人教A版（2019）数学必修第二册 6.3平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．（2020·海南模拟）已知向量 满足 ，则 （ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题,则 ,
故选:A
【分析】由题 ,进而代入求解即可.
2．（2020·梧州模拟）已知向量 ，则 ＝（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为 ，
故可得 ，
故 .
故选：D.
【分析】先计算 的坐标，再根据坐标求解模长即可.
3．（2019高三上·汉中月考）已知向量 ，且 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】
由 得 ， 。
故答案为：A.
【分析】先求出向量 的坐标，由 得 ，代入坐标求出k的值．
4．（2019高三上·临沂期中）已知向量 ，满足 ，则向量 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】设向量 与 的夹角为 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】直接根据向量的夹角公式求得余弦值.
5．（2019高三上·深圳月考）已知向量 ，若 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由于 ，故 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】由已知，利用向量共线的坐标表示列式，即可求出x的值.
6．（2020高二上·林芝期末）设向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】由 ， ，
可得： .
故答案为：B.
【分析】直接利用向量的坐标进行运算即可.
7．（2020·海南模拟）已知锐角 的外接圆的圆心为 ，半径为 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题,因为 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
故选:A
【分析】由题可分析 ,再利用数量积求得 ,进而由三角形性质求解即可.
8．（2020·海南模拟）在 中， 的中点为 ， 的中点为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 .
故选：B
【分析】根据平面向量的运算法则即可求解.
9．（2020·鹤壁模拟）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，解得： 或 ，由 ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】对 两边平方，转化成关于 的二次方程，根据 ，得到 ．
10．（2020·河南模拟）如图，在等腰直角 中， ， 分别为斜边 的三等分点（ 靠近点 ），过 作 的垂线，垂足为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】设 ，则 ，
， ，
所以 ，所以 .
因为 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】设出等腰直角三角形 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得 ，由此得到 ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将 表示为以 为基底来表示的形式.
11．（2020高一上·苏州期末）如图，四边形 ABCD 中， ，E为线段 AC 上的一点，若 ，则实数 的值等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为 三点共线,设 ,
因为 ,
所以 ,解得 .
故答案为：A
【分析】由 三点共线,设 ,用 , 作基底表示出 ,利用平面向量的基本定理列方程组,解方程组求得 的值.
12．（2019高三上·吉林月考）已知向量 满足 ，点 在 内，且 ，设 ，若 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
由 得 ，建立如图所示的直角坐标系，
，不妨设 ， ，
由 得
，
故答案为：C
【分析】根据题意由 得 ，建立如图所示的直角坐标系，由 ，不妨设 ， ，则 ，再利用正切的定义结合 建立关于 的等式，即可解出 的值。
13．（2020·淮南模拟）在 中， ， ，点 满足 ，点 为 的外心，则 的值为（ ）
A．17 B．10 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的外心， ，
，
，
，
同理可得 ，
故答案为：D.
【分析】将 用向量 和 表示出来，再代入 得， ，求出 代入即可得出答案.
14．（2019高三上·大同月考）如图，在 中， ， 是 上一点，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】由题意及图， ，
又， ，所以 ，∴ （1﹣m） ，
又 t ，所以 ，解得m ，t ，
故答案为：C．
【分析】由题意，可根据向量运算法则得到 （1﹣m） ，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.
二、填空题
15．（2020·随县模拟）已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则实数 .
【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵向量 ， ， 与 的夹角为 ，
∴ ， ，
根据数量积定义 ，解得 .
故答案为：1.
【分析】根据向量的夹角公式可得关于m的方程，计算求解即可．
16．（2020·潍坊模拟）已知向量 （1，1）， （﹣1，3）， （2，1），且（ ）∥ ，则λ＝ .
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】向量 （1，1）， （﹣1，3）， （2，1），
所以 （1+λ，1﹣3λ），
又（ ）∥ ，所以，2×（1﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ .
故答案为： .
【分析】先利用向量的坐标运算求出 ，再根据向量平行的坐标表示即可求出．
17．（2020·秦淮模拟）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点， ，若 （λ1，λ2为实数），则λ1+λ2＝ ．
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】由题,因为 ,
所以 ,
所以 , ,
则 ,
故答案为:
【分析】由题可得 ,进而利用平面向量分解定理求解即可.
18．（2018·河北模拟）已知向量 ，若向量 与 共线，则向量 在向量 放向上的投影为 ．
【答案】0
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】向量 ， ，向量 ，∵向量 与 共线，∴ ，即 ，∴向量 ，∴向量 在向量 方向上的投影为 ，故答案为0.
【分析】根据向量共线的坐标运算代入数值求出 λ的值，进而得出向量a的坐标从而求出向量a在向量b方向上的投影的值。
19．（2019高三上·大同月考）已知两个单位向量 满足 ，则 的夹角为 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 , 是单位向量,所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
又 ,
所以 .
故答案为:
【分析】将已知等式两边平方后,利用向量的夹角公式可解得.
20．（2017·怀化模拟）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ，则λ+μ的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
则E（ ，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．
设 P（cosθ，sinθ），∴ =（1，1）．
再由向量 =λ（ ，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（ ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），
∴ ，∴ ，
∴λ+μ= = =﹣1+ ．
由题意得 0≤θ≤ ，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．
求得（λ+μ）′= = ＞0，
故λ+μ在[0， ]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为 = ，
故答案为： ．
【分析】建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量 =（ ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示 λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ= 的最小值．
三、解答题
21．（2020高一上·苏州期末）如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,A = 60°，D 为线段 BC 中点，E为线段AD中点.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：由题意得 ,
,
（2）解：
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【分析】(1)以 , 为基底分别表示出 ,直接求两向量的内积即可;(2) 以 , 为基底分别表示出 ,直接求两向量的数量积即可.
22．（2019高一下·哈尔滨月考）设两个向量 、 ，满足 ， ， 、 的夹角为 ，若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.
【答案】解：由已知得 , ， .
∴( ) ( )
欲使夹角为钝角，需 .得
设 ( )( )
∴ ，此时 .
即 时，向量 与 的夹角为 .
∴ 夹角为钝角时， 的取值范围是
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】利用数量积公式结合已知条件向量 与向量 的夹角为钝角，变形求出t的取值范围。
23．（2017高一下·惠来期中）已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）．
（1）若 ∥ ，求| |
（2）若 与 夹角为锐角，求x的取值范围．
（3）若| |=2，求与 垂直的单位向量 的坐标．
【答案】（1）解：若 ，则﹣x﹣（2x+3）x=0，解得x=0或x=﹣2，
当x=0时， =（﹣2，0），∴| |=2，
当x=﹣2时， =（2，﹣4），∴| |=2
（2）解：若 与 夹角为锐角，则 ＞0，即2x+3﹣x2＞0，∴﹣1＜x＜3，
由（1）可知当x=0时， ，此时 ， 的夹角为0，不符合题意，舍去，
∴x的取值范围是（﹣1，0）∪（0，3）
（3）解：∵| |=2，∴1+x2=4，解得x=± ，
设 =（m，n），则m+nx=0，且m2+n2=1，
∴当x= 时， ，解得 或 ；
当x=﹣ 时， ，解得 或 ，
所以当x= 时， 的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ， ），
当x=﹣ 时， 的坐标为（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量平面列方程解出x，求出 的坐标即可得出| |；（2）令cos＜ ＞＞0，解出x，再去掉 共线的情况即可；（3）根据| |=2计算x，设 =（m，n），列方程组解出即可．
24．（2017高一下·荥经期中）已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．
（1）求证： ；
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
【答案】（1）证明：A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．
∴ =（1，1）， =（﹣3，3）．
又∵ =1×（﹣3）+1×3=0，
∴ ．
（2）解：∵ ，若四边形ABCD为矩形，则 ．
设C点的坐标为（x，y），则有（1，1）=（x+1，y﹣4），
∴
即
∴点C的坐标为（0，5）．
由于 =（﹣2，4）， =（﹣4，2），
∴ =（﹣2）×（﹣4）+4×2=16， =2 ．
设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ= = ＞0．
故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为 ．
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）运用平面向量的数量积得出 =1×（﹣3）+1×3=0，求解即可．（2） ． ，坐标得出点C的坐标为（0，5）．再运用数量积求解得出cosθ= = ＞0．
1 / 1人教A版（2019）数学必修第二册 6.3平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．（2020·海南模拟）已知向量 满足 ，则 （ ）
A．4 B．3 C． D．
2．（2020·梧州模拟）已知向量 ，则 ＝（ ）
A． B． C．4 D．5
3．（2019高三上·汉中月考）已知向量 ，且 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
4．（2019高三上·临沂期中）已知向量 ，满足 ，则向量 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019高三上·深圳月考）已知向量 ，若 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2020高二上·林芝期末）设向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2020·海南模拟）已知锐角 的外接圆的圆心为 ，半径为 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·海南模拟）在 中， 的中点为 ， 的中点为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·鹤壁模拟）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2020·河南模拟）如图，在等腰直角 中， ， 分别为斜边 的三等分点（ 靠近点 ），过 作 的垂线，垂足为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
11．（2020高一上·苏州期末）如图，四边形 ABCD 中， ，E为线段 AC 上的一点，若 ，则实数 的值等于 （ ）
A． B． C． D．
12．（2019高三上·吉林月考）已知向量 满足 ，点 在 内，且 ，设 ，若 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
13．（2020·淮南模拟）在 中， ， ，点 满足 ，点 为 的外心，则 的值为（ ）
A．17 B．10 C． D．
14．（2019高三上·大同月考）如图，在 中， ， 是 上一点，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2020·随县模拟）已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则实数 .
16．（2020·潍坊模拟）已知向量 （1，1）， （﹣1，3）， （2，1），且（ ）∥ ，则λ＝ .
17．（2020·秦淮模拟）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点， ，若 （λ1，λ2为实数），则λ1+λ2＝ ．
18．（2018·河北模拟）已知向量 ，若向量 与 共线，则向量 在向量 放向上的投影为 ．
19．（2019高三上·大同月考）已知两个单位向量 满足 ，则 的夹角为 ．
20．（2017·怀化模拟）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ，则λ+μ的最小值为 ．
三、解答题
21．（2020高一上·苏州期末）如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,A = 60°，D 为线段 BC 中点，E为线段AD中点.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
22．（2019高一下·哈尔滨月考）设两个向量 、 ，满足 ， ， 、 的夹角为 ，若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.
23．（2017高一下·惠来期中）已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）．
（1）若 ∥ ，求| |
（2）若 与 夹角为锐角，求x的取值范围．
（3）若| |=2，求与 垂直的单位向量 的坐标．
24．（2017高一下·荥经期中）已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．
（1）求证： ；
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题,则 ,
故选:A
【分析】由题 ,进而代入求解即可.
2．【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为 ，
故可得 ，
故 .
故选：D.
【分析】先计算 的坐标，再根据坐标求解模长即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】
由 得 ， 。
故答案为：A.
【分析】先求出向量 的坐标，由 得 ，代入坐标求出k的值．
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】设向量 与 的夹角为 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】直接根据向量的夹角公式求得余弦值.
5．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由于 ，故 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】由已知，利用向量共线的坐标表示列式，即可求出x的值.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】由 ， ，
可得： .
故答案为：B.
【分析】直接利用向量的坐标进行运算即可.
7．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题,因为 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
故选:A
【分析】由题可分析 ,再利用数量积求得 ,进而由三角形性质求解即可.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 .
故选：B
【分析】根据平面向量的运算法则即可求解.
9．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，解得： 或 ，由 ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】对 两边平方，转化成关于 的二次方程，根据 ，得到 ．
10．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】设 ，则 ，
， ，
所以 ，所以 .
因为 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】设出等腰直角三角形 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得 ，由此得到 ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将 表示为以 为基底来表示的形式.
11．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为 三点共线,设 ,
因为 ,
所以 ,解得 .
故答案为：A
【分析】由 三点共线,设 ,用 , 作基底表示出 ,利用平面向量的基本定理列方程组,解方程组求得 的值.
12．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
由 得 ，建立如图所示的直角坐标系，
，不妨设 ， ，
由 得
，
故答案为：C
【分析】根据题意由 得 ，建立如图所示的直角坐标系，由 ，不妨设 ， ，则 ，再利用正切的定义结合 建立关于 的等式，即可解出 的值。
13．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的外心， ，
，
，
，
同理可得 ，
故答案为：D.
【分析】将 用向量 和 表示出来，再代入 得， ，求出 代入即可得出答案.
14．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】由题意及图， ，
又， ，所以 ，∴ （1﹣m） ，
又 t ，所以 ，解得m ，t ，
故答案为：C．
【分析】由题意，可根据向量运算法则得到 （1﹣m） ，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.
15．【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵向量 ， ， 与 的夹角为 ，
∴ ， ，
根据数量积定义 ，解得 .
故答案为：1.
【分析】根据向量的夹角公式可得关于m的方程，计算求解即可．
16．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】向量 （1，1）， （﹣1，3）， （2，1），
所以 （1+λ，1﹣3λ），
又（ ）∥ ，所以，2×（1﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ .
故答案为： .
【分析】先利用向量的坐标运算求出 ，再根据向量平行的坐标表示即可求出．
17．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】由题,因为 ,
所以 ,
所以 , ,
则 ,
故答案为:
【分析】由题可得 ,进而利用平面向量分解定理求解即可.
18．【答案】0
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】向量 ， ，向量 ，∵向量 与 共线，∴ ，即 ，∴向量 ，∴向量 在向量 方向上的投影为 ，故答案为0.
【分析】根据向量共线的坐标运算代入数值求出 λ的值，进而得出向量a的坐标从而求出向量a在向量b方向上的投影的值。
19．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 , 是单位向量,所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
又 ,
所以 .
故答案为:
【分析】将已知等式两边平方后,利用向量的夹角公式可解得.
20．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
则E（ ，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．
设 P（cosθ，sinθ），∴ =（1，1）．
再由向量 =λ（ ，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（ ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），
∴ ，∴ ，
∴λ+μ= = =﹣1+ ．
由题意得 0≤θ≤ ，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．
求得（λ+μ）′= = ＞0，
故λ+μ在[0， ]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为 = ，
故答案为： ．
【分析】建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量 =（ ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示 λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ= 的最小值．
21．【答案】（1）解：由题意得 ,
,
（2）解：
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【分析】(1)以 , 为基底分别表示出 ,直接求两向量的内积即可;(2) 以 , 为基底分别表示出 ,直接求两向量的数量积即可.
22．【答案】解：由已知得 , ， .
∴( ) ( )
欲使夹角为钝角，需 .得
设 ( )( )
∴ ，此时 .
即 时，向量 与 的夹角为 .
∴ 夹角为钝角时， 的取值范围是
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】利用数量积公式结合已知条件向量 与向量 的夹角为钝角，变形求出t的取值范围。
23．【答案】（1）解：若 ，则﹣x﹣（2x+3）x=0，解得x=0或x=﹣2，
当x=0时， =（﹣2，0），∴| |=2，
当x=﹣2时， =（2，﹣4），∴| |=2
（2）解：若 与 夹角为锐角，则 ＞0，即2x+3﹣x2＞0，∴﹣1＜x＜3，
由（1）可知当x=0时， ，此时 ， 的夹角为0，不符合题意，舍去，
∴x的取值范围是（﹣1，0）∪（0，3）
（3）解：∵| |=2，∴1+x2=4，解得x=± ，
设 =（m，n），则m+nx=0，且m2+n2=1，
∴当x= 时， ，解得 或 ；
当x=﹣ 时， ，解得 或 ，
所以当x= 时， 的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ， ），
当x=﹣ 时， 的坐标为（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量平面列方程解出x，求出 的坐标即可得出| |；（2）令cos＜ ＞＞0，解出x，再去掉 共线的情况即可；（3）根据| |=2计算x，设 =（m，n），列方程组解出即可．
24．【答案】（1）证明：A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．
∴ =（1，1）， =（﹣3，3）．
又∵ =1×（﹣3）+1×3=0，
∴ ．
（2）解：∵ ，若四边形ABCD为矩形，则 ．
设C点的坐标为（x，y），则有（1，1）=（x+1，y﹣4），
∴
即
∴点C的坐标为（0，5）．
由于 =（﹣2，4）， =（﹣4，2），
∴ =（﹣2）×（﹣4）+4×2=16， =2 ．
设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ= = ＞0．
故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为 ．
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）运用平面向量的数量积得出 =1×（﹣3）+1×3=0，求解即可．（2） ． ，坐标得出点C的坐标为（0，5）．再运用数量积求解得出cosθ= = ＞0．
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