初中数学青岛版九年级上学期 第2章2.2 30°,45°,60°角的三角比
一、单选题
1．（2020九上·昌平期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子成立的是（ ）
A．sinA=sinB B．sinA=cosB C．tanA=tanB D．cosA=tanB
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C=90°，故有A=90°-B，
从而sinA=sin（90°-B）=cosB．
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，故有A=90°-B，从而由诱导公式可得sinA=sin（90°-B）=cosB．
2．（2020九上·昌平期末）点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（ ， ） B．（- ， ）
C．（- ，- ） D．（- ，- ）
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵sin60°= ，cos60°= ，
∴（-sin60°，cos60°）=（- ， ），
关于y轴对称点的坐标是（ ， ）．
故答案为：A．
【分析】先利用特殊三角函数值，求出sin60°、cos60°的值，再利用坐标系中，任一点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即可求．
3．如果∠A是锐角，则下列结论正确个数为（ ）个．
①=sinA-1；②sinA+cosA＞1；③tanA＞sinA；④cosA=sin（90°﹣∠A）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，如图，
sinA=，cosA=，tanA=，
∴=1﹣sinA，sinA+cosA=+=＞1，tanA＞sinA，
∵cosA=，sin（90°﹣∠A）=sinB=，
∴cosA=sin（90°﹣∠A），
即正确的有②③④，共3个，
故选C．
【分析】先画出图形，根据锐角三角函数的定义求出sinA=，cosA=，tanA=，再分别代入求出，即可判断正误．
4．如果∠A为锐角，cosA=，那么∠A所在的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵cos60°=，cos45°=，
＜＜，
∴45°＜∠A＜60°．
故选C．
【分析】首先根据特殊角的函数值，根据 ＜＜，即可确定∠A的范围．
5．（2019九上·西安月考）若α为锐角，且 sin(α-10°）=，则α等于（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵
∴α-10°=60°，
即α=70°．
故答案为：B．
【分析】根据 得出α的值．
6．式子2cos30°－tan45°－ 的值是（ ）
A．2 －2 B．0 C．2 D．2
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式＝2× －1－( －1)＝ －1－ ＋1＝0.
故答案为：B.
【分析】本题考查特殊角的锐角三角函数值. 把特殊角的锐角三角函数值代入，进行实数运算即可. 准确记忆特殊角的锐角三角函数值是解题关键.
7．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，
∴tanB﹣ =0或2sinA﹣ =0，
即tanB= 或sinA= ．
∴∠B=60°或∠A=60°．
∴△ABC有一个角是60°．
故答案为：D．
【分析】根据两个因式的积0，则这两个因式至少有一个因式为0可得tanB- =0或2sinA- =0，解得tanB= ，或sinA= ，因为△ABC中，∠A，∠B均为锐角，由特殊角的锐角三角函数可得∠B=60°或∠A=60°．所以△ABC有一个角是60°．
8．因为cos60°= ，cos240°=﹣ ，所以cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα，由此可知：cos210°=（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos（180°+α）=﹣cosα，
∴cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣ ．
故选：C．
【分析】当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα．把210°代入计算即可．
9．（2017·江津模拟）在△ABC中， ，则△ABC为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．含60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵（ tanA﹣3）2+|2cosB﹣ |=0，
∴ tanA﹣3=0，2cosB﹣ =0，
∴tanA= ，cosB= ，
∠A=60°，∠B=30°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：A．
【分析】首先结合绝对值以及偶次方的性质得出 tanA﹣3=0，2cosB﹣ =0，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．
10．（2019·凤庆模拟）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为l，则tan∠BAC为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC＝ ，AC＝ ，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴tan∠BAC＝1，
故答案为：D.
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求.
11．（2020·绍兴模拟）按如图所示的运算程序，能使输出的y值为 的是（ ）
A．α=60°，β=45° B．α=30°，β=45°
C．α=30°，β=30° D．α=45°，β=30°
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、∵α=60°，β=45° ，
∴α＞β，
∴，故A不符合题意；
B、∵α=30°，β=45°
α＜β，故B不符合题意；
C、α=30°，β=30°，
∴α=β，
∴，故C符合题意；
D、∵α=45°，β=30° ，
∴α＞β，
∴，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据已知α≥β，可以排除选项B；再利用特殊角的三角函数值可得答案。
12．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0），
合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°= =1。
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°= ，②tan105°=﹣2﹣ ，③sin15°= ，④cos90°=0.
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】①sin105°=sin（45°+60°）
=sin60°cos45°+cos60°sin45°
= × + ×
= ，故①正确；
②tan105°=tan（60°+45°）
=
=
=
=﹣2﹣ ，故②正确；
③sin15°=sin（60°﹣45°）
=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
= × ﹣ ×
= ，故③正确；
④cos90°=cos（45°+45°）
=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
= × ﹣ ×
=0，故④正确；
故正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】根据三角函数的值，利用公式进行化简计算，可得出正确的选项。
二、填空题
13．（2020·高邮模拟）比较大小：tan30°
cos30°（用“＞”或“＜”填空）
【答案】＜
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tan30°＝ ，cos30°= ， ＜ ，
∴tan30°＜cos30°，
故答案为：＜.
【分析】求出tan30°和cos30°的值，再比较即可.
14．（2020九上·来宾期末）已知锐角A满足4sin2A=3，则∠A= 。
【答案】60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵锐角A满足4sin2A=3，
∴sin2A=
∴sinA=
∴A=60°.
故答案为：60°.
【分析】将原式转化为sin2A=，再开方求出sinA的值，然后利用特殊角的三角函数值，就可求出∠A的度数。
15．（2019九上·香坊期末）在 中, , , ,则 = 度。
【答案】60
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图所示： ， ， ，
故 ，
则 ．
故答案为：60．
【分析】直接根据题意画出图形，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．
16．（2020九上·港南期末）若tan（α–15°）= ，则锐角α的度数是 ．
【答案】75°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由tan(α 15°)= ，得
α 15°=60°，
解得α=75°，
故答案为：75°
【分析】根据特殊角三角函数值，可得（α–15°）的度数，根据有理数的减法，可得答案．
17．（2019九上·栾城期中） 。
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】
【分析】原式利用特殊角三角函数值即可得到结果.
18．（2018九上·惠山期中）在△ABC中，若 + ，则∠C的度数为 .
【答案】105°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由题意得：tanA-1=0， -cosB=0，
∴tanA=1，cosB= ，
可得∠A=45°，∠B=30°，
则∠C=180°-45°-30°=105°．
故答案为：105°．
【分析】由绝对值和平方的非负性可求得tanA=1，cosB=，再根据特殊角的三角形函数值可求得∠A和∠B的度数，再用三角形的内角和定理即可求解。
19．（2018九上·连城期中）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝ ，∠B＝60°，则CD的长为 ．
【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵直角△ABC中，AC= ，∠B=60°，
∴AB= =1，BC= =2，
又∵AD=AB，∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．
故答案是：1．
【分析】在直角△ABC，利用特殊角的三角函数求出AB、BC的值，因为旋转，所以AD=AB，所以△ABD是等边三角形，故而BD=AB，CD可求。
20．（2017九下·海宁开学考）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．
【答案】10 +1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，
∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，
∴BE=AE tan60°=10 （m），
∴BC=CE+BE=10 +1（m）．
∴旗杆高BC为10 +1m．
故答案为：10 +1．
【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．
三、解答题
21．（2020·涡阳模拟）计算： ．
【答案】解：原式=
．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
22．（2020九上·建湖期末）计算：
【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
23．（2020九上·景县期末）计算
（1）cos45°-2sin30°+(-2)°
（2）2tan30°-|1- |+(2017- )°+
【答案】（1） 原式==
（2） 原式=2×-+1+1+=2
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值以及0指数幂的性质将式子化简计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值以及绝对值的性质进行计算即可。
24．化简：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°．
【答案】解：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°
=cos21°+cos289°+…+cos244°+cos246°+cos245°
=（cos21°+cos289°）+…+（cos244°+cos246°）+（ ）2
= +
=44
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】根据锐角三角函数关系式：互为余角的两个角的余弦平方和等于1．
还要注意cos45°= ．
25．（2016·丽水）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
【答案】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，
AC= =2 ，
则EF=AC=2 ，
∵∠E=45°，
∴FC=EF sinE= ，
∴AF=AC﹣FC=2 ﹣
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
26．（2017九上·深圳期中）某海船以 海里/小时的速度向北偏东70°方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东40°方向，5小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西65°方向，求此时灯塔B到C处的距离。
【答案】解：过点B作BD⊥AC于点D.
因为∠MAB=40°，∠MAC=70°，
所以∠BAC=70°-40°=30°，
又因为∠NCB=65°，∠NCA=180°-70°=110°，
所以∠ACB=45°，
所以DB=CD，AD= .
设CD=x，则BD=x，AD= .
所以 +x=5× ，解得x=10.
所以BC= .
此时灯塔B到C处的距离是 海里.
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据特殊角的函数值，表示出边长，然后根据BD+AD=路程，求出BC的长度。
27．（2017·东胜模拟）如图，海中有一小岛P，在距小岛16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东45°，且A，P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，有无触礁的危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向改变航向，才能安全通过这一海域？
【答案】解：如图，过P作PC⊥AM于C，则∠PCA=90°，且PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离，
∵∠PAM=90°﹣45°=45°，
∴∠APC=45°=∠PAC，
∴PC=AC，
由勾股定理得：2PC2=AP2=322，
∴PC=16 ，
16 海里＜16 海里，
∴轮船继续向正东方向航行，有触礁的危险；
设A沿AD方向航行，正好没有触礁的危险，如图：
过P作PE⊥AD于E，则此时PE=16 海里，
在Rt△PAE中，sin∠PAE= ，
∴∠PAE=60°，
∠MAD=60°﹣45°=15°，
即轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行，才能安全通过这一海域．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】过P作PC⊥AM垂足为C，则△PAC为等腰直角三角形，然后可求得PC的长，然后依据PC与暗礁半径的大小可做成判断，设A沿AD方向航行，正好没有触礁的危险，过P作PE⊥AD于E，则此时PE=16 海里，然后依据特殊锐角三角函数值可求得∠PAE的度数，最后依据∠MAD=∠PAD-∠PAM求解即可.
1 / 1初中数学青岛版九年级上学期 第2章2.2 30°,45°,60°角的三角比
一、单选题
1．（2020九上·昌平期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子成立的是（ ）
A．sinA=sinB B．sinA=cosB C．tanA=tanB D．cosA=tanB
2．（2020九上·昌平期末）点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（ ， ） B．（- ， ）
C．（- ，- ） D．（- ，- ）
3．如果∠A是锐角，则下列结论正确个数为（ ）个．
①=sinA-1；②sinA+cosA＞1；③tanA＞sinA；④cosA=sin（90°﹣∠A）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如果∠A为锐角，cosA=，那么∠A所在的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
5．（2019九上·西安月考）若α为锐角，且 sin(α-10°）=，则α等于（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
6．式子2cos30°－tan45°－ 的值是（ ）
A．2 －2 B．0 C．2 D．2
7．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形
8．因为cos60°= ，cos240°=﹣ ，所以cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα，由此可知：cos210°=（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
9．（2017·江津模拟）在△ABC中， ，则△ABC为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．含60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
10．（2019·凤庆模拟）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为l，则tan∠BAC为（ ）
A． B． C． D．1
11．（2020·绍兴模拟）按如图所示的运算程序，能使输出的y值为 的是（ ）
A．α=60°，β=45° B．α=30°，β=45°
C．α=30°，β=30° D．α=45°，β=30°
12．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0），
合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°= =1。
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°= ，②tan105°=﹣2﹣ ，③sin15°= ，④cos90°=0.
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．（2020·高邮模拟）比较大小：tan30°
cos30°（用“＞”或“＜”填空）
14．（2020九上·来宾期末）已知锐角A满足4sin2A=3，则∠A= 。
15．（2019九上·香坊期末）在 中, , , ,则 = 度。
16．（2020九上·港南期末）若tan（α–15°）= ，则锐角α的度数是 ．
17．（2019九上·栾城期中） 。
18．（2018九上·惠山期中）在△ABC中，若 + ，则∠C的度数为 .
19．（2018九上·连城期中）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝ ，∠B＝60°，则CD的长为 ．
20．（2017九下·海宁开学考）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．
三、解答题
21．（2020·涡阳模拟）计算： ．
22．（2020九上·建湖期末）计算：
23．（2020九上·景县期末）计算
（1）cos45°-2sin30°+(-2)°
（2）2tan30°-|1- |+(2017- )°+
24．化简：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°．
25．（2016·丽水）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
26．（2017九上·深圳期中）某海船以 海里/小时的速度向北偏东70°方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东40°方向，5小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西65°方向，求此时灯塔B到C处的距离。
27．（2017·东胜模拟）如图，海中有一小岛P，在距小岛16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东45°，且A，P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，有无触礁的危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向改变航向，才能安全通过这一海域？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C=90°，故有A=90°-B，
从而sinA=sin（90°-B）=cosB．
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，故有A=90°-B，从而由诱导公式可得sinA=sin（90°-B）=cosB．
2．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵sin60°= ，cos60°= ，
∴（-sin60°，cos60°）=（- ， ），
关于y轴对称点的坐标是（ ， ）．
故答案为：A．
【分析】先利用特殊三角函数值，求出sin60°、cos60°的值，再利用坐标系中，任一点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即可求．
3．【答案】C
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，如图，
sinA=，cosA=，tanA=，
∴=1﹣sinA，sinA+cosA=+=＞1，tanA＞sinA，
∵cosA=，sin（90°﹣∠A）=sinB=，
∴cosA=sin（90°﹣∠A），
即正确的有②③④，共3个，
故选C．
【分析】先画出图形，根据锐角三角函数的定义求出sinA=，cosA=，tanA=，再分别代入求出，即可判断正误．
4．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵cos60°=，cos45°=，
＜＜，
∴45°＜∠A＜60°．
故选C．
【分析】首先根据特殊角的函数值，根据 ＜＜，即可确定∠A的范围．
5．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵
∴α-10°=60°，
即α=70°．
故答案为：B．
【分析】根据 得出α的值．
6．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式＝2× －1－( －1)＝ －1－ ＋1＝0.
故答案为：B.
【分析】本题考查特殊角的锐角三角函数值. 把特殊角的锐角三角函数值代入，进行实数运算即可. 准确记忆特殊角的锐角三角函数值是解题关键.
7．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，
∴tanB﹣ =0或2sinA﹣ =0，
即tanB= 或sinA= ．
∴∠B=60°或∠A=60°．
∴△ABC有一个角是60°．
故答案为：D．
【分析】根据两个因式的积0，则这两个因式至少有一个因式为0可得tanB- =0或2sinA- =0，解得tanB= ，或sinA= ，因为△ABC中，∠A，∠B均为锐角，由特殊角的锐角三角函数可得∠B=60°或∠A=60°．所以△ABC有一个角是60°．
8．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos（180°+α）=﹣cosα，
∴cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣ ．
故选：C．
【分析】当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα．把210°代入计算即可．
9．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵（ tanA﹣3）2+|2cosB﹣ |=0，
∴ tanA﹣3=0，2cosB﹣ =0，
∴tanA= ，cosB= ，
∠A=60°，∠B=30°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：A．
【分析】首先结合绝对值以及偶次方的性质得出 tanA﹣3=0，2cosB﹣ =0，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．
10．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC＝ ，AC＝ ，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴tan∠BAC＝1，
故答案为：D.
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求.
11．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、∵α=60°，β=45° ，
∴α＞β，
∴，故A不符合题意；
B、∵α=30°，β=45°
α＜β，故B不符合题意；
C、α=30°，β=30°，
∴α=β，
∴，故C符合题意；
D、∵α=45°，β=30° ，
∴α＞β，
∴，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据已知α≥β，可以排除选项B；再利用特殊角的三角函数值可得答案。
12．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】①sin105°=sin（45°+60°）
=sin60°cos45°+cos60°sin45°
= × + ×
= ，故①正确；
②tan105°=tan（60°+45°）
=
=
=
=﹣2﹣ ，故②正确；
③sin15°=sin（60°﹣45°）
=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
= × ﹣ ×
= ，故③正确；
④cos90°=cos（45°+45°）
=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
= × ﹣ ×
=0，故④正确；
故正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】根据三角函数的值，利用公式进行化简计算，可得出正确的选项。
13．【答案】＜
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tan30°＝ ，cos30°= ， ＜ ，
∴tan30°＜cos30°，
故答案为：＜.
【分析】求出tan30°和cos30°的值，再比较即可.
14．【答案】60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵锐角A满足4sin2A=3，
∴sin2A=
∴sinA=
∴A=60°.
故答案为：60°.
【分析】将原式转化为sin2A=，再开方求出sinA的值，然后利用特殊角的三角函数值，就可求出∠A的度数。
15．【答案】60
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图所示： ， ， ，
故 ，
则 ．
故答案为：60．
【分析】直接根据题意画出图形，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．
16．【答案】75°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由tan(α 15°)= ，得
α 15°=60°，
解得α=75°，
故答案为：75°
【分析】根据特殊角三角函数值，可得（α–15°）的度数，根据有理数的减法，可得答案．
17．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】
【分析】原式利用特殊角三角函数值即可得到结果.
18．【答案】105°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由题意得：tanA-1=0， -cosB=0，
∴tanA=1，cosB= ，
可得∠A=45°，∠B=30°，
则∠C=180°-45°-30°=105°．
故答案为：105°．
【分析】由绝对值和平方的非负性可求得tanA=1，cosB=，再根据特殊角的三角形函数值可求得∠A和∠B的度数，再用三角形的内角和定理即可求解。
19．【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵直角△ABC中，AC= ，∠B=60°，
∴AB= =1，BC= =2，
又∵AD=AB，∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．
故答案是：1．
【分析】在直角△ABC，利用特殊角的三角函数求出AB、BC的值，因为旋转，所以AD=AB，所以△ABD是等边三角形，故而BD=AB，CD可求。
20．【答案】10 +1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，
∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，
∴BE=AE tan60°=10 （m），
∴BC=CE+BE=10 +1（m）．
∴旗杆高BC为10 +1m．
故答案为：10 +1．
【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．
21．【答案】解：原式=
．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
22．【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
23．【答案】（1） 原式==
（2） 原式=2×-+1+1+=2
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值以及0指数幂的性质将式子化简计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值以及绝对值的性质进行计算即可。
24．【答案】解：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°
=cos21°+cos289°+…+cos244°+cos246°+cos245°
=（cos21°+cos289°）+…+（cos244°+cos246°）+（ ）2
= +
=44
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】根据锐角三角函数关系式：互为余角的两个角的余弦平方和等于1．
还要注意cos45°= ．
25．【答案】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，
AC= =2 ，
则EF=AC=2 ，
∵∠E=45°，
∴FC=EF sinE= ，
∴AF=AC﹣FC=2 ﹣
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
26．【答案】解：过点B作BD⊥AC于点D.
因为∠MAB=40°，∠MAC=70°，
所以∠BAC=70°-40°=30°，
又因为∠NCB=65°，∠NCA=180°-70°=110°，
所以∠ACB=45°，
所以DB=CD，AD= .
设CD=x，则BD=x，AD= .
所以 +x=5× ，解得x=10.
所以BC= .
此时灯塔B到C处的距离是 海里.
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据特殊角的函数值，表示出边长，然后根据BD+AD=路程，求出BC的长度。
27．【答案】解：如图，过P作PC⊥AM于C，则∠PCA=90°，且PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离，
∵∠PAM=90°﹣45°=45°，
∴∠APC=45°=∠PAC，
∴PC=AC，
由勾股定理得：2PC2=AP2=322，
∴PC=16 ，
16 海里＜16 海里，
∴轮船继续向正东方向航行，有触礁的危险；
设A沿AD方向航行，正好没有触礁的危险，如图：
过P作PE⊥AD于E，则此时PE=16 海里，
在Rt△PAE中，sin∠PAE= ，
∴∠PAE=60°，
∠MAD=60°﹣45°=15°，
即轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行，才能安全通过这一海域．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】过P作PC⊥AM垂足为C，则△PAC为等腰直角三角形，然后可求得PC的长，然后依据PC与暗礁半径的大小可做成判断，设A沿AD方向航行，正好没有触礁的危险，过P作PE⊥AD于E，则此时PE=16 海里，然后依据特殊锐角三角函数值可求得∠PAE的度数，最后依据∠MAD=∠PAD-∠PAM求解即可.
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