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高中数学人教新课标A版 必修一 1.1.1 集合的含义与表示
一、单选题
1．（2020·重庆模拟）已知集合 ，则B中元素个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2020·海南模拟）已知集合 ，定义集合 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019高一上·凌源月考）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．拥有手机的人 B．2019年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于 的正整数
4．（2019高一上·延安期中）已知集合S={a,b,c,}中的三个元素可构成 ABC的三条边长，那么 ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．（2019高一上·葫芦岛月考）若 ，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
6．（2019高一上·葫芦岛月考）方程组 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019高一上·平罗期中）已知集合 中的三个元素 ， ， 分别是 的三边长，则 一定不是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．（2019高一上·三亚期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（ ）
A．一切很大的数 B．好心人
C．漂亮的小女孩 D．方程 的实数根
9．（2019高一上·荆门期中）将集合 表示成列举法，正确的是（ ）
A．{2，3} B．{(2，3)}
C．{x＝2，y＝3} D．(2，3)
10．（2019高一上·南京期中）若 ，则实数 的值为（ ）.
A． B． C． 或 D． 或
11．（2019高一上·南京期中）若 ，则 （ ）.
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题
12．（2020·海安模拟）在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为 ．
13．（2020·化州模拟）已知两个集合A，B，满足B A．若对任意的x∈A，存在ai，aj∈B（i≠j），使得x=λ1ai+λ2aj（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是 。
14．（2019高一上·凌源月考）已知 ，已知集合 中恰有3个元素，则整数 .
15．（2019高一上·珠海期中）用列举法表示集合 ．
三、解答题
16．（2019高一上·兴仁月考）把集合 用列举法表示.
17．（2018高一上·上海期中）已知集合 ， 7， ， ，且 ，求集合B．
18．（2018高一上·定远期中）设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则 ∈A(a≠1)．
求证：
（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
（2）集合A不可能是单元素集．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】 ，
， 中元素个数为4个.
故选:A.
【分析】化简集合 ，根据集合 的元素特征，即可求解
2．【答案】C
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】因为集合 ，所以 ，
则 ，所以 .
故选:C.
【分析】根据 定义，求出 ，即可求出结论.
3．【答案】B
【知识点】集合的含义；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】对A,拥有手机的人属于确定的概念,故能构成集合.
对B, 2019年高考数学难题界定不明确,不能构成集合
对C,任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合
对D,小于 的正整数分别为1,2,3,能够组成集合
故答案为：B
【分析】根据集合的确定性逐个判断即可.
4．【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为集合 中的元素是 ABC的三边长，
由集合元素的互异性可知a,b,c互不相等，
所以 ABC一定不是等腰三角形,
故答案为：D.
【分析】由已知利用集合元素的互异性可知a,b,c互不相等，即可判断三角形的形状.
5．【答案】B
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】若 ，则 ，不合题意，舍去；
若 ，则 ，易知当 时满足题意.
故答案为：B
【分析】分 和 两种情况讨论，即得解.
6．【答案】D
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】由 解得 或
故所求方程组的解集为 .
故答案为：D
【分析】解方程组得 或 即得方程组的解集.
7．【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】因为集合中的元素是互异的，所以 ， ， 互不相等，即 不可能是等腰三角形．
故答案为：D．
【分析】根据集合中元素的互异性，即可得到答案．
8．【答案】D
【知识点】集合的含义；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】A. 一切很大的数B. 好心人C. 漂亮的小女孩均不满足集合的确定性，排除；D. 方程 的实数根为 ，可以构成集合.
故答案为：
【分析】 都不满足集合的确定性，排除，解出方程可以确定构成集合.
9．【答案】B
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】集合表示的是方程组的解构成的集合，其中的元素是数对，且只有一个元素.
故答案为：B .
【分析】本题考查了集合的描述法，属于中档题 .当集合是描述法的形式给出时，一定要注意理解集合中的元素，首先分清是数还是数对（点），其次要看清楚元素的特征性质，在判断元素与集合关系时，必须把握住，在改变集合写法时，必须保证集合相等 .
10．【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 或 ，
解得： ，
故答案为：A.
【分析】由元素与集合的关系及集合中元素的互异性可得 或 ，再求解即可.
11．【答案】B
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】根据集合中元素的确定性和互异性可知，只能 ，且 ；
所以 。
故答案为：B
【分析】根据集合中元素的确定性得出1肯定是 或者 的一个，又由互异性可知1只能为 ，较易解出答案.
12．【答案】18+π
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由x＝x1+x2，y＝y1+y2，得x1＝x﹣x2，y1＝y﹣y2，
∵（x1，y1）∈A，
∴把x1＝x﹣x2，y1＝y﹣y2，代入x2+y2≤1，
∴（x﹣x2）2+（y﹣y2）2≤1
点集Q所表示的区域是以集合B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，如图，
其面积为：5+6+4+3+π＝18+π
故答案为：18+π．
【分析】转化条件得（x﹣x2）2+（y﹣y2）2≤1即点集Q所表示的区域是以集合B表示的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，计算即可得解.
13．【答案】4
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】设B中元素a1
则1·ai+0·aj有n种,1·ai+1·aj有n种,1·ai-1·aj有 种,-1·ai+1·aj有 种,
∴n+n+ + ≥10,∴n2+n≥10,∴n≥3, n=3时,共12种,最多不符合题意两种,
设B={a1,a2,a3},a1∴a3≥5,a2≤5. a3=5时,a3+a2=9,
∴a2=4,a3+a1=7或a2+a1=7,∴a1=2或3,∴B={5,4,3}(舍),B={5,4,2}(舍);
a3=6时,若a2=5,则a3+a1=7或a2+a1=7,
∴a1=1或2,B={6,5,2}(舍),B={6,5,1}(舍),
若a2=4,则a1+a3=9,∴B={6,4,3}(舍);
a3=7时,a1+a3≤10,a1≤3,a1=3时,3∴a2=3或5,B={7,5,2}(舍),B={7,3,2}(舍).
a1=1时,a2+a3=10或2a2=10,a2=3或5,B={7,5,1}(舍),B={7,3,1}(舍);
a3=8时,a1+a8≤10,∴a1=1或2,a1=1时,a2+a3=10或2a2=10,
∴a2=2或5,B={8,5,1}(舍),B={8,2,1}(舍),
a1=2时,2a3=10时,2a3>10,a3+a2>10,a3+a1>10,不是10个数.
∴n=3时不成立.n=4时,B={9,6,4,1}或B={9,7,4,1}或B={8,5,2,1},合理即可.
【分析】利用基集的定义结合分类讨论的方法，再利用元素的确定性、互异性和无序性，从而求出集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值。
14．【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】根据题意得出 、 、 ， ， ，即 .
因此，整数 的值为 .
【分析】根据题意得出 、 、 ， ，从而可得出实数 的不等式，解出即可得出整数 的值.
15．【答案】
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】 ， 为 的正因数，
，
故答案为：
【分析】利用题目条件，依次代入，使 ， ，从而确定 的值，即可得到所求集合。
16．【答案】解：由题意得： ， ，
，
， ， ，
当 时， ， ；
当 时， ， ； ， ；
当 时， ， ； ， ； ， .
.
【知识点】集合的表示法
【解析】【分析】由已知得出 ，直接利用列举法写出结果即可.
17．【答案】解： 集合 ，
7， ， ，且 ，
或 舍 ，
解得 ，
当 时， 5， ，不成立；
当 时， 5， ， 7，1， ，成立．
集合 1，4， ．
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【分析】利用元素与集合的关系把5代入到集合A、B中，求出a的值再根据集合中元素的互异性得出满足题意的a的数值。
18．【答案】（1）解：若a∈A，则 ∈A.
又∵2∈A，∴ ＝－1∈A.
∵－1∈A，∴ ＝ ∈A.
∵ ∈A，∴ ＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1， .
（2）解：若A为单元素集，则a＝ ，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠ ，∴集合A不可能是单元素集
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【分析】（1）根据集合A满足的条件，将2代入逐一求解，即可求出A中另外两个元素；
（2）采用反证法，假设A为单元素集，得出矛盾，即可证明集合A不可能是单元素集.
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高中数学人教新课标A版 必修一 1.1.1 集合的含义与表示
一、单选题
1．（2020·重庆模拟）已知集合 ，则B中元素个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】 ，
， 中元素个数为4个.
故选:A.
【分析】化简集合 ，根据集合 的元素特征，即可求解
2．（2020·海南模拟）已知集合 ，定义集合 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】因为集合 ，所以 ，
则 ，所以 .
故选:C.
【分析】根据 定义，求出 ，即可求出结论.
3．（2019高一上·凌源月考）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．拥有手机的人 B．2019年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于 的正整数
【答案】B
【知识点】集合的含义；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】对A,拥有手机的人属于确定的概念,故能构成集合.
对B, 2019年高考数学难题界定不明确,不能构成集合
对C,任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合
对D,小于 的正整数分别为1,2,3,能够组成集合
故答案为：B
【分析】根据集合的确定性逐个判断即可.
4．（2019高一上·延安期中）已知集合S={a,b,c,}中的三个元素可构成 ABC的三条边长，那么 ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为集合 中的元素是 ABC的三边长，
由集合元素的互异性可知a,b,c互不相等，
所以 ABC一定不是等腰三角形,
故答案为：D.
【分析】由已知利用集合元素的互异性可知a,b,c互不相等，即可判断三角形的形状.
5．（2019高一上·葫芦岛月考）若 ，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】若 ，则 ，不合题意，舍去；
若 ，则 ，易知当 时满足题意.
故答案为：B
【分析】分 和 两种情况讨论，即得解.
6．（2019高一上·葫芦岛月考）方程组 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】由 解得 或
故所求方程组的解集为 .
故答案为：D
【分析】解方程组得 或 即得方程组的解集.
7．（2019高一上·平罗期中）已知集合 中的三个元素 ， ， 分别是 的三边长，则 一定不是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】因为集合中的元素是互异的，所以 ， ， 互不相等，即 不可能是等腰三角形．
故答案为：D．
【分析】根据集合中元素的互异性，即可得到答案．
8．（2019高一上·三亚期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（ ）
A．一切很大的数 B．好心人
C．漂亮的小女孩 D．方程 的实数根
【答案】D
【知识点】集合的含义；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】A. 一切很大的数B. 好心人C. 漂亮的小女孩均不满足集合的确定性，排除；D. 方程 的实数根为 ，可以构成集合.
故答案为：
【分析】 都不满足集合的确定性，排除，解出方程可以确定构成集合.
9．（2019高一上·荆门期中）将集合 表示成列举法，正确的是（ ）
A．{2，3} B．{(2，3)}
C．{x＝2，y＝3} D．(2，3)
【答案】B
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】集合表示的是方程组的解构成的集合，其中的元素是数对，且只有一个元素.
故答案为：B .
【分析】本题考查了集合的描述法，属于中档题 .当集合是描述法的形式给出时，一定要注意理解集合中的元素，首先分清是数还是数对（点），其次要看清楚元素的特征性质，在判断元素与集合关系时，必须把握住，在改变集合写法时，必须保证集合相等 .
10．（2019高一上·南京期中）若 ，则实数 的值为（ ）.
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 或 ，
解得： ，
故答案为：A.
【分析】由元素与集合的关系及集合中元素的互异性可得 或 ，再求解即可.
11．（2019高一上·南京期中）若 ，则 （ ）.
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】根据集合中元素的确定性和互异性可知，只能 ，且 ；
所以 。
故答案为：B
【分析】根据集合中元素的确定性得出1肯定是 或者 的一个，又由互异性可知1只能为 ，较易解出答案.
二、填空题
12．（2020·海安模拟）在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为 ．
【答案】18+π
【知识点】集合的含义；元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由x＝x1+x2，y＝y1+y2，得x1＝x﹣x2，y1＝y﹣y2，
∵（x1，y1）∈A，
∴把x1＝x﹣x2，y1＝y﹣y2，代入x2+y2≤1，
∴（x﹣x2）2+（y﹣y2）2≤1
点集Q所表示的区域是以集合B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，如图，
其面积为：5+6+4+3+π＝18+π
故答案为：18+π．
【分析】转化条件得（x﹣x2）2+（y﹣y2）2≤1即点集Q所表示的区域是以集合B表示的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，计算即可得解.
13．（2020·化州模拟）已知两个集合A，B，满足B A．若对任意的x∈A，存在ai，aj∈B（i≠j），使得x=λ1ai+λ2aj（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是 。
【答案】4
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】设B中元素a1则1·ai+0·aj有n种,1·ai+1·aj有n种,1·ai-1·aj有 种,-1·ai+1·aj有 种,
∴n+n+ + ≥10,∴n2+n≥10,∴n≥3, n=3时,共12种,最多不符合题意两种,
设B={a1,a2,a3},a1∴a3≥5,a2≤5. a3=5时,a3+a2=9,
∴a2=4,a3+a1=7或a2+a1=7,∴a1=2或3,∴B={5,4,3}(舍),B={5,4,2}(舍);
a3=6时,若a2=5,则a3+a1=7或a2+a1=7,
∴a1=1或2,B={6,5,2}(舍),B={6,5,1}(舍),
若a2=4,则a1+a3=9,∴B={6,4,3}(舍);
a3=7时,a1+a3≤10,a1≤3,a1=3时,3∴a2=3或5,B={7,5,2}(舍),B={7,3,2}(舍).
a1=1时,a2+a3=10或2a2=10,a2=3或5,B={7,5,1}(舍),B={7,3,1}(舍);
a3=8时,a1+a8≤10,∴a1=1或2,a1=1时,a2+a3=10或2a2=10,
∴a2=2或5,B={8,5,1}(舍),B={8,2,1}(舍),
a1=2时,2a3=10时,2a3>10,a3+a2>10,a3+a1>10,不是10个数.
∴n=3时不成立.n=4时,B={9,6,4,1}或B={9,7,4,1}或B={8,5,2,1},合理即可.
【分析】利用基集的定义结合分类讨论的方法，再利用元素的确定性、互异性和无序性，从而求出集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值。
14．（2019高一上·凌源月考）已知 ，已知集合 中恰有3个元素，则整数 .
【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】根据题意得出 、 、 ， ， ，即 .
因此，整数 的值为 .
【分析】根据题意得出 、 、 ， ，从而可得出实数 的不等式，解出即可得出整数 的值.
15．（2019高一上·珠海期中）用列举法表示集合 ．
【答案】
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】 ， 为 的正因数，
，
故答案为：
【分析】利用题目条件，依次代入，使 ， ，从而确定 的值，即可得到所求集合。
三、解答题
16．（2019高一上·兴仁月考）把集合 用列举法表示.
【答案】解：由题意得： ， ，
，
， ， ，
当 时， ， ；
当 时， ， ； ， ；
当 时， ， ； ， ； ， .
.
【知识点】集合的表示法
【解析】【分析】由已知得出 ，直接利用列举法写出结果即可.
17．（2018高一上·上海期中）已知集合 ， 7， ， ，且 ，求集合B．
【答案】解： 集合 ，
7， ， ，且 ，
或 舍 ，
解得 ，
当 时， 5， ，不成立；
当 时， 5， ， 7，1， ，成立．
集合 1，4， ．
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【分析】利用元素与集合的关系把5代入到集合A、B中，求出a的值再根据集合中元素的互异性得出满足题意的a的数值。
18．（2018高一上·定远期中）设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则 ∈A(a≠1)．
求证：
（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
（2）集合A不可能是单元素集．
【答案】（1）解：若a∈A，则 ∈A.
又∵2∈A，∴ ＝－1∈A.
∵－1∈A，∴ ＝ ∈A.
∵ ∈A，∴ ＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1， .
（2）解：若A为单元素集，则a＝ ，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠ ，∴集合A不可能是单元素集
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【分析】（1）根据集合A满足的条件，将2代入逐一求解，即可求出A中另外两个元素；
（2）采用反证法，假设A为单元素集，得出矛盾，即可证明集合A不可能是单元素集.
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