）＜1=f（3） |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|，
即|2x|＜2 |x|＜1，解得-1
所以所求不等式的解集为： .
故答案为：A．
【分析】由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集．
9．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】 定义域为： ，
函数为偶函数，故A正确，B错误
当 且 时， ，C错误
，不满足 是减函数，D错误
故选：A
【分析】判断函数为偶函数得到A正确，B错误 ，取特殊值，排除C和D得到答案.
10．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 为定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称
又 在 上是增函数 在 上是减函数
，即
对于 恒成立 在 上恒成立
，即 的取值范围为：
本题正确选项：
【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在 上是减函数，由此可将不等式化为 ；利用分离变量法可得 ，求得 的最大值和 的最小值即可得到结果.
11．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 是偶函数，
，
所以
的周期为 ，
作出 的函数图象如图所示：
由图象可知 的图象关于点 ， 对称．
令 可得 ，
令 ，显然 的函数图象关于点 ， 对称．
作出 在 ， 上的函数图象如图所示：
由图象可知 与 在 ， 上有5个交点，根据对称性可知在 ， 上也有5个交点，
在 ， 上的所有零点个数为10.
故选：A
【分析】作出 与 的函数图象，根据图象的对称性得出结论．
12．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为 是 上的偶函数，所以 ，而 在 上单调递减，所以
．
故答案为：A．
【分析】根据函数 在 上单调递减，将各函数值转化到定义在 上的函数值，由偶函数的定义可得 ，即可由单调性比较得出．
13．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设 ，则 ，有 ，
又由 为偶函数，则 ，
即 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意，设 ，则 ，由函数的解析式可得 ，结合函数的奇偶性分析可得答案．
14．【答案】2
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】由题意，函数 是R上的奇函数，当 时， ，
可得 ，
即 的值为 .
故答案为：2.
【分析】结合函数的奇偶性，得到 ，代入即可求解.
15．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数 在R上是奇函数,
所以 ,
因为 时， ,
所以 时, , ,所以
所以 时， 的解析式为 .
故答案为:
【分析】当 时, ,利用已知可求得 ,再根据奇函数的性质,可求得 .
16．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】当 时， ，所以 ，
又f（x）是R上的奇函数，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
做出 和 的图像如下图所示，
不等式 的解集可以理解为将 的图象向右平移一个单位长度后所得函数 的图象在函数 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，
由 得 所以 ，
由 得 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
【分析】根据函数f（x）是R上的奇函数和已知条件得出函数 和 的解析式，在同一坐标系中做出 和 的图像，求出交点的坐标，根据不等式 的解集可以理解为将 的图象向右平移一个单位长度后所得函数 的图象在函数 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.
17．【答案】（1）解：设 ，则 ，所以
因为 是奇函数，所以
所以
（2）解： 的图像为
因为函数 在区间 上单调递增
所以
所以
（3）解：由 可得 ，即
当 时 ，由图像可得
当 时 ，由图像可得
综上：
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象
【解析】【分析】（1）利用 即可求出 ；（2）画出图像，观察图像即可建立不等式求解；（3）由 可得 ，然后分 和 两种情况讨论，每种情况结合图像即可得到答案.
18．【答案】（1）解： 为奇函数.
理由：因为 的定义域为
又 ，所以 为奇函数.
（2）解： 在 为单调递减，在 单调递增.
证明：任取 ，所以 ，所以 ，
所以 在 为单调递减
当 ，所以 ，所以 ，
所以 在 为单调递增
综上： 在 为单调递减，在 单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由 ，结合函数的定义域可得 为奇函数；（2）任取 ，所以 ，得 ，可得 在 为单调递减，同理可得 在 为单调递增.
19．【答案】（1）证明：令 ， ，
，
令 ，
.
函数 是奇函数.
（2）解：设 ，则 ，
为 上减函数.
， .
即 .
不等式 的解集为 .
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）赋值法，令x＝y＝0可证得f（0）＝0；令y＝﹣x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；（2）设x1＜x2，由条件构造f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）由x＜0时f（x）＞0可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集．
20．【答案】（1）解： 是定义在 上的奇函数 且
当 时，
又 满足
（2）解：由（1）可得 图象如下图所示：
在区间 上单调递增 ，解得：
的取值范围为：
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性可得 且 ；当 时， ，根据 可求得 ，又 满足 ，可得分段函数解析式；（2）由解析式可得函数的图象，根据图象可得不等式，解不等式求得取值范围.
21．【答案】（1）解： ；
因为 是奇函数，
所以 ，解得 ．
经检验：当 时， 显然为奇函数，
故
（2）解： 在 上是增函数，证明如下：
任取 ， ，且 ，
则
即
由 ，得 ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上是增函数
（3）解：
等价于 ，
等价于 ，
得 ．
而 是定义在 上的奇函数，
所以 ．
显然 与 的定义域和单调性都相同，
所以 ，
得 ，则 ．
故不等式的解集是
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得 ，可得结果.（2）通过做差变形，可得 ，然后判断符号，可得结果.（3）利用函数 的单调性以及奇偶性，可得 ，然后计算可得结果.
22．【答案】（1）解：由题可知 ，
∴当 ， 时， ，
∴
（2）解：函数 定义域为 ，当 时，
有 ．
由（1）知， ，
∴ ，即 ．
∴函数 为奇函数
（3）解：设 ， ，且 ，则 ．
又∵当 时， ，
∴ ．
又对任意的 ， 有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴函数 为定义域是 的减函数．
∴当 时， ．
又 ，
∴ ．
即当 时， 的最小值为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）对 进行取值，可得结果.（2）令 ，根据（1）的结论，可得结果.（3）利用定义法证明函数的单调性，通过在定义域中，假设 ，然后根据条件计算，可得 ，可得单调性，最后可得结果.
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